福田次郎
福田次郎
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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題099〜早稲田大学2020年度社会科学部第３問〜複数の円の位置関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の5つの点$P_1$($-\sqrt 5$, 0), $P_2$($-\frac{\sqrt 5}{2}$, $-\frac{\sqrt 3}{2}$), $P_3$(0, 0), $P_4$($\frac{\sqrt 5}{2}$, $-\frac{\sqrt 3}{2}$), $P_5$($\sqrt 5$, 0)をそれぞれ中心とする半径1の円を$C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$とする。次の問に答えよ。
(1)1つ以上の円に囲まれる領域の面積を求めよ。
(2)2つ以上の円と接する直線の本数を求めよ。
(3)3つ以上の円と外接する円の半径をすべて求めよ。
2020早稲田大学社会科学部過去問
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$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の5つの点$P_1$($-\sqrt 5$, 0), $P_2$($-\frac{\sqrt 5}{2}$, $-\frac{\sqrt 3}{2}$), $P_3$(0, 0), $P_4$($\frac{\sqrt 5}{2}$, $-\frac{\sqrt 3}{2}$), $P_5$($\sqrt 5$, 0)をそれぞれ中心とする半径1の円を$C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$とする。次の問に答えよ。
(1)1つ以上の円に囲まれる領域の面積を求めよ。
(2)2つ以上の円と接する直線の本数を求めよ。
(3)3つ以上の円と外接する円の半径をすべて求めよ。
2020早稲田大学社会科学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題098〜早稲田大学2020年度商学部第１問(1)〜積分方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (1)m, nを正の整数とする。n次関数f(x)が、次の等式を満たしているとき、f(x)=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
$\displaystyle\int_0^x(x-t)^{m-1}f(t)dt$=$\left\{f(x)\right\}^m$
2020早稲田大学商学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (1)m, nを正の整数とする。n次関数f(x)が、次の等式を満たしているとき、f(x)=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
$\displaystyle\int_0^x(x-t)^{m-1}f(t)dt$=$\left\{f(x)\right\}^m$
2020早稲田大学商学部過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IIB第４問数列〜複利計算
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第4問
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1%で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金を$a_n$万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、$a_1=10+p, a_2=1.01(10+p)+p$である。
(1)$a_n$を求めるために二つの方針で考える。
方針1
n年目の初めの預金と(n+1)年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金$a_3$万円について、$a_3=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である。全ての自然数nについて
$a_{n+1}=\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}a_n+\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
が成り立つ。これは
$a_{n+1}+\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}(a_n+\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }})$
と変形でき、$a_n$を求めることができる。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$の解答群
⓪1.01{1.01(10+p)+p} ①1.01{1.01(10+p)+1.01p}
②1.01{1.01(10+p)+p}+p ③1.01{1.01(10+p)+p}+1.01p
④1.01(10+p)+1.01p ⑤1.01(10+1.01p)+1.01p
$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$～$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪1.01 ①$1.01^{n-1}$ ②$1.01^n$
③p ④100p ⑤np
⑥100np ⑦$1.01^{n-1}$×100p ⑧$1.01^n$×100p
方針2
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10×1.01万円になり、3年目の初めには10×$1.01^2$万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10×$1.01^{n-1}$万円になる。
・1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×$1.01^{\boxed{\boxed{カ}}}$万円になる。
・2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×$1.01^{\boxed{\boxed{キ}}}$万円になる。
・n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp万円のままである。
これより
$a_n$=10×$1.01^{n-1}$+p×$1.01^{\boxed{\boxed{カ}}}$+p×$1.01^{\boxed{\boxed{キ}}}$+...+p
=10×$1.01^{n-1}$+p$\displaystyle\sum_{k=1}^n1.01^{\boxed{\boxed{ク}}}$
となることがわかる。ここで、$\displaystyle\sum_{k=1}^n1.01^{\boxed{\boxed{ク}}}$=$\boxed{\boxed{ \ \ ケ\ \ }}$となるので、$a_n$を求めることができる。
$\boxed{\boxed{ \ \ ケ\ \ }}$, $\boxed{\boxed{ \ \ キ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪n+1 ①n ②n-1 ③n-2
$\boxed{\boxed{ \ \ ク\ \ }}$の解答群
⓪k+1 ①k ②k-1 ③k-2
$\boxed{\boxed{ \ \ ケ\ \ }}$の解答群
⓪100×$1.01^n$ ①100($1.01^n$-1)
②100($1.01^{n-1}-1$) ③n+$1.01^{n-1}$-1
④0.01(101n-1) ⑤$\frac{n×1.01^{n-1}}{2}$
(2)花子さんは、10年目の終わりの預金が30万円以上になるための入金額について考えた。
10年目の終わりの預金が30万円以上であることを不等式を用いて表すと
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$≧30となる。この不等式をpについて解くと
p≧$\frac{\boxed{\ \ サシ\ \ }-\boxed{\ \ スセ\ \ }×1.01^{10}}{101(1.01^{10}-1)}$
となる。したがって、毎年の初めの入金額が例えば18000円であれば、10年目の終わりの預金が30万円以上になることがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
⓪$a_{10}$ ①$a_{10}$+p ②$a_{10}$-p
③1.01$a_{10}$ ④1.01$a_{10}$+p ⑤1.01$a_{10}$-p
(3)1年目の入金を始める前における花子さんの預金が10万円ではなく、13万円の場合を考える。すべての自然数nに対して、この場合のn年目の初めの預金は$a_n$万円よりも$\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$万円多い。なお、年利は1%であり、毎年の初めの入金額はp万円のままである。
$\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群
⓪3 ①13 ②3(n-1)
③3n ④13(n-1) ⑤13n
⑥$3^n$ ⑦3+1.01(n-1) ⑧3×$1.01^{n-1}$
⑨3×$1.01^n$ ⓐ13×$1.01^{n-1}$ ⓑ13×$1.01^n$
2023共通テスト過去問
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第4問
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1%で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金を$a_n$万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、$a_1=10+p, a_2=1.01(10+p)+p$である。
(1)$a_n$を求めるために二つの方針で考える。
方針1
n年目の初めの預金と(n+1)年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金$a_3$万円について、$a_3=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である。全ての自然数nについて
$a_{n+1}=\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}a_n+\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
が成り立つ。これは
$a_{n+1}+\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}(a_n+\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }})$
と変形でき、$a_n$を求めることができる。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$の解答群
⓪1.01{1.01(10+p)+p} ①1.01{1.01(10+p)+1.01p}
②1.01{1.01(10+p)+p}+p ③1.01{1.01(10+p)+p}+1.01p
④1.01(10+p)+1.01p ⑤1.01(10+1.01p)+1.01p
$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$～$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪1.01 ①$1.01^{n-1}$ ②$1.01^n$
③p ④100p ⑤np
⑥100np ⑦$1.01^{n-1}$×100p ⑧$1.01^n$×100p
方針2
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10×1.01万円になり、3年目の初めには10×$1.01^2$万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10×$1.01^{n-1}$万円になる。
・1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×$1.01^{\boxed{\boxed{カ}}}$万円になる。
・2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×$1.01^{\boxed{\boxed{キ}}}$万円になる。
・n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp万円のままである。
これより
$a_n$=10×$1.01^{n-1}$+p×$1.01^{\boxed{\boxed{カ}}}$+p×$1.01^{\boxed{\boxed{キ}}}$+...+p
=10×$1.01^{n-1}$+p$\displaystyle\sum_{k=1}^n1.01^{\boxed{\boxed{ク}}}$
となることがわかる。ここで、$\displaystyle\sum_{k=1}^n1.01^{\boxed{\boxed{ク}}}$=$\boxed{\boxed{ \ \ ケ\ \ }}$となるので、$a_n$を求めることができる。
$\boxed{\boxed{ \ \ ケ\ \ }}$, $\boxed{\boxed{ \ \ キ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪n+1 ①n ②n-1 ③n-2
$\boxed{\boxed{ \ \ ク\ \ }}$の解答群
⓪k+1 ①k ②k-1 ③k-2
$\boxed{\boxed{ \ \ ケ\ \ }}$の解答群
⓪100×$1.01^n$ ①100($1.01^n$-1)
②100($1.01^{n-1}-1$) ③n+$1.01^{n-1}$-1
④0.01(101n-1) ⑤$\frac{n×1.01^{n-1}}{2}$
(2)花子さんは、10年目の終わりの預金が30万円以上になるための入金額について考えた。
10年目の終わりの預金が30万円以上であることを不等式を用いて表すと
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$≧30となる。この不等式をpについて解くと
p≧$\frac{\boxed{\ \ サシ\ \ }-\boxed{\ \ スセ\ \ }×1.01^{10}}{101(1.01^{10}-1)}$
となる。したがって、毎年の初めの入金額が例えば18000円であれば、10年目の終わりの預金が30万円以上になることがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
⓪$a_{10}$ ①$a_{10}$+p ②$a_{10}$-p
③1.01$a_{10}$ ④1.01$a_{10}$+p ⑤1.01$a_{10}$-p
(3)1年目の入金を始める前における花子さんの預金が10万円ではなく、13万円の場合を考える。すべての自然数nに対して、この場合のn年目の初めの預金は$a_n$万円よりも$\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$万円多い。なお、年利は1%であり、毎年の初めの入金額はp万円のままである。
$\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群
⓪3 ①13 ②3(n-1)
③3n ④13(n-1) ⑤13n
⑥$3^n$ ⑦3+1.01(n-1) ⑧3×$1.01^{n-1}$
⑨3×$1.01^n$ ⓐ13×$1.01^{n-1}$ ⓑ13×$1.01^n$
