極限
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【数Ⅲ】【関数と極限】無限級数1-(x+y)+(x+y)²-(x+y)³+…+｛-(x+y)}^n-1 +…が収束し、その和が1/1-xであるとき、yをxの式で表し、そのグラフをかけ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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$|r| \lt 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n r^n = 0$ である。
このことを利用して$,$ 次の無限級数の和を求めよ。ただし$,$ $|x| < 1$ とする。
$(1)$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $+ \displaystyle \frac{2}{9}$ $+\displaystyle \frac{3}{27}$ $+ \cdots \cdots$ $
+\displaystyle \frac{n}{3^n}$ $ + \cdots \cdots$
$(2)$ $1 + 2x + 3x^2 $$ + \cdots \cdots $$ + n x^{n-1} + \cdots \cdots$
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$|r| \lt 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n r^n = 0$ である。
このことを利用して$,$ 次の無限級数の和を求めよ。ただし$,$ $|x| < 1$ とする。
$(1)$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $+ \displaystyle \frac{2}{9}$ $+\displaystyle \frac{3}{27}$ $+ \cdots \cdots$ $
+\displaystyle \frac{n}{3^n}$ $ + \cdots \cdots$
$(2)$ $1 + 2x + 3x^2 $$ + \cdots \cdots $$ + n x^{n-1} + \cdots \cdots$
【数Ⅲ】【関数】垂線AA1, A1A2 ,A2A3, …を下ろすとき、△CAA1, △CA1A2, △CA2A3,…の面積の総和が△ABCの面積を超えないためには∠Cの大きさはどんな範囲にあればよいか
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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図のような直角三角形ABCの直角の頂点Aから、
順に、垂線AA1, A1A2 ,A2A3, …を下ろすとき、△CAA1,
△CA1A2, △CA2A3,…の面積の総和が△ABCの面積を
超えないためには、∠Cの大きさはどんな範囲に
あればよいか。
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図のような直角三角形ABCの直角の頂点Aから、
順に、垂線AA1, A1A2 ,A2A3, …を下ろすとき、△CAA1,
△CA1A2, △CA2A3,…の面積の総和が△ABCの面積を
超えないためには、∠Cの大きさはどんな範囲に
あればよいか。
【数Ⅲ】【関数】次の条件によって定められる数列{an}の極限を求めよ。 a1=10, an+1=2√an
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の極限を求めよ。
$a_1=10, a_{n+1}=2\sqrt{a_n}\quad (n=1,2,3,\cdots)$
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次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の極限を求めよ。
$a_1=10, a_{n+1}=2\sqrt{a_n}\quad (n=1,2,3,\cdots)$
【数Ⅲ】【関数】数列{an}に対して、lim(n→∞)(an+5)/(2an+1)=3であるとき、lim(n→∞)anを求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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数列$\{a_n\}$に対して、
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n+5}{2a_n+1}=3$であるとき、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n$を求めよ。
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数列$\{a_n\}$に対して、
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n+5}{2a_n+1}=3$であるとき、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n$を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】無限級数1-(x+y)+(x+y)²-(x+y)³+…+｛-(x+y)}^n-1 +…が収束し、その和が1/1-xであるとき、yをxの式で表し、そのグラフをかけ。
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無限級数
$1- (x+y) $$ + (x+y)^2 - (x+y)^3 $$ + \cdots \cdots + \{ -(x+y) \}^{n-1} $$ + \cdots \cdots$
が収束し、その和が $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ であるとき、
$y$ を $x$ で表し、そのグラフをかけ。
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無限級数
$1- (x+y) $$ + (x+y)^2 - (x+y)^3 $$ + \cdots \cdots + \{ -(x+y) \}^{n-1} $$ + \cdots \cdots$
が収束し、その和が $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ であるとき、
$y$ を $x$ で表し、そのグラフをかけ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数の和を求めよ。(1) Σ(1/3)^n・cos nπ(2) Σ(-1/3)^n・sin nπ/2
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の無限級数の和を求めよ。
(1)$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \cos n\pi$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \sin \dfrac{n\pi}{2}$
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次の無限級数の和を求めよ。
(1)$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \cos n\pi$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \sin \dfrac{n\pi}{2}$
【数Ⅲ】【関数と極限】無限等比級数で表された関数 ｆ(x)＝sinx・cosx ＋ sin³x・cosx ＋ sin⁵x・cosx ＋ …について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
無限等比級数で表された関数
$f(x) = \sin x \cos x + \sin^3 x \cos x + \sin^5 x \cos x + \cdots$
について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
