東京工業大学

【理数個別の過去問解説】1976年度東京工業大学数学第1問解説

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
p(x)をxに関する3次式とする。

x^{4}

と

x^{5}

をp(x)で割った余りは等しくて、0ではないとする。
xの整式f(x)がp(x)で割り切れず、xf(x)はp(x)で割り切れるとき、 f(x)をp(x)で割った余りr(x)を求めよ。
ただし、r(x)の最高次係数は1となるものとする。

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東工大　指数関数の接線の本数

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

y = e^{x}

に

(a, b)

から何本の接線が引けるか.

1980東工大過去問

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【高校化学】今週の構造決定#16〜東工大2020〜

単元： #大学入試過去問(数学)#化学#学校別大学入試過去問解説(数学)#有機#有機化合物の特徴と構造#東京工業大学#数学(高校生)#理科(高校生)

指導講師：受験メモ山本

問題文全文(内容文)：
東工大の問題解説動画です

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東工大　漸化式　ひねった問題

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

C_{n + 1} = 8 C_{n} - 7

数列

C_{1}, C_{2}, C_{3}, \dots

の中に素数の項が1つだけあるような

C_{1}

を2つ求めよ

(C_{1}

自然数

)

出典：2009年東京工業大学　過去問

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東工大　約数の個数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
自然数

N

は12個の約数をもち、約数を小さい順に並べると7番目が12である。

N

をすべて求めよ

出典：東京工業大学　過去問

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東工大　整数問題　合同式

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n} = 19^{n} + (- 1)^{n - 1} 2^{4 n - 3}

のすべてを割り切る素数を求めよ。

(n

自然数

)

出典：1986年東京工業大学　過去問

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東工大　y=e^x に引ける接線の数

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

y = e^{x}

に

(a, b)

から引ける接線の本数を求めよ

出典：1980年東京工業大学　過去問

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東工大整数問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

は3以上の奇数

a_{n} = \frac{1}{6} \sum_{k = 1}^{n - 1} (k - 1) k (k + 1)

b_{n} = \frac{n^{2} - 1}{8}

（1）

a_{n}, b_{n}

は整数

（2）

a_{n} - b_{n}

は4の倍数

出典：2014年東京工業大学　過去問

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東工大　極限　東大大学院数学科卒　杉山さん

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

自然数
半径

\frac{1}{n}

の円を重ならないように、半径1の円に外接させる。
外接する円の最大個数を

a_{n}

とする。

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n}

を求めよ

出典：1992年東京工業大学　過去問

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東工大　整数問題 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
自然数

a, b, c

が

3 a = b^{3}, 5 a = c^{2}

を満たす。

d^{6}

が

a

を割り切るような自然数

d

は

d = 1

のみ。
（1）

a

は3と5で割り切れることを示せ

（2）

a

の素因数は3と5以外にないことを示せ

（3）

a

を求めよ

出典：2006年東京工業大学　過去問

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２０１９東工大　栗崎先生に生徒貫太郎が教わる Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#微分とその応用#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a = \frac{2^{8}}{3^{4}}

整列

b_{k} = \frac{(k + 1)^{k + 1}}{a^{k} k!}

（1）

f (x) = (x + 1) l o g (1 + \frac{1}{x})

は

x > 0

で減少することを示せ

（2）
数列{

b_{k}

}の項の最大値

M

を分数で表し、

b_{k} = M

となる

k

をすべて求めよ

出典：2019年東京工業大学　過去問

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東工大　秀才栗崎 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{x^{2} - 2 x + k^{2}}{x^{2} + 2 x + k^{2}} (k ≧ 0)

が1以外の整数値をとらないような定数

k

の範囲は？

出典：1992年東京工業大学　過去問

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東工大　秀才栗崎　解の個数 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

e^{x} - x^{e} = k

の異なる正の解の個数を求めよ

出典：2013年東京工業大学　過去問

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東工大　秀才栗崎　微分積分 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

y = \frac{1}{x} (x > 0)

と

y = - \frac{1}{x} (x < 0)

の接線および

x

軸を囲まれる三角形の面積の最大

出典：1975年東京工業大学　過去問

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東工大　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#指数関数と対数関数#恒等式・等式・不等式の証明#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

m, n

自然数、　

m < n,

0 < x < 1

(1 + \frac{x}{m^{2}})^{m}

と

(1 + \frac{x}{n^{2}})^{n}

を大小比較せよ

出典：東京工業大学　過去問

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東工大　二次方程式と四次方程式　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#複素数と方程式#2次方程式と2次不等式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{2} + 2 x + a

f (x) = 0

が相違なる実根をもち、

f (f (x)) = 0

が重解

γ

をもつ。

γ, a

の値を求めよ。

出典：東京工業大学　過去問

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東工大　積分　放物線と直線　面積最小値　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

y = - 2 x^{2} + x + 1

上の1点における接線と

y = x^{2}

とによって囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。

出典：1967年　東京工業大学　過去問

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積分　CASTDICE TV 栗崎 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{x} x e^{x} \sin x

d x

出典：東工大学入試数学　過去問

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東工大　整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
神戸薬科大学過去問題

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1

x < y < z

(自然数)

東京工業大学過去問題

(a b - 1) (b c - 1) (c a - 1)

がabcで割り切れる1<a<b<c(自然数)
a,b,cをすべて求めよ。

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東工大　極限値　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
1982東京工業大学過去問題
n自然数
半径

\frac{1}{n}

の円を重ならないように半径1の円に外接させる。このとき外接する円の最大個数を

a_{n}

とする。

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n}

を求めよ。

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東工大　確率（超簡単）高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2010東京工業大学過去問題
1~nの自然数から任意の2つの数を選んだとき、小さい方の数が3の倍数である確率をP(n)とする。
(1)P(8)を求めよ。
(2)P(3k+2)をkで表せ

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東工大（’８６）整数 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東京工業大学'86過去問題
整数

a_{n} = 19^{n} + (- 1)^{n - 1} ・ 2^{4 n - 3}

(n = 1, 2, 3 \dots)

のすべてを割り切る素数を求めよ。

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東京工業大学　三次方程式 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東京工業大学'72過去問題

x^{3} - x + k = 0 (k > 0)

絶対値が1の虚根をもつ。
3つの根を求めよ。

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