集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
福田のわかった数学〜高校１年生037〜部屋割り論法(2)
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上で異なる5個の格子点の\\
どれか2個を結ぶと、その中点が格子点になることを証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上で異なる5個の格子点の\\
どれか2個を結ぶと、その中点が格子点になることを証明せよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第１問〜2つの円に同時に外接する円の条件
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 座標平面上の原点を中心とする半径2の円をC_1、中心の座標が(7,0)、半径3\\
の円をC_2とする。さらにrを正の実数とするとき、C_1とC_2に同時に外接する円で、\\
その中心の座標が(a,b)、半径がrであるものをC_3とする。ただし、2つの円が\\
外接するとは、それらが1点を共有し、中心が互いの外部にあるときをいう。\\
\\
(1)rの最小値は\boxed{\ \ ア\ \ }であり、aの最大値は\boxed{\ \ イ\ \ }となる。\\
\\
(2)aとbは関係式b^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }(a+\boxed{\ \ オカ\ \ })(a-4)を満たす。\\
\\
(3)C_3が直線x=-3に接するとき、a=\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}, |b|=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ コサシ\ \ }}}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である。\\
\\
(4)点(a,b)と原点を通る直線と、点(a,b)と点(7,0)を通る直線が直交するとき、\\
|b|=\frac{\boxed{\ \ セソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 座標平面上の原点を中心とする半径2の円をC_1、中心の座標が(7,0)、半径3\\
の円をC_2とする。さらにrを正の実数とするとき、C_1とC_2に同時に外接する円で、\\
その中心の座標が(a,b)、半径がrであるものをC_3とする。ただし、2つの円が\\
外接するとは、それらが1点を共有し、中心が互いの外部にあるときをいう。\\
\\
(1)rの最小値は\boxed{\ \ ア\ \ }であり、aの最大値は\boxed{\ \ イ\ \ }となる。\\
\\
(2)aとbは関係式b^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }(a+\boxed{\ \ オカ\ \ })(a-4)を満たす。\\
\\
(3)C_3が直線x=-3に接するとき、a=\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}, |b|=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ コサシ\ \ }}}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である。\\
\\
(4)点(a,b)と原点を通る直線と、点(a,b)と点(7,0)を通る直線が直交するとき、\\
|b|=\frac{\boxed{\ \ セソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第４問〜条件を満たす部分集合の個数
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} A_n=\left\{1,2,\ldots,n\right\}を、1からnまでの自然数の集合とする。SをA_nの部分集合\\
(空集合およびA_n自身も含む)としたとき、S'をSの要素それぞれに1を加えてできた\\
集合とする。またS''をS'の要素それぞれにさらに1を加えてできた集合とする。\\
たとえば、A_3=\left\{1,2,3\right\}の部分集合S=\left\{1,3\right\}の場合、S'=\left\{2,4\right\},S''=\left\{3,5\right\}\\
\\
(1)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合S=\left\{1,2,3\right\}はS \cup S'=A_4となる。このように\\
A_4の部分集合でS \cup S'=A_4となるものは\left\{1,2,3\right\}と\left\{1,\boxed{\ \ ア\ \ }\right\}の2つである。\\
\\
(2)A_nの部分集合SでS \cup S'=A_nとなるようなSの個数をa_nとすると、(1)から\\
分かるようにa_4=2であり\\
a_5=\boxed{\ \ イウ\ \ },a_6=\boxed{\ \ エオ\ \ },a_7=\boxed{\ \ カキ\ \ },a_8=\boxed{\ \ クケ\ \ },\ldots,a_{16}=\boxed{\ \ コサシ\ \ }\\
となる。\\
\\
(3)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合SでS \cup S''=A_4となるものはS=\left\{1,\boxed{\ \ ス\ \ }\right\}だけ\\
