数学(高校生)
数学(高校生)
#高専#不定積分_17#元高専教員
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int\displaystyle \frac{(logx+1)^2}{x} dx$
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$\displaystyle \int\displaystyle \frac{(logx+1)^2}{x} dx$
#明治大学2023#定積分_24#元高校教員
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 2x dx$
出典：2023年明治大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 2x dx$
出典：2023年明治大学
福田の数学〜明治大学2024全学部統一IⅡAB第1問(4)〜図形の計量
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#数Ⅰ#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
平面上に正方形ABCD (※図は動画内参照) がある。点Pが辺BC上にあり、線分APを直径とする円が辺CDと接するものとする。このとき $\cos{\angle\mathrm{DAP}}=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$ であり、また $\sin{\angle\mathrm{APD}}=\frac{\fbox{タチ}\sqrt{\fbox{ツテ}}}{\fbox{トナ}}$ である。
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平面上に正方形ABCD (※図は動画内参照) がある。点Pが辺BC上にあり、線分APを直径とする円が辺CDと接するものとする。このとき $\cos{\angle\mathrm{DAP}}=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$ であり、また $\sin{\angle\mathrm{APD}}=\frac{\fbox{タチ}\sqrt{\fbox{ツテ}}}{\fbox{トナ}}$ である。
#高専#不定積分_16#元高専教員
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#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1} dx$
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1} dx$
#高知工科大学2024#不定積分_23#元高校教員
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#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int x \sin\displaystyle \frac{x}{2} dx$
出典：2024年高知工科大学
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$\displaystyle \int x \sin\displaystyle \frac{x}{2} dx$
出典：2024年高知工科大学
福田のおもしろ数学238〜4つの放物線で囲まれた図形の面積
大学入試問題#916「これは受験生に失礼」 #東海大学医学部2024 #三角関数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東海大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\sin\alpha-\sin\beta=\displaystyle \frac{1}{3}$
$\cos\alpha+\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{5}$
のとき、$\cos(\alpha+\beta)$の値を求めよ。
出典：2024年東海大学医学部
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$\sin\alpha-\sin\beta=\displaystyle \frac{1}{3}$
$\cos\alpha+\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{5}$
のとき、$\cos(\alpha+\beta)$の値を求めよ。
出典：2024年東海大学医学部
福田の数学〜明治大学2024全学部統一IⅡAB第1問(3)〜平均と分散
単元：
#数Ⅰ#データの分析#データの分析#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次のデータは、ある7人制ラグビーチームの7人の選手の身長を調べたものである。
$181,\,185,\,184,\,176,\,172,\,x,\,y$
このデータの平均が$177$、分散が$40$のとき、$x < y$ とすると$x=\fbox{シ},\,y=\fbox{ス}$である。
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次のデータは、ある7人制ラグビーチームの7人の選手の身長を調べたものである。
$181,\,185,\,184,\,176,\,172,\,x,\,y$
このデータの平均が$177$、分散が$40$のとき、$x < y$ とすると$x=\fbox{シ},\,y=\fbox{ス}$である。
#高専#ウォリス積分_15#元高専教員
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#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
（1）$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x$ $dx$
（2）$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^8 x$ $dx$
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（1）$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x$ $dx$
（2）$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^8 x$ $dx$
