数Ⅲ
数Ⅲ
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小6 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数 $f(x)=x+ \dfrac{a}{x-1}$の極大値が$-1$となるように、定数$a$の値を定めよ。ただし、$a \neq 0$とする。
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関数 $f(x)=x+ \dfrac{a}{x-1}$の極大値が$-1$となるように、定数$a$の値を定めよ。ただし、$a \neq 0$とする。
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小5 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1) 関数 $y=xe^{-x^2+x}$の極値を求めよ。
(2) $2$次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$に対して、$F(x)=xe^{f(x)}$で定義された関数$y=F(x)$が極値を持つための、定数$a,b,c$についての必要十分条件を求めよ。
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(1) 関数 $y=xe^{-x^2+x}$の極値を求めよ。
(2) $2$次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$に対して、$F(x)=xe^{f(x)}$で定義された関数$y=F(x)$が極値を持つための、定数$a,b,c$についての必要十分条件を求めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小4 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数 $ \displaystyle f(x)= \frac{ax^2+bx+1}{x^2+1}$ が $x=2$で極小値$-1$をとるように、定数$a,b$の値を定めよ。また、$f(x)$の極大値を求めよ。
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関数 $ \displaystyle f(x)= \frac{ax^2+bx+1}{x^2+1}$ が $x=2$で極小値$-1$をとるように、定数$a,b$の値を定めよ。また、$f(x)$の極大値を求めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小3 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数 $ \displaystyle f(x)= \frac{x-a}{x^2+x+1}$ が $x=-1$で極値をとるように、定数$a$の値を定めよ。
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関数 $ \displaystyle f(x)= \frac{x-a}{x^2+x+1}$ が $x=-1$で極値をとるように、定数$a$の値を定めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小2 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数の極値を求めよ。
(1) $ \displaystyle y= \frac{(1-x)^3}{1-2x}$
(2) $ \displaystyle y= \frac{\sin x}{1- \cos x}$ $(0 \lt x \lt 2 \pi)$
(3) $ y=x^3e^{-3x}$
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次の関数の極値を求めよ。
(1) $ \displaystyle y= \frac{(1-x)^3}{1-2x}$
(2) $ \displaystyle y= \frac{\sin x}{1- \cos x}$ $(0 \lt x \lt 2 \pi)$
(3) $ y=x^3e^{-3x}$
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小1 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数 $ \displaystyle y=( \frac{1}{x})^{ \frac{1}{x}}$ $(x \gt e)$の増減を調べよ。
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関数 $ \displaystyle y=( \frac{1}{x})^{ \frac{1}{x}}$ $(x \gt e)$の増減を調べよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】平均値の定理の利用4 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平均値の定理を用いて、次の極限を求めよ。
(1) lim[x→+0](e^x-e^(tanx))/(x-tanx)
(2) lim[x→ 0](e^x-e^(sinx))/(x-sinx)
(3) lim[x→∞]x{log(x+2)-logx}
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平均値の定理を用いて、次の極限を求めよ。
(1) lim[x→+0](e^x-e^(tanx))/(x-tanx)
(2) lim[x→ 0](e^x-e^(sinx))/(x-sinx)
(3) lim[x→∞]x{log(x+2)-logx}
【数Ⅲ】【微分とその応用】平均値の定理の利用3 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
k、αは定数、関数f(x)は微分可能であるとする。
lim[x→∞]f'(x)＝αのとき、lim[x→∞]｛f(x+k)－f(x)｝を求めよ。
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k、αは定数、関数f(x)は微分可能であるとする。
lim[x→∞]f'(x)＝αのとき、lim[x→∞]｛f(x+k)－f(x)｝を求めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】平均値の定理の利用2 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平均値の定理を用いて、次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) 1/e²＜a＜b＜1のとき、a-b＜blogb-aloga＜b-a
(2) ｜sinα-sinβ｜≦｜αーβ｜
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平均値の定理を用いて、次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) 1/e²＜a＜b＜1のとき、a-b＜blogb-aloga＜b-a
(2) ｜sinα-sinβ｜≦｜αーβ｜
【数Ⅲ】【微分とその応用】平均値の定理の利用1 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数について、f'(x)=0を満たすxは存在するか。
(1) f(x)=xcosx (0≦x≦π/2)
(2) f(x)=1-|x-2| (1≦x≦3)
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次の関数について、f'(x)=0を満たすxは存在するか。
(1) f(x)=xcosx (0≦x≦π/2)
(2) f(x)=1-|x-2| (1≦x≦3)
福田の数学〜旧・東京工業大学、東京科学大学2025理系第1問〜逆関数の定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$$\quad$関数$f(x)$を$x\geqq 0$に対して