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題097〜早稲田大学2020年度教育学部第４問〜曲線の通過範囲の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標平面上で、定数k＞0に対し、曲線y=$\frac{k}{\sqrt{1+x^2}}$の0≦x≦1の部分を$C_k$とする。
(1)曲線$C_k$上の点と原点との距離の最大値$M(k)$を求めよ。
(2)原点を中心に曲線$C_k$を1回転させるとき、$C_k$が通る部分の面積$S(k)$を求めよ。
2020早稲田大学教育学部過去問
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$\Large\boxed{4}$ 座標平面上で、定数k＞0に対し、曲線y=$\frac{k}{\sqrt{1+x^2}}$の0≦x≦1の部分を$C_k$とする。
(1)曲線$C_k$上の点と原点との距離の最大値$M(k)$を求めよ。
(2)原点を中心に曲線$C_k$を1回転させるとき、$C_k$が通る部分の面積$S(k)$を求めよ。
2020早稲田大学教育学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題096〜早稲田大学2020年度理工学部第３問〜水の問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 曲線 x=g(y)のy≧0の部分とx軸上の線分0≦x≦g(0)のなす曲線をCとし、Cをy軸のまわりに1回転してできる容器をVとする。ただし、g(y)はy≧0で定義された正の関数とする。Vに毎秒一定量vの水を注ぐとする。t秒後のV内の水位をy=h(t)とするとき、以下の問に答えよ。
(1)水位が一定の速さで上昇するとき、g(y)は定数関数であることを示せ。
(2)g(y)=$e^y$のとき、h(t)を求めよ。
2020早稲田大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{3}$ 曲線 x=g(y)のy≧0の部分とx軸上の線分0≦x≦g(0)のなす曲線をCとし、Cをy軸のまわりに1回転してできる容器をVとする。ただし、g(y)はy≧0で定義された正の関数とする。Vに毎秒一定量vの水を注ぐとする。t秒後のV内の水位をy=h(t)とするとき、以下の問に答えよ。
(1)水位が一定の速さで上昇するとき、g(y)は定数関数であることを示せ。
(2)g(y)=$e^y$のとき、h(t)を求めよ。
2020早稲田大学理工学部過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IIB第２問微分積分〜円錐に内接する円柱の体積の最大と桜の開花予想
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#微分法と積分法#不定積分・定積分#面積、体積#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第2問
[1](1)kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
$f(x)=x^2(k-x)$
y=f(x)のグラフとx軸との共有点の座標は(0, 0)と($\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, 0)である。
f(x)の導関数f'(x)は
f'(x)=$\boxed{\ \ イウ\ \ }x^2+\boxed{\ \ エ\ \ }kx$
である。
x=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$のとき、f(x)は極小値$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$をとる。
x=$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$のとき、f(x)は極大値$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx=$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$のときf(x)は最大となることがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$~$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0 ①$\frac{1}{3}k$ ②$\frac{1}{2}k$ ③$\frac{2}{3}k$
④k ⑤$\frac{3}{2}k$ ⑥$-4k^2$ ⑦$\frac{1}{8}k^2$
⑧$\frac{2}{27}k^3$ ⑨$\frac{4}{27}k^3$ ⓐ$\frac{4}{9}k^3$ ⓑ$4k^3$
(2)後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx, Vとする。Vをxの式で表すと
V=$\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}\pi x^2(\boxed{\ \ サ\ \ }-x)$(0＜x＜9)
である。(1)の考察より、x=$\boxed{\ \ シ\ \ }$のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は$\boxed{\ \ スセソ\ \ }\pi$である。
[2](1)定積分$\displaystyle\int_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx$の値は$\boxed{\ \ タチツ\ \ }$である。
また、関数$\displaystyle\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5$の不定積分は
$\displaystyle\int(\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5)dx$=$\displaystyle\frac{1}{\boxed{\ \ テトナ\ \ }}x^3-\frac{1}{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}x^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }x+C$である。ただし、Cは積分定数とする。
(2)ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってからの気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図1の6時間ごとの気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。(※図1は動画参照)
xの値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から24x時間経った時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は2月11日午前7時12分を表す。)また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yはxの関数であり、これをy=f(x)とおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数f(x)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした。
設定：正の実数tに対して、f(x)を0からtまで積分した値をS(t)とする。すなわち、S(t)=$\displaystyle\int_0^tf(x)dx$とする。このS(t)が400に到達したとき、ソメイヨシノが開花する。
設定のもと、太郎さんは気温を表す関数y=f(x)のグラフを図2(※動画参照)のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
(i)太郎さんは
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{5}x+3$ (x ≧0)
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群
⓪30日後 ①35日後 ②40日後
③45日後 ④50日後 ⑤55日後
⑥60日後 ⑦65日後
(ii)太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話をしている。
太郎：1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。
花子：気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を表す関数が2次関数の場合も考えて見ようか。
花子さんは気温を表す関数f(x)を、0≦x≦30のときは太郎さんと同じように
f(x)=$\frac{1}{5}x+3$ ...①
とし、x≧30のときは
f(x)=$\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5$ ...②
として考えた。なお、x=30のとき①の右辺の値と②の右辺の値は一致する。花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
$\displaystyle\int_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx$=$\boxed{\ \ タチツ\ \ }$
であり
$\displaystyle\int_{30}^{40}(\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5)dx$=115
となることがわかる。
また、x ≧30の範囲においてf(x)は増加する。よって
$\displaystyle\int_{30}^{40}f(x)dx$ $\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$ $\displaystyle\int_{40}^{50}f(x)dx$
であることがわかる。以上より、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$となる。
2023共通テスト過去問
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第2問
[1](1)kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
$f(x)=x^2(k-x)$
y=f(x)のグラフとx軸との共有点の座標は(0, 0)と($\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, 0)である。
f(x)の導関数f'(x)は
f'(x)=$\boxed{\ \ イウ\ \ }x^2+\boxed{\ \ エ\ \ }kx$
である。
x=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$のとき、f(x)は極小値$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$をとる。
x=$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$のとき、f(x)は極大値$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx=$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$のときf(x)は最大となることがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$~$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0 ①$\frac{1}{3}k$ ②$\frac{1}{2}k$ ③$\frac{2}{3}k$
④k ⑤$\frac{3}{2}k$ ⑥$-4k^2$ ⑦$\frac{1}{8}k^2$
⑧$\frac{2}{27}k^3$ ⑨$\frac{4}{27}k^3$ ⓐ$\frac{4}{9}k^3$ ⓑ$4k^3$
(2)後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx, Vとする。Vをxの式で表すと
V=$\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}\pi x^2(\boxed{\ \ サ\ \ }-x)$(0＜x＜9)
である。(1)の考察より、x=$\boxed{\ \ シ\ \ }$のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は$\boxed{\ \ スセソ\ \ }\pi$である。
[2](1)定積分$\displaystyle\int_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx$の値は$\boxed{\ \ タチツ\ \ }$である。
また、関数$\displaystyle\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5$の不定積分は
$\displaystyle\int(\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5)dx$=$\displaystyle\frac{1}{\boxed{\ \ テトナ\ \ }}x^3-\frac{1}{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}x^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }x+C$である。ただし、Cは積分定数とする。
(2)ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってからの気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図1の6時間ごとの気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。(※図1は動画参照)
xの値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から24x時間経った時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は2月11日午前7時12分を表す。)また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yはxの関数であり、これをy=f(x)とおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数f(x)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした。
設定：正の実数tに対して、f(x)を0からtまで積分した値をS(t)とする。すなわち、S(t)=$\displaystyle\int_0^tf(x)dx$とする。このS(t)が400に到達したとき、ソメイヨシノが開花する。
設定のもと、太郎さんは気温を表す関数y=f(x)のグラフを図2(※動画参照)のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
(i)太郎さんは
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{5}x+3$ (x ≧0)
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群
⓪30日後 ①35日後 ②40日後
③45日後 ④50日後 ⑤55日後
⑥60日後 ⑦65日後
(ii)太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話をしている。
太郎：1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。
花子：気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を表す関数が2次関数の場合も考えて見ようか。
