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n進数の変換のテンプレ解説動画です

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$\angle x + \angle y =$
＊図は動画内参照

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${\Large\boxed{6}}$A社はB氏を報酬wで雇っている(wは正の実数)。A社の売り上げはB氏の努力水準に
依存しており、B氏の努力水準が低いとA社の売り上げは200だが、B氏の努力水準が
高い場合、A社の売り上げは70％の確率で500となり、30％の確率で200のままとなる。
そして、このことはB氏も知っている。ただし、B氏は努力水準を高める際に17.5の
苦痛を感じる。そのため、報酬wの下で努力水準を高めると、B氏の実質的な報酬は
w-17.5となってしまう。B氏は完全にテレワークをしており、B氏の努力水準を
A社が直接知ることはできないし、B氏が努力水準を高めるように強制することも
できない。すると$w \gt w-17.5$であることから、B氏は努力水準を高めないことが
合理的な行動となる。
以下では、不確実性下の意思決定を扱っているが(1),(2),(3)のいずれにおいても、
A社、B氏共に期待値の大小のみに関心があるものと仮定して解答すること。

(1)いま、A社は売上が500になったあときにはB氏の報酬を$w_1$に引き上げ、200のとき
には$w_0$に据え置くアイデアを思いついた。B氏が努力水準を高めるには、
$w_1 \geqq w_0+\boxed{\ \ アイウ\ \ }.\boxed{\ \ エオ\ \ }$である必要がある。

次に、B氏は、A社をやめても他の会社に報酬100で雇われることが可能であるとする。
(2)A社の利潤を売上からB氏への報酬を引いた残りだと単純化すると、$w_1$と$w_0$を適切に
定めることにより、B氏にA社をやめさせず、かつ努力水準を高めさせるためには、
A社の利潤の期待値を$\boxed{\ \ カキク\ \ }.\boxed{\ \ ケコ\ \ }$以下とする必要がある。
また、A社の利潤の期待値が最大化された時、$w_1:w_0=5:4$を満たす$w_0$の値は
$\boxed{\ \ サシス\ \ }.\boxed{\ \ セソ\ \ }$

以下では、B氏の$w_0$の値をこの$w_0$の値をこの$\boxed{\ \ サシス\ \ }.\boxed{\ \ セソ\ \ }$とする。
(3)実は、B氏の関心は報酬wそのものではなく、そこから得られる満足と解釈される
$10\sqrt w$であることが分かった。そのため、努力水準を高める際の苦痛17.5もこの値
から差し引かれ、努力水準を高めたときのB氏の満足は$10\sqrt w-17.5$となる。
B氏は(実質的な)報酬を最大化する人ではなく、満足を最大化する人だとしたとき、
B氏にA社をやめさせず、かつ努力水準を高めさせえるためには、$w_1 \geqq \boxed{\ \ タチツ\ \ }.\boxed{\ \ テト\ \ }$

2021慶應義塾大学総合政策学部過去問

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数学$\textrm{II}$　軌跡(7)　円周角
2点$A(1,0),\ B(0,1)$に対し$\angle APB=45°$を満たす点Pの軌跡を図示せよ。

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$\boxed{6}-(2)$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (sin x)-\sin x}{\sin x-x}$の
極限値を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$f(x)=\sin 2x$の$x=0$における
3次近似式を求めよ.

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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
43^x=2021 \\
47^y=2021
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$

$\dfrac{5xy+x+y}{4xy-x-y}$の値を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\angle x =?$
＊図は動画内参照

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関数$f(x)=\displaystyle \frac{x^2+ax+b}{x-1}$は$x=2$で極小値5をとる。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）$a,b$の値を求めよ。
（2）関数$y=f(x)$のグラフ上の$x=3$に対応する点における接線の方程式を求めよ。
（3）直線$x=2$、曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ。

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${\Large\boxed{5}}$(1)同じ人形$n$体(nは正の整数)を、1体または2体ずつ前方を向かせて列に並べる。
例えば$n=10$のとき、下図(※動画参照)のような並べ方がある。

ここで、$n$体の人形の並べ方の総数を$a_n$とすると
$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3,\ldots,\ a_{12}=\boxed{\ \ アイウ\ \ },\ a_{13}=\boxed{\ \ エオカ\ \ },\ a_{14}=\boxed{\ \ キクケ\ \ }$
となる。ただし、列の先頭の人形の前には門があり、その門の方向を前方とする。

(2)同じ人形n体(nは2以上の整数)を、2体または3体ずつ前方を向かせて列に並べる。
その並べ方の総数を$b_n$とすると
$b_2=1,\ b_3=1,\ b_4=1,\ldots,\ b_{12}=\boxed{\ \ コサシ\ \ },\ b_{13}=\boxed{\ \ スセソ\ \ },\ b_{14}=\boxed{\ \ タチツ\ \ }$
となる。ただし、列の先頭の人形の前には門があり、その門の方向を前方とする。

2021慶應義塾大学整合政策学部過去問

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数学$\textrm{III}$連続と微分可能(2)
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\sin\displaystyle\frac{1}{x}　(x≠0)\\
0　　　(x=0)
\end{array}\right.$　　
の$x=0$に
おける連続性、微分可能性を調べよ。

問題文全文(内容文)：
$f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}$の
$x=0$における3次近似式を求めよ.

