数Ⅱ - 質問解決D.B.（データベース）

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
10進法で表された数

12^{100}

を2進法で表したときの桁数を求めよ。
ただし,

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。

l o g_{10} 1.4 = 0.416

,

l o g_{10} 1.8 = 0.255

,

l o g_{10} 2.1 = 0.322

とするとき,

l o g_{10} 2

,

l o g_{10} 3

,

l o g_{10} 7

の値を求めよ。
また,

l o g_{10} 63

の値を求めよ。

次の問いに答えよ。
(1)

l o g_{2} 3

が無理数であることを証明せよ。
(2) (1)を用いて

l o g_{2} 6

が無理数であることを証明せよ。
(3) (2)を用いて

l o g_{6} 4

が無理数であることを証明せよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。
(1)

6^{20}

は何桁の整数か。
(2)

6^{20}

の最高位の数字を求めよ。

年利率5%, 1年ごとの複利で10万円を預金した時,
x年後の元利合計は

10 (1.05)^{x}

万円となる。
元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か。
ただし,

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

,

l o g_{10} 7 = 0.8451

とする。

1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。
99.99%より多くの花粉を一度に除去するには,
このフィルターは最低何枚必要か。ただし,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積和の最小値 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の相等 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】3次関数と接線で囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の最小値 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積から直線を求める ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が

\frac{32}{3}

である。この直線の方程式を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の2等分 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

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問題文全文(内容文)：
放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積が一定になることを示す ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
放物線y=x²+4上の点Pにおける放物線の接線と放物線y=x²で囲まれた図形の面積は、点Pの選び方に関係なく一定であることを示せ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分の不等式の証明 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
不等式

{(\int_{0}^{1} (x - a) (x - b) d x)}^{2} \leq \int_{0}^{1} (x - a)^{2} d x \int_{0}^{1} (x - b)^{2} d x

を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
ただし、

a, b

は定数とする。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数3 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：

0 \leq x \leq 4

のとき、
関数

f (x) = \int_{0}^{x} (t - 1) (t - 3) d t

の最大値、最小値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{- 3}^{x} (t^{2} - 1) d t

のグラフをかけ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{- 1}^{x} (3 t^{2} - 4 t + 1) d t

が極値をとるときの

x

の値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数3 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：

f (x) + \int_{0}^{x} g (t) d t = 3 x^{2} + 2 x + 1

,

\frac{d}{d x} f (x) = g (x) + 4 x^{2}

を満たす関数

f (x)

,

g (x)

を求めよ

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：

f (0) = 0

,

f (1) = 1

を満たす 2 次関数

f (x)

のうちで、

\int_{0}^{1} (f (x))^{2} d x

を最小にするものを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：

f (a) = \int_{0}^{1} (2 a x^{2} - a^{2} x) d x

を

a

の式で表せ。
また、

f (a)

の最大値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分方程式 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
次の等式を満たす関数

f (x)

を求めよ。

(1)

f (x)

=

x

+

\int_{0}^{3}

f (t)

d t

(2)

f (x)

=

\int_{1}^{3}

{

2 x - f (t)

}

d t

(3)

f (x)

=

x^{2}

-

\int_{0}^{2}

x

f (t)

d t

+

2

\int_{0}^{1}

f (t)

d t

(4)

f (x)

=

1

+

\int_{0}^{1}

(x - t)

f (t)

d t

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
次の2つの条件を同時に満たす

x

の3次の多項式

P (x)

を求めよ。

[1] 任意の2次以下の多項式

Q (x)

に対して

\int_{- 1}^{1} P (x) Q (x) d x = 0

[2]

P (1) = 1

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式1 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：

f (x) = a x^{2} + b x + 1

とする。
任意の1次関数

g (x)

に対して、常に

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x = 0

が成り立つとき、定数

a, b

の値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】条件からの関数決定2 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす2次関数

f (x)

を求めよ。

(1)

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 0

,

\int_{0}^{2} f (x) d x = 10

,

\int_{- 1}^{1} x f (x) d x = \frac{4}{3}

(2)

\int_{0}^{2} f (x) d x = 1

,

\int_{0}^{2} x f (x) d x = 1

,

\int_{0}^{2} x^{2} f (x) d x = 2

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】条件からの関数決定1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

f (x) = a x^{2} + b x + c

において、

f (- 1) = 2

,

f^{'} (0) = 0

,

\int_{0}^{1} f (x) d x = - 2

であるとき、
定数 a, b, c の値を求めよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数不等式2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
次の関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。
また、そのときの

x

の値を求めよ。
(1)

y = (\log_{3} x)^{2} + 2 \log_{3} x

(2)

y = (\log_{2} \frac{4}{x}) (\log_{2} \frac{x}{2})

(3)

y = (\log_{3} x)^{2} - 4 \log_{3} x + 3 (1 \leq x \leq 27)

関数

y = \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (6 - x)

の最小値を求めよ。

a > 0

,

b > 0

のとき、不等式

\log_{2} (a + \frac{1}{b}) + \log_{2} (b + \frac{1}{a}) \geq 2

を証明せよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数不等式1 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。
(1)

2 \log_{0.1} (x - 1) < \log_{0.1} (7 - x)

(2)

\log_{10} (x - 3) + \log_{10} x \leq 1

(3)

\log_{2} (1 - x) + \log_{2} (3 - x) < 1 + \log_{2} 3

次の方程式を解け。
(1)