花子さんは気温を表す関数f(x)を、0≦x≦30のときは太郎さんと同じように
f(x)=$\frac{1}{5}x+3$ ...①
とし、x≧30のときは
f(x)=$\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5$ ...②
として考えた。なお、x=30のとき①の右辺の値と②の右辺の値は一致する。花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
$\displaystyle\int_0^{30}(\frac{1}{5}x+3)dx$=$\boxed{\ \ タチツ\ \ }$
であり
$\displaystyle\int_{30}^{40}(\frac{1}{100}x^2-\frac{1}{6}x+5)dx$=115
となることがわかる。
また、x ≧30の範囲においてf(x)は増加する。よって
$\displaystyle\int_{30}^{40}f(x)dx$ $\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$ $\displaystyle\int_{40}^{50}f(x)dx$
であることがわかる。以上より、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから$\boxed{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$となる。
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題095〜明治大学2020年度理工学部第１問(3)〜円順列と確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (3)A, B, C, D, Eの5人が、無作為に並び、手をつないでひとつの輪を作るという試行を考える。
(a)この試行を1回行うとき、AがBとCの2人と手をつなぐ確率は$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。
(b)この試行を3回行うとき、Aと3回手をつなぐ人が2人いる確率は$\frac{\boxed{シ}}{\boxed{スセ}}$である。
(c)この試行を3回行うとき、Aと3回手をつなぐ人が1人だけいる確率は$\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}$である。
2020明治大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (3)A, B, C, D, Eの5人が、無作為に並び、手をつないでひとつの輪を作るという試行を考える。
(a)この試行を1回行うとき、AがBとCの2人と手をつなぐ確率は$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。
(b)この試行を3回行うとき、Aと3回手をつなぐ人が2人いる確率は$\frac{\boxed{シ}}{\boxed{スセ}}$である。
(c)この試行を3回行うとき、Aと3回手をつなぐ人が1人だけいる確率は$\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}$である。
2020明治大学理工学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題094〜青山学院大学2020年度理工学部第５問〜グラフと面積と回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 関数$f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}$について、以下の問いに答えよ。
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け。凹凸も調べること。
(2)原点をOとし、y=f(x)のグラフの変曲点のうちx座標が正のものをPとする。
直線OPとy軸、y=f(x)のグラフとで囲まれた図形をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(3)(2)の図形Dをy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
2020青山学院大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{5}$ 関数$f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}$について、以下の問いに答えよ。
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け。凹凸も調べること。
(2)原点をOとし、y=f(x)のグラフの変曲点のうちx座標が正のものをPとする。
直線OPとy軸、y=f(x)のグラフとで囲まれた図形をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(3)(2)の図形Dをy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
2020青山学院大学理工学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題093〜中央大学2020年度理工学部第５問〜円周上の点と三角形五角形の面積
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#三角関数#微分法と積分法#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#中央大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 原点Oを中心とする半径1の円周上に2点
Q($\cos a$, $\sin a$), R($\cos(a+b), \sin(a+b)$)
をとる。ただし、a, bはa ＞0,b ＞0, a +b＜$\frac{\pi}{2}$を満たす。また、点Qからx軸へ下ろした垂線の足を点Pとし、点Rからy軸へ下した垂線の足を点Sとする。
$\triangle$OPQの面積と$\triangle$ORSの面積の和をA, 五角形OPQRSの面積をBとおく。
(1)Aをaとbで表せ。
(2)bを固定して、aを0＜a＜$\frac{\pi}{2}$-bの範囲で動かすとき、Aがとりうる値の範囲をbで表し、Aが最大値をとるときのaの値をbで表せ。
(3)Bはa=$\frac{\pi}{8}$, b=$\frac{\pi}{4}$のときに最大値をとることを示せ。
2020中央大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{5}$ 原点Oを中心とする半径1の円周上に2点
Q($\cos a$, $\sin a$), R($\cos(a+b), \sin(a+b)$)
をとる。ただし、a, bはa ＞0,b ＞0, a +b＜$\frac{\pi}{2}$を満たす。また、点Qからx軸へ下ろした垂線の足を点Pとし、点Rからy軸へ下した垂線の足を点Sとする。
$\triangle$OPQの面積と$\triangle$ORSの面積の和をA, 五角形OPQRSの面積をBとおく。
(1)Aをaとbで表せ。
(2)bを固定して、aを0＜a＜$\frac{\pi}{2}$-bの範囲で動かすとき、Aがとりうる値の範囲をbで表し、Aが最大値をとるときのaの値をbで表せ。
(3)Bはa=$\frac{\pi}{8}$, b=$\frac{\pi}{4}$のときに最大値をとることを示せ。
2020中央大学理工学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題075〜浜松医科大学2017年度医学部第１問〜複素数の実部と虚部
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#複素数平面#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 以下の問いに答えよ。
(1)|z| ≦ |z-($\sqrt 3 + i$)|, |z-$\bar{z}$| ≦ 1および|z-$2i$| ≦ 2を同時にみたす複素数zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(2)(1)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となるものを$\alpha$、実部と虚部の和が最大となるものを$\beta$とするとき、$\alpha$と$\beta$を求めよ。
(3)次の式で定義される$w_n$の実部を$R_n$とするとき、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}R_n$の和を求めよ。
$w_n=\displaystyle\frac{\{1+(2-\sqrt 3)i\}(\sqrt 3+i)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}$ $(n=1,2,3,\dots)$
2017浜松医科大学医学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ 以下の問いに答えよ。
(1)|z| ≦ |z-($\sqrt 3 + i$)|, |z-$\bar{z}$| ≦ 1および|z-$2i$| ≦ 2を同時にみたす複素数zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(2)(1)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となるものを$\alpha$、実部と虚部の和が最大となるものを$\beta$とするとき、$\alpha$と$\beta$を求めよ。
(3)次の式で定義される$w_n$の実部を$R_n$とするとき、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}R_n$の和を求めよ。
$w_n=\displaystyle\frac{\{1+(2-\sqrt 3)i\}(\sqrt 3+i)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}$ $(n=1,2,3,\dots)$
2017浜松医科大学医学部過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IIB第１問三角関数と対数〜三角不等式と対数が有理数とならない条件
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#三角関数#指数関数と対数関数#三角関数とグラフ#指数関数#対数関数#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x=\displaystyle\frac{\pi}{6}$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}\sin 2x$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜ ①= ②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x\left(\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \gt 0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \lt 0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。よって、$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x \gt \sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}, \pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin(\alpha+\beta)$-$\sin(\alpha-\beta)$=$2\cos\alpha\sin\beta$...③
が得られる。$\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x \gt 0$が成り立つことは
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \gt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \gt 0$」...④
または
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \lt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt 0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$, $\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi$
である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0 ①x ②2x ③3x
④4x ⑤5x ⑥6x ⑦$\frac{x}{2}$
⑧$\frac{3}{2}x$ ⑨$\frac{5}{2}x$ ⓐ$\frac{7}{2}x$ ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、$\sin 3x \gt \sin 4x \gt \sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$ $\lt$ $\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$, $\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}\pi$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a \gt 0$, $a \ne 1$, $b \gt 0$のとき、$\log_ab=x$とおくと、$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$が成り立つ。
$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪$x^a=b$ ①$x^b=a$ ②$a^x=b$
③$b^x=a$ ④$a^b=x$ ⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)$\log_5 25=\boxed{\ \ テ\ \ }$, $\log_9 27=\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$であり、どちらも有理数である。
(ii)$\log_2 3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
$\log_2 3$が有理数であると仮定すると、$\log_2 3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$と表すことができる。このとき、(1)により$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$は$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、$\log_2 3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$ならば$\log_a b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$の解答群
⓪aが偶数 ①bが偶数 ②aが奇数
③bが奇数 ④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数 ⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数
2023共通テスト過去問