#広島市立大学2024#不定積分_22#元高校教員
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#広島市立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{e^{ \frac{x}{2}}} dx$
出典：2024年広島市立大学後期 不定積分問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{e^{ \frac{x}{2}}} dx$
出典：2024年広島市立大学後期 不定積分問題
福田のおもしろ数学237〜区分求積法の考え方
単元：
#積分とその応用#定積分#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}$$を求めよ。
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$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}$$を求めよ。
知っていればほぼ一瞬！！円の面積🟰❓
大学入試問題#915「減点祭りの問題」 #京都大学1965 #積分方程式
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$x \gt 1$とする。
$\displaystyle \int_{1}^{x} (x-t)f(t)dt=x^4-2x^2+1$を満たす整式$f(t)$を定めよ。
出典：1965年京都大学
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$x \gt 1$とする。
$\displaystyle \int_{1}^{x} (x-t)f(t)dt=x^4-2x^2+1$を満たす整式$f(t)$を定めよ。
出典：1965年京都大学
福田の数学〜明治大学2024全学部統一IⅡAB第1問(2)〜対数不等式
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x$についての不等式$\left( \log_{ 3 } \frac{x}{8}\right)\cdot\left( \log_{ 2 }8x\right)\leqq \left( \log_{ 3 }2\right)\cdot\left( \log_{ 2 } \frac{8}{x}\right)$を解くと、$\frac{\fbox{ ク }}{\fbox{ ケコ }}\leqq x \leqq \fbox{ サ }$である。
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$x$についての不等式$\left( \log_{ 3 } \frac{x}{8}\right)\cdot\left( \log_{ 2 }8x\right)\leqq \left( \log_{ 3 }2\right)\cdot\left( \log_{ 2 } \frac{8}{x}\right)$を解くと、$\frac{\fbox{ ク }}{\fbox{ ケコ }}\leqq x \leqq \fbox{ サ }$である。
#高専#不定積分_14#元高専教員
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#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{ x }+1}dx$
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{ x }+1}dx$
#自治医科大学2024#式変形_21#元高校教員
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#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#自治医科大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}$のとき
$\displaystyle \frac{x+x^{-1}}{2}$の値を求めよ。
出典：自治医科大学 式変形問題
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$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}$のとき
$\displaystyle \frac{x+x^{-1}}{2}$の値を求めよ。
出典：自治医科大学 式変形問題
福田のおもしろ数学236〜不等式で表された領域の面積
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#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
不等式 $2x^2-2xy+y^2 \leqq 1$ の表す領域の面積を求めよ。
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不等式 $2x^2-2xy+y^2 \leqq 1$ の表す領域の面積を求めよ。
大学入試問題#914「コメントむずい」 #学習院大学2023 #積分方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#学習院大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(0)=0$
$f'(x)+\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) dt=2e^{2x}-e^x$
を満たす関数$f(x)$を求めよ。
出典：2023年学習院大学
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$f(0)=0$
$f'(x)+\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) dt=2e^{2x}-e^x$
を満たす関数$f(x)$を求めよ。
出典：2023年学習院大学
福田の数学〜明治大学2024全学部統一IⅡAB第1問(1)〜接線と法線の方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標平面上の放物線 $y=2x^2-1$ を考える。 $t$ を $0$ でない定数とするとき、放物線上の点 $\mathrm{P}(t,2t^2-1)$ における接線 $l$ の方程式は
$y=\fbox{ア}x $$- \fbox{イ}t^2 $$- \fbox{ウ}$
である。点 $\mathrm{P}$ を通りこの接線 $l$ に直交する直線を点 $\mathrm{P}$ における法線と呼ぶことにすると、この法線の方程式は