2^{x} = 3^{2 x - 1}

(2)

5^{2 x} = 3^{x + 2}

次の方程式、不等式を解け。
(1)

(\log_{3} x)^{2} - \log_{2} x^{4} + 3 = 0

(2)

(\log_{\frac{1}{2}} x)^{2} - \log_{\frac{1}{4}} x = 0

(3)

(\log_{3} x)^{2} - \log_{9} x - 2 \leq 0

(4)

(\log_{\frac{1}{3}} x)^{2} + \log_{\frac{1}{3}} x^{2} - 15 > 0

次のxについての不等式を解け。
ただし、

a

は 1 と異なる正の定数とする。
(1)

\log_{a} (x + 3) < \log_{a} (2 x + 2)

(2)

\log_{a} (x^{2} - 3 x - 10) \geq \log_{a} (2 x - 4)

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数のグラフ、方程式 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかけ。
(1)

y = \log_{2} (x - 2)

(2)

y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1

(3)

y = \log_{10} (- x)

次の数の大小を不等号を用いて表せ。
(1)

\log_{0.5} 4, \log_{2} 4, \log_{3} 4

(2)

\log_{3} 0.5, \log_{2} 0.5, \log_{3} 0.5

(3)

\log_{4} 9, \log_{5} 25, 1.5

次の方程式を解け
(1)

\log_{10} (x + 2) (x + 5) = 1

(2)

\log_{\frac{1}{3}} (9 + x - x^{2}) = - 1

(1)

\log_{2} x + \log_{2} (x + 3) = 2

(2)

\log_{4} (2 x + 3) + \log_{4} (4 x + 1) = 2 \log_{4} 5

(3)

\log_{2} (3 - x) = \log_{2} (2 x + 18)

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】指数対数計算 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の式の値を求めよ。
(1)

5^{\log_{5} 7}

(2)

10^{1 + \log_{10} 3}

(3)

36^{\log_{6} \sqrt{5}}

(4)

7^{\log_{49} 4}

x y z \neq 0

,

2^{x} = 5^{y} = 10^{\frac{2}{z}}

のとき、等式

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}

を証明せよ。

\log_{11} 2

の小数第1位の数を求めよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】指数対数計算 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
第1問
次の式の値を求めよ。

(1) 5^{\log_{5} 7}

(2) 10^{1 + \log_{10} 3}

(3) 36^{\log_{6} \sqrt{5}}

(4) 7^{\log_{49} 4}

第2問

x y z \neq 0, 2^{x} = 5^{y} = 10^{\frac{z}{2}}

のとき、等式

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}

を証明せよ。

第3問

\log_{11} 2

の小数第1位の数を求めよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数計算1 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の式を簡単にせよ。
(1)

(\log_{2} 9 + \log_{8} 3) (\log_{3} 2 + \log_{9} 4)

(2)

\log_{4} 3 ・ \log_{9} 25 ・ \log_{5} 8)

(3)

\log_{2} 10 ・ \log_{5} 10 - (\log_{2} 5 + \log_{5} 2)

a = \log_{2} 3

,

b = \log_{2} 5

とするとき、次の式をa,bで表せ。
(1)

\log_{2} 15

(2)

\log_{2} 75

(3)

\log_{4} 45

p = \log_{a} x

,

q = \log_{a} y

,

r = \log_{a} z

であるとき、次の各式をp,q,rで表せ。
ただし、a,x,y,zは正の数とし、a≠1とする。
(1)

\log_{a} x ² y ³ z ⁴

(2)

\log_{a} \frac{x}{(y z)^{2}}

(3)

\log_{a} \frac{x \sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}

a = \log_{15} 3

,

b = \log_{3} 2

とするとき、次の式をa,bで表せ。
(1)

\log_{15} 2

(2)

\log_{15} 5

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】指数計算3 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかけ
(1)

y = 2^{x + 1}

(2)

y = (\frac{1}{5})^{x - 1}

(3)

y = 4 ・ 2^{x}

(4)

y = 3^{x} - 1

次の数の大小を不等号を用いて表せ
(1)

2^{\frac{1}{2}}

3^{\frac{1}{3}}

7^{\frac{1}{6}}

(2)

2^{30}

3^{20}

10^{10}

次の方程式,不等式を解け
(1)

4^{x} + 2^{x + 1} - 24 = 0

(2)

10^{2 x} + 10^{x} = 2

(3)

9^{x + 1} - 28 ・ 3^{x} + 3 = 0

(4)

16^{x} - 3 ・ 4^{x} - 4 ≧ 0

(5)

{\frac{1}{9}}^{x} - {\frac{1}{3}}^{x} - 6 < 0

(6)

{\frac{1}{4}}^{x - 1} - 9 ・ {\frac{1}{2}}^{x} + 2 > 0

次の関数の最大値,最小値があれば,それを求めよまた,そのときのxの値を求めよ
(1)

y = 2^{2 x} - 4 ・ 2^{x} + 1

(2)

y = - 4^{x} + 2^{x} + 2

(- 1 ≦ x ≦ 2)

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積和の最小値 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の相等 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】3次関数と接線で囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の最小値 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積から直線を求める ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の2等分 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積が一定になることを示す ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分の不等式の証明 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数3 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数3 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分方程式 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】条件からの関数決定2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】条件からの関数決定1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数不等式2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数不等式1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数のグラフ、方程式 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】指数対数計算 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】指数対数計算 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数計算1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】指数計算3 ※問題文は概要欄

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