$f(x)=x\log(1+x)$と定める。
(1)不定積分$\displaystyle \int x\log(1+x)dx$を求めよ。
(2)$y=f(x) \quad (x\geqq 0)$の逆関数を
$y=g(x) \quad (x\geqq 0)$とする。
また、$a,b$を$g(a)=1,g(b)=2$となる
実数となる。
このとき定積分$I=\displaystyle \int_{a}{b} g(x)dx$の値を求めよ。
(3)関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して
$P(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+f(t)dt}$と定める。
このとき、$y=P(x)$について、
定義域を$x\geqq 0$とする逆関数
$y=Q(x)$が微分可能であることは
説明なしに認めてよい。
関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して
$R(x)=\displaystyle int_{0}^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(\upsilon)}$と定めるとき、
$R(x)$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)理系過去問題
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$\boxed{1}$$\quad$関数$f(x)$を$x\geqq 0$に対して
$f(x)=x\log(1+x)$と定める。
(1)不定積分$\displaystyle \int x\log(1+x)dx$を求めよ。
(2)$y=f(x) \quad (x\geqq 0)$の逆関数を
$y=g(x) \quad (x\geqq 0)$とする。
また、$a,b$を$g(a)=1,g(b)=2$となる
実数となる。
このとき定積分$I=\displaystyle \int_{a}{b} g(x)dx$の値を求めよ。
(3)関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して
$P(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\sqrt{1+f(t)dt}$と定める。
このとき、$y=P(x)$について、
定義域を$x\geqq 0$とする逆関数
$y=Q(x)$が微分可能であることは
説明なしに認めてよい。
関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して
$R(x)=\displaystyle int_{0}^{P(x)}\dfrac{1}{Q'(\upsilon)}$と定めるとき、
$R(x)$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)理系過去問題
【数Ⅲ】【微分とその応用】n次導関数と微分の表し方 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数について, $\frac{ dy }{ dx }$ を求めよ。ただし (1)(2)では $y$ を用いて表してもよい。また(3)(4)では、t$$ の関数として表せ。$a,b$は正の定数とする。
$x²+3xy-y²=1$
$x$の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として $x=cost +tsint, y= sint - tcost$ と表せるとき、$\frac{ d^2 y }{ dx^2 }$ を$ t $の関数として表せ。
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次の関数について, $\frac{ dy }{ dx }$ を求めよ。ただし (1)(2)では $y$ を用いて表してもよい。また(3)(4)では、t$$ の関数として表せ。$a,b$は正の定数とする。
$x²+3xy-y²=1$
$x$の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として $x=cost +tsint, y= sint - tcost$ と表せるとき、$\frac{ d^2 y }{ dx^2 }$ を$ t $の関数として表せ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】導関数の応用1 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
媒介変数$ t $で表された次の曲線について、（ ）内の$ t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
$x= \sqrt{ 3 } cost ⋂ y= sint (t=π/6)$
次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
$y = \sqrt{ x } (-2,0)$
曲線$ y= e^x + 2e^{-x}$において、傾きが$1$である接線の方程式を求めよ。
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媒介変数$ t $で表された次の曲線について、（ ）内の$ t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
$x= \sqrt{ 3 } cost ⋂ y= sint (t=π/6)$
次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
$y = \sqrt{ x } (-2,0)$
曲線$ y= e^x + 2e^{-x}$において、傾きが$1$である接線の方程式を求めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】n次導関数基本 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#微分法#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数の第3次導関数を求めよ。
y= √ (2x+1)
以下、略
次のことが成り立つことを証明せよ。
y= x√ (1+x²）のとき、(1+x²)y'' + xy' = 4y
以下、略
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次の関数の第3次導関数を求めよ。
y= √ (2x+1)
以下、略
次のことが成り立つことを証明せよ。
y= x√ (1+x²）のとき、(1+x²)y'' + xy' = 4y
以下、略
【数Ⅲ】【微分とその応用】色々な関数の微分2 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
対数微分法により次の関数を微分せよ。ただし、aは定数とする。
y= (x+1)²/((x+2)³(x+3)⁴）
以下、略
次の関数を微分せよ。ただし x＞0 とする。
y= x^sinx
以下、略
lim_(k→0) (1+k)^(1/k)=e を用いて、次の極限を求めよ。
lim_(x→0) ((log(1+x)/x)
以下、略
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対数微分法により次の関数を微分せよ。ただし、aは定数とする。
y= (x+1)²/((x+2)³(x+3)⁴）
以下、略
次の関数を微分せよ。ただし x＞0 とする。
y= x^sinx
以下、略
lim_(k→0) (1+k)^(1/k)=e を用いて、次の極限を求めよ。
lim_(x→0) ((log(1+x)/x)
以下、略
【数Ⅲ】【微分とその応用】微分計算の基本2 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
すべての実数に対して 1+2x-3x²≦f(x)≦1+2x+3x² が成り立つようなf(x)がある。このときf'(0)を求めよ。
