九州大学

福田の数学〜九州大学2024年文系第2問〜ベクトルの内積計算と三角形の面積

単元： #大学入試過去問(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

座標平面上の原点O(0,0)、点A(2,1)を考える。点Bは第1象限にあり、|

\vec{O B}

|=

\sqrt{10}

,　

\vec{O A} ⊥ \vec{A B}

を満たすとする。以下の問いに答えよ。
(1)点Bの座標を求めよ。
(2)

s

,

t

を正の実数とし、

\vec{O C}

=

s \vec{O A}

+

t \vec{O B}

　を満たす点Cを考える。三角形OACと三角形OBCの面積が等しく、|

\vec{O C}

|=4　が成り立つとき、

s

,

t

の値を求めよ。

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福田の数学〜九州大学2024年理系第4問〜3個以上の格子点を通る直線の個数

単元： #数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

n

を3以上の整数とする。座標平面上の点のうち、

x

座標と

y

座標がともに1以上

n

以下の整数であるものを考える。これら

n^{2}

個の点のうち3点以上を通る直線の個数を

L (n)

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

L (3)

を求めよ。
(2)

L (4)

を求めよ。
(3)

L (5)

を求めよ。

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福田の数学〜九州大学2024年理系第3問〜階乗を含む不定方程式の解

単元： #数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

以下の問いに答えよ。
(1)自然数

a

,

b

が

a

<

b

を満たすとき、

\frac{b!}{a!}

≧

b

　が成り立つことを示せ。
(2)2・

a!

=

b!

　を満たす自然数の組(

a

,

b

)を全て求めよ。
(3)

a!

+

b!

=2・

c!

　を満たす自然数の組(

a

,

b

,

c

)を全て求めよ。

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福田の数学〜九州大学2024年理系第2問〜複素数平面と高次方程式の解

単元： #数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

整式

f (z)

=

z^{6}

+

z^{4}

+

z^{2}

+1
について、以下の問いに答えよ。
(1)

f (z)

=0　を満たす全ての複素数

z

に対して、|

z

|=1　が成り立つことを示せ。
(2)次の条件を満たす複素数

w

を全て求めよ。
条件：

f (z)

=0　を満たす全ての複素数

z

に対して

f (w z)

=0　が成り立つ。

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福田の数学〜九州大学2024年理系第1問〜空間における三角形の面積の最大値

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

a

を実数とし、座標空間内の3点P(-1,1,-1), Q(1,1,1), R(

a

,

a^{2}

,

a^{3}

)を考える。以下の問いに答えよ。
(1)

a

≠-1,

a

≠1　のとき、3点P,Q,Rは一直線上にないことを示せ。
(2)

a

が-1<

a

<1　の範囲を動くとき、三角形PQRの面積の最大値を求めよ。

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福田の数学〜九州大学2023年文系第4問PART2〜確率漸化式

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

w

を

x^{3}

=1 の虚数解のうち虚部が正であるものとする。さいころを繰り返し投げて、次の規則で4つの複素数0, 1,

w

,

w^{2}

を並べていくことにより、複素数の列

z_{1}

,

z_{2}

,

z_{3}

, ... を定める。
・

z_{1}

=0 とする。
・

z_{k}

まで定まった時、さいころを投げて、出た目を

t

とする。このとき

z_{k + 1}

を以下のように定める。
・

z_{k}

=0 のとき、

z_{k + 1}

=

w^{t}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=1, 2のとき、

z_{k + 1}

=0 とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=3のとき、

z_{k + 1}

=

w z_{k}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=4のとき、

z_{k + 1}

=

\bar{w z_{k}}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=5のとき、

z_{k + 1}

=

z_{k}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=6のとき、

z_{k + 1}

=

\bar{z_{k}}

とする。
ここで複素数

z

に対し、

\bar{z}

は

z

と共役な複素数を表す。以下の問いに答えよ。
(1)

