数学(高校生)
数学(高校生)
福田のわかった数学〜高校３年生理系047〜極限(47)中間値の定理(1)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 中間値の定理(1)\\
方程式\sqrt x-2\log_3x=0 は、\\
1 \lt x \lt 3に実数解をもつことを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 中間値の定理(1)\\
方程式\sqrt x-2\log_3x=0 は、\\
1 \lt x \lt 3に実数解をもつことを示せ。
\end{eqnarray}
【数B】数列：種々の数列格子点
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
座標平面上の曲線$y=-nx^2＋2n^2x$とx軸で囲まれた図形(境界を含む)をDnとし、図形Dnにある格子点の個数をAnとする。
(1)$A_1、A_2$の値を求めよ。
(2)図形Dnの格子点のうち、x座標の値が$x＝k(k＝0,1,2,・・・,2n)$である格子点の個数をBkとする。Bkをnとkの式で表せ。
(3)Anをnの式で表せ。
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座標平面上の曲線$y=-nx^2＋2n^2x$とx軸で囲まれた図形(境界を含む)をDnとし、図形Dnにある格子点の個数をAnとする。
(1)$A_1、A_2$の値を求めよ。
(2)図形Dnの格子点のうち、x座標の値が$x＝k(k＝0,1,2,・・・,2n)$である格子点の個数をBkとする。Bkをnとkの式で表せ。
(3)Anをnの式で表せ。
ゆる言語学者が無限に聞いていられる素数のお話
円周角の定理の利用 お茶の水女子
単元：
#数学(中学生)#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\angle BAC =?$
＊図は動画内参照
お茶の水女子大学附属高等学校
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$\angle BAC =?$
＊図は動画内参照
お茶の水女子大学附属高等学校
解き方が面白い図形の角度の問題～正方形の中の角度を求めよ～
単元：
#算数(中学受験)#数学(中学生)#中１数学#平面図形#平面図形#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
解き方が面白い図形の角度の問題紹介、解説動画です
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福田の数学〜慶應義塾大学2021年商学部第１問(1)〜対数の基本性質
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)正の実数x,\ yについて、xとyの相加平均を5とする。また、4を底とする\\
x,\ yの対数をそれぞれX,\ Yとしたとき、XとYの相加平均は1であるとする。\\
このとき、x \lt yとすると、x=\boxed{\ \ ア\ \ }, y=\boxed{\ \ イ\ \ } である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学商学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)正の実数x,\ yについて、xとyの相加平均を5とする。また、4を底とする\\
x,\ yの対数をそれぞれX,\ Yとしたとき、XとYの相加平均は1であるとする。\\
このとき、x \lt yとすると、x=\boxed{\ \ ア\ \ }, y=\boxed{\ \ イ\ \ } である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学商学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生038〜三角比、簡単な測量
単元：
#数Ⅰ#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 三角比、簡単な測量\\
山の高さを測るために図の2地点A,B(※動画参照)から\\
仰角を測るとそれぞれ\alpha,\betaであった。\\
AB=xとすると、山の高さはいくらか。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 三角比、簡単な測量\\
山の高さを測るために図の2地点A,B(※動画参照)から\\
仰角を測るとそれぞれ\alpha,\betaであった。\\
AB=xとすると、山の高さはいくらか。
\end{eqnarray}
ゆる言語学者バーゼル問題に驚く
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
バーゼル問題に関して解説していきます.
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バーゼル問題に関して解説していきます.