である。\\
\\
(4)A_nの部分集合SでS \cup S''=A_nとなるようなSの個数をb_nとすると、(3)から\\
分かうようにb_4=1であり\\
b_5=\boxed{\ \ セソ\ \ },b_6=\boxed{\ \ タチ\ \ },b_7=\boxed{\ \ ツテ\ \ },b_8=\boxed{\ \ トナ\ \ },\ldots,b_{16}=\boxed{\ \ ニヌネ\ \ }\\
となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} A_n=\left\{1,2,\ldots,n\right\}を、1からnまでの自然数の集合とする。SをA_nの部分集合\\
(空集合およびA_n自身も含む)としたとき、S'をSの要素それぞれに1を加えてできた\\
集合とする。またS''をS'の要素それぞれにさらに1を加えてできた集合とする。\\
たとえば、A_3=\left\{1,2,3\right\}の部分集合S=\left\{1,3\right\}の場合、S'=\left\{2,4\right\},S''=\left\{3,5\right\}\\
\\
(1)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合S=\left\{1,2,3\right\}はS \cup S'=A_4となる。このように\\
A_4の部分集合でS \cup S'=A_4となるものは\left\{1,2,3\right\}と\left\{1,\boxed{\ \ ア\ \ }\right\}の2つである。\\
\\
(2)A_nの部分集合SでS \cup S'=A_nとなるようなSの個数をa_nとすると、(1)から\\
分かるようにa_4=2であり\\
a_5=\boxed{\ \ イウ\ \ },a_6=\boxed{\ \ エオ\ \ },a_7=\boxed{\ \ カキ\ \ },a_8=\boxed{\ \ クケ\ \ },\ldots,a_{16}=\boxed{\ \ コサシ\ \ }\\
となる。\\
\\
(3)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合SでS \cup S''=A_4となるものはS=\left\{1,\boxed{\ \ ス\ \ }\right\}だけ\\
である。\\
\\
(4)A_nの部分集合SでS \cup S''=A_nとなるようなSの個数をb_nとすると、(3)から\\
分かうようにb_4=1であり\\
b_5=\boxed{\ \ セソ\ \ },b_6=\boxed{\ \ タチ\ \ },b_7=\boxed{\ \ ツテ\ \ },b_8=\boxed{\ \ トナ\ \ },\ldots,b_{16}=\boxed{\ \ ニヌネ\ \ }\\
となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生035〜必要条件・十分条件
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 必要条件・十分条件\\
a \gt 0とする。2つの条件p,qを\\
p:|x-1| \leqq a, q:|x| \lt 2 とする。\\
\\
(1)pがqの十分条件となるaの範囲\\
(2)pがqの必要条件となるaの範囲\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 必要条件・十分条件\\
a \gt 0とする。2つの条件p,qを\\
p:|x-1| \leqq a, q:|x| \lt 2 とする。\\
\\
(1)pがqの十分条件となるaの範囲\\
(2)pがqの必要条件となるaの範囲\\
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第１問(3)〜集合の要素の個数と2次方程式の解
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#複素数と方程式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#複素数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)整数kに対して、xの2次方程式x^2+kx+k+35=0の解を\alpha_k,\beta_kとおく。\\
ただし、方程式が重解をもつときは\alpha_k=\beta_kである。また\\
U=\left\{k|kは整数、かつ|k| \leqq 100 \right\}\\
を全体集合とし、その部分集合\\
A=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kはともに実数で\alpha_k≠\beta_k\right\}\\
B=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実数はともに2より大きい\right\}\\
C=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実部と虚部はすべて整数\right\}\\
を考える。このときn(A)=\boxed{\ \ (か)\ \ },n(A \cap B)=\boxed{\ \ (き)\ \ },n(\bar{ A } \cap B)=\boxed{\ \ (く)\ \ },\\
n(A \cap C)=\boxed{\ \ (け)\ \ },n(\bar{ A } \cap C)=\boxed{\ \ (こ)\ \ }である。ただし有限集合Xに対して\\
