ますただ

11大阪府教員採用試験（数学：2番　微積）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1)

y = x^{x} (x > 0)

\frac{d y}{d x}

を求めよ。
(2)

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} (\frac{1}{\sqrt{(} n + 1)} + \frac{1}{\sqrt{(} n + 2)} + \dots + \frac{1}{\sqrt{(} 2 n)})

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ピザの定理（中学校の知識のみで証明）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
【第一ピザの定理】
円盤（ピザ）内の任意の1点で4本の直線が互いに45度のなす角で交わっている。このとき、4本の直線によって切り取られる8枚のピザのうち、奇数番目の部分の面積の和は、偶数番目の部分の面積の和に等しい。
＊図は動画内参照

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19愛知県教員採用試験（数学：4番　整数問題（数列系））

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

N = p^{n} \times 5^{n}

(1)正の約数の個数が8個
(2)正の約数の総和が90のとき、

p

とNを求めよ。

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19京都府教員採用試験（数学：高4番　ベクトル・三角関数）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

O A = 2 \sqrt{2}, O B = 4, c o s ∠ A O B = \frac{\sqrt{2}}{4}

の△OABにおいて
|

(c o s t + s i n t) \vec{O A} + (c o s t - s i n t) \vec{O B}

|
の最大値とそのときのtの値を求めよ。

(0 ≦ t ≦ \frac{π}{4})

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17奈良県教員採用試験（数学：1-4番　微積）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(4)

f (x) = e^{x} - \int_{0}^{1} t f (t) d t

関数f(x)を求めよ。

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16愛知県教員採用試験（数学：2番　整数問題）

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

自然数

N = 2^{a} \times 3^{b}

の
(1)正の約数の個数が20コ
(2)正の約数の総和が1240をみたすa,bの値を求めよ。

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18愛知県教員採用試験（数学：6番　指数関数）

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

y = - (9^{x} + 9^{- x}) + 2 a (3^{x} + 3^{- x}) + 1

(1)

t = 3^{x} + 3^{- x}

の最小値
(2)yの最大値が5のときaの値

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18愛知県教員採用試験（数学：9番　微分と曲線の長さ）

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x = \sqrt{3} t^{2}, y = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t

(0 ≦ t ≦ 1)

(1)

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

(2)曲線の長さl

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17愛知県教員採用試験（数学：6番　数列）

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

2 n a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k a_{k} + n

a_{n}

を求めよ。

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14東京都教員採用試験（数学：1-6番　区分求積法）

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(6)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k}{n^{2} + k^{2}}

\int_{0}^{1} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n})

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14大阪府教員採用試験（数学：高3-2番　微分）

単元： #微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(2)

e^{x} - a x^{2} = 0

の実数解の個数を調べよ

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14大阪府教員採用試験（数学：高3-1番　微分）

単元： #微分とその応用#微分法#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1)

f (x) = \begin{array}{r} {\begin{cases} l o g x x ≧ 1 \\ a x^{2} + b x + 1 x ＜ 1 \end{cases} \end{array}

x=1で微分可能となるようにa,bの値を定めよ。

(i) lim_{x \to 1} f (x) = f (1)

(i i) f^{'} (1)

が存在する

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17京都府教員採用試験（数学：共通4番　組合せ）

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n ≧ 2

,

1 ≦ r ≦ n - 1

(1)

_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r}

(2)

\sum_{k = r}^{n}_{k} C_{r} =_{n + 1} C_{r + 1}

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19神奈川県教員採用試験（数学：11番　ひたすら微分）

単元： #微分とその応用#微分法#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

11

y = \frac{e^{x}}{e^{x} + a}

は変曲点をただ１つだけもつ。変曲点のy座標を求めよ。

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16神奈川県教員採用試験（数学：5番　剰余の定理）

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{27}

を

x^{2} + x + 1

で割った余りを求めよ。

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19神奈川県教員採用試験（数学：10番　数列・対数）

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

10

a_{n}

:等比数列,

a_{1} = 2, r = 3

10^{4} ＜ a_{n} ＜ 10^{7}

をみたすnの個数を求めよ。

l o g_{10} 2 = 0.301

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

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17神奈川県教員採用試験（数学：9番　無限級数）

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n} s i n \frac{n π}{2}

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18神奈川県教員採用試験（数学：2番　不等式）

単元： #２次関数#2次方程式と2次不等式#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(x^{2} - 6 x + 2)^{2} - 4 (x^{2} - 6 x + 2) - 45 ≦ 0

をみたす整数xの個数を求めよ。

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18神奈川県教員採用試験（数学：6番　解と係数の関係）

単元： #数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{3} + k x^{2} + 2 x + 10 = 0

の解がx=-2、α、βのとき、

α^{2} + β^{2}

の値を求めよ。

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18神奈川県教員採用試験（数学：11番　区分求積法）

単元： #積分とその応用#定積分#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

11

lim_{n \to m} \frac{1}{n} (\sqrt{\frac{n + 1}{n}} + \sqrt{\frac{n + 2}{n}} + \dots + \sqrt{\frac{n + n}{n}})

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19愛知県教員採用試験（数学：1-1,2番　整数問題）

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

2x+5y=43

\dots

※
(1)※をみたす自然数の組(x,y)
(2)※をみたしx-2yがx+3yで割り切れる整数の組(x,y)の個数

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10奈良県教員採用試験（数学：6番　微分・微分方程式）

単元： #微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x + y) = f (x) f (y), f^{'} (0) a \neq 0

