数学(高校生)
数学(高校生)
福田のおもしろ数学498〜定積分で定義された関数の極限
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
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$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
福田の数学〜名古屋大学2025理系第1問〜関数の増減と最大
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田のおもしろ数学497〜gcdとlcmを使った方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の整数$a,b$が次の式を満たしている。
$ab=gcd(a,b)+Icm(a,b)$
このような$(a,b)$の組をすべて求めて下さい。
$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数、
$Icm(a,b)$は$a,b$の最小公倍数とする。
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正の整数$a,b$が次の式を満たしている。
$ab=gcd(a,b)+Icm(a,b)$
このような$(a,b)$の組をすべて求めて下さい。
$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数、
$Icm(a,b)$は$a,b$の最小公倍数とする。
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第5問〜分数関数のグラフと解の存在範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
mathematical formula : Shirotan's cute kawaii math show #数学 #小学生テスト #高校入試 #勉強 #高校受験
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
x²-5x+3=0の解a,b
1/a+1/b=？
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x²-5x+3=0の解a,b
1/a+1/b=？
福田のおもしろ数学496〜少なくとも1つは−1より大きくないことの証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$a,b,c,d$が次の式を満たしている。
$a+b+c+d=-2$
$ab+ac+ad+bc+bd+cd=0$
このとき、$a,b,c,d$の少なくとも$1$つは
$-1$より大きくないことを証明して下さい。
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実数$a,b,c,d$が次の式を満たしている。
$a+b+c+d=-2$
$ab+ac+ad+bc+bd+cd=0$
このとき、$a,b,c,d$の少なくとも$1$つは
$-1$より大きくないことを証明して下さい。
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第4問〜フィボナッチ数列と無限級数の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
数列$\{a_n\}$を
$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,\cdots)$
により定め、数列$\{b_n\}$を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める。
ただし、$0\lt b_n \lt \dfrac{\pi}{2}$であるものとする。
(1)$n\geqq 2$に対して、$a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$を求めよ。
(2)$m\geqq 1$($m$は整数)に対して、
$a_{2ｍ}･\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ。
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{4}$
数列$\{a_n\}$を
$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,\cdots)$
により定め、数列$\{b_n\}$を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める。
ただし、$0\lt b_n \lt \dfrac{\pi}{2}$であるものとする。
(1)$n\geqq 2$に対して、$a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$を求めよ。
(2)$m\geqq 1$($m$は整数)に対して、
$a_{2ｍ}･\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ。
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
【暗記じゃない…！】数列：興南高等学校～全国入試問題解法
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4,・・・
の時、左から85番目の分数？
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1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4,・・・
の時、左から85番目の分数？
福田のおもしろ数学495〜次数の高い連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a^3+3ab^2+3ac^2-6abc=1 \\
b^3+3ba^2+3bc^2-6abc=1 \\\
c^2+3ca^2+3cb^2-6abc=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$a,b,c$を求めよ。
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連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a^3+3ab^2+3ac^2-6abc=1 \\
b^3+3ba^2+3bc^2-6abc=1 \\\
c^2+3ca^2+3cb^2-6abc=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$a,b,c$を求めよ。
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第3問〜確率漸化式と無限級数の和
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
この因数分解できますか？
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
因数分解しなさい。
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$
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因数分解しなさい。
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$
福田のおもしろ数学494〜3乗根の付いた数の大小比較
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
