問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$(1)$12^{25}$は何桁の整数か.
ただし,$\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771$とする.

2021中央大経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$(1)次の2次方程式において,1つの解が$x=\dfrac{3}{2}-i$であるとき,
実数$a,b$の値を求めよ.ただし,$i$は虚数単位とする.
$-x^2+ax+b=0$

2021中央大経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x\gt 0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_n(x)dx=1$満たすものとする.次の問い　
答えよ.

(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.

(2)$a_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.また,正の実数$b_n$が$\displaystyle \int_{1}^{b_n}f_{n+1}(x)dx=-1$を満たすとき,$b_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n$を求めよ.

(3)2以上の自然数$k$に対して$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f_n(x)dx \gt \dfrac{1}{k}$を示し,これを利用して$a_n\lt 4$を証明せよ.

(4)$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_{n+1}(x)dx\lt 1$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.

2021中央大理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$自然数$a$を3で割った余りを$r(r=0,1,2)$とする.以下の問いに答えよ.
(1)以下を求めよ.
(ア)$r=0$のとき,$a^3+4$を3で割った余り
(イ)$r=1$のとき,$a^3+4$を3で割った余り
(ウ)$r=2$のとき,$a^3+4$を3で割った余り

(2)3つの自然数$a,a^3+4,a^5+8$のうちいずれか1つは3の倍数であることを示せ.

(3)3つの自然数$a,a^3+4,a^5+8$が同時に素数となる$a$をすべて求めよ.

2021中央大理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
（1）
次の定積分の値を求めよ。
　(ⅰ)$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\ x\ dx$
　(ⅱ)$\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{2x}\sin\ x\ dx$

（2）
次の等式をみたす$f(x)$を求めよ。
$f(x)=e^{2x}+\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(t)\sin\ t\ dt$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$コインを繰り返し,連続した3回が順に,表→裏→表,あるいは,裏→表→裏,というパターンが出たときにコイン投げを終了する.$n\geqq 3$に対し,コインをちょうど$n$回投げて終了する確率を$p_n$とする.
以下の手順により$p_n$を求める.コインを$n$回投げて,「まだ終了していないが$n+1$回目に表が出たら終了する」または「まだ終了してないが$n+1$回目に裏が出たら終了する.」という状態にある確率を$r_n$とする.またコインを$n$回投げて「まだ終了しておらず,$n+1$回目に表が出ても裏が出ても終了しない」という状態にある確率を$s_n$とする.
このとき,$r_3=\dfrac{1}{4},s_3=\boxed{ク},r_4=\dfrac{1}{4},s_4=\boxed{ケ}$である.
ここで,$r_{n+4}$と$r_{n},s_n$を用いて表すと,それぞれ$r_{n+1}=\boxed{コ},s_{n+1}=\boxed{サ}＄となる.

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　放物線C:y=x^2上の点(a,\ a^2)　(a \gt 0)における法線lの方程式をy=f(x)\\
とおくと、f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを\\
求めると、Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、\\
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積V(a)を求める。Dに含まれるl上\\
の点をR(t,\ f(t))　(\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq t \leqq a)とおく。Rを通りlに垂直な直線は\\
y=2a(x-t)+f(t)で与えられる。この直線とy=x^2の2つの交点のうち\\
Dに含まれる方の点Sのx座標はx=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}\ となる。このとき\\
線分RSの長さr=g(t)はg(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})となる。\\
線分QRの長さs=h(t)はh(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })で与えられるので、\\
V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt\\
=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt\\
となる。ここでu=\sqrt{a-t}とおいて置換積分を行えば\\
V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }\\
が求まる。さらに、a \gt 0の範囲でaを動かすとき、\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty\\
であり、V(a)を最小にするaの値はa=\boxed{\ \ キ\ \ }である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{2}{a}(x-a)+a^2　ⓑ-\frac{1}{a}(x-a)+a^2　ⓒ-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2　ⓓ-2a(x-a)+a^2\\
\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{a^2-1}{a}　ⓑ-\frac{2a^2-1}{2a}　ⓒ-\frac{a^2+1}{a}　ⓓ-\frac{2a^2+1}{2a}\\
ⓔ\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}　ⓕ\sqrt{a^2+1}　ⓖ\sqrt{4a^2+1}　ⓗ2a\\
ⓘ\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}　ⓙ\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}　ⓚ\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}　ⓛ\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}\\
ⓜ\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}　ⓝ\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}　ⓞ\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}　ⓟ\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi　ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi　ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{1}{\sqrt5}　ⓑ\frac{1}{\sqrt2}　ⓒ1　ⓓ\sqrt2　ⓔ\frac{2}{\sqrt5}　ⓕ4
\end{eqnarray}