ω^{2}

=

\bar{ω}

であることを示せ。
(2)

z_{n}

=0となる確率を

n

の式で表せ。
(3)

z_{3}

=1,

z_{3}

=

ω

,

z_{3}

=

ω^{2}

となる確率をそれぞれ求めよ。
(4)

z_{n}

=1となる確率を

n

の式で表せ。

2023九州大学文系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年文系第4問PART1〜確率漸化式

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

w

を

x^{3}

=1 の虚数解のうち虚部が正であるものとする。さいころを繰り返し投げて、次の規則で4つの複素数0, 1,

w

,

w^{2}

を並べていくことにより、複素数の列

z_{1}

,

z_{2}

,

z_{3}

, ... を定める。
・

z_{1}

=0 とする。
・

z_{k}

まで定まった時、さいころを投げて、出た目を

t

とする。このとき

z_{k + 1}

を以下のように定める。
・

z_{k}

=0 のとき、

z_{k + 1}

=

w^{t}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=1, 2のとき、

z_{k + 1}

=0 とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=3のとき、

z_{k + 1}

=

w z_{k}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=4のとき、

z_{k + 1}

=

\bar{w z_{k}}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=5のとき、

z_{k + 1}

=

z_{k}

とする。
・

z_{k}

≠0,

t

=6のとき、

z_{k + 1}

=

\bar{z_{k}}

とする。
ここで複素数

z

に対し、

\bar{z}

は

z

と共役な複素数を表す。以下の問いに答えよ。
(1)

ω^{2}

=

\bar{ω}

であることを示せ。
(2)

z_{n}

=0となる確率を

n

の式で表せ。
(3)

z_{3}

=1,

z_{3}

=

ω

,

z_{3}

=

ω^{2}

となる確率をそれぞれ求めよ。
(4)

z_{n}

=1となる確率を

n

の式で表せ。

2023九州大学文系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年文系第3問〜ベクトルの平行条件と内積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),　

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。以下の問いに答えよ。
(1)

\vec{m}

と

\vec{n}

が平行であるための必要十分条件はD=0であることを示せ。
以下、D≠0とする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m}

・

\vec{v}

=

\vec{n}

・

\vec{w}

=1,　

\vec{m}

・

\vec{w}

=

\vec{n}

・

\vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数

r

と

s

を

\vec{q}

,

\vec{v}

,

\vec{w}

を用いて表せ。

2023九州大学文系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年文系第2問〜2直線のなす角と外接円の半径

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

xy平面上の曲線C：

y

=

x^{3}

-

x

を考える。変数

t

＞0に対して、曲線C上の点A(

t

,

t^{3}

-

t

)における接線を

l

とする。直線

l

と直線

y

=-

x

の交点をB、三角形OABの外接円の中心をPとする。以下の問いに答えよ。
(1)点Bの座標を

t

を用いて表せ。
(2)θ=

∠

OBAとする。

\sin^{2} θ

を

t

を用いて表せ。
(3)

f (t)

=

\frac{O P}{O A}

とする。

t

＞0のとき、

f (t)

を最小にする

t

の値と

f (t)

の最小値を求めよ。

2023九州大学文系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年文系第１問〜放物線と直線で囲まれた面積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

aを0＜a＜9 を満たす実数とする。xy平面上の曲線Cと直線lを、次のように定める。
C：

y

=|(

x

-3)(

x

+3)|,　l：

y

=

a

曲線Cと直線lで囲まれる図形のうち、

y

≧

a

の領域にある部分の面積を

S_{1}

、

y

≦

a

の領域にある部分の面積を

S_{2}

とする。

S_{1}

=

S_{2}

となる

a

の値を求めよ。

2023九州大学文系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

xy平面上の曲線Cを、媒介変数

t

を用いて次のように定める。

x

=

t

+2

\sin^{2} t

,　

y

=

t

+

\sin t

　(0＜

t

＜

π

)
以下の問いに答えよ。
(1)曲線Cに接する直線のうち

y

軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2)曲線Cのうち

y

≦

x

の領域にある部分と直線

y

=

x

で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第4問〜加法定理が成り立つ関数を調べるPART2

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数

\cos x

,

\sin x

については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数

f (x)

,

g (x)

が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて

f (x + y)

=

f (x)

f (y)

-

g (x)

g (y)

(B)すべてのx, yについて

g (x + y)

=

f (x)

g (y)

+

g (x)

f (y)

(C)

f (0)

\neq

0
(D)

f (x)

,

g (x)

