問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 座標空間内の4点\\
O(0,0,0),A(1,1,0),B(2,1,2),P(4,0,-1)\\
を考える。3点O,A,Bを通る平面を\alphaとし、\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },
\overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB }とおく。\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)ベクトル\overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ b }の両方に垂直であり、x成分が正であるような、大きさが1\\
のベクトル\overrightarrow{ n }を求めよ。\\
(2)点Pから平面\alphaに垂線を下ろし、その交点をQとおく。\\
線分PQの長さを求めよ。\\
(3)平面\alphaに関して点Pと対称な点P'の座標を求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
平面の方程式について解説します。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 座標空間内の5点\hspace{220pt}\\
O(0,0,0),　A(1,1,0),　B(2,1,2),　P(4,0,-1),　Q(4,0,5)\\
を考える。3点O,A,Bを通る平面を\alphaとし、\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },　\overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB }とおく。\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)ベクトル\overrightarrow{ a },　\overrightarrow{ b }の両方に垂直であり、x成分が正であるような、\\
大きさが1のベクトル\overrightarrow{ n }を求めよ。\\
(2)平面\alphaに関して点Pと対称な点P'の座標を求めよ。\\
(3)点Rが平面\alpha上を動くとき、|\overrightarrow{ PR }|+|\overrightarrow{ RQ }|が最小となるような\\
点Rの座標を求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
空間ベクトルについて解説します。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ xyz空間内の点O(0,0,0),A(1,\sqrt2,\sqrt3),B(-\sqrt3,0,1),C(\sqrt6,-\sqrt3,\sqrt2)\\
を頂点とする四面体OABCを考える。3点OABを含む平面からの距離が1の点\\
のうち、点Oに最も近く、x座標が正のものをHとする。\\
(1)Hの座標を求めよ。\\
(2)3点OABを含む平面と点Cの距離を求めよ。\\
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
\end{eqnarray}

2022東北大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
点$A(1,2,4)$を通り、ベクトル$\vec{ n }=(-3,1,2)$に垂直な平面を$\alpha$とする。
平面$\alpha$に関して同じ側に2点$P(-2,1,7),Q(1,3,7)$がある。
次の問いに答えよ。
（1）
平面$\alpha$に関して点$P$と対称な点$R$の座標を求めよ。

（2）
平面$\alpha$上の点で、$PS+QS$を最小にする点$S$の座標とそのときの最小値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
空間内に4点$A(0,0,0),B(2,1,1),C(-2,2,-4),D(1,2,-4)$がある。
（1）
$\angle BAC=\theta$とおくとき、$\cos\theta$の値と$\triangle ABC$の面積を求めよ。

（2）
$\overrightarrow{ AB }$と$\overrightarrow{ AC }$の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ。

（3）
点$D$から、3点$A,B,C$を含む平面に垂直な直線を引き、その交点を$E$とするとき、線分$DE$の長さを求めよ。

（4）
四面体$ABCD$の体積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
座標空間内で点$(3,4,0)$を通り、ベクトル$\vec{ a }=(1,1,1)$に平行な直線$l$、点$(2,-1,0)$を通り、ベクトル$\vec{ b }=(1,-2,0)$に平行な直線$m$とする。
点$P$は直線$l$上を、点$Q$は直線$m$上をそれぞれ勝手に動くとき、線分$PQ$の長さの最小値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
四面体$OABC$の辺$AB$を$4:5$に内分する点を$D$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$E$とし、線分$DE$の中点を$P$、直線$OP$が平面$ABC$と交わる点を$Q$とする。
次の各問いに答えよ。
（1）
$\overrightarrow{ OA }=\vec{ a },\ \overrightarrow{ OB }=\vec{ b },\ \overrightarrow{ OC }=\vec{ c }$とおくとき、$\overrightarrow{ OP }$を$\vec{ a },\ \vec{ b },\ \vec{ c }$で表せ。
また、$\overrightarrow{ OP }$と$\overrightarrow{ OQ }$の大きさの比$|\overrightarrow{ OP }|:|\overrightarrow{ OQ }|$を最も簡単な整数比で表せ。

（2）
$\triangle ABQ$と$\triangle ABC$の面積比$\triangle ABQ:\triangle ABC$を最も簡単な整数比で表せ。

問題文全文(内容文)：
各辺の長さが1の正四面体$OABC$に対し、$OB$を$2:1$に内分する点を$D,OC$を2等分する点を$E,BC$を2等分にする点を$F$とする。
$DE$と$OF$の交点を$G$とするとき、以下の各問いに答えよ。
（1）$OG$の長さを求めよ。
（2）$AG$の長さを求めよ。