2021中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}　dを実数の定数、f(t)を2次関数として、次の関数F(x)を考える。\\
F(x)=\int_d^xf(t)dt\\
(1)F(d)=\boxed{\ \ ヤ\ \ },\ F'(x)=\boxed{\ \ ユ\ \ }\ である。\\
(2)F(x)がx=1で極大値5、x=2で極小値4をとるとき、\\
f(t)およびdを求めなさい。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
xy平面上の放物線$y=x^2$上の３点P,Q,Rが次の条件をみたしている。
△PQRは一辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは$\sqrt2$である。
このとき、aの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}　P(0,0,-1),\ Q(0,1,-2),\ R(1,0,-2)を頂点とする三角形の面積は\boxed{\ \ ヘ\ \ }である。\\
aを実数とし、\overrightarrow{ v }=(a,a,3)とする。点P',Q',R'を\\
\overrightarrow{ OP' }=\overrightarrow{ OP }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OQ' }=\overrightarrow{ OQ }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OR' }=\overrightarrow{ OR }+\overrightarrow{ v }\\
によって定め、さらに線分PP',QQ',RR'がxy平面と交わる点をP'',Q'',R''とする。\\
このとき、P''の座標は\boxed{\ \ ホ\ \ }、Q''の座標は\boxed{\ \ マ\ \ }、R''の座標は\boxed{\ \ ミ\ \ }である。\\
\triangle P''Q''R''が正三角形になるのはa=\boxed{\ \ ム\ \ }のときである。\\
3点P'',Q'',R''が同一直線上にあるのはa=\boxed{\ \ メ\ \ }のときである。a \gt \boxed{\ \ メ\ \ }のとき、\\
\triangle P''Q''R''の面積をaで表すと\boxed{\ \ モ\ \ }となる。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
２つの放物線
$y = 2\sqrt3(x - \cos\theta)^2 + \sin\theta,　y = -2\sqrt3(x + \cos\theta)^2 - \sin\theta$　
が相異なる２点で交わるような一般角$\theta$の範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}　ある高校の生徒30人に対し、50m走のタイムを2回計測した。\\
左図(※動画参照)は1回目の計測結果を横軸に2回目の計測結果\\
を縦軸に取った散布図である。\\
(1)次の(\textrm{A})から(\textrm{F})のうち、1回目の計測結果の箱ひげ図\\
として適当なものは\boxed{\ \ ネ\ \ }であり、2回目の計測結果の箱ひげ図として\\
適当なものは\boxed{\ \ ノ\ \ }である。\\
(2)次の(\textrm{G})から(\textrm{L})のうち、1回目と2回目の計測結果の合計の\\
箱ひげ図として適切なものは\boxed{\ \ ハ\ \ }である。\\
(3)遅れてやってきた31人目の生徒の50m走のタイムを2回計測した\\
結果、1回目は20.0(秒)、2回目は10.0(秒)であった。各生徒の2回の\\
計測結果の合計を考え、最初の30人の生徒の平均値を\bar{ x_{31} },中央値を\\
m_{31}とする。\bar{ x_{30} }=17.0であることに注意すると、\\
\bar{ x_{31} }-\bar{ x_{30} }=\boxed{\ \ ヒ\ \ }である。一方、\\
m_{31}-m_{30}=\boxed{\ \ フ\ \ }である。\\
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　(3)\ aを正の定数とし、不等式\\
|x^2-ax+3| \leqq 1\\
の解を実数の範囲で考える。\\
0 \lt a \lt \boxed{\ \ ナ\ \ }のとき、この不等式の解は存在しない。\\
\boxed{\ \ ナ\ \ } \leqq a \leqq \boxed{\ \ ニ\ \ }のとき、この不等式の解は\\
ある実数p,qによってp \leqq x \leqq qと表される。\\
a \gt \boxed{\ \ ニ\ \ }のときこの不等式の解は\boxed{\ \ ヌ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
2曲線$y=\sqrt{ x },\ y=a\ log\ x$、が1点のみを共有するように正の数$a$を定め、このとき2曲線と$x$軸で囲まれる面積を求めよ。