はx=0で微分可能で

f^{'} (0)

=0,

g^{'} (0)

=1
条件(A), (B), (C)から

f (0)

=1,

g (0)

=0 がわかる。以上のことから

f (x)

,

g (x)

はすべてのxの値で微分可能で、

f^{'} (x)

=

- g (x)

,

g^{'} (x)

=

f (x)

が成立することが示される。上のことから

{f (x) + i g (x)}

(\cos x - i \sin x)

=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし

i

は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数

f (x)

=

\cos x

,

g (x)

=

\sin x

であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)',

f (x)

,

g (x)

はx=0で微分可能で

f^{'} (0)

=a,

g^{'} (0)

=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす

f (x)

,

g (x)

はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から

f (0)

=1,

g (0)

=0が上と同様にわかる。ここで

p (x)

=

e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b})

,　

q (x)

=

e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b})

とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、

f (x)

を

p (x)

に、

g (x)

を

q (x)

におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、

p (x)

,

q (x)

がまず求まり、このことを用いると

f (x)

=

ア

,

g (x)

=

イ

が得られる。
(1)下線部①について、

f (0)

=1,

g (0)

=0であることを示せ。
(2)下線部②について、

f (x)

がすべてのxの値で微分可能な関数であり、

f^{'} (x)

=

- g (x)

となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、

{f (x) + i g (x)}

(\cos x - i \sin x)

=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、

f (x)

を

p (x)

に、

g (x)

を

q (x)

におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり

p (x)

を

q (x)

が、
(B)すべてのx, yについて、

q (x + y)

=

p (x)

q (y)

+

q (x)

p (y)

(D)

p (x)

,

q (x)

はx=0 で微分可能で

p^{'} (0)

=0,

q^{'} (0)

=1
を満たすことを示せ。また空欄

ア

,

イ

に入る関数を求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第4問〜加法定理が成り立つ関数を調べるPART1

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#微分法と積分法#加法定理とその応用#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数

\cos x

,

\sin x

については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数

f (x)

,

g (x)

が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて

f (x + y)

=

f (x)

f (y)

-

g (x)

g (y)

(B)すべてのx, yについて

g (x + y)

=

f (x)

g (y)

+

g (x)

f (y)

(C)

f (0)

\neq

0
(D)

f (x)

,

g (x)

はx=0で微分可能で

f^{'} (0)

=0,

g^{'} (0)

=1
条件(A), (B), (C)から

f (0)

=1,

g (0)

=0 がわかる。以上のことから

f (x)

,

g (x)

はすべてのxの値で微分可能で、

f^{'} (x)

=

- g (x)

,

g^{'} (x)

=

f (x)

が成立することが示される。上のことから

{f (x) + i g (x)}

(\cos x - i \sin x)

=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし

i

は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数

f (x)

=

\cos x

,

g (x)

=

\sin x

であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)',

f (x)

,

g (x)

はx=0で微分可能で

f^{'} (0)

=a,

g^{'} (0)

=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす

f (x)

,

g (x)

はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から

f (0)

=1,

g (0)

=0が上と同様にわかる。ここで

p (x)

=

e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b})

,　

q (x)

=

e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b})

とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、

f (x)

を

p (x)

に、

g (x)

を

q (x)

におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、

p (x)

,

q (x)

がまず求まり、このことを用いると

f (x)

=

ア

,

g (x)

=

イ

が得られる。
(1)下線部①について、

f (0)

=1,

g (0)

=0であることを示せ。
(2)下線部②について、

f (x)

がすべてのxの値で微分可能な関数であり、

f^{'} (x)

=

- g (x)

となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、

{f (x) + i g (x)}

(\cos x - i \sin x)

=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、

f (x)

を

p (x)

に、

g (x)

を

q (x)

におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり

p (x)

を

q (x)

が、
(B)すべてのx, yについて、

q (x + y)

=

p (x)

q (y)

+

q (x)

p (y)

(D)

p (x)

,

q (x)

はx=0 で微分可能で

p^{'} (0)

=0,

q^{'} (0)