【裏技】単位変換が簡単にできる表を教えます～mm, cm, m, km～
単元：
#算数(中学受験)#計算と数の性質#数の性質その他#数学(中学生)#その他#その他#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
単位変換（mm, cm, m, km）が簡単にできる表紹介動画です
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単位変換（mm, cm, m, km）が簡単にできる表紹介動画です
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第６問〜3次関数の接線と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}} F(x)は実数を係数とするxの3次式で、x^3の項の係数は1であり、y=F(x)で\\
定まる曲線をCとする。\alpha \lt \betaを満たす実数\alpha,\ \betaに対して、C上の点A(\alpha,F(\alpha))\\
におけるCの接線をL_{\alpha}とするとき、CとL_{\alpha}とのA以外の共有点がB(\beta,F(\beta))\\
であるとする。さらに、BにおけるCの接線をL_{\beta}とのB以外の共有点を(\gamma,F(\gamma))\\
とする。\\
\\
(1)接線L_{\alpha}の方程式をy=l_{\alpha}(x)とし、G(x)=F(x)-l_{\alpha}(x)とおく。さらに、\\
曲線y=G(x)上の点(\beta,G(\beta))における接線の方程式をy=m(x)とする。G(x)\\
およびm(x)を、それぞれ\alpha,\betaを用いて因数分解された形に表せ。必要ならば\\
xの整式で表される関数p(x),q(x)とそれらの導関数に関して成り立つ公式\\
\left\{p(x)q(x)\right\}'=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)\\
を用いてもよい。\\
\\
(2)接線L_{\beta}の方程式は(1)で定めたl_{\alpha}(x),\ m(x)を用いて、y=l_{\alpha}(x)+ m(x)で\\
与えられることを示せ。さらに、\gammaを\alpha,\betaを用いて表せ。\\
\\
(3)曲線CおよびL_{\beta}で囲まれた図形の面積をSとする。Sを\alpha,\betaを用いて表せ。\\
さらに\alpha,\betaが-1 \lt \alpha \lt 0かつ1 \lt \beta \lt 2を満たすとき、Sの取り得る値の\\
範囲を求めよ。必要ならばr \lt sを満たす実数r,sに対して成り立つ公式\\
\int_r^s(x-r)(x-s)^2dx=\frac{1}{12}(s-r)^4\\
を用いてもよい。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}} F(x)は実数を係数とするxの3次式で、x^3の項の係数は1であり、y=F(x)で\\
定まる曲線をCとする。\alpha \lt \betaを満たす実数\alpha,\ \betaに対して、C上の点A(\alpha,F(\alpha))\\
におけるCの接線をL_{\alpha}とするとき、CとL_{\alpha}とのA以外の共有点がB(\beta,F(\beta))\\
であるとする。さらに、BにおけるCの接線をL_{\beta}とのB以外の共有点を(\gamma,F(\gamma))\\
とする。\\
\\
(1)接線L_{\alpha}の方程式をy=l_{\alpha}(x)とし、G(x)=F(x)-l_{\alpha}(x)とおく。さらに、\\
曲線y=G(x)上の点(\beta,G(\beta))における接線の方程式をy=m(x)とする。G(x)\\
およびm(x)を、それぞれ\alpha,\betaを用いて因数分解された形に表せ。必要ならば\\
xの整式で表される関数p(x),q(x)とそれらの導関数に関して成り立つ公式\\
\left\{p(x)q(x)\right\}'=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)\\
を用いてもよい。\\
\\
(2)接線L_{\beta}の方程式は(1)で定めたl_{\alpha}(x),\ m(x)を用いて、y=l_{\alpha}(x)+ m(x)で\\
与えられることを示せ。さらに、\gammaを\alpha,\betaを用いて表せ。\\
\\
(3)曲線CおよびL_{\beta}で囲まれた図形の面積をSとする。Sを\alpha,\betaを用いて表せ。\\
さらに\alpha,\betaが-1 \lt \alpha \lt 0かつ1 \lt \beta \lt 2を満たすとき、Sの取り得る値の\\
範囲を求めよ。必要ならばr \lt sを満たす実数r,sに対して成り立つ公式\\
\int_r^s(x-r)(x-s)^2dx=\frac{1}{12}(s-r)^4\\
を用いてもよい。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系046〜極限(46)関数の連続性(3)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(3)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\frac{x^2}{|x|} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right.\\
\\
は、x=0で連続か、調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(3)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\frac{x^2}{|x|} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right.\\
\\
は、x=0で連続か、調べよ。
\end{eqnarray}
立方根の方程式
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
実数解$x$を求めよ.