$y=\fbox{エ}x $$+ \fbox{オ}t^2 $$- \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ である。
ア、エの解答群は動画内参照。
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座標平面上の放物線 $y=2x^2-1$ を考える。 $t$ を $0$ でない定数とするとき、放物線上の点 $\mathrm{P}(t,2t^2-1)$ における接線 $l$ の方程式は
$y=\fbox{ア}x $$- \fbox{イ}t^2 $$- \fbox{ウ}$
である。点 $\mathrm{P}$ を通りこの接線 $l$ に直交する直線を点 $\mathrm{P}$ における法線と呼ぶことにすると、この法線の方程式は
$y=\fbox{エ}x $$+ \fbox{オ}t^2 $$- \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ である。
ア、エの解答群は動画内参照。
#高専数学#不定積分_13#元高専教員
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{\sqrt{ x+1 }-\sqrt{ x }}$
出典：高専数学 問題集
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{\sqrt{ x+1 }-\sqrt{ x }}$
出典：高専数学 問題集
#宮崎大学2024#不定積分_20#元高校教員
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int x^2log$ $x$ $dx$
出典：2024年 宮崎大学
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$\displaystyle \int x^2log$ $x$ $dx$
出典：2024年 宮崎大学
不等式の証明
大学入試問題#913「作成者サイコ−！」 #広島市立大学後期2024
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#広島市立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{2}^{8} \displaystyle \frac{1}{x(x+1)}log \displaystyle \frac{x}{x+1} dx$
出典：2024年 広島市立大学後期試験
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$\displaystyle \int_{2}^{8} \displaystyle \frac{1}{x(x+1)}log \displaystyle \frac{x}{x+1} dx$
出典：2024年 広島市立大学後期試験
福田の数学〜浜松医科大学2024医学部第4問〜直線に関する対称点と絶対不等式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正方形の紙 $\alpha$ に下図のように座標軸をとり、 $2$ 点 $\mathrm{A}(0,1),$ $\mathrm{B}(-2,0)$ および、 $2$ 直線 $y=-1,$$x=2$ を定める（図は動画内参照）。以下この $2$ 直線をそれぞれ $l_1,l_2$ と表す。このとき、点 $\mathrm{A}$ を直線 $l_1$ 上の点 $\mathrm{A'}(a,-1)$ に重ねて $\alpha$ を折ったときにできる折り目の直線を $l_3(a)$ とする。ただし、 $\mathrm{A'}$ は $\alpha$ 上にとることとし、また、以下の操作はすべて $\alpha$ 上で行うこととする。以下の問いに答えよ。
$(1)$ 直線 $l_3(a)$ の方程式を、 $a$ を用いて表せ。
$(2)$ 点 $\mathrm{A}$ が直線 $l_1$ 上に位置するように $\alpha$ を折り、そのときできる折り目により、 $\alpha$ を $2$ つに分割する。このとき、点 $\mathrm{A}$ が直線 $l_1$ 上に位置するような、どのような折り方をしても、その折り目に対して常に点 $\mathrm{A}$ と同じ側にある点全体の集合の境界線の方程式を求めよ。
$(3)$ 点 $\mathrm{A}$ が直線 $l_1$ 上の点 $\mathrm{A'}$ に重なると同時に、点 $\mathrm{B}$ が直線 $l_2$ 上の点に重なるように $\alpha$ を折るとき、 $a$ の値を求めよ。
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正方形の紙 $\alpha$ に下図のように座標軸をとり、 $2$ 点 $\mathrm{A}(0,1),$ $\mathrm{B}(-2,0)$ および、 $2$ 直線 $y=-1,$$x=2$ を定める（図は動画内参照）。以下この $2$ 直線をそれぞれ $l_1,l_2$ と表す。このとき、点 $\mathrm{A}$ を直線 $l_1$ 上の点 $\mathrm{A'}(a,-1)$ に重ねて $\alpha$ を折ったときにできる折り目の直線を $l_3(a)$ とする。ただし、 $\mathrm{A'}$ は $\alpha$ 上にとることとし、また、以下の操作はすべて $\alpha$ 上で行うこととする。以下の問いに答えよ。
$(1)$ 直線 $l_3(a)$ の方程式を、 $a$ を用いて表せ。
$(2)$ 点 $\mathrm{A}$ が直線 $l_1$ 上に位置するように $\alpha$ を折り、そのときできる折り目により、 $\alpha$ を $2$ つに分割する。このとき、点 $\mathrm{A}$ が直線 $l_1$ 上に位置するような、どのような折り方をしても、その折り目に対して常に点 $\mathrm{A}$ と同じ側にある点全体の集合の境界線の方程式を求めよ。
$(3)$ 点 $\mathrm{A}$ が直線 $l_1$ 上の点 $\mathrm{A'}$ に重なると同時に、点 $\mathrm{B}$ が直線 $l_2$ 上の点に重なるように $\alpha$ を折るとき、 $a$ の値を求めよ。
#宮崎大学2024#不定積分_19#元高校教員
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#宮崎大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int x \sqrt{ 1+x^2 }dx$
出典：2024年宮崎大学