(1)f(0)を求めよ。
(2)y=f(x)は微分可能を」示し、関数f(x)を求めよ。

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18愛知県教員採用試験（数学：8番面積の最小値）

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1,0)を通る直線lと

y = x^{2} - 2

で囲まれる図形の面積Sの最小値を求めよ。

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12大阪府教員採用試験（数学：2番微分積分）

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1)

x ≧ 1

,

e^{x} ＞ x^{2}

を示せ
(2)

lim_{x \to \infty} \int_{1}^{x} t e^{- t} d t

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19大阪府教員採用試験（数学：2番フェルマーの小定理）

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

　ℙ:素数、(a,ℙ)=1
(1)

a, 2 a, 3 a, \dots, (ℙ - 1) a

の余りは全て異なる
(2)

a^{ℙ - 1}

はℙの倍数
(3)

2018^{1800}

を181で割った余り

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13東京都教員採用試験（数学：6番複素数）

単元： #複素数平面#複素数平面#その他#数学(高校生)#数C#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a r g Z = \frac{4}{3} π

,

a r g (1 - z) = \frac{π}{4}

a r g \frac{z}{(1 - z)^{2}}

, |z|を求めよ。

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13東京都教員採用試験（数学：7番偏微分）

単元： #その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x, y) = t a n^{- 1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}

のとき

f_{x}

(2,5)を求めよ。

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13東京都教員採用試験（数学：5番微分）

単元： #微分とその応用#微分法#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (1) = 1

,

f^{'} (1) = 2

,

g (1) = - 1

,

g (1) = 3

lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) g (1 - h) + 1}{h}

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17愛知県教員採用試験（数学：1-2番整数問題）

単元： #数Ⅰ#数A#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

-(2)

\frac{n}{225} < 1

(n \in N)

をみたす既約分数の個数

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17愛知県教員採用試験（数学：1番整数問題）

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x, y \in N

(1)

x y + 3 x - 2 y = 30

をみたす(x,y)
(2)

x^{3} - x y - 2 y + 2 = 0

をみたす(x,y)

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11大阪府教員採用試験（数学：2番 微積）

ピザの定理（中学校の知識のみで証明）

19愛知県教員採用試験（数学：4番 整数問題（数列系））

19京都府教員採用試験（数学：高4番 ベクトル・三角関数）

17奈良県教員採用試験（数学：1-4番 微積）

16愛知県教員採用試験（数学：2番 整数問題）

18愛知県教員採用試験（数学：6番 指数関数）

18愛知県教員採用試験（数学：9番 微分と曲線の長さ）

17愛知県教員採用試験（数学：6番 数列）

14東京都教員採用試験（数学：1-6番 区分求積法）

14大阪府教員採用試験（数学：高3-2番 微分）

14大阪府教員採用試験（数学：高3-1番 微分）

17京都府教員採用試験（数学：共通4番 組合せ）

19神奈川県教員採用試験（数学：11番 ひたすら微分）

16神奈川県教員採用試験（数学：5番 剰余の定理）

19神奈川県教員採用試験（数学：10番 数列・対数）

17神奈川県教員採用試験（数学：9番 無限級数）

18神奈川県教員採用試験（数学：2番 不等式）

18神奈川県教員採用試験（数学：6番 解と係数の関係）

18神奈川県教員採用試験（数学：11番 区分求積法）

19愛知県教員採用試験（数学：1-1,2番 整数問題）

10奈良県教員採用試験（数学：6番 微分・微分方程式）

18愛知県教員採用試験（数学：8番 面積の最小値）

12大阪府教員採用試験（数学：2番 微分積分）

19大阪府教員採用試験（数学：2番 フェルマーの小定理）

13東京都教員採用試験（数学：6番 複素数）

13東京都教員採用試験（数学：7番 偏微分）

13東京都教員採用試験（数学：5番 微分）

17愛知県教員採用試験（数学：1-2番 整数問題）

17愛知県教員採用試験（数学：1番 整数問題）

11大阪府教員採用試験（数学：2番　微積）

19愛知県教員採用試験（数学：4番　整数問題（数列系））

19京都府教員採用試験（数学：高4番　ベクトル・三角関数）

17奈良県教員採用試験（数学：1-4番　微積）

16愛知県教員採用試験（数学：2番　整数問題）

18愛知県教員採用試験（数学：6番　指数関数）

18愛知県教員採用試験（数学：9番　微分と曲線の長さ）

17愛知県教員採用試験（数学：6番　数列）

14東京都教員採用試験（数学：1-6番　区分求積法）

14大阪府教員採用試験（数学：高3-2番　微分）

14大阪府教員採用試験（数学：高3-1番　微分）

17京都府教員採用試験（数学：共通4番　組合せ）

19神奈川県教員採用試験（数学：11番　ひたすら微分）

16神奈川県教員採用試験（数学：5番　剰余の定理）

19神奈川県教員採用試験（数学：10番　数列・対数）

17神奈川県教員採用試験（数学：9番　無限級数）

18神奈川県教員採用試験（数学：2番　不等式）

18神奈川県教員採用試験（数学：6番　解と係数の関係）

18神奈川県教員採用試験（数学：11番　区分求積法）

19愛知県教員採用試験（数学：1-1,2番　整数問題）

10奈良県教員採用試験（数学：6番　微分・微分方程式）

18愛知県教員採用試験（数学：8番面積の最小値）

12大阪府教員採用試験（数学：2番微分積分）

19大阪府教員採用試験（数学：2番フェルマーの小定理）

13東京都教員採用試験（数学：6番複素数）

13東京都教員採用試験（数学：7番偏微分）

13東京都教員採用試験（数学：5番微分）

17愛知県教員採用試験（数学：1-2番整数問題）

17愛知県教員採用試験（数学：1番整数問題）