$\sqrt[3]{x+28}-\sqrt[3]{x-28}=2$
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実数解$x$を求めよ.
$\sqrt[3]{x+28}-\sqrt[3]{x-28}=2$
名古屋大学２００２どっちがでかいか？
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
どちらが大きいか?
①$\ell_n\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ vs $\dfrac{1}{x+1}$
②$\left(1+\dfrac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}}$ vs $\left(1+\dfrac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}}$
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どちらが大きいか?
①$\ell_n\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ vs $\dfrac{1}{x+1}$
②$\left(1+\dfrac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}}$ vs $\left(1+\dfrac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}}$
割って余る問題 整数問題 日大習志野
単元：
#数学(中学生)#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
200より大きい自然数を17で割った。
商と余りが等しくなる自然数は全部で何コ？
日本大学習志野高等学校
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200より大きい自然数を17で割った。
商と余りが等しくなる自然数は全部で何コ？
日本大学習志野高等学校
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第５問〜ベクトルの空間図形への応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} 空間の2点OとAは|\overrightarrow{ OA }|=2を満たすとし、点Aを通り\overrightarrow{ OA }に直交する平面をHとする。\\
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し\\
|\overrightarrow{ AB }|=2a, |\overrightarrow{ AC }|=3a, \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2\\
を満たすとする。ただし、\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }はベクトル\overrightarrow{ u }と\overrightarrow{ v }の内積を表す。\\
(1)\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }の値を求めよ。\\
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を\\
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。\\
(2)ベクトル\overrightarrow{ OP }を、実数\alpha,\beta,\gammaを用いて\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }と表すとき、\\
\alpha,\beta,\gammaの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)空間の点Qは2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }を満たすとする。直線PQが、\\
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、|\overrightarrow{ AP }|の値およびaの値を求めよ。\\
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、\\
\triangle APRの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} 空間の2点OとAは|\overrightarrow{ OA }|=2を満たすとし、点Aを通り\overrightarrow{ OA }に直交する平面をHとする。\\
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し\\
|\overrightarrow{ AB }|=2a, |\overrightarrow{ AC }|=3a, \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2\\
を満たすとする。ただし、\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }はベクトル\overrightarrow{ u }と\overrightarrow{ v }の内積を表す。\\
(1)\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }の値を求めよ。\\
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を\\
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。\\
(2)ベクトル\overrightarrow{ OP }を、実数\alpha,\beta,\gammaを用いて\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }と表すとき、\\