=1
を満たすことを示せ。また空欄

ア

,

イ

に入る関数を求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART3

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての

\vec{q}

に対して成り立つとする。D

\neq

0であることを示せ。
以下、D

\neq

0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m} ・ \vec{v}

=

\vec{n} ・ \vec{w}

=1,　

\vec{m} ・ \vec{w}

=

\vec{n} ・ \vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル

\vec{q}

に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART2

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての

\vec{q}

に対して成り立つとする。D

\neq

0であることを示せ。
以下、D

\neq

0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m} ・ \vec{v}

=

\vec{n} ・ \vec{w}

=1,　

\vec{m} ・ \vec{w}

=

\vec{n} ・ \vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル

\vec{q}

に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART1

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての

\vec{q}

に対して成り立つとする。D

\neq

0であることを示せ。
以下、D

\neq

0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m} ・ \vec{v}

=

\vec{n} ・ \vec{w}

=1,　

\vec{m} ・ \vec{w}

=

\vec{n} ・ \vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル

\vec{q}

に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第2問〜数列の収束発散の判定

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

α

を実数とする。数列

{a_{n}}

が

a_{1}

=

α

,

a_{n + 1}

=|

a_{n}

-1|+

a_{n}

-1　(n=1,2,3,...)
で定められるとき、以下の問いに答えよ。
(1)

α

≦1のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。
(2)

α

＞2のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。
(3)1＜

α

＜

\frac{3}{2}

のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。
(4)

\frac{3}{2} ≦ α

＜2のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第1問〜複素数平面上の三角形の形状

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

以下の問いに答えよ。
(1)4次方程式

x^{4}

-2

x^{3}

+3

x^{2}

-2

x

+1=0 を解け。
(2)複素数平面上の

△

ABCの頂点を表す複素数をそれぞれ

α

,

β

,

γ

とする。

(α - β)^{4}

+

(β - γ)^{4}

+

(γ - α)^{4} = 0

が成り立つとき、

△

ABCはどのような三角形になるか答えよ。

2023九州大学理系過去問

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大学入試問題#542「どこでも対称性が流行」　九州大学(2023)　#高次方程式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{4} - 2 x + 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0

を解け

出典：2023年九州大学　入試問題

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2023九州大学　４次方程式と複素平面上の三角形

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
(1)

x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0

を解け.
(2)複素数平面上の

△ A B C

の頂点を表す複素数を

α, β, δ

とする.

(α - β)^{4} + (β - δ) + (δ - α)^{4} = 0

が成り立つとき,

△ A B C

はどのような三角形か.

2023九州大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題067〜九州大学2017年度文系第４問〜最大公約数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

以下の問いに答えよ。
(1) 2017と225の最大公約数を求めよ。
(2) 225との最大公約数が15となる2017以下の自然数の個数を求めよ。
(3) 225との最大公約数が15であり、かつ1998との最大公約数が111となる2017以下の自然数を全て求めよ。

2017九州大学文系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題066〜九州大学2017年度理系第３問〜等差数列の7の倍数になる項の個数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

初項

a_{1} = 1

, 公差4の等差数列

{a_{n}}

を考える。以下の問いに答えよ。
(1)

{a_{n}}

の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。
(2)

{a_{n}}

の初項から第600項のうち、

7^{2}

の倍数である項の個数を求めよ。
(3) 初項から第n項までの積

a_{1} a_{2} \dots a_{n}

が

7^{45}

の倍数となる最小の自然数nを求めよ。

2017九州大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題029〜九州大学2016年度理系第５問〜ドモアブルの定理と三角関数

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#三角関数#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

θ

を

0 ≦ θ < 2 π

を満たす実数、iを虚数単位とし、

z = \cos θ + i \sin θ

で
表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。

\cos n θ = \frac{1}{2} (z^{n} + \frac{1}{z^{n}}), \sin n θ = - \frac{i}{2} (z^{n} - \frac{1}{z^{n}})

(2)次の方程式を満たす実数

x (0 ≦ x < 2 π)

を求めよ。

\cos x + \cos 2 x - \cos 3 x = 1

(3)次の式を証明せよ。

\sin^{2} 20 ° + \sin^{2} 40 ° + \sin^{2} 60 ° + \sin^{2} 80 ° = \frac{9}{4}

2016九州大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題028〜九州大学2016年度文理共通問題〜余りと合同式