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無限等比級数で表された関数
$f(x) = \sin x \cos x + \sin^3 x \cos x + \sin^5 x \cos x + \cdots$
について、y＝ｆ(x)のグラフをかけ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数が0以上の実数xに対して収束することを示せ。和のf(x)のグラフをかけ。√x + √x/1+√x + √x/(1+√x)² + … + √x/(1+√x)^n-1 …
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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次の無限級数が$0$以上のすべての実数$x$に対して収束することを示せ。
また，その和を$f(x)$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフをかけ。
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \cdots + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^{n-1}} + \cdots$
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次の無限級数が$0$以上のすべての実数$x$に対して収束することを示せ。
また，その和を$f(x)$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフをかけ。
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \cdots + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^{n-1}} + \cdots$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の式を計算し、結果を循環小数で表せ。(1) 0.36×0.32(2) 1.25÷0.05
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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次の式を計算し，結果を循環小数で表せ。
(1)$0.\dot{3}\dot{6} \times 0.3\dot{2}$
(2) $1.\dot{2}\dot{5} \div 0.0\dot{5}$
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次の式を計算し，結果を循環小数で表せ。
(1)$0.\dot{3}\dot{6} \times 0.3\dot{2}$
(2) $1.\dot{2}\dot{5} \div 0.0\dot{5}$
【数Ⅲ】【関数と極限】次の条件によって定められる数列a₁=8、an+₁=3an+4/an+3(1)bn=1/an-2とおくとき、｛bn｝の一般項を求めよ。(2)｛an｝の一般項とその極限を求めよ
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$a_n$について、次の問いに答えよ。
$a_1=8$、$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+4}{a_n+3}$
(1) $b_{n}=\dfrac{1}{a_n-2} $とおくとき、$b_n$の一般項を求めよ。
(2) $a_n$の一般項とその極限を求めよ。
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次の条件によって定められる数列$a_n$について、次の問いに答えよ。
$a_1=8$、$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+4}{a_n+3}$
(1) $b_{n}=\dfrac{1}{a_n-2} $とおくとき、$b_n$の一般項を求めよ。
(2) $a_n$の一般項とその極限を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の条件によって定められる数列｛an｝の一般項を求めよ。また、｛an｝の極限を求めよ。a₁=1/2、an+₁=an/2+an
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の条件によって定められる
数列$a_n$の一般項を求めよ。
また、$a_n$の極限を求めよ。
$a_1=\dfrac{1}{2}$、$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2+a_n}$
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次の条件によって定められる
数列$a_n$の一般項を求めよ。
また、$a_n$の極限を求めよ。
$a_1=\dfrac{1}{2}$、$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2+a_n}$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列｛(x/x²+2p)^n｝がすべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。ただし、p＞0とする。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
数列｛$\dfrac{x}{x²+2p}^n$｝が
すべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。
ただし、p＞0とする。
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数列｛$\dfrac{x}{x²+2p}^n$｝が
すべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。
ただし、p＞0とする。
【数Ⅲ】【関数と極限】rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。(1) ｒ＞0のとき｛1/2+r^n｝(2) ｒ≠±1のとき｛r^n+2/r^n-1｝(3) ｒ≠0のとき｛1/r^n｝
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) ｒ＞0のとき｛$\dfrac{1}{2+r^n}$｝
(2) ｒ≠±1のとき｛$\dfrac{r^n+2}{r^n-1}$｝
(3) ｒ≠0のとき｛$\dfrac{1}{r^n}$｝
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rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) ｒ＞0のとき｛$\dfrac{1}{2+r^n}$｝
(2) ｒ≠±1のとき｛$\dfrac{r^n+2}{r^n-1}$｝
(3) ｒ≠0のとき｛$\dfrac{1}{r^n}$｝
【数Ⅲ】【関数と極限】次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。(1) ｛(x/1+2x)^n｝(2) ｛x(x²-5x+5)^n-1｝
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。
(1) ｛ $\dfrac{x}{1+2x}^n$ }
(2) ｛ $x(x²-5x+5)^{n-1}$ ｝
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次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。
(1) ｛ $\dfrac{x}{1+2x}^n$ }
(2) ｛ $x(x²-5x+5)^{n-1}$ ｝
【数Ⅲ】【関数と極限】初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、
初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
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初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、