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第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x=\displaystyle\frac{\pi}{6}$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}\sin 2x$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜ ①= ②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x\left(\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \gt 0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \lt 0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。よって、$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x \gt \sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}, \pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin(\alpha+\beta)$-$\sin(\alpha-\beta)$=$2\cos\alpha\sin\beta$...③
が得られる。$\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x \gt 0$が成り立つことは
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \gt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \gt 0$」...④
または
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \lt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt 0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$, $\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi$
である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0 ①x ②2x ③3x
④4x ⑤5x ⑥6x ⑦$\frac{x}{2}$
⑧$\frac{3}{2}x$ ⑨$\frac{5}{2}x$ ⓐ$\frac{7}{2}x$ ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、$\sin 3x \gt \sin 4x \gt \sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$ $\lt$ $\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$, $\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}\pi$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a \gt 0$, $a \ne 1$, $b \gt 0$のとき、$\log_ab=x$とおくと、$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$が成り立つ。
$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪$x^a=b$ ①$x^b=a$ ②$a^x=b$
③$b^x=a$ ④$a^b=x$ ⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)$\log_5 25=\boxed{\ \ テ\ \ }$, $\log_9 27=\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$であり、どちらも有理数である。
(ii)$\log_2 3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
$\log_2 3$が有理数であると仮定すると、$\log_2 3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$と表すことができる。このとき、(1)により$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$は$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、$\log_2 3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$ならば$\log_a b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$の解答群
⓪aが偶数 ①bが偶数 ②aが奇数
③bが奇数 ④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数 ⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題074〜立教大学2019年度経済学部第１問(6)〜最大公約数を求める
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (6)14351と14803の最大公約数は$\boxed{\ \ キ \ \ }$である。
2019立教大学経済学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (6)14351と14803の最大公約数は$\boxed{\ \ キ \ \ }$である。
2019立教大学経済学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題073〜東京理科大学2019年度理工学部第３問〜定積分と不等式そして極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 関数f(x)を$f(x)=\displaystyle\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}$と定める。
(1)t=$\tan\theta$とおく置換積分により$f(1)=\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}$の値を求めよ。
(2)0 $\lt$ $\alpha$ $\lt$ 1とし、mを自然数とするとき、以下の不等式が成り立つことを示せ。
$f(a)\displaystyle\int_a^1x^mdx$ $\lt$ $\displaystyle\int_a^1f(x)x^mdx$ $\lt$ $\displaystyle\int_0^1f(x)x^mdx$ $\lt$ $f(1)\displaystyle\int_0^1x^mdx$
(3)$\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt m}\right)^m$を求めよ。必要ならばs ＞1のとき$\displaystyle\left(1-\frac{1}{s}\right)^s \lt \frac{1}{2}$となることを用いてよい。
(4)$\displaystyle\lim_{m \to \infty}m\int_{1-\frac{1}{\sqrt m}}^1f(x)x^mdx$を求めよ。
2019東京理科大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{3}$ 関数f(x)を$f(x)=\displaystyle\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}$と定める。
(1)t=$\tan\theta$とおく置換積分により$f(1)=\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}$の値を求めよ。
(2)0 $\lt$ $\alpha$ $\lt$ 1とし、mを自然数とするとき、以下の不等式が成り立つことを示せ。
$f(a)\displaystyle\int_a^1x^mdx$ $\lt$ $\displaystyle\int_a^1f(x)x^mdx$ $\lt$ $\displaystyle\int_0^1f(x)x^mdx$ $\lt$ $f(1)\displaystyle\int_0^1x^mdx$
(3)$\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt m}\right)^m$を求めよ。必要ならばs ＞1のとき$\displaystyle\left(1-\frac{1}{s}\right)^s \lt \frac{1}{2}$となることを用いてよい。
(4)$\displaystyle\lim_{m \to \infty}m\int_{1-\frac{1}{\sqrt m}}^1f(x)x^mdx$を求めよ。
2019東京理科大学理工学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題072〜上智大学2019年度理工学部第３問〜ガウス記号で定義された数列
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ $\alpha=\log_23$とし、自然数nに対して
$a_n=[n\alpha]$, $b_n=\left[\displaystyle\frac{n\alpha}{\alpha-1}\right]$
とする。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
(1)$a_5=\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
(2)$b_3=k$とおくと、不等式$\displaystyle\frac{3^{k+c}}{2^k} \leqq 1 \lt \frac{3^{k+1+c}}{2^{k+1}}$が整数$c=\boxed{\ \ セ\ \ }$で成り立ち、
$b_3=\boxed{\ \ ソ\ \ }$であることがわかる。
(3)$a_n \leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
(4)$b_n \leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{\ \ チ\ \ }$である。
(5)$a_n \leqq$ 50を満たす自然数nの個数をsとし、$b_n \leqq$ 50を満たす自然数nの個数をtとする。このとき、s+t=$\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。
2019上智大学理工学部過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ $\alpha=\log_23$とし、自然数nに対して
$a_n=[n\alpha]$, $b_n=\left[\displaystyle\frac{n\alpha}{\alpha-1}\right]$
とする。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
(1)$a_5=\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
(2)$b_3=k$とおくと、不等式$\displaystyle\frac{3^{k+c}}{2^k} \leqq 1 \lt \frac{3^{k+1+c}}{2^{k+1}}$が整数$c=\boxed{\ \ セ\ \ }$で成り立ち、
$b_3=\boxed{\ \ ソ\ \ }$であることがわかる。
(3)$a_n \leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
(4)$b_n \leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{\ \ チ\ \ }$である。
(5)$a_n \leqq$ 50を満たす自然数nの個数をsとし、$b_n \leqq$ 50を満たす自然数nの個数をtとする。このとき、s+t=$\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。
2019上智大学理工学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題071〜東京医科歯科大学2017年度医学部第２問〜空間における球面と軌跡の問題
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京医科歯科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ xyz空間において、点O(0, 0, 0)と点A(0, 0, 1)を結ぶ線分OAを直径にもつ球面を$\sigma$とする。このとき以下の各問に答えよ。
(1) 球面$\sigma$の方程式を求めよ。
(2) xy平面上にあってOと異なる点Pに対して、線分APと球面$\sigma$との交点をQとするとき、$\overrightarrow{ OQ } \bot \overrightarrow{ AP }$を示せ。
(3) 点S(p, q, r)を$\overrightarrow{OS}・\overrightarrow{ AS }=-|\overrightarrow{ OS }|^2$を満たす、xy平面上にない定点とする。$\sigma$上の点Qが$\overrightarrow{ OS } \bot \overrightarrow{ SQ }$を満たしながら動くとき、直線AQとxy平面上の交点Pはどのような図形を描くか。p, q, rを用いて答えよ。
2017東京医科歯科大学医学部過去問
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$\Large{\boxed{2}}$ xyz空間において、点O(0, 0, 0)と点A(0, 0, 1)を結ぶ線分OAを直径にもつ球面を$\sigma$とする。このとき以下の各問に答えよ。
(1) 球面$\sigma$の方程式を求めよ。
(2) xy平面上にあってOと異なる点Pに対して、線分APと球面$\sigma$との交点をQとするとき、$\overrightarrow{ OQ } \bot \overrightarrow{ AP }$を示せ。
(3) 点S(p, q, r)を$\overrightarrow{OS}・\overrightarrow{ AS }=-|\overrightarrow{ OS }|^2$を満たす、xy平面上にない定点とする。$\sigma$上の点Qが$\overrightarrow{ OS } \bot \overrightarrow{ SQ }$を満たしながら動くとき、直線AQとxy平面上の交点Pはどのような図形を描くか。p, q, rを用いて答えよ。
2017東京医科歯科大学医学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題070〜筑波大学2017年度理系第５問〜格子点の個数とガウス記号と区分求積
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す。記号[ ]をガウス記号という。
以下の問いではNを自然数とする。
(1) nを0 $\leqq$ n $\leqq$ Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n, N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$)を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(3) 曲線y=N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$(0 $\leqq$ x $\leqq$ N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して$\displaystyle\lim_{N \to \infty}\frac{B(N)}{A(N)}$を求めよ。
