北里大学

福田の数学〜回転の概念を使って考えるよ〜北里大学2023年医学部第3問〜ベクトルの漸化式と点列

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#数列#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に 3 点

A_{0} (0, 0), B_{0} (2, 0), C_{0} (1, \sqrt{3})

があり、線分

A_{0} B_{0}, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}

をそれぞれ 2 : 1 に内分する点

A_{1}, B_{1}, C_{1}

をとる。以下同様にして、正の整数nに対し、線分

A_{n} B_{n}, B_{n} C_{n}, C_{n} A_{n}

をそれぞれ 2 : 1 に内分する点

A_{n + 1}, B_{n + 1}, C_{n + 1}

をとる。また、

\vec{P_{n}} = \vec{B_{n - 1} B_{n}} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

とおく。
(1)

\vec{p_{1}}, \vec{p_{2}}

をそれぞれ成分表示せよ。
(2)

\vec{p_{n + 2}} を \vec{p_{n}}

を用いて表せ。
(3)

\sum_{k = 1}^{n} \vec{p_{2 k - 1}}

を

\vec{p - 1}

を用いて表せ。
(4)点B_{2n}の座標を求めよ。

2023北里大学医過去問

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福田の数学〜この関数にピンときたら大正解〜北里大学2023年医学部第2問〜関数の増減と方程式の実数解の個数

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = 2^{x} - x^{2}

について考える。必要ならば、

0.6 < \log 2 < 0.7, - 0.4 < \log (\log 2) < - 0.3

を用いてよい。
(1)

f (x)

は区間

x ≧ 4

で増加することを示せ。
(2)方程式

f^{'} (x) = 0

の異なる実数解の個数を求めよ。
(3)方程式

f (x) = 0

の異なる実数解の個数を求めよ。
(4)方程式

f (x) = 0

の実数解のうち、最小のものを

p

とする。
この時、曲線

y = f (x)

の

x \leq 0

の部分、放物線

y = - x^{2} + \frac{2}{\log 2} x

、および２つの直線

x = p, x = 0

で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023北里大学医過去問

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福田の数学〜約数の個数を返す関数の性質〜北里大学2023年医学部第1問(4)〜約数の個数と整数解

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#整数の性質#確率#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
( 4 )正の整数 N に対して、の正の約数の個数を(い)とする。例えば、12の正の約数は 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 の 6 個であるから、

f (12) = 6

である。
(i)

f (5040) = シ

である。
(ii)

f (k) = 15

を満たす正の整数

k

のうち、 2 番目に小さいものは

ス

である。
(iii)大小2つのサイコロを投げるとき、出る目の積を

l

とおく。

f (l) = 4

となる確率は

セ

である。
(iv)正の整数mとnは互いに素で、等式

f (m n) = 3 f (m) + 5 f (n) - 13

を満たすとする。このとき、

m n

を最小にする

m

と

n

の組

(m, n)

は

ソ

である。

2023杏林大学医過去問

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福田の数学〜整数部分の評価が難しい問題〜北里大学2023年医学部第1問(3)〜漸化式と整数部分の評価

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a = 3 + \sqrt{10}, b = 3 - \sqrt{10}

とし、正の整数nに対して

A_{n} = a^{n} + b^{n}

とおく。
このとき、

A_{2}, A_{3}

の値はそれぞれ

A_{2} = ク, A_{3} = ケ

であり、

A_{n + 2}

を

A_{n + 1}, A_{n}

を用いて表すと

A_{n + 2} = コ

である。
また、

a^{111}

の整数部分を

k

とするとき、kを10で割ると

サ

余る。

2023北里大学医過去問

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福田の数学〜最大値を求める問題の３連発！〜北里大学2023年医学部第1問(2)〜領域における最大値

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点

(x, y)

は

x^{2} + (y - 1)^{2} ≦ 1

の表す領域を動くとする。

\frac{x - y - 1}{x + y - 3}

の最大値は？

x (y - 1)