初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
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第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】a₁=1/35、1/an+₁=1/an +8n+20によって定められる数列｛an｝について、次の問いに答えよ。(1) anをnの式で表せ。(2) 無限級数Σanの和を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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数列 $\{a_n\}$ は以下のように定められる数列について、次の問いに答えよ
$a_1 = \frac{1}{35}$,$\quad \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 8n + 20 \quad$ $(n = 1, 2, 3, \ldots)$
(1)$a_n$を$n$ の式で表せ。
(2)無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。
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数列 $\{a_n\}$ は以下のように定められる数列について、次の問いに答えよ
$a_1 = \frac{1}{35}$,$\quad \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 8n + 20 \quad$ $(n = 1, 2, 3, \ldots)$
(1)$a_n$を$n$ の式で表せ。
(2)無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。(1) 2 + 2/1+2 + 2/1+2+3 +・・・+ 2/1+2+3+…+n +・・・他
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
次の無限級数の収束・発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ。
(1)$2+\frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \frac{2}{1+2+3+4} + \cdots$
(2)$\frac{1}{3} + \frac{1}{3+5} + \frac{1}{3+5+7} + \cdots + \frac{1}{3+5+7+\cdots+(2n+1)} + \cdots$
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次の無限級数の収束・発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ。
(1)$2+\frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \frac{2}{1+2+3+4} + \cdots$
(2)$\frac{1}{3} + \frac{1}{3+5} + \frac{1}{3+5+7} + \cdots + \frac{1}{3+5+7+\cdots+(2n+1)} + \cdots$
【数Ⅲ】【関数と極限】nは自然数とし、h＞0のとき、不等式(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)/2・h²が成り立つ。このことを用いて、数列｛n/3^n｝の極限を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
nは自然数とし、h＞0のとき、
不等式$(1+h)^n≧1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}・h²$が成り立つ。
このことを用いて、数列$\dfrac{n}{3^n}$の極限を求めよ。
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nは自然数とし、h＞0のとき、
不等式$(1+h)^n≧1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}・h²$が成り立つ。
このことを用いて、数列$\dfrac{n}{3^n}$の極限を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の条件によって定められる数列｛an｝の極限を求めよ。a₁=0、a₂=1、3an+₂=an+₁+2an他
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$a_n$の極限を求めよ。
(1) $a₁=0$、$a₂=1$、$3a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$
(2) $a₁=0$、$a₂=1$、$a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n=0$
(3) $a₁=1$、$a₂=2$、$a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0$
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次の条件によって定められる数列$a_n$の極限を求めよ。
(1) $a₁=0$、$a₂=1$、$3a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$
(2) $a₁=0$、$a₂=1$、$a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n=0$
(3) $a₁=1$、$a₂=2$、$a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限5 ※問題文は概要欄
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
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数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限4 ※問題文は概要欄
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次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
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次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限3 ※問題文は概要欄
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限2 ※問題文は概要欄
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n}}$
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n}}$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限1 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。ただし、$\theta$は定数とする。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n} \cos \frac{n\pi}{4}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}$
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次の極限を求めよ。ただし、$\theta$は定数とする。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n} \cos \frac{n\pi}{4}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}$