福田次郎
福田次郎
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福田のわかった数学〜高校３年生理系087〜グラフを描こう(9)媒介変数表示のグラフ
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(9)\hspace{50pt}\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t\cos t-\sin t\\
y=t\sin t+\cos t\\
\end{array}
\right. (0 \leqq t \leqq 2\pi)\\
\\
のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(9)\hspace{50pt}\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t\cos t-\sin t\\
y=t\sin t+\cos t\\
\end{array}
\right. (0 \leqq t \leqq 2\pi)\\
\\
のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生069〜三角関数(8)三角不等式
単元：
#数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(8) 三角不等式\hspace{50pt}\\
aは2以上の整数、0 \lt x \leqq \piのとき次の連立不等式を解け。\\
\left\{
\begin{array}{1}
\cos x \leqq \cos2ax \ldots①\\
\sin2ax \leqq 0 \ldots②\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(8) 三角不等式\hspace{50pt}\\
aは2以上の整数、0 \lt x \leqq \piのとき次の連立不等式を解け。\\
\left\{
\begin{array}{1}
\cos x \leqq \cos2ax \ldots①\\
\sin2ax \leqq 0 \ldots②\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生069〜場合の数(8)円順列その2
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(8) 円順列(2)\\
次のような玉を円形に並べる方法は何通りか。\\
(1)白玉1個、黄玉2個、赤玉3個\\
(2)白玉2個、赤玉4個\\
(3)白玉2個、黄玉2個、赤玉2個
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(8) 円順列(2)\\
次のような玉を円形に並べる方法は何通りか。\\
(1)白玉1個、黄玉2個、赤玉3個\\
(2)白玉2個、赤玉4個\\
(3)白玉2個、黄玉2個、赤玉2個
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系086〜グラフを描こう(8)媒介変数表示のグラフ
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(8)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^3-3t^2\\
y=t^2-2t
\end{array}
\right. のグラフを描け。\\
\\
ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(8)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^3-3t^2\\
y=t^2-2t
\end{array}
\right. のグラフを描け。\\
\\
ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生068〜三角関数(7)三角方程式とグラフ
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#三角関数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#三角関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(7) 三角方程式\\
0 \leqq x \leqq 2\pi, 0 \leqq y \leqq 2\piにおいて\\
\cos y=\sin2x のグラフを描け。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(7) 三角方程式\\
0 \leqq x \leqq 2\pi, 0 \leqq y \leqq 2\piにおいて\\
\cos y=\sin2x のグラフを描け。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生068〜場合の数(7)円順列
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(7) 円順列\\
8人を図のように(1)円形のテーブル (2)正方形のテーブル (3)長方形のテーブルに並べる方法は\\
それぞれ何通りあるか。\\
(※図は動画参照)
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(7) 円順列\\
8人を図のように(1)円形のテーブル (2)正方形のテーブル (3)長方形のテーブルに並べる方法は\\
それぞれ何通りあるか。\\
(※図は動画参照)
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第３問〜直線の傾きと放物線との接線
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} aを実数の定数とする。座標平面上の放物線C:y=-x^2+ax-\frac{(a-2-\sqrt3)^2}{4}, \\
直線l:y=(2+\sqrt3)x がある。lとx軸のなす角を\thetaとする。ただし0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}とする。\\
このとき、次の各問いに答えよ。\\
(1)Cとlの共有点のx座標をaを用いて表せ。\\
(2)\tan\theta, \tan(\theta+\frac{\pi}{4}), \tan(\theta-\frac{\pi}{4})の値をそれぞれ求めよ。\\
(3)y切片が2であり、lとのなす角が\frac{\pi}{4}である直線の方程式を全て求めよ。\\
(4)(3)で求めた直線のうち、傾きが負であるものをmとする。\\
Cとmが接するときのaの値を求めよ。\\
また、そのとき、Cとmの接点の座標を求めよ。\\
(5)aを(4)で求めた値とするとき、C,mおよび\ y\ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} aを実数の定数とする。座標平面上の放物線C:y=-x^2+ax-\frac{(a-2-\sqrt3)^2}{4}, \\
直線l:y=(2+\sqrt3)x がある。lとx軸のなす角を\thetaとする。ただし0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}とする。\\
このとき、次の各問いに答えよ。\\
(1)Cとlの共有点のx座標をaを用いて表せ。\\
(2)\tan\theta, \tan(\theta+\frac{\pi}{4}), \tan(\theta-\frac{\pi}{4})の値をそれぞれ求めよ。\\
(3)y切片が2であり、lとのなす角が\frac{\pi}{4}である直線の方程式を全て求めよ。\\
(4)(3)で求めた直線のうち、傾きが負であるものをmとする。\\
Cとmが接するときのaの値を求めよ。\\
また、そのとき、Cとmの接点の座標を求めよ。\\
(5)aを(4)で求めた値とするとき、C,mおよび\ y\ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系085〜グラフを描こう(7)媒介変数表示のグラフ
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(7)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^2+1\\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right. (-2 \leqq t \leqq 1)\\