\alpha,\beta,\gammaの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)空間の点Qは2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }を満たすとする。直線PQが、\\
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、|\overrightarrow{ AP }|の値およびaの値を求めよ。\\
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、\\
\triangle APRの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生037〜軌跡(4)反転の話その2
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(4) 反転の話(2)\\
動点Pが直線l:x+y=1 上を動く。\\
原点Oを端点とする半直線OP上で\\
OP・OQ=1\\
を満たす点Qの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(4) 反転の話(2)\\
動点Pが直線l:x+y=1 上を動く。\\
原点Oを端点とする半直線OP上で\\
OP・OQ=1\\
を満たす点Qの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
名古屋大学文学部卒のゆる言語学者にオイラーの公式は理解できるのか？
高校への数学執筆者 秋田洋和先生が解説！！（岡山県）
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
「3ケタの正の整数で、百の位を2倍した数と下2ケタの数との和が7の倍数ならば、もとの整数は7の倍数である」なぜ？
百の位をa,十の位をb、一の位をcとする。
岡山県
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「3ケタの正の整数で、百の位を2倍した数と下2ケタの数との和が7の倍数ならば、もとの整数は7の倍数である」なぜ？
百の位をa,十の位をb、一の位をcとする。
岡山県
【高校数学】等差数列の一般項の例題2第～一緒に解こう～ 3-2.5【数学Ｂ】
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
1⃣
次の等差数列の一般項を求めよ。
また、その第8項を求めよ。
23,17,11,5,…
2⃣
第5項が-5,第10項が15である等差数列{ａn}がある。
この数列の一般項を求めよ。
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1⃣
次の等差数列の一般項を求めよ。
また、その第8項を求めよ。
23,17,11,5,…
2⃣
第5項が-5,第10項が15である等差数列{ａn}がある。
この数列の一般項を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第４問〜対数不等式と数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} kを実数の定数とする。実数xは不等式\\
(*) 2\log_5x-\log_5(6x-5^k) \lt k-1\\
を満たすとする。\\
\\
(1)不等式(*)を満たすxの値の範囲を、kを用いて表せ。\\
\\
(2)kを自然数とする。(*)を満たすxのうち奇数の個数をa_kとし\\
S_n=\sum_{k=1}^na_k (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。a_kをkの式で表し、さらにS_nをnの式で表せ。\\
\\
(3)(2)のS_nに対して、S_n+nが10桁の整数となるような自然数n\\
の値を求めよ。なお、必要があれば0.30 \lt \log_{10}2 \lt 0.31を用いよ。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} kを実数の定数とする。実数xは不等式\\
(*) 2\log_5x-\log_5(6x-5^k) \lt k-1\\
を満たすとする。\\
\\
(1)不等式(*)を満たすxの値の範囲を、kを用いて表せ。\\
\\
(2)kを自然数とする。(*)を満たすxのうち奇数の個数をa_kとし\\
S_n=\sum_{k=1}^na_k (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。a_kをkの式で表し、さらにS_nをnの式で表せ。\\
\\
(3)(2)のS_nに対して、S_n+nが10桁の整数となるような自然数n\\
の値を求めよ。なお、必要があれば0.30 \lt \log_{10}2 \lt 0.31を用いよ。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系045〜極限(45)関数の連続性(2)
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(2)\\
f(x)=[x^2](x+1)\\
はx=0で連続かまた、x=1で連続か、調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(2)\\
f(x)=[x^2](x+1)\\
はx=0で連続かまた、x=1で連続か、調べよ。
\end{eqnarray}
ゆる言語学者に数学を教えるよ。その３ 複素数の掛け算
気付いたら瞬殺！！
【中学数学】平方根・ルートの計算演習～乗法公式２～ 2-9.5【中３数学】
単元：
#数学(中学生)#中３数学#平方根#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
1⃣
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$
2⃣
$(\sqrt{3}-5)^2$
3⃣
$(\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2$
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1⃣