2017筑波大学理系過去問
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$\Large{\boxed{5}}$ xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す。記号[ ]をガウス記号という。
以下の問いではNを自然数とする。
(1) nを0 $\leqq$ n $\leqq$ Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n, N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$)を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(3) 曲線y=N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$(0 $\leqq$ x $\leqq$ N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して$\displaystyle\lim_{N \to \infty}\frac{B(N)}{A(N)}$を求めよ。
2017筑波大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題069〜千葉大学2017年度理系第8問〜放物線上の3点を頂点とする三角形の面積
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{8}}$ tを0以上の実数とし、Oを原点とする座標平面上の2点P($p, p^2$), Q($q, q^2$)で3つの条件
PQ=2, p＜q, p+q=$\sqrt t$
を満たすものを考える。$\triangle OPQ$の面積をSとする。ただし、点Pまたは点Qが原点Oと一致する場合はS=0とする。
(1) pとqをそれぞれtを用いて表せ。
(2) Sをtを用いて表せ。
(3) S=1となるようなtの個数を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
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$\Large{\boxed{8}}$ tを0以上の実数とし、Oを原点とする座標平面上の2点P($p, p^2$), Q($q, q^2$)で3つの条件
PQ=2, p＜q, p+q=$\sqrt t$
を満たすものを考える。$\triangle OPQ$の面積をSとする。ただし、点Pまたは点Qが原点Oと一致する場合はS=0とする。
(1) pとqをそれぞれtを用いて表せ。
(2) Sをtを用いて表せ。
(3) S=1となるようなtの個数を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題068〜千葉大学2017年度理系第１１問〜部分和で定義された数列の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#千葉大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{11}}$ 数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$, $a_{n+1}=1+\frac{1}{\displaystyle1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_k}$が収束することを示し、その和を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
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$\Large{\boxed{11}}$ 数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$, $a_{n+1}=1+\frac{1}{\displaystyle1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_k}$が収束することを示し、その和を求めよ。
2017千葉大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題067〜九州大学2017年度文系第４問〜最大公約数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ 以下の問いに答えよ。
(1) 2017と225の最大公約数を求めよ。
(2) 225との最大公約数が15となる2017以下の自然数の個数を求めよ。
(3) 225との最大公約数が15であり、かつ1998との最大公約数が111となる2017以下の自然数を全て求めよ。
2017九州大学文系過去問
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$\Large{\boxed{4}}$ 以下の問いに答えよ。
(1) 2017と225の最大公約数を求めよ。
(2) 225との最大公約数が15となる2017以下の自然数の個数を求めよ。
(3) 225との最大公約数が15であり、かつ1998との最大公約数が111となる2017以下の自然数を全て求めよ。
2017九州大学文系過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IA第５問図形の性質〜作図によって描いた図形の性質
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
【第5問】
(1) 円Oに対して、次の手順1で作図を行う。
[手順1]
(Step 1) 円Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線lを引く。円Oと直線lとの交点をA, Bとし、線分ABの中点Cをとる。
(Step 2) 円Oの周上に、点Dを$\angle COD$が鈍角となるようにとる。直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。
(Step 3) 点Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点をFとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。
(Step 4) 点Gにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をHとする。
このとき、直線lと点Dの位置によらず、直線EHは円Oの接線である。このことは、次の構想に基づいて、後のように説明できる。
[構想]
直線EHが円Oの接線であることを証明するためには、$\angle OEH=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$であることを示せばよい。
手順1の(Step 1)と(Step 4)により、4点C, G, H, $\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$は同一円周上にあることがわかる。よって、$\angle CHG=\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。一方、点Eは円Oの周上にあることから、$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$がわかる。よって、$\angle CHG=\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$であるので、4点C, G, H, $\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$は同一円周上にある。この円が点$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$を通ることにより、$\angle OEH=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$を示すことができる。
$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$の解答群
⓪B ①D ②F ③O
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$の解答群
⓪$\angle AFC$ ①$\angle CDF$ ②$\angle CGH$ ③$\angle CBO$ ④$\angle FOG$
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪$\angle AED$ ①$\angle ADE$ ②$\angle BOE$ ③$\angle DEG$ ④$\angle EOH$
$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$の解答群
⓪A ①D ②E ③F
(2) 円Oに対して、(1)の手順1とは直線lの引き方を変え、次の手順2で作図を行う。
[手順2]
(Step 1) 円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
(Step 2) 円Oの周上に、点Qを$\angle POQ$が鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
(Step 3) 点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
(Step 4) 点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。
このとき、$\angle PTS=\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$である。
円Oの半径が$\sqrt 5$で、OT=$3\sqrt 6$であったとすると、3点O, P, Rを通る円の半径は$\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$であり、RT=$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。
$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$の解答群
⓪$\angle PQS$ ①$\angle PST$ ②$\angle QPS$ ③$\angle QRS$ ④$\angle SRT$
2023共通テスト過去問
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【第5問】
(1) 円Oに対して、次の手順1で作図を行う。
[手順1]
(Step 1) 円Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線lを引く。円Oと直線lとの交点をA, Bとし、線分ABの中点Cをとる。
(Step 2) 円Oの周上に、点Dを$\angle COD$が鈍角となるようにとる。直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。
(Step 3) 点Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点をFとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。
(Step 4) 点Gにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をHとする。
このとき、直線lと点Dの位置によらず、直線EHは円Oの接線である。このことは、次の構想に基づいて、後のように説明できる。
[構想]
直線EHが円Oの接線であることを証明するためには、$\angle OEH=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$であることを示せばよい。
手順1の(Step 1)と(Step 4)により、4点C, G, H, $\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$は同一円周上にあることがわかる。よって、$\angle CHG=\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。一方、点Eは円Oの周上にあることから、$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$がわかる。よって、$\angle CHG=\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$であるので、4点C, G, H, $\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$は同一円周上にある。この円が点$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$を通ることにより、$\angle OEH=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$を示すことができる。
$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$の解答群
⓪B ①D ②F ③O
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$の解答群
⓪$\angle AFC$ ①$\angle CDF$ ②$\angle CGH$ ③$\angle CBO$ ④$\angle FOG$
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪$\angle AED$ ①$\angle ADE$ ②$\angle BOE$ ③$\angle DEG$ ④$\angle EOH$
$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$の解答群
⓪A ①D ②E ③F
(2) 円Oに対して、(1)の手順1とは直線lの引き方を変え、次の手順2で作図を行う。
[手順2]
(Step 1) 円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
(Step 2) 円Oの周上に、点Qを$\angle POQ$が鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
(Step 3) 点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
(Step 4) 点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。
このとき、$\angle PTS=\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$である。
円Oの半径が$\sqrt 5$で、OT=$3\sqrt 6$であったとすると、3点O, P, Rを通る円の半径は$\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$であり、RT=$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。
$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}$の解答群
⓪$\angle PQS$ ①$\angle PST$ ②$\angle QPS$ ③$\angle QRS$ ④$\angle SRT$
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題066〜九州大学2017年度理系第３問〜等差数列の7の倍数になる項の個数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 初項$a_1=1$, 公差4の等差数列$\left\{a_n\right\}$を考える。以下の問いに答えよ。