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すべての実数に対して 1+2x-3x²≦f(x)≦1+2x+3x² が成り立つようなf(x)がある。このときf'(0)を求めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】色々な関数の微分1 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数を微分せよ
y= sin²3x
y= sin⁵x+cos5x
y= sin⁴xcos⁴x
y= √（1+sin²x)
y= sin√（x²+x+1)
y= (tanx + 1/tanx)²
y= cosx/(1-sinx)
y= (1-sinx) / (1+cosx)
次の極限値を求めよ
lim_(x→a) (sinx - sina) / sin(x-a)
lim_(x→a) (x²sina - a²sinx) / (x-a)
次の関数を微分せよ。ただしa,bは定数で、a＞0,a≠0 とする。
y= e^(-2x) sin2x
y= 10^sinx
y= log_x(a)
y= log(logx)
y= log_a(sinx)
y= log(1-cosx)
y= log_a(x+√（x²-a²）
y= log ((x²-b) / (x²+b))
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次の関数を微分せよ
y= sin²3x
y= sin⁵x+cos5x
y= sin⁴xcos⁴x
y= √（1+sin²x)
y= sin√（x²+x+1)
y= (tanx + 1/tanx)²
y= cosx/(1-sinx)
y= (1-sinx) / (1+cosx)
次の極限値を求めよ
lim_(x→a) (sinx - sina) / sin(x-a)
lim_(x→a) (x²sina - a²sinx) / (x-a)
次の関数を微分せよ。ただしa,bは定数で、a＞0,a≠0 とする。
y= e^(-2x) sin2x
y= 10^sinx
y= log_x(a)
y= log(logx)
y= log_a(sinx)
y= log(1-cosx)
y= log_a(x+√（x²-a²）
y= log ((x²-b) / (x²+b))
福田のおもしろ数学401〜極限関数の個数
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{\tan^{2n+1}x-\tan^n x+1}{\tan^{2n+2}x+\tan^{2n}x+1}$
$\left(0\leqq x \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$のグラフを描いて下さい。
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$f(x)=\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{\tan^{2n+1}x-\tan^n x+1}{\tan^{2n+2}x+\tan^{2n}x+1}$
$\left(0\leqq x \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$のグラフを描いて下さい。
福田のおもしろ数学395〜2変数関数の最大値
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x\gt 0,y\gt 0$のとき、
$f(x,y=min \left(x,\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)$
の最大値を求めて下さい。
＊$min(a,b)$は$a,b$の大きくない方の値を
意味します。
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$x\gt 0,y\gt 0$のとき、
$f(x,y=min \left(x,\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)$
の最大値を求めて下さい。
＊$min(a,b)$は$a,b$の大きくない方の値を
意味します。
福田のおもしろ数学392〜2変数関数についての関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の正の整数$x,y$に対して定義された関数$f$は
$f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x)(x+y)f(x,y)=$
$yf(x,x+y)$
を満たしている。
このような関数$f(x,y)$をすべて求めよ。
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任意の正の整数$x,y$に対して定義された関数$f$は
$f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x)(x+y)f(x,y)=$
$yf(x,x+y)$
を満たしている。
このような関数$f(x,y)$をすべて求めよ。
福田のおもしろ数学391〜簡単な関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の実数$x,y$に対して$f(0)=1$、
$f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$
が成り立つような実数値関数$f(x)$をすべて求めて下さい。
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任意の実数$x,y$に対して$f(0)=1$、
$f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$
が成り立つような実数値関数$f(x)$をすべて求めて下さい。
【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用6 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
aは定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。
(2)では、必要ならば$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x}{e^x} =0$を用いてよい。
(1) $x^3-ax+2a$=0
(2) $2x-1=ae^{ -x }$
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aは定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。
(2)では、必要ならば$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x}{e^x} =0$を用いてよい。
(1) $x^3-ax+2a$=0
(2) $2x-1=ae^{ -x }$
【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用5 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のことが成り立つことを証明せよ。
$0≦x≦1$のとき
$1-x+x²e^x≦e^x≦1+x+\displaystyle \frac{1}{2}
x²e^x$
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次のことが成り立つことを証明せよ。
$0≦x≦1$のとき
$1-x+x²e^x≦e^x≦1+x+\displaystyle \frac{1}{2}
x²e^x$
【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用4 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x→∞$のとき、$y=x$が$y=\log x$と比較して、