問題文全文(内容文)：
平面と直線のなす角を求めます

問題文全文(内容文)：
A(-2,1,-1)とB(1,3,2)を通る直線の方程式を求めよ。変数x,y,zを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}　立方体OADB-CFGEを考える。0 \leqq x \leqq 1となる実数xに対し、\overrightarrow{ OP }=x\ \overrightarrow{ OG }と\\
なる点Pを考え、\angle APB=\thetaとおく。\\
\\
(1)x=0のとき、\theta=\boxed{\ \ し\ \ }\ である。また、x=1のとき、\theta=\boxed{\ \ す\ \ }\ である。\\
\\
\boxed{\ \ し\ \ }\ ,\boxed{\ \ す\ \ }\ の選択肢\\
(\textrm{a})0　　(\textrm{b})\frac{\pi}{6}　　(\textrm{c})\frac{\pi}{3}　　(\textrm{d})\frac{\pi}{2}\\
(\textrm{e})\frac{2}{3}\pi　　(\textrm{f})\frac{5}{6}\pi　　(\textrm{g})\pi \\
\\
(2)0 \lt x \lt 1の範囲で\theta=\frac{\pi}{2}となるxの値は、x=\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}　である。\\
\\
(3)y=\cos\thetaとおき、yをxの関数と考える。このとき、yをxで表せ。また、\\
0 \leqq x \leqq 1の範囲で、xy平面上にそのグラフを描け。ただし、増減・凹凸・\\
座標軸との共有点・極値・変曲点などを明らかにせよ。
\end{eqnarray}

2021上智大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(4)\ 2つのベクトル\ \overrightarrow{ a }=(4,\ -2,\ 3),\ \overrightarrow{ b }=(-4,\ 5,\ -3)の両方に垂直な\\
単位ベクトルを全て求めよ。
\end{eqnarray}

2021中央大経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}　P(0,0,-1),\ Q(0,1,-2),\ R(1,0,-2)を頂点とする三角形の面積は\boxed{\ \ ヘ\ \ }である。\\
aを実数とし、\overrightarrow{ v }=(a,a,3)とする。点P',Q',R'を\\
\overrightarrow{ OP' }=\overrightarrow{ OP }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OQ' }=\overrightarrow{ OQ }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OR' }=\overrightarrow{ OR }+\overrightarrow{ v }\\
によって定め、さらに線分PP',QQ',RR'がxy平面と交わる点をP'',Q'',R''とする。\\
このとき、P''の座標は\boxed{\ \ ホ\ \ }、Q''の座標は\boxed{\ \ マ\ \ }、R''の座標は\boxed{\ \ ミ\ \ }である。\\
\triangle P''Q''R''が正三角形になるのはa=\boxed{\ \ ム\ \ }のときである。\\
3点P'',Q'',R''が同一直線上にあるのはa=\boxed{\ \ メ\ \ }のときである。a \gt \boxed{\ \ メ\ \ }のとき、\\
\triangle P''Q''R''の面積をaで表すと\boxed{\ \ モ\ \ }となる。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}　空間の2点OとAは|\overrightarrow{ OA }|=2を満たすとし、点Aを通り\overrightarrow{ OA }に直交する平面をHとする。\\
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し\\
|\overrightarrow{ AB }|=2a,　|\overrightarrow{ AC }|=3a,　\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2\\
を満たすとする。ただし、\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }はベクトル\overrightarrow{ u }と\overrightarrow{ v }の内積を表す。\\
(1)\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }の値を求めよ。\\
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を\\
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。\\
(2)ベクトル\overrightarrow{ OP }を、実数\alpha,\beta,\gammaを用いて\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }と表すとき、\\
\alpha,\beta,\gammaの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)空間の点Qは2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }を満たすとする。直線PQが、\\
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、|\overrightarrow{ AP }|の値およびaの値を求めよ。\\
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、\\
\triangle APRの面積を求めよ。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
a＝(3,4,4), b＝(2,3,-1)がある。実数 t を変化させるとき、ｃ＝a＋tbの大きさの最小値と、その時の t の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$ a＝(3,4,4), b＝(2,3,-1)$がある。実数 t を変化させるとき、$ｃ＝a＋tb$の大きさの最小値と、その時の t の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
四角形OABCは、OB+3BC＝2ABを満たしている。また、辺OAを2:1に内分する点を Dとし、a=OA、c=OCとする。
(1)OBをa,cを用いて表せ。
(2)2直線OB,CDの交点をP とする。OPｗｐa,cを用いて表せ。また、CP:PDを求めよ。
(3)OA=3、OB=√15,OC=4 とする。(i)内積a・cの値を求めよ。(ii)四角形OABCに、CとDが重なるように折 り目を付け、再び広げて四角形に戻す。折り目の直線lと直線OCの公転をNとする とき、ON:NCを求めよ。また、3直線OB,OC,lで囲まれてできる三角形の面積を求 めよ。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$　正四面体$OABC$に対し、三角形$ABC$の外心を$M$とし、$M$を中心として点$A,B,C$
を通る球面を$S$とする。また、$S$と辺$OA,OB,OC$との交点のうち、$A,B,C$とは異なる
ものをそれぞれ$D,E,F$とする。さらに、$S$と三角形$OAB$の共通部分として得られる
弧$DE$を考え、その弧を含む円周の中心をGとする。$\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB },\ \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ OC }$
として、以下の問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{ OD },\ \overrightarrow{ OE },\ \overrightarrow{ OF },\ \overrightarrow{ OG }を\overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ b },\ \overrightarrow{ c }$を用いて表せ。

