平面上の曲線

これなにしてる？

単元： #平面上の曲線#数学(高校生)#数C

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
楕円のお話

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福田のおもしろ数学152〜2つの図形の面積を同時に2等分する直線が存在する証明

単元： #平面上の曲線#媒介変数表示と極座標#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の2つの図形(※動画参照)の面積を同時に2等分する直線が存在することを証明せよ。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第1問〜点の一致条件と軌跡

単元： #平面上の曲線#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

t

を実数とし、

x y

平面上の点P(

\cos 2 t

,

\cos t

)および点Q(

\sin t

,

\sin 2 t

)を考える。
(1)点Pと点Qが一致するような

t

の値をすべて求めよ。
(2)

t

が0＜

t

＜

2 π

の範囲で変化するとき、点Pの軌跡を

x y

平面上に図示せよ。
ただし、

x

軸、

y

軸との共有点がある場合は、それらの座標を求め、図中に記せ。

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放物線と直線　　2024早大本庄　　オンラインで教えている生徒が早稲田本庄に合格しました！

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
点(1,9)を通り、y軸と平行でなく放物線

y = x^{2}

とのすべての交点のx座標とy座標がともに整数となる直線は何本あるか？
2024早稲田大学本庄高等学院

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高校数学：数学検定準1級1次：問題6,7 双曲線の焦点、関数の極限

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#関数と極限#2次曲線#関数の極限#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
xy平面上の双曲線

\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{64} = - 1

の焦点の座標を求めなさい。

次の極限値を求めなさい。

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{\sqrt[3]{x} - 1}

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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ここに補助線！！　関数だけど図形で解く！！東京学芸大学附属

単元： #数Ⅰ#平面上の曲線#図形と計量#数学(高校生)#数C

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
Aの座標は？
＊図は動画内参照

東京学芸大学附属高校

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福田の数学〜神戸大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

媒介変数表示

x

=

\sin t

,

y

=

\cos (t - \frac{π}{6}) \sin t

　(0≦

t

≦

π

)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)

\frac{d x}{d t}

=0 または

\frac{d y}{d t}

=0 となる

t

の値を求めよ。
(2)Cの概形を

x y

平面上に描け。
(3)Cの

y

≦0 の部分と

x

軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

xy平面上の曲線Cを、媒介変数

t

を用いて次のように定める。

x

=

t

+2

\sin^{2} t

,　

y

=

t

+

\sin t

　(0＜

t

＜

π

)
以下の問いに答えよ。
(1)曲線Cに接する直線のうち

y

軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2)曲線Cのうち

y

≦

x

の領域にある部分と直線

y

=

x

で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023九州大学理系過去問

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【数Ⅲ】式と曲線：tractrixに関する問題

単元： #平面上の曲線#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
tractrixと呼ばれる媒介変数で表される曲線が持つ性質に関する証明です。あまり有名ではないものの、高校数学で十分証明が可能なものになります。入試にも出題される可能性が高いかと思われますので、ぜひご覧ください。

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大学入試問題#522「これ初見はきつそう」　信州大学2001　#面積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#信州大学#数C

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ θ ≦ 2 π

曲線

x = \cos^{3} θ, y = \sin^{3} θ

で囲まれた面積を求めよ

出典：2001年信州大学後期　入試問題

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一瞬で2点を通る直線を求める流れが分かる動画～全国入試問題解法 #数学 #高校受験 #shorts

単元： #数学(中学生)#平面上の曲線#高校入試過去問(数学)#数C

指導講師：高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん

問題文全文(内容文)：
2点A,Cを通る直線の式を求めなさい.

宮城県高校過去問

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2023高校入試数学解説56問目傾きと切片　群馬県前期

単元： #数学(中学生)#平面上の曲線#高校入試過去問(数学)#数C

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
正しいのは？
y=ax+b
＊図は動画内参照
ア

a + b ＞ 0

,

a b ＞ 0

イ

a + b ＞ 0

,

a b ＜ 0

ウ

a + b ＜ 0

,

a b ＞ 0

エ

a + b ＜ 0

,

a b ＜ 0

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2023高校入試数学解説54問目グラフ明治学院

単元： #数学(中学生)#平面上の曲線#2次曲線#高校入試過去問(数学)#数C

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

y = \frac{a}{x}

のグラフと点P(2,1)を表した図
a>2となるグラフはどれ？
＊図は動画内参照

2023明治学院高等学校

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題101〜慶應義塾大学2020年度環境情報学部第１問(1)〜不定方程式の解

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上の曲線#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#三角関数#加法定理とその応用#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)正の実数xとyが9

x^{2}

+16

y^{2}

=144 を満たしているとき、xyの最大値は

ア イ

である。

2020慶應義塾大学環境情報学部過去問

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【数Ⅲ】式と曲線：極方程式の直線のなす角

単元： #平面上の曲線#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

教材： #サクシード#サクシード数学Ⅲ#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2直線

r (\sqrt{3} \cos θ + \sin θ) = 4

r (\sqrt{3} \cos θ - \sin θ) = 2

の交点の極座標を求めよ。またこの2直線のなす鋭角も求めよ。
（出典　数研出版サクシード数学Ⅲ）

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題026〜神戸大学2016年度理系数学第５問〜極方程式と媒介変数表示