の最大値は？

\frac{x^{2} - 6 x + 9}{y^{2} - 2 y - 3}

の最大値は？

2023北里大学医過去問

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福田の数学〜格子点の個数を数えるコツ〜北里大学2023年医学部第1問(1)〜複素数平面上の円の内部にある格子点

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
( 1 ) 8 の 6 乗根のうち、実部が正で虚部が負である複素数をzとする。このとき、

ア

であり、

z + z^{5} = イ

。複素数平面において、点zを中心とする円Cが実軸と2点a,bで交わり、

| a - b | = \sqrt{30}

を満たしている。このとき、円Cの半径 r は

r = ウ

である。また、円Cの内部にある複素数のうち、実部、虚部ともに 0 以上の整数であるものの個数は

エ

である。

2023北里大学医過去問

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福田の数学〜北里大学2020年医学部第１問(1)〜虚数係数の３次方程式の解

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(1)

p, q

を実数の定数、

i

を虚数単位とする。

x

の方程式

x^{3} - (p - i) x^{2} + (q - p i) x - 2 p + \frac{3 p}{2} i = 0

が

2 + i

を解にもつとする。このとき、

p = ア

,

q = イ

である。また、この方程式の

2 + i

以外の解を

α

,

β

(ただし、|

α

|

<

|

β

|)とおくと

{(\frac{β - i}{α})}^{7} = ウ

である。

2020北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2021年医学部第３問〜関数の増減とはさみうちの原理による数列の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

関数

f (x) = x^{5} - 2 x^{3} + 9 x

について考える。実数

t

に対して

y = f (x)

上の点(

t, f (t)

)における接線と

x

軸の交点の

x

座標を

g (t)

とおく。
また、正の実数

t

に対して

h (t) = \frac{g (t)}{t}

とおく。次の問いに答えよ。
(1)

g (t)

を求めよ。
(2)

h^{'} (t) = 0

を満たす正の実数

t

を求めよ。
(3)実数

p

は、すべての正の実数

t

に対して|

h (t)

|

≦ p

を満たすとする。
このような

p

の最小値を求めよ。
(4)

a

を定数とする。

a_{1} = a, a_{n + 1} = g (a_{n})

(n = 1, 2, 3. . .)

で定められる数列

{a_{n}}

に対して、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

となることを示せ。

2021北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2021年医学部第２問〜条件が複雑な重複順列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

n

を正の整数とし、1,2,3,4,5,6の6個の数字から同じ数字を繰り返し用いることを許して

n

桁の整数をつくる。このような整数のうち、1が奇数個用いられるものの総数を

A_{n}

、それ以外のものの総数を

B_{n}

とする。
また、1か6がいずれも奇数個用いられるものの総数を

C_{n}

とする。次の問いに答えよ。
(1)

A_{4}

を求めよ。
(2)正の整数

n

に対して、

A_{n + 1}

を

A_{n}

と

B_{n}

を用いて表せ。
(3)正の整数

n

に対して、

A_{n}

と

B_{n}

を求めよ。
(4)

p

を定数とする。

X_{1} = p

,

X_{n + 1} = 2 X_{n} + 6^{n}

(

n

=1,2,3,...)で定められる
数列を

{X_{n}}

とする。正の整数

n

に対して、

X_{n}

を

n

と

p

を用いて表せ。
(5)正の整数

n

に対して、

C_{n}

を求めよ。

2021北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(4)〜定積分で表された関数と回転体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(4)関数f(x)は微分可能であり、すべての実数xについて

f (x) = e^{2 x + 1} + 4 \int_{0}^{x} f (t) d t

を満たすとする。関数

g (x)

を

g (x) = e^{- 4 x} f (x)

により定めるとき,

g^{'} (x) = シ

であり、

f (x) = ス

である。また、曲線

y = f (x)

と
x軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
回転体の体積は

セ

である。

2021北里大学医学部過去問
\end{eqnarray}

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福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(3)〜三角関数への置き換えによる最大値の求め方

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(3)

0 ≦ θ < 2 π

のとき、関数

f (θ) = 2 \cos θ (\sqrt{3} \sin θ + \cos θ)