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$
2⃣
$(\sqrt{3}-5)^2$
3⃣
$(\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2$
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第３問〜数列の部分和と一般項の関係
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 数列\left\{a_n\right\}に対して、\\
S_n=\sum_{k=1}^na_k (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。\left\{a_n\right\}は、a_2=1,a_6=2および\\
(*) S_n=\frac{(n-2)(n+1)^2}{4}a_{n+1} (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとする。\\
\\
(1)a_1=-\boxed{\ \ ア\ \ }である。(*)でn=4,5とすると、a_3+a_4とa_5の関係が2通り定まり、\\
a_5=\boxed{\ \ イ\ \ }と求まる。さらに(*)でn=3として、a_3=\boxed{\ \ ウエ\ \ },a_4=\boxed{\ \ オカ\ \ }と求まる。\\
\\
(2)n \geqq 2に対してa_n=S_n-S_{n-1}であるから(*)とあわせて\\
(n-\boxed{\ \ キ\ \ })(n+\boxed{\ \ ク\ \ })^2a_{n+1}=(n^3-\boxed{\ \ ケ\ \ }n^2+\boxed{\ \ コ\ \ })a_n (n=2,3,\ldots)\\
\\
ゆえに、n \geqq 3ならば(n+\boxed{\ \ サ\ \ })a_{n+1}=(n-\boxed{\ \ シ\ \ })a_nとなる。そこで、n \geqq 3に\\
対してb_n=(n-r)(n-s)(n-t)a_nとおくと、漸化式\\
b_{n+1}=b_n (nz-3,4,5,\ldots)\\
が成り立つ。ただしここに、r \lt s \lt tとしてr=\boxed{\ \ ス\ \ },s=\boxed{\ \ セ\ \ },t=\boxed{\ \ ソ\ \ }である。\\
したがって、n \geqq 4に対して\\
a_n=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }a_4}{(n-r)(n-s)(n-t)}\\
となる。この式はn=3の時も成立する。\\
\\
(3)n \geqq 2に対して\\
S_n=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }(n+\boxed{\ \ テ\ \ })(n-\boxed{\ \ ト\ \ })}{n(n-\boxed{\ \ ナ\ \ })}\\
であるから、S_n \geqq 59となる最小のnはn=\boxed{\ \ ニヌ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 数列\left\{a_n\right\}に対して、\\
S_n=\sum_{k=1}^na_k (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。\left\{a_n\right\}は、a_2=1,a_6=2および\\
(*) S_n=\frac{(n-2)(n+1)^2}{4}a_{n+1} (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとする。\\
\\
(1)a_1=-\boxed{\ \ ア\ \ }である。(*)でn=4,5とすると、a_3+a_4とa_5の関係が2通り定まり、\\
a_5=\boxed{\ \ イ\ \ }と求まる。さらに(*)でn=3として、a_3=\boxed{\ \ ウエ\ \ },a_4=\boxed{\ \ オカ\ \ }と求まる。\\
\\
(2)n \geqq 2に対してa_n=S_n-S_{n-1}であるから(*)とあわせて\\
(n-\boxed{\ \ キ\ \ })(n+\boxed{\ \ ク\ \ })^2a_{n+1}=(n^3-\boxed{\ \ ケ\ \ }n^2+\boxed{\ \ コ\ \ })a_n (n=2,3,\ldots)\\
\\
ゆえに、n \geqq 3ならば(n+\boxed{\ \ サ\ \ })a_{n+1}=(n-\boxed{\ \ シ\ \ })a_nとなる。そこで、n \geqq 3に\\
対してb_n=(n-r)(n-s)(n-t)a_nとおくと、漸化式\\
b_{n+1}=b_n (nz-3,4,5,\ldots)\\
が成り立つ。ただしここに、r \lt s \lt tとしてr=\boxed{\ \ ス\ \ },s=\boxed{\ \ セ\ \ },t=\boxed{\ \ ソ\ \ }である。\\
したがって、n \geqq 4に対して\\
a_n=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }a_4}{(n-r)(n-s)(n-t)}\\
となる。この式はn=3の時も成立する。\\
\\
(3)n \geqq 2に対して\\
S_n=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }(n+\boxed{\ \ テ\ \ })(n-\boxed{\ \ ト\ \ })}{n(n-\boxed{\ \ ナ\ \ })}\\
であるから、S_n \geqq 59となる最小のnはn=\boxed{\ \ ニヌ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生037〜部屋割り論法(2)
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上で異なる5個の格子点の\\
どれか2個を結ぶと、その中点が格子点になることを証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上で異なる5個の格子点の\\