\\
のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(7)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^2+1\\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right. (-2 \leqq t \leqq 1)\\
\\
のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第２問〜2項間の漸化式の解法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\}がある。\\
a_1=1, a_{n+1}=3a_n+4n (n=1,2,3,\ldots)\\
また、nに無関係な定数p,qに対し、\\
b_n=a_n+pn+q (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。このとき次の問いに答えよ。\\
(1)n,p,qに無関係な定数A,B,C,D,Eが\\
b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq) (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。\\
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列\left\{b_n\right\}が公比Aの等比数列となるような\\
p,qの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)(2)で求めたp,qの値に対して、数列\left\{b_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\}がある。\\
a_1=1, a_{n+1}=3a_n+4n (n=1,2,3,\ldots)\\
また、nに無関係な定数p,qに対し、\\
b_n=a_n+pn+q (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。このとき次の問いに答えよ。\\
(1)n,p,qに無関係な定数A,B,C,D,Eが\\
b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq) (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。\\
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列\left\{b_n\right\}が公比Aの等比数列となるような\\
p,qの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)(2)で求めたp,qの値に対して、数列\left\{b_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生067〜三角関数(6)三角方程式
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#三角関数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#三角関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(6) 三角方程式\\
次の三角方程式の一般解と0 \leqq \theta \lt 2\piにおける解を求めよ。\\
\cos4\theta=\sin(\theta+\frac{\pi}{4})
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(6) 三角方程式\\
次の三角方程式の一般解と0 \leqq \theta \lt 2\piにおける解を求めよ。\\
\cos4\theta=\sin(\theta+\frac{\pi}{4})
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(6)〜平均と分散の関係
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (6)\ 10個の正三角形がある。それらの辺の長さからなるデータの平均は9である。\\
また、それらの面積からなるデータの平均値は\frac{118\sqrt3}{5}である。このとき、\\
辺の長さからなるデータの分散は\ \boxed{\ \ ク\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (6)\ 10個の正三角形がある。それらの辺の長さからなるデータの平均は9である。\\
また、それらの面積からなるデータの平均値は\frac{118\sqrt3}{5}である。このとき、\\
辺の長さからなるデータの分散は\ \boxed{\ \ ク\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生067〜場合の数(6)色々な順列
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(6) 並べ方色々\\
さいころを4回投げたとき、出た目を順にa,b,c,dとする。\\
次のような目の出方は何通りあるか。\\
(1)全て異なる目が出る\\
(2)a \lt b \lt c \lt d\\
(3)a \leqq b \leqq c \leqq d
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(6) 並べ方色々\\
さいころを4回投げたとき、出た目を順にa,b,c,dとする。\\
次のような目の出方は何通りあるか。\\
(1)全て異なる目が出る\\
(2)a \lt b \lt c \lt d\\
(3)a \leqq b \leqq c \leqq d
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(5)〜対数方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ xについての方程式\\
(\log_2x)^2+5\log_2x+2=0\\
の2つの解を\alpha,\betaとおくと、\alpha\beta=\boxed{\ \ キ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ xについての方程式\\
(\log_2x)^2+5\log_2x+2=0\\
の2つの解を\alpha,\betaとおくと、\alpha\beta=\boxed{\ \ キ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系084〜グラフを描こう(6)陰関数のグラフ
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(6)\hspace{160pt}\\
y^2=x^2(x+1) のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(6)\hspace{160pt}\\
y^2=x^2(x+1) のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(4)〜ベクトル方程式と三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 三角形OABにおいて、2つのベクトル\overrightarrow{ OA }, \overrightarrow{ OB }は|\overrightarrow{ OA }|=3, |\overrightarrow{ OB }|=2,\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=2 を満たすとする。実数s,tが\\
s \geqq 0, t \geqq 0, 2s+t \leqq 1\\
を満たすとき、\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }
と表されるような点Pの\\