その要素の個数をn(X)で表す。また\bar{ A }はAの補集合である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)整数kに対して、xの2次方程式x^2+kx+k+35=0の解を\alpha_k,\beta_kとおく。\\
ただし、方程式が重解をもつときは\alpha_k=\beta_kである。また\\
U=\left\{k|kは整数、かつ|k| \leqq 100 \right\}\\
を全体集合とし、その部分集合\\
A=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kはともに実数で\alpha_k≠\beta_k\right\}\\
B=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実数はともに2より大きい\right\}\\
C=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実部と虚部はすべて整数\right\}\\
を考える。このときn(A)=\boxed{\ \ (か)\ \ },n(A \cap B)=\boxed{\ \ (き)\ \ },n(\bar{ A } \cap B)=\boxed{\ \ (く)\ \ },\\
n(A \cap C)=\boxed{\ \ (け)\ \ },n(\bar{ A } \cap C)=\boxed{\ \ (こ)\ \ }である。ただし有限集合Xに対して\\
その要素の個数をn(X)で表す。また\bar{ A }はAの補集合である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生034〜背理法(2)
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(2)\\
\sqrt2,\sqrt[3]3が無理数であることを既知として次を証明せよ。\\
p,q,\sqrt2p+\sqrt[3]3qが全て有理数 \Rightarrow p=q=0
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(2)\\
\sqrt2,\sqrt[3]3が無理数であることを既知として次を証明せよ。\\
p,q,\sqrt2p+\sqrt[3]3qが全て有理数 \Rightarrow p=q=0
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生033〜背理法(1)
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(1)\\
\sqrt2,\ \sqrt[3]3 が無理数であることを証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(1)\\
\sqrt2,\ \sqrt[3]3 が無理数であることを証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生032〜否定分の作り方(2)
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 否定分の作り方(2)\\
次の関数f(x)についての命題を否定せよ。\\
\\
「N以上の全ての自然数nについてf(n) \leqq 2」\\
が成り立つような自然数Nが存在する。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 否定分の作り方(2)\\
次の関数f(x)についての命題を否定せよ。\\
\\
「N以上の全ての自然数nについてf(n) \leqq 2」\\
が成り立つような自然数Nが存在する。
\end{eqnarray}
【背理法はこう解け！】背理法の考え方と解法のテンプレはこうだ！【高校数学 数学】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ 3 }$が無理数なことを証明せよ
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$\sqrt{ 3 }$が無理数なことを証明せよ
福田の数学〜早稲田大学2021年商学部第３問〜正の約数の総和が奇数になる条件
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の設問に答えよ。\\
(1)225の全ての正の約数の和を求めよ。\\
\\
(2)2021以下の正の整数で、すべての正の\\
約数の和が奇数であるものの個数を求めよ。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学商学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の設問に答えよ。\\
(1)225の全ての正の約数の和を求めよ。\\
\\
(2)2021以下の正の整数で、すべての正の\\
約数の和が奇数であるものの個数を求めよ。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学商学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生031〜否定分の作り方(1)
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 否定分の作り方(1)\\
次の命題を否定せよ。\\
砂糖は甘い。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 否定分の作り方(1)\\
次の命題を否定せよ。\\
砂糖は甘い。
\end{eqnarray}