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$\boxed{2}$
$a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{4a_n+3}$
一般項$a_n$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$n$を自然数とする.
$a_1=2$
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n}{n+2}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$を求めよ.

名古屋市立(医)過去問

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BD=6のときAC=?
＊図は動画内参照

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世間の評価が微妙な大学
「難関大なのに不遇な大学３選」について紹介しています。

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${\Large\boxed{4}}$a
aを正の実数、bを1より大きい実数としたとき、放物線$y=-ax^2+b$が、
下図(※動画参照)のように原点を中心とした半径1の円$x^2+y^2=1$と2箇所で
接している。(すなわち共有点において共通の接線を持つ)

(1)一般に、$b=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }a^2+\boxed{\ \ ウエ\ \ }a+\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }a+\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$である。

(2)特に、$a=\frac{\sqrt2}{2}$とすると、放物線と円の接点は
$(±\frac{\sqrt{\boxed{\ \ サシ\ \ }}}{\boxed{\ \ スセ\ \ }},\ \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}}{\boxed{\ \ チツ\ \ }})$
であり、円と放物線に囲まれた上図の斜線部の面積は
$\frac{\boxed{\ \ テト\ \ }+\boxed{\ \ ナニ\ \ }\pi}{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}$となる。

2021慶應義塾大学総合政策学部過去問

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数学$\textrm{I}$
22.5°の三角比
$\sin22.5°,\ \cos22.5°,\ \tan22.5°$を求めよ。
ただし、分母は有利化すること。

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$a\gt 0$とする.
$\displaystyle \int_{0}^{a} dx \displaystyle \int_{0}^{x^2} f(x,y)dy$
の積分順序の変更をせよ.

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$f(x)=\dfrac{1}{2-x}$を
マクローリン展開せよ.

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$x^3-3ax+2=0$の実数解の個数を求めよ.

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(1)5つの実数の総和が1であるならば、これらのうち少なくとも1つは$\dfrac{1}{5}$以上で あることを証明しよう。
(2)(1)の結果を利用して、$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=x_1・x_2・x_3・ x_4・x_5$を満たす正の整数$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$(ただし、 $x_1≦x_2≦x_3≦x_4≦x_5$)の組をすべて求めよう。

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-7を3で割ったときの商と余りは？

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$
図のように(※動画参照)円Aの中に、5つの円Bと4つの円Cが含まれている。
中心の円Bは他の4つの円Bに接し、他の4つの円Bのそれぞれは中心の円Bと円A
と2つの円Cに接している。4つの円Cのそれぞれは円Aと2つの円Bに接している。
いま、円Bの半径を1とすると、円Cの半径は
$\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }+\boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$
である。

2021慶應義塾大学総合政策学部過去問

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$
連続と微分可能(1)
$f(x)$が$x=a$で微分可能 $\Rightarrow f(x)$は$x=a$で連続
を示せ。また、逆が成り立たないことを示せ。

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$D:0\leqq x \leqq 2,x \leqq y \leqq 2$
$ \displaystyle \iint_D e^{y^2} dx \ dy$を計算せよ.

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$1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{1}{27}x^3+･･････$
が収束するように
$x$の範囲を定め,和を求めよ.

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$y=x^3-x$と$y=ax+b$が相異なる3点で交わる$a,b$の条件を求めよ.

2021東京海洋大過去問

問題文全文(内容文)：
分数の通分不要な裏技

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${\Large\boxed{2}}$
サッカー選手Pは下図(※動画参照)のようにペナルティーエリアの左端の線を延長した線
のゴール寄り右3mをドリブルで敵陣にまっすぐ向かっている。Pがゴールに向かって
シュートするとき、Pから見てゴールの見える範囲が大きい方が得策である。すなわち、
下図(※動画参照)のような配置でh=3mのとき、選手Pが蹴り込める角度範囲である$\theta$
が最も大きくなるPのゴールラインからの距離xを求めたい。ただし、ゴールは下図のように
ペナルティーエリアの左右の中央で、ゴールラインの外側に設置されているものとする。
一般に図(※動画参照)のようにペナルティーエリアの左端からゴールの左端までの距離をa、
ペナルティーエリアの左端からゴールの右端までの距離をb、Pのドリブルのラインと
ペナルティーエリアの左端までの距離をh(ただし、$h \lt a$とする)、Pからゴールライン
をx、Pの正面から右のゴールポストまでの角度を$\alpha$、Pの正面から左のゴールポスト
までの角を$\beta$としたとき、次頁の解放の文章を完成させなさい。

(解法)$\tan\theta$を最も大きくするxを求める問題と考えることができる。
$\tan\theta=\tan\boxed{\ \ ア\ \ }=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }×x}{x^2+\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
$\tan\theta$の逆数を考えると、相加相乗平均の定理より
$\frac{1}{\tan\theta}=\frac{x}{\boxed{\ \ エ\ \ }}+\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{x×\boxed{\ \ カ\ \ }} \geqq \frac{2}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
であり、$\frac{1}{\tan\theta}$が最小、すなわち$\tan\theta$が最大となるのは$x=\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$のときである。

(解法終わり)
ペナルティエリアの横幅を40m、ゴールの横幅を8mとすると、今回のサッカー選手Pの場合、
$x=\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}m$のときに、$\theta$が最も大きくなることが分かる。

2021慶應義塾大学総合政策学部過去問