(1) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。
(2) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、$7^2$の倍数である項の個数を求めよ。
(3) 初項から第n項までの積$a_1a_2\cdots a_n$が$7^{45}$の倍数となる最小の自然数nを求めよ。
2017九州大学理系過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ 初項$a_1=1$, 公差4の等差数列$\left\{a_n\right\}$を考える。以下の問いに答えよ。
(1) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。
(2) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、$7^2$の倍数である項の個数を求めよ。
(3) 初項から第n項までの積$a_1a_2\cdots a_n$が$7^{45}$の倍数となる最小の自然数nを求めよ。
2017九州大学理系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題065〜中央大学2019年度理工学部第３問〜反復試行と確率漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$ Oを原点とする平面上の動点Rが$R_0$(1, 0)から出発して、単位円の周上を1秒ごとに反時計周りに移動する。移動するときの動径ORの回転角は、確率$\frac{1}{2}$で$\frac{\pi}{6}$、確率$\frac{1}{2}$で$\frac{\pi}{3}$である。n秒後のRの位置を$R_n$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$R_5$が(-1, 0)である確率を求めよ。
(2)$R_9$がx軸上にある確率を求めよ。
次に、$R_n$がx軸上またはy軸上にある確率を$p_n$(n≧1)とする。
(3)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。
(4)$p_n$を求めよ。
2019中央大学理工学部過去問
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$\boxed{3}$ Oを原点とする平面上の動点Rが$R_0$(1, 0)から出発して、単位円の周上を1秒ごとに反時計周りに移動する。移動するときの動径ORの回転角は、確率$\frac{1}{2}$で$\frac{\pi}{6}$、確率$\frac{1}{2}$で$\frac{\pi}{3}$である。n秒後のRの位置を$R_n$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$R_5$が(-1, 0)である確率を求めよ。
(2)$R_9$がx軸上にある確率を求めよ。
次に、$R_n$がx軸上またはy軸上にある確率を$p_n$(n≧1)とする。
(3)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。
(4)$p_n$を求めよ。
2019中央大学理工学部過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IA第４問整数〜長方形のタイルを並べて長方形を作る
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1)横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1(※動画参照)のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\boxed{\ \ アイ\ \ }$である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ウエオカ\ \ }$のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が$\boxed{\ \ キク\ \ }$になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより$\boxed{\ \ キク\ \ }$長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが$\boxed{\ \ ケコサシ\ \ }$のものである。
(2)花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2(※動画参照)のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$のものであり、図2のような長方形は縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は$\boxed{\ \ タチ\ \ }$であり、$\boxed{\ \ タチ\ \ }$の倍数のうちで$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもある最小の正の整数は$\boxed{\ \ ツテトナ\ \ }$である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ニヌネノ\ \ }$のものであることがわかる。
2023共通テスト過去問
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第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1)横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1(※動画参照)のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\boxed{\ \ アイ\ \ }$である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ウエオカ\ \ }$のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が$\boxed{\ \ キク\ \ }$になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより$\boxed{\ \ キク\ \ }$長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが$\boxed{\ \ ケコサシ\ \ }$のものである。
(2)花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2(※動画参照)のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$のものであり、図2のような長方形は縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は$\boxed{\ \ タチ\ \ }$であり、$\boxed{\ \ タチ\ \ }$の倍数のうちで$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもある最小の正の整数は$\boxed{\ \ ツテトナ\ \ }$である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ニヌネノ\ \ }$のものであることがわかる。
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題064〜明治大学2019年度理工学部第２問〜円と放物線の位置関係
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$ a,bは実数でa＞0とする。座標平面上において、円$x^2$+$y^2$=1を$C$とし、放物線y=a$x^2$+bを$D$とする。
(1)放物線$D$の頂点のy座標が正であり、円$C$と放物線$D$の共有点がただ一つであるとき、bの値は$\boxed{\ \ あ\ \ }$である。
(2)放物線$D$の頂点のy座標が負であり、円$C$と放物線$D$の共有点がただ一つであるとき、bの値は$\boxed{\ \ い\ \ }$であり、aの取り得る値の範囲は$\boxed{\ \ う\ \ }$である。
(3)放物線$D$の頂点が円$C$の内部にあり、円$C$と放物線$D$がちょうど2つの共有点をもつとき、bの取り得る値の範囲は$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(4)放物線$D$の頂点が円$C$の外部にあり、円$C$と放物線$D$がちょうど2つの共有点をもつとき、bをaの式で表すとb=$\boxed{\ \ お\ \ }$となり、aの取り得る値の範囲は$\boxed{\ \ か\ \ }$である。
2019明治大学理工学部過去問
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$\boxed{2}$ a,bは実数でa＞0とする。座標平面上において、円$x^2$+$y^2$=1を$C$とし、放物線y=a$x^2$+bを$D$とする。
(1)放物線$D$の頂点のy座標が正であり、円$C$と放物線$D$の共有点がただ一つであるとき、bの値は$\boxed{\ \ あ\ \ }$である。
(2)放物線$D$の頂点のy座標が負であり、円$C$と放物線$D$の共有点がただ一つであるとき、bの値は$\boxed{\ \ い\ \ }$であり、aの取り得る値の範囲は$\boxed{\ \ う\ \ }$である。
(3)放物線$D$の頂点が円$C$の内部にあり、円$C$と放物線$D$がちょうど2つの共有点をもつとき、bの取り得る値の範囲は$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(4)放物線$D$の頂点が円$C$の外部にあり、円$C$と放物線$D$がちょうど2つの共有点をもつとき、bをaの式で表すとb=$\boxed{\ \ お\ \ }$となり、aの取り得る値の範囲は$\boxed{\ \ か\ \ }$である。
2019明治大学理工学部過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IA第３問場合の数
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第3問
番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の条件を満たす球の塗り分け方(以下、球の塗り方)を考える。
【条件】
・それぞれの球を、用意した5色(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか1色で塗る。
・1本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。
・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。
例えば図A(※動画参照)では、三つの球が2本のひもでつながれている。この三つの球を塗るとき、球1の塗り方が5通りあり、球1を塗った後、球2の塗り方は4通りあり、さらに球3の塗り方は4通りある。したがって、球の塗り方の総数は80である。
(1)図B(※動画参照)において、球の塗り方は$\boxed{\ \ アイウ\ \ }$通りある。
(2)図C(※動画参照)において、球の塗り方は$\boxed{\ \ エオ\ \ }$通りある。
(3)図D(※動画参照)における球の塗り方のうち、赤をちょうど2回使う塗り方は$\boxed{\ \ カキ\ \ }$通りある。
(4)図E(※動画参照)における球の塗り方のうち、赤をちょうど3回使い、かつ青をちょうど2回使う塗り方は$\boxed{\ \ クケ\ \ }$通りある。
(5)図Dにおいて、球の塗り方の総数を求める。
そのために、次の構想を立てる。
【構想】
図Dと図Fを比較する。
図Fでは球3と球4が同色になる球の塗り方が可能であるため、図Dよりも図Fの球の塗り方の総数の方が大きい。
図Fにおける球の塗り方は、図Bにおける球の塗り方と同じであるため、全部で$\boxed{\ \ アイウ\ \ }$通りある。そのうち球3と球4が同色になる球の塗り方の総数と一致する図として、後の⓪~④のうち、正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$である。したがって、図Dにおける球の塗り方は$\boxed{\ \ サシス\ \ }$通りある。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
(解答群は動画参照)
(6)図Gにおいて、球の塗り方は$\boxed{\ \ セソタチ\ \ }$通りある。
2023共通テスト過去問
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第3問
番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の条件を満たす球の塗り分け方(以下、球の塗り方)を考える。
【条件】
・それぞれの球を、用意した5色(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか1色で塗る。
・1本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。
・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。
例えば図A(※動画参照)では、三つの球が2本のひもでつながれている。この三つの球を塗るとき、球1の塗り方が5通りあり、球1を塗った後、球2の塗り方は4通りあり、さらに球3の塗り方は4通りある。したがって、球の塗り方の総数は80である。
(1)図B(※動画参照)において、球の塗り方は$\boxed{\ \ アイウ\ \ }$通りある。
(2)図C(※動画参照)において、球の塗り方は$\boxed{\ \ エオ\ \ }$通りある。
(3)図D(※動画参照)における球の塗り方のうち、赤をちょうど2回使う塗り方は$\boxed{\ \ カキ\ \ }$通りある。
(4)図E(※動画参照)における球の塗り方のうち、赤をちょうど3回使い、かつ青をちょうど2回使う塗り方は$\boxed{\ \ クケ\ \ }$通りある。
(5)図Dにおいて、球の塗り方の総数を求める。
そのために、次の構想を立てる。
【構想】
図Dと図Fを比較する。
図Fでは球3と球4が同色になる球の塗り方が可能であるため、図Dよりも図Fの球の塗り方の総数の方が大きい。
図Fにおける球の塗り方は、図Bにおける球の塗り方と同じであるため、全部で$\boxed{\ \ アイウ\ \ }$通りある。そのうち球3と球4が同色になる球の塗り方の総数と一致する図として、後の⓪~④のうち、正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$である。したがって、図Dにおける球の塗り方は$\boxed{\ \ サシス\ \ }$通りある。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
(解答群は動画参照)
(6)図Gにおいて、球の塗り方は$\boxed{\ \ セソタチ\ \ }$通りある。
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題063〜早稲田大学2019年度理工学部第３問〜ガウス記号と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$ 実数xに対し、[x]をx-1＜[x]≦xを満たす整数とする。次の極限を求めよ。
(1)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{\sin\frac{1}{n}}\right]$
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n\sqrt n}(1+[\sqrt 2]+[\sqrt 3]+\cdots+[\sqrt n])$
2019早稲田大学理工学部過去問
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$\boxed{3}$ 実数xに対し、[x]をx-1＜[x]≦xを満たす整数とする。次の極限を求めよ。