【集合はこれだけ！】集合の問題の解き方のコツはベン図！【高校数学 数学】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
全体集合$\cup=${$x|x$は10以下の自然数}とする
このとき、集合について以下のことが分かっている。
次の問いに答えよ
$A=${$1,3,4,6,8$}
$A \cap B=${$4,6,8$}
$A \cup B=${$1,2,3,4,6,7,8,9$}
（1）$B$
（2）$A \cap \overline{B}$
（3）$\overline{A \cup B}$
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全体集合$\cup=${$x|x$は10以下の自然数}とする
このとき、集合について以下のことが分かっている。
次の問いに答えよ
$A=${$1,3,4,6,8$}
$A \cap B=${$4,6,8$}
$A \cup B=${$1,2,3,4,6,7,8,9$}
（1）$B$
（2）$A \cap \overline{B}$
（3）$\overline{A \cup B}$
他の問題もあり！
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
x.y.zを整数とする。
次の条件を満たす整数の組(x,y,z)は全部で何組か？
(1)$1 \leqq x \leqq 5$ , $1 \leqq y \leqq 5$ , $1 \leqq z \leqq 5$
(2)$1 \leqq x \lt y \lt z \leqq 5$
(3)$x+y+z = 5$ $ \quad x \geqq 1 ,y \geqq 1,z \geqq 1$
(4)$x+y+z = 5$ $ \quad x \geqq 0 ,y \geqq 0,z \geqq 0$
(5)$1 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq 5$
大阪経済大学
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x.y.zを整数とする。
次の条件を満たす整数の組(x,y,z)は全部で何組か？
(1)$1 \leqq x \leqq 5$ , $1 \leqq y \leqq 5$ , $1 \leqq z \leqq 5$
(2)$1 \leqq x \lt y \lt z \leqq 5$
(3)$x+y+z = 5$ $ \quad x \geqq 1 ,y \geqq 1,z \geqq 1$
(4)$x+y+z = 5$ $ \quad x \geqq 0 ,y \geqq 0,z \geqq 0$
(5)$1 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq 5$
大阪経済大学
【数Ⅰ】集合と命題：センター試験2013年
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#センター試験・共通テスト関連#センター試験#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形に関する条件p,q,rを次のように定める。p:3つの内角がすべて異なる q:直角三角形でない r:45度の内角は1つもない。条件pの否定をpバーで表し、同様にq,rはそれぞれ条件qバー、rバーの否定を表すものとする。
[1]命題｢r ⇒ (pまたはq)｣の対偶は｢(ア)⇒r｣である。(ア)に当てはまるものを, 次の(0)～(3)のうちから1つ選べ。
(0)(pかつq) (1) (pかつq) (2) (pまたはq ) (3) (pまたはq)
[2] 次の(0)～(4)のうち、命題｢(pまたはq) ⇒ r｣に対する反例となっている三角形は(イ)と(ウ)である。(イ)と(ウ)に当てはまるものを、(0)～(4)のうちから1つずつ選べ。ただし、(イ)と(ウ)の解答の順序は問わない。
(0) 直角二等辺三角形 (1) 内角が30度,45度,105度の三角形 (2) 正三角形 (3) 3辺の長さが3,4,5の三角形 (4) 頂角が45度の二等辺三角形
[3] rは(pまたはq)であるための(エ) 。(エ)に当てはまるものを、次の(0)～(3)のうちから1つ選べ。
(0) 必要十分条件である (1) 必要条件であるが十分条件ではない (2) 十分条件であるが必要条件ではない (3) 必要条件でも十分条件でもない
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三角形に関する条件p,q,rを次のように定める。p:3つの内角がすべて異なる q:直角三角形でない r:45度の内角は1つもない。条件pの否定をpバーで表し、同様にq,rはそれぞれ条件qバー、rバーの否定を表すものとする。
[1]命題｢r ⇒ (pまたはq)｣の対偶は｢(ア)⇒r｣である。(ア)に当てはまるものを, 次の(0)～(3)のうちから1つ選べ。
(0)(pかつq) (1) (pかつq) (2) (pまたはq ) (3) (pまたはq)
[2] 次の(0)～(4)のうち、命題｢(pまたはq) ⇒ r｣に対する反例となっている三角形は(イ)と(ウ)である。(イ)と(ウ)に当てはまるものを、(0)～(4)のうちから1つずつ選べ。ただし、(イ)と(ウ)の解答の順序は問わない。
(0) 直角二等辺三角形 (1) 内角が30度,45度,105度の三角形 (2) 正三角形 (3) 3辺の長さが3,4,5の三角形 (4) 頂角が45度の二等辺三角形
[3] rは(pまたはq)であるための(エ) 。(エ)に当てはまるものを、次の(0)～(3)のうちから1つ選べ。
(0) 必要十分条件である (1) 必要条件であるが十分条件ではない (2) 十分条件であるが必要条件ではない (3) 必要条件でも十分条件でもない