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#平面上の曲線#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
極方程式で表されたxy平面上の曲線

r = 1 + \cos θ (0 ≦ θ ≦ 2 π)

をCとする。
(1)曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、

\frac{d x}{d θ} = 0

となる点、および

\frac{d y}{d θ} = 0

となる点の直交座標を求めよ。
(2)

lim_{θ \to π} \frac{d y}{d x}

を求めよ。
(3)曲線Cの概形をxy平面上にかけ。
(4)曲線Cの長さを求めよ。

2016神戸大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題020〜東京工業大学2016年度理系数学第５問〜媒介変数で表された曲線の追跡と面積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#東京工業大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次のように媒介変数表示されたxy平面上の曲線をCとする。

{\begin{matrix} x = 3 \cos t - \cos 3 t y = 3 \sin t - \sin 3 t \end{matrix}

ただし、

0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}

である。
(1)

\frac{d x}{d t}

および

\frac{d y}{d t}

を計算し、Cの概形を図示せよ。
(2)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2016東京工業大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題004〜東北大学2015年理系数学第１問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。

x^{2} + 4 y^{2} = 1, x > 0, y > 0

PをC上の点とする。PでCに接する直線をlとし、Pを通りlと垂直な直線を
mとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする。PがC
上の点全体をうごくとき、Sの最大値とその時のPの座標を求めよ。

2015東北大学理系過去問

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対称移動

単元： #平面上の曲線#数学(高校生)#数C

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
y=-xに関して点Aと対称な点の座標は？
＊図は動画内参照

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福田の数学〜上智大学2022年理工学部第４問〜線分の中点の軌跡と直線の通過範囲

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に円C

: x^{2} + y^{2} = 4

と点

P (6, 0)

がある。円C上を点

A (2 a, 2 b)

が
動くとき、線分APの中点をMとし、線分APの垂直二等分線をlとする。
(1)点Mの軌跡の方程式を求め、その軌跡を図示せよ。
(2)直線lの方程式をa,\ bを用いて表せ。
(3)直線lが通過する領域を表す不等式を求め、その領域を図示せよ。

2022上智大理工学部過去問

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福田の数学〜上智大学2022年TEAP理系型第４問〜媒介変数で表された極方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え
る。平面上を運動する点Pの極座標

(r, θ)

が、時刻

t ≧ 0

の関数として、

r = 1 + t, θ = \log (1 + t)

で与えられるとする。時刻

t = 0

にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで
にPが描く軌跡をCとする。
(1)

t > 0

において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。
(3)Cの長さを求めよ。
(4)Cを座標平面上に図示せよ。
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022上智大学理系過去問

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福田の数学〜明治大学2022年全学部統一入試理系第３問〜2次曲線の極方程式と置換積分

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#明治大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a, h

を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線

x = h

からの距離の

a

倍であるような点

P

の軌跡を考える。点

P

の座標を

(x, y)

とする
と、

x, y

は次の方程式を満たす。

(1 - ア) x^{2} + 2 イ x + y^{2} = ウ . . . (1)

ア, イ, ウ

の解答群

⓪ a^{2} ① h^{2} ② a^{3} ③ a^{2} h ④ a h^{2}

⑤ h^{3} ⑥ b^{4} ⑦ a^{2} h^{2} ⑧ a h^{3} ⑨ h^{4}

次に、座標平面の原点

O

を極、

x

軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点

P

の極座標を

(r θ)

とする。

r ≦ h

を満たすとき、
点

P

の直交座標

(x, y)

を

a, h, θ

を用いて表すと

(x, y) = (\frac{エ}{オ} \cos θ, \frac{エ}{オ} \sin θ) . . . (2)

エ, オ

の解答群

⓪ h ① a h ② h^{2} ③ a h^{2} ④ 1 + a \cos θ

⑤ 1 + a \sin θ ⑥ a \cos θ - 1 ⑦ a \sin θ - 1 ⑧ 1 - a \cos θ ⑨ 1 - a \sin θ

(1)から、

a = カ

のとき、点

P

の軌跡は放物線

x = キ y^{2} + ク

となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積

S

は

S = 2 \int_{0}^{ケ} x d y = 2 \int_{0}^{ケ} (キ y^{2} + ク) d y =

\frac{コ}{サ} h^{2}

である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos θ}{(1 + \cos θ)^{2}} d θ = \frac{シ}{ス}