(1)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{\sin\frac{1}{n}}\right]$
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n\sqrt n}(1+[\sqrt 2]+[\sqrt 3]+\cdots+[\sqrt n])$
2019早稲田大学理工学部過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IA第２問データの分析と２次関数
単元：
#数Ⅰ#２次関数#データの分析#2次関数とグラフ#データの分析#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第2問
[1]太郎さんは総務省が公表している2020年の家計調査の結果を用いて、地域による食文化の違いについて考えている。家計調査における調査地点は、都道府県庁所在市および政令指定都市(都道府県庁所在市を除く)であり、合計52市である。家計調査の結果の中でも、スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の1世帯当たり年間支出金額(以下、支出金額、単位は円)」を分析することにした。以下においては、52市の調理食品の支出金額をデータとして用いる。
太郎さんは調理食品として、最初にうなぎのかば焼き(以下、かば焼き)に着目し、図1のように(※動画参照)52市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した。
ただし、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。
なお、以下の図や表については、総務省のWebページをもとに作成している。
(1)図1から次のことが読み取れる。
・第1四分位数が含まれる階級は$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である。
・第3四分位数が含まれる階級は$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$である。
・四分位範囲は$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$、$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪1000以上1400未満 ①1400以上1800未満
②1800以上2200未満 ③2200以上2600未満
④2600以上3000未満 ⑤3000以上3400未満
⑥3400以上3800未満 ⑦3800以上4200未満
⑧4200以上4600未満 ⑨4600以上5000未満
$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$の解答群
⓪800より小さい
①800より大きく1600より小さい
②1600より大きく2400より小さい
③2400より大きく3200より小さい
④3200より大きく4000より小さい
⑤4000より大きい
(2)太郎さんは、東西での地域による食文化の違いを調べるために、52市を東側の地域E(19市)と西側の地域W(33市)の二つに分けて考えることにした。
(i)地域Eと地域Wについて、かば焼きの支出金額の箱ひげ図を、図2,図3のように(※動画参照)それぞれ作成した。
かば焼きの支出金額について、図2と図3から読み取れることとして、次の⓪~③のうち、
正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$の解答群
⓪地域Eにおいて、小さい方から5番目は2000以下である。
①地域Eと地域Wの範囲は等しい。
②中央値は、地域Eより地域Wの方が大きい。
③2600未満の市の割合は、地域Eより地域Wの方が大きい。
(ii)太郎さんは、地域Eと地域Wのデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い、
それぞれの分散を考えることにした。地域Eにおけるかば焼きの支出金額の分散は、地域Eのそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差の$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪2乗を合計した値
①絶対値を合計した値
②2乗を合計して地域Eのの市の数で割った値
③絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値
④2乗を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの
⑤絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの
(3)太郎さんは、(2)で考えた地域Eにおける、やきとりの支出金額についても調べることにした。
ここでは地域Eにおいて、やきとりの支出金額が増加すれば、かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え、まず図4(※動画参照)のように、地域Eにおける、やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した。そして、相関係数を計算するために、表1(※動画参照)のように平均値、分散、標準偏差および共分散を算出した。ただし、共分散は地域Eのそれぞれの市における、やきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である。
表1を用いると、地域Eにおける、やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数は$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪~⑨のうちから一つ選べ。
⓪-0.62 ①-0.50②-0.37③-0.19
④-0.02⑤0.02⑥0.19⑦0.37
⑧0.50⑨0.62
[2]太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1(※動画参照)のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図を描き、ボールがリング入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
【仮定】
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A(3.8, 3),右端を点B(4.2, 3)とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M(4, 3)を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点$P_0$(0, 3)にあるものとする。また、$P_0$,Mを通る、上に凸の放物線を$C_1$とし、Pは$C_1$上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点$H_0$(0, 2)にあるものとする。また、$H_0$, Mを通る、上に凸の放物線を$C_2$とし、Hは$C_2$上を動くものとする。
・放物線$C_1$や$C_2$に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
(1)放物線$C_1$の方程式における$x^2$の係数をaとする。放物線$C_1$の方程式は
y=a$x^2$-$\boxed{\ \ キ\ \ }$ax+$\boxed{\ \ ク\ \ }$
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
-$\boxed{\ \ ケ\ \ }$a+$\boxed{\ \ コ\ \ }$
である。
放物線$C_2$の方程式における$x^2$の係数をpとする。放物線$C_2$の方程式は
y=p$\left\{x-\left(2-\frac{1}{8p}\right)\right\}^2-\frac{(16p-1)^2}{64p}+2$
と表すことができる。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、次の⓪~③のうち、正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなる時の地上の位置」は、常に一致する。
①プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、常にMのx座標に近い。
②花子選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、常にMのx座標に近い。
③プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方がMのx座標に近いときもあれば、花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、Mのx座標に近いときもある。
(2)二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図2(※動画参照)のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線$C_1$と$C_2$がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べってみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD=$\frac{\sqrt 3}{15}$である。
よって、放物線$C_1$がDを通るとき、$C_1$の方程式は
y=-$\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ス\ \ }}}{\boxed{\ \ セソ\ \ }}\left(x^2-\boxed{\ \ キ\ \ }x\right)+\boxed{\ \ ク\ \ }$
となる。
2023共通テスト過去問
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第2問
[1]太郎さんは総務省が公表している2020年の家計調査の結果を用いて、地域による食文化の違いについて考えている。家計調査における調査地点は、都道府県庁所在市および政令指定都市(都道府県庁所在市を除く)であり、合計52市である。家計調査の結果の中でも、スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の1世帯当たり年間支出金額(以下、支出金額、単位は円)」を分析することにした。以下においては、52市の調理食品の支出金額をデータとして用いる。
太郎さんは調理食品として、最初にうなぎのかば焼き(以下、かば焼き)に着目し、図1のように(※動画参照)52市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した。
ただし、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。
なお、以下の図や表については、総務省のWebページをもとに作成している。
(1)図1から次のことが読み取れる。
・第1四分位数が含まれる階級は$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である。
・第3四分位数が含まれる階級は$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$である。
・四分位範囲は$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$、$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪1000以上1400未満 ①1400以上1800未満
②1800以上2200未満 ③2200以上2600未満
④2600以上3000未満 ⑤3000以上3400未満
⑥3400以上3800未満 ⑦3800以上4200未満
⑧4200以上4600未満 ⑨4600以上5000未満
$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$の解答群
⓪800より小さい
①800より大きく1600より小さい
②1600より大きく2400より小さい
③2400より大きく3200より小さい
④3200より大きく4000より小さい
⑤4000より大きい
(2)太郎さんは、東西での地域による食文化の違いを調べるために、52市を東側の地域E(19市)と西側の地域W(33市)の二つに分けて考えることにした。
(i)地域Eと地域Wについて、かば焼きの支出金額の箱ひげ図を、図2,図3のように(※動画参照)それぞれ作成した。
かば焼きの支出金額について、図2と図3から読み取れることとして、次の⓪~③のうち、
正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$の解答群
⓪地域Eにおいて、小さい方から5番目は2000以下である。
①地域Eと地域Wの範囲は等しい。
②中央値は、地域Eより地域Wの方が大きい。
③2600未満の市の割合は、地域Eより地域Wの方が大きい。
(ii)太郎さんは、地域Eと地域Wのデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い、
それぞれの分散を考えることにした。地域Eにおけるかば焼きの支出金額の分散は、地域Eのそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差の$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪2乗を合計した値
①絶対値を合計した値
②2乗を合計して地域Eのの市の数で割った値
③絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値
④2乗を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの
⑤絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの
(3)太郎さんは、(2)で考えた地域Eにおける、やきとりの支出金額についても調べることにした。
ここでは地域Eにおいて、やきとりの支出金額が増加すれば、かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え、まず図4(※動画参照)のように、地域Eにおける、やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した。そして、相関係数を計算するために、表1(※動画参照)のように平均値、分散、標準偏差および共分散を算出した。ただし、共分散は地域Eのそれぞれの市における、やきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である。
表1を用いると、地域Eにおける、やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数は$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪~⑨のうちから一つ選べ。
⓪-0.62 ①-0.50②-0.37③-0.19
④-0.02⑤0.02⑥0.19⑦0.37
⑧0.50⑨0.62
[2]太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1(※動画参照)のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図を描き、ボールがリング入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
【仮定】
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A(3.8, 3),右端を点B(4.2, 3)とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M(4, 3)を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点$P_0$(0, 3)にあるものとする。また、$P_0$,Mを通る、上に凸の放物線を$C_1$とし、Pは$C_1$上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点$H_0$(0, 2)にあるものとする。また、$H_0$, Mを通る、上に凸の放物線を$C_2$とし、Hは$C_2$上を動くものとする。