より急速に増大すること、すなわち
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x}{\log x} =\infty$
が成り立つことを証明せよ。
ただし、まずは次の①～③のどれか１つを証明し、それを利用せよ。
①$x≧4$のとき、$x^2＞\log x$が成り立つ
②$x≧4$のとき、$x＞\log x$が成り立つ
③$x≧4$のとき、$\sqrt{x}＞\log x$が成り立つ
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$x→∞$のとき、$y=x$が$y=\log x$と比較して、
より急速に増大すること、すなわち
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x}{\log x} =\infty$
が成り立つことを証明せよ。
ただし、まずは次の①～③のどれか１つを証明し、それを利用せよ。
①$x≧4$のとき、$x^2＞\log x$が成り立つ
②$x≧4$のとき、$x＞\log x$が成り立つ
③$x≧4$のとき、$\sqrt{x}＞\log x$が成り立つ
【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用3 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
すべての正の数xに対して、
不等式$\sqrt{x}>a\log x$が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
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すべての正の数xに対して、
不等式$\sqrt{x}>a\log x$が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用2 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $b≧a>0$のとき $logb-loga≧\displaystyle \frac{2(b-a)}{(b+a)}$
(2) $0＜α＜β≦\displaystyle \frac{π}{2}$のとき $\displaystyle \frac{α}{β}<\displaystyle \frac{sin α}{sin β}$
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次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $b≧a>0$のとき $logb-loga≧\displaystyle \frac{2(b-a)}{(b+a)}$
(2) $0＜α＜β≦\displaystyle \frac{π}{2}$のとき $\displaystyle \frac{α}{β}<\displaystyle \frac{sin α}{sin β}$
【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用1 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x＞0$のとき、次の不等式を証明せよ。
(1) $sin x＞x-\displaystyle \frac{x^2}{2}$
(2) $1-\displaystyle \frac{x}{2}＜\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}＜1-\displaystyle \frac{x}{2}+\displaystyle \frac{3x^2}{8}$
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$x＞0$のとき、次の不等式を証明せよ。
(1) $sin x＞x-\displaystyle \frac{x^2}{2}$
(2) $1-\displaystyle \frac{x}{2}＜\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}＜1-\displaystyle \frac{x}{2}+\displaystyle \frac{3x^2}{8}$
福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p$を$2$以上の自然数の定数とする。$n$=$2$, $3$, $4$...に対して、関数 $f_n(x) $$(n\gt0)$を
$f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})(1 + \dfrac{x}{n+1}) \cdot\cdot \cdot(1 + \dfrac{x}{pn})
$
で定める。例えば$p$ = $2$のとき
$
f_2(x) = (1 + \dfrac{x}{2})(1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})
$
$
f_3(x) = (1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})(1 + \dfrac{x}{5})(1 + \dfrac{x}{6})
$
である。$f(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }f_n(x)$ $(n\gt0)$とおくとき、次の問に答えよ。
$(1)$$t$$\geqq$$0$のとき、不等式$\dfrac{t}{1+t}$$\leqq$$\log(1+t)$$\leqq$$t$ が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。
$(2)$ $f(x)$を求めよ。
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$p$を$2$以上の自然数の定数とする。$n$=$2$, $3$, $4$...に対して、関数 $f_n(x) $$(n\gt0)$を
$f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})(1 + \dfrac{x}{n+1}) \cdot\cdot \cdot(1 + \dfrac{x}{pn})
$
で定める。例えば$p$ = $2$のとき
$
f_2(x) = (1 + \dfrac{x}{2})(1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})
$
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f_3(x) = (1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})(1 + \dfrac{x}{5})(1 + \dfrac{x}{6})
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である。$f(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }f_n(x)$ $(n\gt0)$とおくとき、次の問に答えよ。
$(1)$$t$$\geqq$$0$のとき、不等式$\dfrac{t}{1+t}$$\leqq$$\log(1+t)$$\leqq$$t$ が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。
$(2)$ $f(x)$を求めよ。
福田のおもしろ数学380〜定積分の計算
福田のおもしろ数学363〜定積分の計算
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$
\int_0^\pi (1+2x)\frac{\sin^3{x}}{1+\cos ^2 x} \mathrm{d}x
$
を計算して下さい。
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$
\int_0^\pi (1+2x)\frac{\sin^3{x}}{1+\cos ^2 x} \mathrm{d}x
$
を計算して下さい。