キ, ク, ケ

の解答群

⓪ h ① 2 h ② \frac{h}{2} ③ - \frac{h}{2} ④ \frac{1}{h}

⑤ - \frac{1}{h} ⑥ \frac{1}{2 h} ⑦ - \frac{1}{2 h} ⑧ h^{2} ⑨ - h^{2}

2022明治大学全統理系過去問

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福田の数学〜早稲田大学2022年人間科学部第6問〜楕円を軸以外の直線で回転させた立体の体積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

直線

x + y = 1

に接する楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

がある。
このとき、

b^{2} = ア a^{2} + イ

である。
この楕円を直線

y = b

のまわりに1回転してできる立体の体積は、

a = \frac{\sqrt{ウ}}{エ}

のとき、
最大値

\frac{オ \sqrt{カ}}{キ} π^{2}

をとる。

2022早稲田大学人間科学部過去問

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福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年医学部第３問〜内サイクロイドと極方程式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)座標平面上の点P(x,y)を、点T(s,t)を中心として半時計周りに角

α

だけ
回転させるときに、点Pが点P'(x',y')に移るとする。x'とy'を

x, y, s, t, α

の式で表すと

x^{'} = ア, y^{'} = イ

となる。
(2)aを正の実数とする。原点O(0,0)とする半径aの円Cに、半径

\frac{a}{2}

で原点O
を通る円Kを点A(a,0)において内接させる。この円Kを円Cに沿って
滑らないように転がす。ただし、KとCの接点がC上を半時計回りに動くようにする。
そして、接点の座標がはじめて

(a \cos β, a \sin β) (0 ≦ β ≦ 2 π)

となるようにする。
円Kに対するこの操作は次の2段階の操作を続けて行うことと同等である。

(i)

点B

(\frac{a}{2}, 0)

を中心として、円Kを

ウ

に角

エ

だけ回転させる。

(ii)

原点Oを中心として、円Kを

オ

に角

カ

だけ回転させる。

ウ, エ, オ, カ

の選択肢
時計回り,反時計回り,

β, 2 β, \frac{1}{2} β

(3)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、Kの内部に固定された点Q(b,0)
(ただし、

0 < b < a

)をとる。円Kを、Cとの接点がC上を一周するまで(2)に述べた
やり方でCに沿って転がすとき、点Qが動いてできる曲線を

S_{1}

とする。

S_{1}

上の
点の座標を(x,y)として、

S_{1}

の方程式をx,yを用いて書くと

キ

となる。

(4)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、円Cに固定された点R(0,a)をとる。
今度は円Kを固定して、円Cの方をKに接した状態で滑らないようにKに沿って転がす。
2つの円の接点が円Kを

ク

回転したとき、点Rははじめてもとの位置
(0,a)に戻る。Rが描く曲線を

S_{2}

とする。原点Oを極とし、x軸の正の部分を
始線とする極座標#

(r, θ)

による

S_{2}

の極方程式は

r = ケ

である。
ただし

r, θ

はそれぞれ

S_{2}

上の点の原点からの距離、および偏角である。

2022慶應義塾大学医学部過去問

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福田の数学〜浜松医科大学2022年医学部第１問〜媒介変数表示で表された曲線の長さと接線の傾きと体積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#浜松医科大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
媒介変数

t (t ≧ 0)

に対して、

x = \frac{4}{\sqrt{3}} t^{\frac{3}{2}}, y = 2 t

で表される曲線C上に
点

P_{1}

と

P_{2}

がある。原点から点

P_{1}

までの曲線の長さは

\frac{28}{9}

であり、点

P_{2}

における曲線C
の接線の傾きは

\frac{1}{3}

である。以下の問いに答えよ。
(1)点

P_{1}

の座標

(x_{1}, y_{1})

を求めよ。
(2)点

P_{2}

の座標

(x_{2}, y_{2})

を求めよ。
(3)曲線Cとy軸、および2直線

y = y_{1}, y = y_{2}

で囲まれた図形を、y軸の周りに1回転
してできる回転体を考える。この回転体の体積を求めよ。

2022浜松医科大学医学部過去問

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福田の数学〜九州大学2022年理系第５問の背景を考える〜内サイクロイド曲線（ハイポサイクロイド、アステロイド）の媒介変数表示

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上の曲線#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2022年理系第５問〜媒介変数表示のグラフの対称性とグラフの追跡

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x y

平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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福田の数学〜神戸大学2022年理系第４問〜双曲線が直線から切り取る弦の中点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#点と直線#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
aを正の実数とし、双曲線

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1

と直線

y = \sqrt{a} x + \sqrt{a}

が異なる2点P,Q
で交わっているとする。線分PQの中点をR(s,t)とする。以下の問いに答えよ。
(1)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)s,tの値をaを用いて表せ。
(3)aが(1)で求めた範囲を動くときにsのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)tの値をsを用いて表せ。

2022神戸大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2022年理系第５問〜媒介変数表示のグラフで囲まれた面積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、tを媒介変数として

x = e^{t} \cos t + e^{π}, y = e^{t} \sin t (0 ≦ t ≦ π)

と表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022大阪大学理系過去問

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