・放物線$C_1$や$C_2$に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
(1)放物線$C_1$の方程式における$x^2$の係数をaとする。放物線$C_1$の方程式は
y=a$x^2$-$\boxed{\ \ キ\ \ }$ax+$\boxed{\ \ ク\ \ }$
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
-$\boxed{\ \ ケ\ \ }$a+$\boxed{\ \ コ\ \ }$
である。
放物線$C_2$の方程式における$x^2$の係数をpとする。放物線$C_2$の方程式は
y=p$\left\{x-\left(2-\frac{1}{8p}\right)\right\}^2-\frac{(16p-1)^2}{64p}+2$
と表すことができる。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、次の⓪~③のうち、正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなる時の地上の位置」は、常に一致する。
①プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、常にMのx座標に近い。
②花子選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、常にMのx座標に近い。
③プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方がMのx座標に近いときもあれば、花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、Mのx座標に近いときもある。
(2)二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図2(※動画参照)のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線$C_1$と$C_2$がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べってみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD=$\frac{\sqrt 3}{15}$である。
よって、放物線$C_1$がDを通るとき、$C_1$の方程式は
y=-$\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ス\ \ }}}{\boxed{\ \ セソ\ \ }}\left(x^2-\boxed{\ \ キ\ \ }x\right)+\boxed{\ \ ク\ \ }$
となる。
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題062〜早稲田大学2019年度人間科学部第１問〜球面と平面の交わりの円周上の点
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$ 3点A(2,1,7), B(2,5,5), C(5,3,5)を含む平面α上を動く点Pがある。
この点Pは、原点O(0,0,0)との距離OP≦7√2 を満たすように動く。このとき、平面α上
でPが動きうる領域の面積は$\boxed{\ \ ツ\ \ }\pi$ である。また、点Q(16, 10, 6)と
点Pの距離PQの最小値は$\boxed{\ \ テ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。
2019早稲田大学人間科学部過去問
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$\boxed{5}$ 3点A(2,1,7), B(2,5,5), C(5,3,5)を含む平面α上を動く点Pがある。
この点Pは、原点O(0,0,0)との距離OP≦7√2 を満たすように動く。このとき、平面α上
でPが動きうる領域の面積は$\boxed{\ \ ツ\ \ }\pi$ である。また、点Q(16, 10, 6)と
点Pの距離PQの最小値は$\boxed{\ \ テ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。
2019早稲田大学人間科学部過去問
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IA第１問不等式の解と図形の計量
単元：
#数Ⅰ#数と式#図形と計量#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第1問
[1]実数xについての不等式
|$x$+6| $\leqq$ 2
の解は
$\boxed{\ \ アイ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ ウエ\ \ }$
である。
よって、実数$a,b,c,d$が
|(1-$\sqrt3$)($a-b$)($c-d$)+6| $\leqq$2
を満たしているとき、1-$\sqrt3$は負であることに注意すると、($a-b$)($c-d$)
の取り得る値の範囲は
$\boxed{\ \ オ\ \ }+\boxed{\ \ カ\ \ }\sqrt3 \leqq (a-b)(c-d) \leqq \boxed{\ \ キ\ \ }+\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt3$
であることがわかる。
特に
$(a-b)(c-d)=\boxed{\ \ キ\ \ }+\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt3 \cdots①$
であるとき、さらに
$(a-c)(b-d)=-3+\sqrt3 \cdots②$
が成り立つならば
$(a-d)(c-b)=\boxed{\ \ ケ\ \ }+\boxed{\ \ コ\ \ }\sqrt3 \cdots③$
であることが、等式①,②,③の左辺を展開して比較することによりわかる。
[2]
(1)点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A,B
をAB=6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A,Bとは異なる点Cをとる。
(i)$\sin\angle ACB=\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。また、点Cを\angle ACBが鈍角となるようにとるとき、$\cos\angle ACB=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$である。
(ii)点Cを$\triangle ABC$の面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
$\tan\angle OAD=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である。また、$\triangle ABC$の面積は$\boxed{\ \ セソ\ \ }$である。
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$ ～ $\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
⓪$\displaystyle\frac{3}{5}$ ①$\displaystyle\frac{3}{4}$ ②$\displaystyle\frac{4}{5}$ ③ 1④$\displaystyle\frac{4}{3}$
⑤$-\displaystyle\frac{3}{5}$ ⑥$-\displaystyle\frac{3}{4}$ ⑦$-\displaystyle\frac{4}{5}$ ⑧ -1⑨$-\displaystyle\frac{4}{3}$
(2)半径が5である球Sがある。この球面上に3点P,Q,Rをとったとき、
これらの3点を通る平面α上でPQ=8, QR=5, RP=9であったとする。
球Sの球面上に点Tを三角錐TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を
求めよう。
まず、$\cos\angle QPR=\frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}$である
ことから、$\triangle PQR$の面積は$\boxed{\ \ ツ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ テト\ \ }}$である。
次に、点Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとする。このとき、PH,QH,RHの長さについて、$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$が成り立つ。
以上より、三角錐TPQRの体積は$\boxed{\ \ ニヌ\ \ }\left(\sqrt{\boxed{\ \ ネノ\ \ }}+\sqrt{\boxed{\ \ ハ\ \ }}\right)$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$の解答群
⓪PH＜QH＜RH ①PH＜RH＜QH
②QH＜PH＜RH ③QH＜RH＜PH
④RH＜PH＜QH ⑤RH＜QH＜PH
⑥PH=QH=RH
2023共通テスト過去問
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第1問
[1]実数xについての不等式
|$x$+6| $\leqq$ 2
の解は
$\boxed{\ \ アイ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ ウエ\ \ }$
である。
よって、実数$a,b,c,d$が
|(1-$\sqrt3$)($a-b$)($c-d$)+6| $\leqq$2
を満たしているとき、1-$\sqrt3$は負であることに注意すると、($a-b$)($c-d$)
の取り得る値の範囲は
$\boxed{\ \ オ\ \ }+\boxed{\ \ カ\ \ }\sqrt3 \leqq (a-b)(c-d) \leqq \boxed{\ \ キ\ \ }+\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt3$
であることがわかる。
特に
$(a-b)(c-d)=\boxed{\ \ キ\ \ }+\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt3 \cdots①$
であるとき、さらに
$(a-c)(b-d)=-3+\sqrt3 \cdots②$
が成り立つならば
$(a-d)(c-b)=\boxed{\ \ ケ\ \ }+\boxed{\ \ コ\ \ }\sqrt3 \cdots③$
であることが、等式①,②,③の左辺を展開して比較することによりわかる。
[2]
(1)点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A,B
をAB=6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A,Bとは異なる点Cをとる。
(i)$\sin\angle ACB=\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。また、点Cを\angle ACBが鈍角となるようにとるとき、$\cos\angle ACB=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$である。
(ii)点Cを$\triangle ABC$の面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
$\tan\angle OAD=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である。また、$\triangle ABC$の面積は$\boxed{\ \ セソ\ \ }$である。
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$ ～ $\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
⓪$\displaystyle\frac{3}{5}$ ①$\displaystyle\frac{3}{4}$ ②$\displaystyle\frac{4}{5}$ ③ 1④$\displaystyle\frac{4}{3}$
⑤$-\displaystyle\frac{3}{5}$ ⑥$-\displaystyle\frac{3}{4}$ ⑦$-\displaystyle\frac{4}{5}$ ⑧ -1⑨$-\displaystyle\frac{4}{3}$
(2)半径が5である球Sがある。この球面上に3点P,Q,Rをとったとき、
これらの3点を通る平面α上でPQ=8, QR=5, RP=9であったとする。
球Sの球面上に点Tを三角錐TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を
求めよう。
まず、$\cos\angle QPR=\frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}$である
ことから、$\triangle PQR$の面積は$\boxed{\ \ ツ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ テト\ \ }}$である。
次に、点Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとする。このとき、PH,QH,RHの長さについて、$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$が成り立つ。
以上より、三角錐TPQRの体積は$\boxed{\ \ ニヌ\ \ }\left(\sqrt{\boxed{\ \ ネノ\ \ }}+\sqrt{\boxed{\ \ ハ\ \ }}\right)$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$の解答群
⓪PH＜QH＜RH ①PH＜RH＜QH
②QH＜PH＜RH ③QH＜RH＜PH
④RH＜PH＜QH ⑤RH＜QH＜PH
⑥PH=QH=RH
2023共通テスト過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題061〜早稲田大学2019年度社会科学部第１問〜円の通過範囲と放物線と円の位置関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ $k$を実数とする。座標平面において方程式
$x^2+y^2+x+(2k+1)y+k^2+1=0$
の表す図形$C$を考える。次の問いに答えよ。
(1)$C$が円であるような$k$の値の範囲を求めよ。ただし、点も円とみなすものとする。
(2)$k$が変化するとき、$C$が通る点($x,y$)の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3)(2)で求めた領域の境界線と(1)で求めた円が共有点をもたないような、$k$の値の
範囲を求めよ。
2019早稲田大学社会科学部過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ $k$を実数とする。座標平面において方程式
$x^2+y^2+x+(2k+1)y+k^2+1=0$
の表す図形$C$を考える。次の問いに答えよ。
(1)$C$が円であるような$k$の値の範囲を求めよ。ただし、点も円とみなすものとする。
(2)$k$が変化するとき、$C$が通る点($x,y$)の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3)(2)で求めた領域の境界線と(1)で求めた円が共有点をもたないような、$k$の値の
範囲を求めよ。
2019早稲田大学社会科学部過去問