ただし、必要なら$\displaystyle \lim_{ x \to \infty }\displaystyle \frac{log\ x}{x}=0$は用いてよい。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　(2)円x^2+y^2=1をCと表す。p \gt 1とし、点P(0,p)を通るCの2つの接線\\
をl_1,l_2とする。l_1,l_2の方程式は\\
\\
y=\boxed{\ \ タ\ \ },　y=\boxed{\ \ チ\ \ }\\
\\
であり、l_1,l_2が直交するのはp=\boxed{\ \ ツ\ \ }のときである。\\
p=\boxed{\ \ ツ\ \ }のとき、l_1,l_2を接線に持ち、かつCに外接する円の中で中心が\\
y軸上にある2つの円の半径は\boxed{\ \ テ\ \ }および\boxed{\ \ ト\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　(1)座標平面上を動く点Pが原点の位置がある。1個のさいころを投げて、1または2の\\
目が出たときには、Pはx軸の正の向きに1だけ進み、他の目が出たときには、\\
Pはy軸の正の向きに2だけ進むことにして、さいころを3回投げる。\\
点Pの座標が(2,2)である確率は\boxed{\ \ ス\ \ }であり、Pと原点との距離が3以上である\\
確率は\boxed{\ \ セ\ \ }である。Pと原点との距離が3以上という条件の下で、Pが座標軸上にない\\
条件付確率は\boxed{\ \ ソ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(6)\ a,bを実数、iを虚数単位とする。4次方程式\\
x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0\\
の1つの解が1+iであるとき、\\
a=\boxed{\ \ コ\ \ },　b=\boxed{\ \ サ\ \ }\\
である。また、他の解は\boxed{\ \ シ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(5)自然数nは1とn以外にちょうど4個の約数をもつとする。このような\\
自然数nの中で、最小の数は\boxed{\ \ ク\ \ }であり、最小の奇数は\boxed{\ \ ケ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(4)数列\left\{a_n\right\}の階差数列を\left\{b_n\right\}とする。\left\{b_n\right\}が初項2、公比\frac{1}{3}の等比数列と\\
なるとき、\left\{b_n\right\}の一般項はb_n=\boxed{\ \ オ\ \ }である。また、\left\{a_n\right\}も等比数列に\\
なるならば、a_1=\boxed{\ \ カ\ \ }である。このとき\left\{a_n\right\}の一般項はa_n=\boxed{\ \ キ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(3)\ 実数aが2^a-2^{-a}=3を満たしているとき、2^a=\boxed{\ \ ウ\ \ }であり、\\
\\
4^a-4^{-a}=\boxed{\ \ エ\ \ }\\
\\
である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
$f(x)$が$0 \leqq x \leqq 1$で連続な関数であるとき
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}xf(\sin\ x)dx=\displaystyle \frac{\pi}{2}\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(\sin\ x)dx$
が成立することを示し、これを用いて$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\displaystyle \frac{x\ \sin\ x}{3+\sin^2x}dx$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(2)\ 2(\cos\theta-\sin\theta)^2=1　を満たす\thetaを0 \leqq \theta \leqq \pi　の範囲で求めると\ \boxed{\ \ イ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(1)\ (a+b)^{21}の展開式a^{18}b^3の係数は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。\\
\\
\\
\\
(a+b+c)^{21}の展開式におけるa^{12}b^3c^6の係数を求めよ。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}　xy平面上に、xの関数\\
f(x)=x^3+(a+4)x^2+(4a+6)x+4a+2\\
のグラフy=f(x)がある。y=f(x)が任意のaに対して\\
通る定点をP、点Pにおける接線がy=f(x)と交わる点をQとおく。\\