(2)三角形$OAB$の面積を$S_1$、四角形$ODGE$の面積を$S_2$とするとき、$S_1:S_2$を
できるだけ簡単な整数比により表せ。

問題文全文(内容文)：
A(2,0,1)を通り方向ベクトル(1,2,2)である直線l、B(3,-1,2)を通り方向ベクトル(2,-1,2)である直線mの距離を求めよ。

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1)1辺の長さが1の正五角形$OA_1B_1C_1A_2$を考える。

$\angle A_1C_1B_1=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$、$\angle C_1A_1A_2=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$となることから、$\overrightarrow{ A_1A_2 }$と
$\overrightarrow{ B_1C_1 }$は平行である。ゆえに
$\overrightarrow{ A_1A_2 }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ B_1C_1 }$
であるから
$\overrightarrow{ B_1C_1 }=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}\overrightarrow{ A_1A_2 }=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })$
また、$\overrightarrow{ OA_1 }$と$\overrightarrow{ A_2B_1 }$は平行で、さらに、$\overrightarrow{ OA_2 }$と$\overrightarrow{ A_1C_1 }$も平行であることから
$\overrightarrow{ B_1C_1 }=\overrightarrow{ B_1A_2 }+\overrightarrow{ A_2O }+\overrightarrow{ OA_1 }+\overrightarrow{ A_1C_1 }=-\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }-\overrightarrow{ OA_2 }+\overrightarrow{ OA_1 }+
\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }=\left(\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })$
となる。したがって
$\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}=\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }$
が成り立つ。$a \gt 0$に注意してこれを解くと、$a=\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}$を得る。


(2)下の図(※動画参照)のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

面$OA_1B_1C_1A_2$に着目する。$\overrightarrow{ OA_1 }$と$\overrightarrow{ A_2B_1 }$が平行であることから
$\overrightarrow{ OB_1 }=\overrightarrow{ OA_2 }+\overrightarrow{ A_2B_1 }=\overrightarrow{ OA_2 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }$
である。また
$|\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 }|^2=|\overrightarrow{ A_1A_2 }|^2=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ カ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
に注意すると
$\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OA_2 }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
を得る。

次に、面OA_2B_2C_2A_2に着目すると
$\overrightarrow{ OB_2 }=\overrightarrow{ OA_3 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }$
である。さらに
$\overrightarrow{ OA_2 }・\overrightarrow{ OA_3 }=\overrightarrow{ OA_3 }・\overrightarrow{ OA_1 }=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
が成り立つことがわかる。ゆえに
$\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\overrightarrow{ OB_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$
である。

$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$1$
②$-1$
③$\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}$
④$\displaystyle \frac{1-\sqrt5}{2}$
⑤$\displaystyle \frac{-1+\sqrt5}{2}$
⑥$\displaystyle \frac{-1-\sqrt5}{2}$
⑦$-\displaystyle \frac{1}{2}$
⑧$\displaystyle \frac{-1+\sqrt5}{4}$
⑨$\displaystyle \frac{-1-\sqrt5}{4}$


最後に、面$A_2C_1DEB_2$に着目する。
$\overrightarrow{ B_2D }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ A_2C_1 }=\overrightarrow{ OB_1 }$
であることに注意すると、4点$O,B_1,D,B_2$は同一平面上にあり、四角形
$OB_1DB_2は\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$の解答群
⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②正方形ではないが、ひし形である
③長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
④平行四辺形ではないが、台形である
⑤台形でない

(ただし、少なくとも1組の対辺が平行な四角形を台形という)

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
四面体OABCは,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=90°,∠AOC=∠BOC=60°を満たしている。
(1)点Cから△OABに下した垂線と△OABとの交点をHとする。ベクトルCHをOA,OB,OCを用いて表そう。
(2)四面体OABCの体積を求めよう。

問題文全文(内容文)：
四面体ABCDに関し、次の等式を満たす点Pはどのような位置にある点か。
AP+2BP-7CP-3DP=0

問題文全文(内容文)：
四面体OABCは,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=90°,∠AOC=∠BOC=60°を満たしている。
(1)点Cから△OABに下した垂線と△OABとの交点をHとする。ベクトルCHをOA,OB,OCを用いて表そう。
(2)四面体OABCの体積を求めよう。

問題文全文(内容文)：
四面体ABCDに関し、次の等式を満たす点Pはどのような位置にある点か。
AP+2BP-7CP-3DP=0

問題文全文(内容文)：
３点A(0,1,1),B(6,-1,-1),C(-3,-1,1)を通る平面の方程式を求めよ。

問題文全文(内容文)：
３点A(0,1,1),B(6,-1,-1),C(-3,-1,1)を通る平面の方程式を求めよ。