大小を比較せよ。
$\sqrt[3]{4(2197+2025)}$
VS
$13+\sqrt[3]{2025}$
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大小を比較せよ。
$\sqrt[3]{4(2197+2025)}$
VS
$13+\sqrt[3]{2025}$
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第2問〜ねじれの位置にある直線上の2点ずつでできる四面体の体積の最大最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
空間の点$(0,0,1)$を通り
$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする
直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を
方向ベクトルとする直線を$m$とする。
(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。
また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。
このとき$P$と$Q$の座標、
および線分$PQ$の長さを求めよ。
(2)$\ell$上に$2$点
$A=(t,-t,1),$
$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$
があり、$m$上に$2$点
$C=(1,t,3,-2t),$
$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$
があるとする。ただし、$y$は実数とする。
四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。
$V(0)$を求めよ。
(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、
$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{2}$
空間の点$(0,0,1)$を通り
$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする
直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を
方向ベクトルとする直線を$m$とする。
(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。
また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。
このとき$P$と$Q$の座標、
および線分$PQ$の長さを求めよ。
(2)$\ell$上に$2$点
$A=(t,-t,1),$
$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$
があり、$m$上に$2$点
$C=(1,t,3,-2t),$
$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$
があるとする。ただし、$y$は実数とする。
四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。
$V(0)$を求めよ。
(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、
$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
田のおもしろ数学493〜2つの方程式の解が非負実数である条件
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$2$つの方程式
$3x^2-12x-2a=0$
$x^3+ax^2+bx-8=0$
の解がすべて非負実数であるような
実数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
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$2$つの方程式
$3x^2-12x-2a=0$
$x^3+ax^2+bx-8=0$
の解がすべて非負実数であるような
実数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第5問〜確率漸化式と条件付き確率
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$5$点$A,B,C,D$が
下図のように線分で結ばれている。
点$P_1,P_2,P_3,\cdots $を次のように定めていく。
$P_1$を$A$とする。
正の整数$n$に対して、$P_n$を端点とする線分を
ひとつ無作為にえらび、その線分の$P_n$とは
異なる端点$P_{n+1}$とする。
(1)$P_n$が$A$または$B$である確率$p_n$を求めよ。
(2)$P_n$が$A$または$B$であるとき、
$k=1,2,\cdots ,n$のいずれに対しても$P_k=E$とは
ならない条件付き確率$q_n$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{5}$
$5$点$A,B,C,D$が
下図のように線分で結ばれている。
点$P_1,P_2,P_3,\cdots $を次のように定めていく。
$P_1$を$A$とする。
正の整数$n$に対して、$P_n$を端点とする線分を
ひとつ無作為にえらび、その線分の$P_n$とは
異なる端点$P_{n+1}$とする。
(1)$P_n$が$A$または$B$である確率$p_n$を求めよ。
(2)$P_n$が$A$または$B$であるとき、
$k=1,2,\cdots ,n$のいずれに対しても$P_k=E$とは
ならない条件付き確率$q_n$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学492〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$(x+y)^x-x^y$
を満たす正の整数$x,y$をすべて求めて下さい。
この動画を見る
$(x+y)^x-x^y$
を満たす正の整数$x,y$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜一橋大学2025文系第4問〜ベクトル方程式と領域と角を2等分するベクトル
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
【初心者向け】数学が苦手でも偏差値７０を超える唯一の勉強法
単元：
#その他#勉強法#数学(高校生)
指導講師：
篠原好【京大模試全国一位の勉強法】
問題文全文(内容文)：
【初心者向け】数学が苦手でも偏差値７０を超える唯一の勉強法を解説していきます。
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【初心者向け】数学が苦手でも偏差値７０を超える唯一の勉強法を解説していきます。
福田のおもしろ数学491〜三角関数の連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y$は実数であり
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
のとき、$\cos 2x=\cos 2y$となることを
証明せよ。
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$x,y$は実数であり
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
のとき、$\cos 2x=\cos 2y$となることを