存在する範囲の面積は\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 三角形OABにおいて、2つのベクトル\overrightarrow{ OA }, \overrightarrow{ OB }は|\overrightarrow{ OA }|=3, |\overrightarrow{ OB }|=2,\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=2 を満たすとする。実数s,tが\\
s \geqq 0, t \geqq 0, 2s+t \leqq 1\\
を満たすとき、\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }
と表されるような点Pの\\
存在する範囲の面積は\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生066〜三角関数(5)三角方程式
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#図形と方程式#三角関数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#三角関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(5) 三角方程式\\
定角\alphaに対して次の一般解を求めよ。\\
(1)\sin x=\sin\alpha (2)\cos x=\cos\alpha\\
(3)\tan x=\tan\alpha
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(5) 三角方程式\\
定角\alphaに対して次の一般解を求めよ。\\
(1)\sin x=\sin\alpha (2)\cos x=\cos\alpha\\
(3)\tan x=\tan\alpha
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(3)〜さいころの確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)\ 3個のさいころを1回投げるとき、出た目の最大値が3となる確率は\\
\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ であり、また、出た目の積が8となる確率は\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)\ 3個のさいころを1回投げるとき、出た目の最大値が3となる確率は\\
\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ であり、また、出た目の積が8となる確率は\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生066〜場合の数(5)色々な順列
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(5) 並べ方色々\\
男子5人、女子3人(a,b,cとする)が次のように横一列に\\
並ぶ方法は何通りか。\\
(1)女子3人が隣り合う並び方\\
(2)どの女子2人も隣り合わない並び方\\
(3)aがbより左、bがcより左に現れる並び方
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(5) 並べ方色々\\
男子5人、女子3人(a,b,cとする)が次のように横一列に\\
並ぶ方法は何通りか。\\
(1)女子3人が隣り合う並び方\\
(2)どの女子2人も隣り合わない並び方\\
(3)aがbより左、bがcより左に現れる並び方
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(2)〜円に内接する四角形
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 円Cに内接する四角形PQRSにおいて、対角線PRは円Cの中心Oを通る。\\
また、各辺の長さは、PQ=1, QR=8, RS=4, SP=7であり、\\
角Pの大きさを\thetaとする。ただし、0 \lt \theta \lt \piとする。\\
このとき円Cの直径は\ \boxed{\ \ イ\ \ },\cos\theta=\boxed{\ \ ウ\ \ } である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 円Cに内接する四角形PQRSにおいて、対角線PRは円Cの中心Oを通る。\\
また、各辺の長さは、PQ=1, QR=8, RS=4, SP=7であり、\\
角Pの大きさを\thetaとする。ただし、0 \lt \theta \lt \piとする。\\
このとき円Cの直径は\ \boxed{\ \ イ\ \ },\cos\theta=\boxed{\ \ ウ\ \ } である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系083〜グラフを描こう(5)ルート混じりのグラフ
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(5)\\
y=x^3\sqrt{1-x^2} のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(5)\\
y=x^3\sqrt{1-x^2} のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(1)〜相加平均と相乗平均の関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ x \gt 0における(x+\frac{1}{x})(x+\frac{2}{x}) の最小値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ x \gt 0における(x+\frac{1}{x})(x+\frac{2}{x}) の最小値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生065〜三角関数(4)三角不等式の基礎
単元：
#数Ⅱ#式と証明#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#三角関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(4) 三角不等式の基礎\\
(1)\sin\theta \gt -\frac{1}{2} (2)\cos\theta \leqq \frac{\sqrt3}{2} (3)\tan\theta \gt -1\\
の解を(ア)0 \leqq \theta \lt 2\pi (イ)-\pi \leqq \theta \lt \pi\\
(ウ)一般解 としてそれぞれ求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(4) 三角不等式の基礎\\
(1)\sin\theta \gt -\frac{1}{2} (2)\cos\theta \leqq \frac{\sqrt3}{2} (3)\tan\theta \gt -1\\
の解を(ア)0 \leqq \theta \lt 2\pi (イ)-\pi \leqq \theta \lt \pi\\
(ウ)一般解 としてそれぞれ求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年理学部第４問〜極形式で与えられたzの計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 複素数zをz=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}とする。ただし、iは虚数単位とする。また、\\
a=z+\frac{1}{z}, b=z^2+\frac{1}{z^2}, c=z^3+\frac{1}{z^3} とおく。次の問いに答えよ。\\
(1)z^7は有理数になる。その値を求めよ。\\
(2)z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(3)A=a+b+c は有理数になる。その値を求めよ。\\
(4)B=a^2+b^2+c^2 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(5)C=ab+bc+ca は有理数になる。その値を求めよ。\\
(6)D=a^3+b^3+c^3-3abc は有理数になる。その値を求めよ。\\
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 複素数zをz=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}とする。ただし、iは虚数単位とする。また、\\