【数I】集合と命題：条件の否定：否定は○○“じゃない”
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
かつ、または、すべて(任意)、あるの否定。
文字はすべて実数とする。次の条件の否定を述べよ。
(1)x>0かつy≦0
(2)x≧2またはx<-3
(3)a=b=c=0
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かつ、または、すべて(任意)、あるの否定。
文字はすべて実数とする。次の条件の否定を述べよ。
(1)x>0かつy≦0
(2)x≧2またはx<-3
(3)a=b=c=0
【数Ⅰ】集合と命題：実数全体を全体集合とし、その部分集合A, B, CをA={x| -3≦x≦5}, B={x| |x|<4}, C={x| k-7≦x≦k+3} (kは定数)とする。
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
実数全体を全体集合とし、その部分集合A, B, Cを$A={x| -3≦x≦5}, B={x| |x|<4}, C={x| k-7≦x≦k+3} $(kは定数)とする。
(1)次の集合を求めよう。
(ア)Bバー
(イ)A∪Bバー
(ウ)A∩Bバー。
(2)A⊂Cとなるkの値の範囲を求めよう。
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実数全体を全体集合とし、その部分集合A, B, Cを$A={x| -3≦x≦5}, B={x| |x|<4}, C={x| k-7≦x≦k+3} $(kは定数)とする。
(1)次の集合を求めよう。
(ア)Bバー
(イ)A∪Bバー
(ウ)A∩Bバー。
(2)A⊂Cとなるkの値の範囲を求めよう。
【数Ⅰ】集合と命題：実数aに対して2つの集合をA=｛a-1, 4, a²-5a+6｝,B=｛1, a²-4, a²-7a+12, 4｝とする。A∩B=｛0, 4｝であるとき、aの値を求めよう。
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
実数aに対して2つの集合を$A=｛a-1, 4, a^2-5a+6｝,B=｛1, a^2-4, a^2-7a+12, 4｝$とする。$A∩B=｛0, 4｝$であるとき、aの値を求めよう。
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実数aに対して2つの集合を$A=｛a-1, 4, a^2-5a+6｝,B=｛1, a^2-4, a^2-7a+12, 4｝$とする。$A∩B=｛0, 4｝$であるとき、aの値を求めよう。
【数Ⅰ】中高一貫校用問題集(論理・確率編)集合と命題：命題と証明：逆裏対偶の真偽の見分け方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
命題$［xy＞0 ⇒ x＞0 かつy＞0］$の逆、裏、対偶を述べ、さらにそれぞれの真偽を考えよ
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命題$［xy＞0 ⇒ x＞0 かつy＞0］$の逆、裏、対偶を述べ、さらにそれぞれの真偽を考えよ
【数Ⅰ】中高一貫校用問題集(論理・確率編)集合と命題：命題と証明：背理法を使った証明
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\sqrt2$が無理数であることを用いて「1＋2√2が無理数である」ことを証明せよ
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$\sqrt2$が無理数であることを用いて「1＋2√2が無理数である」ことを証明せよ
【数Ⅰ】中高一貫校問題集3(論理・確率編)33：集合と命題：命題と証明：背理法を使った証明
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#TK数学#TK数学問題集3(論理・確率編)#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
√2が無理数であることを用いて「1＋2√2が無理数である」ことを証明せよ【背理法】
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√2が無理数であることを用いて「1＋2√2が無理数である」ことを証明せよ【背理法】
【数Ⅰ】中高一貫校問題集3(論理・確率編)29：集合と命題：命題と証明：逆裏対偶の真偽の見分け方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#TK数学#TK数学問題集3(論理・確率編)#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
命題［xy＞0 ⇒ x＞0 かつy＞0］の逆、裏、対偶を述べ、さらにそれぞれの真偽を考えよ【集合と命題】【逆 裏 対偶】
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命題［xy＞0 ⇒ x＞0 かつy＞0］の逆、裏、対偶を述べ、さらにそれぞれの真偽を考えよ【集合と命題】【逆 裏 対偶】
【数Ⅰ】中高一貫校用問題集(論理・確率編)集合と命題：命題と条件：必要条件、十分条件の見分け方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$「x=2」$ならば$「x^2=2x」$であるための○○条件を求めよ.
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$「x=2」$ならば$「x^2=2x」$であるための○○条件を求めよ.