証明せよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第3問〜定積分で表された方程式の解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
【保存版】素因数分解のやり方
福田のおもしろ数学490〜3乗根混じりの2重根号を解消
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\sqrt[3]{1342\sqrt{167}+2005}$
の$2$重根号を解消せよ。
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$\sqrt[3]{1342\sqrt{167}+2005}$
の$2$重根号を解消せよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第2問〜円と円の交点を通る直線に対称な点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
これ知ってた？
単元：
#中３数学#式の計算（展開、因数分解）#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
$(x+a)^{ 2 }=x^{ 2 }+2ax+a^{ 2 }$の考え方
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$(x+a)^{ 2 }=x^{ 2 }+2ax+a^{ 2 }$の考え方
福田のおもしろ数学489〜3本の光線のなす角と三角関数
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$3$本の光線が原点$O$から空間へ発射された。
$2$本ずつのなす角が
$\alpha,\beta,\gamma(0° \lt \alpha \leqq \beta \leqq \gamma \leqq 180°)$
であり、この$3$本の光線は同一平面上にない。
$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2} \gt \sin\dfrac{\gamma}{2}$
を証明せよ。
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$3$本の光線が原点$O$から空間へ発射された。
$2$本ずつのなす角が
$\alpha,\beta,\gamma(0° \lt \alpha \leqq \beta \leqq \gamma \leqq 180°)$
であり、この$3$本の光線は同一平面上にない。
$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2} \gt \sin\dfrac{\gamma}{2}$
を証明せよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第1問〜正の約数の個数と関数の最大値
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学488〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
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実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第5問〜データの分析、平均と分散
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)$20$人の生徒に、$5$点満点の小テストを行った。
次の度数分布表は全員のテストの得点である。
この小テストの得点の平均値は$\boxed{ハ}$、
分散は$\boxed{ヒ}$である。
また、生徒のうちの$1$名の得点が$\boxed{フ}$点から
$\boxed{ヘ}$点に変更された場合、
生徒全員の得点の平均値は$3$、分散は$2$となる。
(2)確率変数$X$と$Y$は独立であり、$X$の平均が$m_x$、
分散が$\upsilon_x$であるとする。
また、$a,b$は定数とする。このとき、$aX+bY$の
平均は$\boxed{ホ}$、分散は$\boxed{マ}$である。
(3)確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n,X_{n+1}$は互いに
独立であり、
$T_n=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots + X_n)$
の平均が$m$、分散が$\upsilon$であるとする。
$X_{n+1}$の平均が$m'$、分散が$\upsilon'$であるとき、
$T_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}(X_1+X_2+\cdots +X_n+X_{n+1})$
の平均は$\boxed{ミ}$、分散は$\boxed{ム}$である。
図は動画内参照
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{5}$
(1)$20$人の生徒に、$5$点満点の小テストを行った。
次の度数分布表は全員のテストの得点である。
この小テストの得点の平均値は$\boxed{ハ}$、
分散は$\boxed{ヒ}$である。
また、生徒のうちの$1$名の得点が$\boxed{フ}$点から
$\boxed{ヘ}$点に変更された場合、
生徒全員の得点の平均値は$3$、分散は$2$となる。
(2)確率変数$X$と$Y$は独立であり、$X$の平均が$m_x$、
分散が$\upsilon_x$であるとする。
また、$a,b$は定数とする。このとき、$aX+bY$の
平均は$\boxed{ホ}$、分散は$\boxed{マ}$である。
(3)確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n,X_{n+1}$は互いに
独立であり、
$T_n=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots + X_n)$
の平均が$m$、分散が$\upsilon$であるとする。
$X_{n+1}$の平均が$m'$、分散が$\upsilon'$であるとき、
$T_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}(X_1+X_2+\cdots +X_n+X_{n+1})$
の平均は$\boxed{ミ}$、分散は$\boxed{ム}$である。
図は動画内参照
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学487〜三角関数のシグマ計算の必殺テクニック
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の自然数$m$に対して
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} (-1)^k \cos \dfrac{k\pi}{2m+1}=-\dfrac{1}{2}$
が成り立つことを証明して下さい。
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任意の自然数$m$に対して
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} (-1)^k \cos \dfrac{k\pi}{2m+1}=-\dfrac{1}{2}$
が成り立つことを証明して下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第4問〜放物線と接線の囲む面積と内積の最小値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題