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#茨城大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
自然数nに対して、

10^{n}

を13で割った余りを

a_{n}

とおく。

a_{n}

は0から12まで
の整数である。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{n + 1}

は

10 a_{n}

を13で割った余りに等しいことを示せ。
(2)

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{6}

を求めよ。
(3)以下の3条件を満たす自然数Nをすべて求めよ。

(i) N

を十進法で表示した時6桁となる。

(ii) N

を十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くと
2016となる。

(iii) N

は13で割り切れる。

2016九州大学文理過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題009〜九州大学2015年度理系数学第２問〜関数の増減と区分求積

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)関数

y = \frac{1}{x (\log x)^{2}}

は

x > 1

において単調に減少することを示せ。

(2)不定積分

\int \frac{1}{x (\log x)^{2}} d x

　を求めよ。

(3)nを3以上の整数とするとき、不等式

\sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{k (\log k)^{2}} < \frac{1}{\log 2}

が成り立つことを示せ。

2015九州大学理系過去問

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整数問題の難問！誘導ありでも難しいです【九州大学】【数学入試問題】

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
自然数

m, n

が、

n^{4} = 1 + 210 m^{2}

･･･①を満たすとき,以下の問いに答えよ。

(1)

\frac{n^{2} + 1}{2}, \frac{n^{2} - 1}{2}

は互いに素な整数であることを示せ。

九州大過去問

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無限降下法って知ってる？整数問題の難問です【数学入試問題】【九州大学】

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

a^{2} + b^{2} = 3 c^{2}

を満たす自然数

a, b, c

は存在しないことを証明せよ。

九州大過去問

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九州大のナイスな問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

α = \sqrt{5} - 1 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} i

β = - \sqrt{5} - 1 + \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} i

(1)

α

を解にもつ実数係数の2次方程式を1つ例示せよ.
(2)

α, β

を解にもつ実数係数の4次方程式を1つ例示せよ.
(3)

β^{5}

の値を求めよ.

九州大(類)過去問

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サイコロの確率の問題！注意点があります【数学入試問題】【九州大学】

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
4個のサイコロを同時に投げるとき,出る目すべての積を

X

とする。

(1)

X

が25の倍数になる確率を求めよ。
(2)

X

が4の倍数になる確率を求めよ。
(3)

X

が100の倍数になる確率を求めよ。

九州大過去問

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あの公式が力を発揮する良問！微分・積分のよく出る問題です【数学入試問題】【九州大学】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

a ≧ 0

とする。2つの放物線

C_{1} : y = x^{2}, C_{2} : y = 3 (x - a)^{2} + a^{3} - 40

を考える。

(1)

C_{1}

と

C_{2}

が異なる2点で交わるような定数

a

の値の範囲を求めよ。

九州大過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 九州大学

福田の数学〜九州大学2024年文系第2問〜ベクトルの内積計算と三角形の面積

福田の数学〜九州大学2024年理系第4問〜3個以上の格子点を通る直線の個数

福田の数学〜九州大学2024年理系第3問〜階乗を含む不定方程式の解

福田の数学〜九州大学2024年理系第2問〜複素数平面と高次方程式の解

福田の数学〜九州大学2024年理系第1問〜空間における三角形の面積の最大値

福田の数学〜九州大学2023年文系第4問PART2〜確率漸化式

福田の数学〜九州大学2023年文系第4問PART1〜確率漸化式

福田の数学〜九州大学2023年文系第3問〜ベクトルの平行条件と内積

福田の数学〜九州大学2023年文系第2問〜2直線のなす角と外接円の半径

福田の数学〜九州大学2023年文系第１問〜放物線と直線で囲まれた面積

福田の数学〜九州大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積

福田の数学〜九州大学2023年理系第4問〜加法定理が成り立つ関数を調べるPART2

福田の数学〜九州大学2023年理系第4問〜加法定理が成り立つ関数を調べるPART1

福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART3

福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART2

福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART1

福田の数学〜九州大学2023年理系第2問〜数列の収束発散の判定

福田の数学〜九州大学2023年理系第1問〜複素数平面上の三角形の形状

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2023九州大学 ４次方程式と複素平面上の三角形

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