どれか2個を結ぶと、その中点が格子点になることを証明せよ。
\end{eqnarray}
言語学オタクに数学を教えるよ！その２ ネイピア数とは
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第２問〜色々な条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 1個のさいころを繰り返し投げ、出た目の数により以下の(\textrm{a}),(\textrm{b})に従い得点を定める。\\
(\textrm{a})最初から10回連続して1の目が出た場合には、10回目で投げ終えて、\\
得点を0点とする。\\
(\textrm{b})mを0 \leqq m \leqq 9を満たす整数とする。最初からm回連続して1の目が出て\\
かつm+1回目に初めて1以外の目nが出た場合には、続けてさらにn回\\
投げたところで投げ終えて、1回目からm+n+1回目までに出た目の合計\\
を得点とする。ただし、最初から1以外の目が出た場合にはm=0とする。\\
\\
(1)得点が49点であるとする。このとき、n=\boxed{\ \ ア\ \ }となり、mの取り得る値の範囲\\
は\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq m \leqq \boxed{\ \ ウ\ \ }であり、得点が49点となる確率は\frac{\boxed{\ \ エオ\ \ }}{6^{16}}である。また、得点が\\
49点で、さいころを投げる回数が15回以上である確率は\frac{\boxed{\ \ カキ\ \ }}{6^{16}}となる。さらに\\
得点が49点である条件のもとで、さいころを投げる回数が14回以下である\\
条件付き確率は\frac{\boxed{\ \ クケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサ\ \ }}となる。\\
\\
(2)さいころを投げる回数が15回以上である確率は\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{6^{10}}となる。ゆえに、さいころを\\
投げる回数が14回以下である条件のもとで、得点が49点となる条件付き確率\\
は、k=\boxed{\ \ ス\ \ }とおいて\frac{1}{6^k(6^{10}-\boxed{\ \ セ\ \ })}となる。\\
\\
(3)得点が正の数で、かつ、さいころを投げる回数が14回以下である条件のもとで、\\
得点が49点となる条件付き確率はl=\boxed{\ \ ソ\ \ }とおいて\frac{1}{6^l(6^{10}-\boxed{\ \ タ\ \ })}となる。\\
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 1個のさいころを繰り返し投げ、出た目の数により以下の(\textrm{a}),(\textrm{b})に従い得点を定める。\\
(\textrm{a})最初から10回連続して1の目が出た場合には、10回目で投げ終えて、\\
得点を0点とする。\\
(\textrm{b})mを0 \leqq m \leqq 9を満たす整数とする。最初からm回連続して1の目が出て\\
かつm+1回目に初めて1以外の目nが出た場合には、続けてさらにn回\\
投げたところで投げ終えて、1回目からm+n+1回目までに出た目の合計\\
を得点とする。ただし、最初から1以外の目が出た場合にはm=0とする。\\
\\
(1)得点が49点であるとする。このとき、n=\boxed{\ \ ア\ \ }となり、mの取り得る値の範囲\\
は\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq m \leqq \boxed{\ \ ウ\ \ }であり、得点が49点となる確率は\frac{\boxed{\ \ エオ\ \ }}{6^{16}}である。また、得点が\\
49点で、さいころを投げる回数が15回以上である確率は\frac{\boxed{\ \ カキ\ \ }}{6^{16}}となる。さらに\\
得点が49点である条件のもとで、さいころを投げる回数が14回以下である\\
条件付き確率は\frac{\boxed{\ \ クケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサ\ \ }}となる。\\
\\
(2)さいころを投げる回数が15回以上である確率は\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{6^{10}}となる。ゆえに、さいころを\\
投げる回数が14回以下である条件のもとで、得点が49点となる条件付き確率\\
は、k=\boxed{\ \ ス\ \ }とおいて\frac{1}{6^k(6^{10}-\boxed{\ \ セ\ \ })}となる。\\
\\
(3)得点が正の数で、かつ、さいころを投げる回数が14回以下である条件のもとで、\\
得点が49点となる条件付き確率はl=\boxed{\ \ ソ\ \ }とおいて\frac{1}{6^l(6^{10}-\boxed{\ \ タ\ \ })}となる。\\
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系044〜極限(44)関数の連続性(1)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(1)\\
\\
f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^{2n}-x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\\
\\
が連続関数となるようにaとbを定めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(1)\\
\\
f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^{2n}-x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\\
\\
が連続関数となるようにaとbを定めよ。
\end{eqnarray}
ゆる言語学者に数学を教えるよ！その１sinの微分