a=z+\frac{1}{z}, b=z^2+\frac{1}{z^2}, c=z^3+\frac{1}{z^3} とおく。次の問いに答えよ。\\
(1)z^7は有理数になる。その値を求めよ。\\
(2)z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(3)A=a+b+c は有理数になる。その値を求めよ。\\
(4)B=a^2+b^2+c^2 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(5)C=ab+bc+ca は有理数になる。その値を求めよ。\\
(6)D=a^3+b^3+c^3-3abc は有理数になる。その値を求めよ。\\
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生065〜場合の数(4)0を含む順列
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(4) 0を含む順列\\
0,1,2,3,4,5,6から異なる4個を選んで\\
4桁の整数を作るとき、次の個数を求めよ。\\
(1)全部で (2)偶数 (3)奇数 (4)9の倍数 (5)4の倍数
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(4) 0を含む順列\\
0,1,2,3,4,5,6から異なる4個を選んで\\
4桁の整数を作るとき、次の個数を求めよ。\\
(1)全部で (2)偶数 (3)奇数 (4)9の倍数 (5)4の倍数
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年理学部第３問〜定積分の漸化式と回転体の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} nを0以上の整数とする。定積分\\
I_n=\int_1^e\frac{(\log x)^n}{x^2}\ dx\\
について、次の問(1)～(4)に答えよ。ただし、eは自然対数の底である。\\
(1)I_0, I_1の値をそれぞれ求めよ。\\
(2)I_{n+1}をI_nとnを用いて表せ。\\
(3)x \gt 0とする。関数f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}\ の増減表を書け。\\
ただし、極値も増減表に記入すること。\\
(4)座標平面上の曲線\ y=\frac{(\log x)^2}{x}, x軸と直線x=eとで囲まれた図形を、\\
x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} nを0以上の整数とする。定積分\\
I_n=\int_1^e\frac{(\log x)^n}{x^2}\ dx\\
について、次の問(1)～(4)に答えよ。ただし、eは自然対数の底である。\\
(1)I_0, I_1の値をそれぞれ求めよ。\\
(2)I_{n+1}をI_nとnを用いて表せ。\\
(3)x \gt 0とする。関数f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}\ の増減表を書け。\\
ただし、極値も増減表に記入すること。\\
(4)座標平面上の曲線\ y=\frac{(\log x)^2}{x}, x軸と直線x=eとで囲まれた図形を、\\
x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系082〜グラフを描こう(4)ルート混じりのグラフ
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(4)\hspace{180pt}\\
y=4x\sqrt x-3x^2+12x のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(4)\hspace{180pt}\\
y=4x\sqrt x-3x^2+12x のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年理学部第２問〜2直線のなす角の最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 座標平面において、放物線y=x^2上の点でx座標がp,p+1,p+2である点を\\
それぞれP,Q,Rとする。また、直線PQの傾きをm_1、直線PRの傾きをm_2、\\
\angle QPR=\thetaとする。\\
\\
(1)m_1,\ m_2をそれぞれ\ p\ を用いて表せ。\\
(2)pが実数全体を動くとき、m_1m_2の最小値を求めよ。\\
(3)\tan\thetaを\ p\ を用いて表せ。\\
(4)pが実数全体を動くとき、\thetaが最大になる\ p\ の値を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 座標平面において、放物線y=x^2上の点でx座標がp,p+1,p+2である点を\\
それぞれP,Q,Rとする。また、直線PQの傾きをm_1、直線PRの傾きをm_2、\\
\angle QPR=\thetaとする。\\
\\
(1)m_1,\ m_2をそれぞれ\ p\ を用いて表せ。\\
(2)pが実数全体を動くとき、m_1m_2の最小値を求めよ。\\
(3)\tan\thetaを\ p\ を用いて表せ。\\
(4)pが実数全体を動くとき、\thetaが最大になる\ p\ の値を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生064〜三角関数(3)三角方程式の基礎
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#図形と方程式#三角関数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#三角関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(3) 三角方程式の基礎\hspace{40pt}\\
(1)\sin\theta=-\frac{1}{2} (2)\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2} (3)\tan\theta=-1\\
の解を(ア)0 \leqq \theta \lt 2\pi (イ)-\pi \leqq \theta \lt \pi\\
(ウ)一般解 としてそれぞれ求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 三角関数(3) 三角方程式の基礎\hspace{40pt}\\
(1)\sin\theta=-\frac{1}{2} (2)\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2} (3)\tan\theta=-1\\
の解を(ア)0 \leqq \theta \lt 2\pi (イ)-\pi \leqq \theta \lt \pi\\
(ウ)一般解 としてそれぞれ求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2021年理学部第１問(5)〜対数の計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ A=4^{(4^4)},\ B=(4^4)^4 のとき、\log_2(\log_2A)-\log_2(\log_2B)の値を\\
整数で表すと\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ A=4^{(4^4)},\ B=(4^4)^4 のとき、\log_2(\log_2A)-\log_2(\log_2B)の値を\\
整数で表すと\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生064〜場合の数(3)約数の個数と総和
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(3) 約数の総和\\
600の正の約数の個数と総和を求めよ。\\
また、正の約数のうち、偶数であるものの\\
個数とその総和を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 場合の数(3) 約数の総和\\
600の正の約数の個数と総和を求めよ。\\
また、正の約数のうち、偶数であるものの\\
個数とその総和を求めよ。
\end{eqnarray}