の最大値は

ケ

である。

g (x, y) = \frac{2 \sqrt{3} x y + 2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 1}

について考える。aを正の定数とし、点(x,y)が
円

x^{2} + y^{2} = a^{2}

上を動くとき、g

(x, y)

の最大値はaを用いて

コ

と表せる。
また、点(x,y)がxy平面全体を動くとき、g(x,y)の最大値は

サ

である。

2021北里大学医学部過去問

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北里大学2021年医学部第１問(2)。複素数平面でド・モアブルの定理を利用した偏角、絶対値の計算や正三角形の残りの頂点を求める

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(2)iを虚数単位とし、

z_{1} = \frac{(\sqrt{3} + i)^{17}}{(1 + i)^{19} (1 - \sqrt{3} i)^{7}}, z_{2} = - 1 + i

とする。

z_{1}

の偏角

θ

のうち、

0 ≦ θ < 2 π

を満たすものは

θ = オ

であり、

| z_{1} | = カ

である。
複素数平面上で

z_{1}, z_{2}

を表す点をそれぞれA,Bとする。このとき線分ABを
1辺とする正三角形ABCの、頂点Cを表す複素数の実部は0または

キ

である。
a,bを正の整数とし、複素数

\frac{(\sqrt{3} + i)^{7}}{(1 + i)^{a} (1 - \sqrt{3} i)^{b}}

の偏角の一つが

\frac{π}{12}

であるとき、
a+bの最小値は

ク

である。

2021北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(1)〜空間ベクトルの内積と平面に下ろした垂線の長さ

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#平面上のベクトルと内積#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)一辺の長さが4の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をEとおく。
動点Pは

P E = \frac{1}{2} A E

を満たしながら

△ A E D

の内部および周上を動くものとし、

∠ P E D = θ

とおく。このとき、

\vec{P B} ・ \vec{P C} = ア

である。また、

\vec{P B} ・ \vec{P C}

を

θ

を用いて表すと

\vec{P C} ・ \vec{P D} = イ

、その最大値は

ウ

である。

\vec{P C} ・ \vec{P D}

が最大となるときの点Pと平面ACDの距離は

エ

である。

2021北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第３問〜確率と漸化式の融合問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1つの箱を置ける台と2つの箱A, Bがある。箱Aには赤玉2個、青玉2個が
入っており、箱Bには白玉3個、青玉1個が入っている。台の上に箱Aを置き、
次の操作を繰り返す。
(操作) 台に置かれている箱から玉を1個取り出して色を調べてから箱に戻し、台
に置かれている箱を台から降ろす。取りだした玉が青球であれば箱Bを台
に置き、それ以外の色の玉であれば箱Aを台に置く。
正の整数nに対し、n回目の操作を終えたときに、台に箱Aが置かれている確率
をa_n、箱Bが置かれている確率をb_nとおく。次の問いに答えよ。
(1) 正の整数nに対し、

b_{n}

と

a_{n + 1}

をそれぞれ

a_{n}

を用いて表せ。
(2) 正の整数nに対し、

a_{n}

をnを用いて表せ。
(3) 正の整数nに対し、1回目からn回目までのn回の操作で白玉を1回も取り出
さない確率をnを用いて表せ。
(4)正の整数nに対し、1回目からn回目までのn回の操作で白玉をちょうど1回
だけ取り出す確率をnを用いて表せ。

2022北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第２問〜定積分と不等式

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
(1)定積分\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dxを求めよ。
(2)

x \neq 0

を満たすすべての実数xに対して、

e^{x} > 1 + x

と

e^{- x^{2}} < \frac{1}{1 + x^{2}}

が
成り立つことを証明せよ。
(3)

\frac{2}{3} < \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x < \frac{π}{4}