(1)点Pの座標は\boxed{\ \ ツ\ \ }であり、点Pにおける接線の方程式はy=\boxed{\ \ テ\ \ }である。\\
(2)a=5のとき、y=f(x)上の点における接線は、x=\boxed{\ \ ト\ \ }において傾きが\\
最小になる。\\
(3)x=\boxed{\ \ ト\ \ }においてf(x)が極値をとるとき、a=\boxed{\ \ ナ\ \ }であり、\\
点(\boxed{\ \ ト\ \ },f(\boxed{\ \ ト\ \ }))をSとおくと、三角形SPQの面積は\boxed{\ \ ニ\ \ }である。\\
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{2}}}　与えられた図形の頂点から無作為に異なる3点を選んで三角形を作る試行を考える。ただし、\\
この試行におけるすべての根元事象は同様に確からしいとする。\\
(1)正n角形における前事象をU_nとし、その中で面積が最小の三角形ができる\\
事象をA_nとする。ただし、nはn \geqq 6を満たす自然数とする。\\
(\textrm{i})事象U_6において、事象A_6の確率は\boxed{\ \ ス\ \ }である。\\
(\textrm{ii})事象U_nにおいて、事象A_nの確率をnの式で表すと\boxed{\ \ セ\ \ }であり、\\
この確率が\frac{1}{1070}以下になる最小のnの値は\boxed{\ \ ソ\ \ }である。\\
(\textrm{iii})事象U_n \cap \bar{ A_n }において、面積が最小となる三角形ができる確率をnの式で\\
表すと\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
(2)1辺の長さが\sqrt2である立方体における全事象をVとすると、事象Vに含まれ\\
るすべての三角形の面積の平均値は\boxed{\ \ チ\ \ }である。\\
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(7)座標空間内に4点A(0,-2,2),\ B(0,2,2),\ C(2,0,-2),\ D(-2,0,-2)がある。\\
この4点を頂点とする四面体ABCDの体積は\boxed{\ \ シ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(6)整数x,yがx \gt 1,y \gt 1,x ≠yを満たし、等式\\
6x^2+13xy+7x+5y^2+7y+2=966\\
を満たすとする。\\
(\textrm{i})6x^2+13xy+7x+5y^2+7y+2を因数分解すると\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
(\textrm{ii})この等式を満たすxとyの組をすべて挙げると(x,y)=\boxed{\ \ サ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
次の不等式が定める図形を$D$とする。
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2},0 \leqq y \leqq \sin2x$
（1）
曲線$y=a\ \sin\ x$と$y=\sin2x$が$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$で交わるような定数$a$の範囲を求めよ。

（2）
曲線$y=a\ \sin\ x$が図形$D$を面積の等しい2つの部分に分けるような定数$a$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(5)3進法で表された3n桁の整数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\\
\overbrace{ 210210\cdots210_{(3)}}^{ 3n桁 }　　　　　　　　　　　　　　\\
がある(ただし、nは自然数とする)。この数は、1 \leqq k \leqq nを満たす全て\\
の自然数kに対して、最小の位から数えて3k番目の位の数が2、3k-1番目の位\\
の数が1、3k-2番目の位の数が0である。この数を10進法で表した数をa_n\\
とおく。\\
(\textrm{i})a_2=\boxed{\ \ ク\ \ }\ である。\\

2021慶應義塾大学薬学部過去問
(\textrm{ii})a_nをnの式で表すと、\boxed{\ \ ケ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(4)\thetaは実数で、-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}を満たす。方程式\\
4\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2})=1\\
を満たすとき、\sin\theta+\cos\thetaの値は\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ であり、\\
\sin\thetaの値は\ \boxed{\ \ キ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学薬学部過去問