【数Ⅰ】中高一貫校用問題集(論理・確率編)集合と命題：命題と条件：範囲を利用した真偽の見分け方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の命題の真偽を調べよ
$「-1＜x＜2」 ⇒ 「x＞-2」$
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次の命題の真偽を調べよ
$「-1＜x＜2」 ⇒ 「x＞-2」$
【数Ⅰ】中高一貫校問題集3(論理・確率編)17：集合と命題：命題と条件：範囲を利用した真偽の見分け方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#TK数学#TK数学問題集3(論理・確率編)#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の命題の真偽を調べよ
「-1＜x＜2」 ⇒ 「x＞-2」【集合と命題】
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次の命題の真偽を調べよ
「-1＜x＜2」 ⇒ 「x＞-2」【集合と命題】
【数Ⅰ】中高一貫校問題集3(論理・確率編)19：集合と命題：命題と条件：必要条件、十分条件の見分け方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#TK数学#TK数学問題集3(論理・確率編)#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
「x=2」ならば「x²=2x」であるための○○条件である 【集合と命題】【必要十分条件】
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「x=2」ならば「x²=2x」であるための○○条件である 【集合と命題】【必要十分条件】
数学「大学入試良問集」【1−3 背理法・対偶】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
（ⅰ）$\sqrt{ 2 }$が無理数であることを証明せよ。
（ⅱ）実数$a$が$a^3+\alpha+1=0$を満たすとき、$\alpha$が無理数であることを証明せよ。
（2）
（ⅰ）$n$を自然数とするとき、$n^3$が$3$の倍数ならば、$n$は$3$の倍数のなることを証明せよ。
（ⅱ）$\sqrt[ 3 ]{ 3 }$が無理数であることを証明せよ。
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次の問いに答えよ。
（1）
（ⅰ）$\sqrt{ 2 }$が無理数であることを証明せよ。
（ⅱ）実数$a$が$a^3+\alpha+1=0$を満たすとき、$\alpha$が無理数であることを証明せよ。
（2）
（ⅰ）$n$を自然数とするとき、$n^3$が$3$の倍数ならば、$n$は$3$の倍数のなることを証明せよ。
（ⅱ）$\sqrt[ 3 ]{ 3 }$が無理数であることを証明せよ。
数学「大学入試良問集」【1−2 数と式】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#関西大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x,y$を実数とする。
下の（1）、（2）の文中の□にあてはまるものを、次の（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）の中から選べ。
（ア）必要条件ではあるが、十分条件ではない
（イ）十分条件ではあるが、必要条件ではない
（ウ）必要十分条件である
（エ）必要条件でも、十分条件でもない
（1）$x^2+y^2 \lt 1$は、$-1 \lt x \lt $であるための□。
（2）$-1 \lt x \lt 1$かつ$-1 \lt y \lt 1$は$x^2+y^2 \lt 1$であるための□。
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$x,y$を実数とする。
下の（1）、（2）の文中の□にあてはまるものを、次の（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）の中から選べ。
（ア）必要条件ではあるが、十分条件ではない
（イ）十分条件ではあるが、必要条件ではない
（ウ）必要十分条件である
（エ）必要条件でも、十分条件でもない
（1）$x^2+y^2 \lt 1$は、$-1 \lt x \lt $であるための□。
（2）$-1 \lt x \lt 1$かつ$-1 \lt y \lt 1$は$x^2+y^2 \lt 1$であるための□。
８進数の７の倍数・３の倍数判定法
単元：
#数Ⅰ#数A#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$8$進法で表記された
$\boxed{a}\boxed{b}\boxed{c}\boxed{d}\boxed{e}\boxed{f}$
が①$7$で割り切れる必要十分条件を求めよ.
②$3$で割り切れる必要十分条件を求めよ.
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$8$進法で表記された
$\boxed{a}\boxed{b}\boxed{c}\boxed{d}\boxed{e}\boxed{f}$
が①$7$で割り切れる必要十分条件を求めよ.
②$3$で割り切れる必要十分条件を求めよ.
【高校数学】３分で解決・紛らわしい集合の記号まとめ【数学Ａ】
【数Ⅰ】集合と命題：あなたは”命題”が何かわかりますか？？共通テストへ向けて言葉の意味も知っておいた方がいい！…かも
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
以下の文章は命題でしょうか？
・3は偶数である。
・0.001は小さい数である。
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以下の文章は命題でしょうか？
・3は偶数である。
・0.001は小さい数である。