が成り立つことを証明せよ。

2022北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(4)〜放物線と2法線で囲まれた面積の最小

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
大問1の(4)
放物線

C : y = x^{2}

上に、2つの動点P(p,p²), Q (q, q²)がある。点PにおけるCの接線l₁と点 Q における C の接線l₂は垂直であり、

p > 0

であるとする。
このとき、qはpを用いてq=[ス]と表され､

l ₁

と

l ₂

およびCで囲まれた部分の面積Sはpを用いて S=[セ]と表される。
点PにおけるCの法線と点QにおけるCの法線の交点をRとし､ 2つの線分PRとQRおよびCで囲まれた部分の面積をTとおく。 pが正の実数全体を動くとき、Tの最小値は[ソ]である。

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(3)〜不定方程式の解

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(3) 等式

30 x - 23 y = 1

を満たす正の整数の組(x, y) のうち、

x + y

が最小となる
ものは[キ]である。

A = n | n $ は 600 以 下 の 正 の 整 数 で あ り 、 30 の 倍 数 で あ る

B={n|n

Extra close brace or missing open brace

∨m^2 +120$ は整数であるとすると、mのとり得る値は[ヶ],[コ],[サ],[シ]である。

2022北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(2)〜逆関数と方程式の解

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1 (2)

f (x) = l o g (x / 1 - x)

とする。
関数f(x) の逆関数は

f^{-} 1 (x) = [エ]

である。
方程式

f^{-} 1 (x) - a = 0

が実数解をもつとき、定数aのとり得る値の範囲は[オ]である。
方程式

f^{-} 1 (x) ² - b f^{-} 1 (x) - 3 b = 0

が実数解をもつとき、定数 bのとり得る値の範囲は[カ]である。

2022北里大学医学部過去問

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(1)〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1 (1)iを虚数単位とし、

α = - 2 + 2 i, β = 3 + i

とする。
このとき、

α^{5}

の値は[ア]である。
zは等式

2 | z - α | = | z - β |

を満たす複素数全体を動くとする。
このとき、複素数平面上の点P(z) が描く図形は円であり、その中心を表す複素数は[イ]である。
また、 |z| の最大値は[ウ]である。

2022北里大学医学部過去問

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数学「大学入試良問集」【13−14 確率漸化式の基本】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
袋の中に

1 ～ 9

までの異なる数字を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。
この中から１枚を取り出し、数字を調べて袋に戻す。
この試行を

n

回繰り返したとき、調べた

n

枚のカードの数字の和が偶数になる確率を

P_{n}

とする。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）

P_{2}, P_{3}

の値を求めよ。
（2）

P_{n + 1}

を

P_{n}

を用いて表せ。
（3）

P_{n}

を

n

を用いて表せ。

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北里大　三次関数　最大値

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#北里大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a > 0, a \neq 1

f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x + 1

0 ≦ x ≦ 2

において

f (x)

が

x = 2

で最大値を取る

a

の条件を求めよ

出典：北里大学　過去問

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福田の数学〜最大値を求める問題の３連発！〜北里大学2023年医学部第1問(2)〜領域における最大値

福田の数学〜格子点の個数を数えるコツ〜北里大学2023年医学部第1問(1)〜複素数平面上の円の内部にある格子点

福田の数学〜北里大学2020年医学部第１問(1)〜虚数係数の３次方程式の解

福田の数学〜北里大学2021年医学部第３問〜関数の増減とはさみうちの原理による数列の極限

福田の数学〜北里大学2021年医学部第２問〜条件が複雑な重複順列

福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(4)〜定積分で表された関数と回転体の体積

福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(3)〜三角関数への置き換えによる最大値の求め方

北里大学2021年医学部第１問(2)。複素数平面でド・モアブルの定理を利用した偏角、絶対値の計算や正三角形の残りの頂点を求める

福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(1)〜空間ベクトルの内積と平面に下ろした垂線の長さ

福田の数学〜北里大学2022年医学部第３問〜確率と漸化式の融合問題

福田の数学〜北里大学2022年医学部第２問〜定積分と不等式

福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(4)〜放物線と2法線で囲まれた面積の最小

福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(3)〜不定方程式の解

福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(2)〜逆関数と方程式の解

福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(1)〜複素数平面上の点の軌跡

数学「大学入試良問集」【13−14 確率漸化式の基本】を宇宙一わかりやすく

北里大 三次関数 最大値

北里大　三次関数　最大値