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$\displaystyle \int x \sqrt{ 1+x^2 }dx$
出典：2024年宮崎大学
#名古屋工業大学2024#不定積分_18#元高校教員
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int\sqrt{ 2 }$ $logx$ $dx$
出典：2024年 名古屋工業大学
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$\displaystyle \int\sqrt{ 2 }$ $logx$ $dx$
出典：2024年 名古屋工業大学
福田のおもしろ数学234〜区分求積の公式の変形その2
単元：
#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n}) $$ = \displaystyle \int_0^1 f(x) dx $ である。では、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n+1} \sum_{k=n+2}^{4n+1} f(\frac{k}{n})$ は？
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$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n}) $$ = \displaystyle \int_0^1 f(x) dx $ である。では、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n+1} \sum_{k=n+2}^{4n+1} f(\frac{k}{n})$ は？
大学入試問題#912「解答を綺麗にする時間がなかった」 #自治医科大学2024
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#自治医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$0 \leq k:$整数
$N=\displaystyle \frac{k^2+k+300}{k^3+k^2+2k+2}$が自然数となるときのすべての$k$の値の和$S$を求めよ。
出典：2024年自治医科大学
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$0 \leq k:$整数
$N=\displaystyle \frac{k^2+k+300}{k^3+k^2+2k+2}$が自然数となるときのすべての$k$の値の和$S$を求めよ。
出典：2024年自治医科大学
福田の数学〜浜松医科大学2024医学部第3問〜等式の証明と無限級数の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
(1) すべての自然数$n$に対して
$\begin{eqnarray}\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{(-1)^{k-1}}{k} =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{1}{m+k} & (n が偶数(n = 2m)のとき) \\
\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{1}{m-1+k} & ( nが奇数(n = 2m-1)のとき )
\end{cases}
\end{eqnarray}$
を証明せよ.
(2) (1)の左辺において$n \to \infty$として, 区分求積法を用いて無限級数
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$
の和の値を求めよ.
(3) (2)の無限級数の項の順序を入れ替えてできる無限級数
$1\underbrace{ -\frac{1}{2}-\frac{1}{4} }_{ 2項 }+\displaystyle \frac{1}{3}\underbrace{ -\frac{1}{6}-\frac{1}{8} }_{ 2項 }+\displaystyle \frac{1}{5}\underbrace{ -\frac{1}{10}-\frac{1}{12} }_{ 2項 }+\cdots$
の和の値を求めよ.
(4) 上の結果からどのようなことが考察されるか.「有限」と「無限」という言葉を用いて述べよ.
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(1) すべての自然数$n$に対して
$\begin{eqnarray}\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{(-1)^{k-1}}{k} =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{1}{m+k} & (n が偶数(n = 2m)のとき) \\
\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{1}{m-1+k} & ( nが奇数(n = 2m-1)のとき )
\end{cases}
\end{eqnarray}$
を証明せよ.
(2) (1)の左辺において$n \to \infty$として, 区分求積法を用いて無限級数
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$
の和の値を求めよ.
(3) (2)の無限級数の項の順序を入れ替えてできる無限級数
$1\underbrace{ -\frac{1}{2}-\frac{1}{4} }_{ 2項 }+\displaystyle \frac{1}{3}\underbrace{ -\frac{1}{6}-\frac{1}{8} }_{ 2項 }+\displaystyle \frac{1}{5}\underbrace{ -\frac{1}{10}-\frac{1}{12} }_{ 2項 }+\cdots$
の和の値を求めよ.
(4) 上の結果からどのようなことが考察されるか.「有限」と「無限」という言葉を用いて述べよ.
#宮崎大学2024#定積分_17#元高校教員
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#宮崎大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\displaystyle \frac{x}{4} dx$
出典：2024年宮崎大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\displaystyle \frac{x}{4} dx$
出典：2024年宮崎大学