集合と命題（集合・命題と条件・背理法）

【数A】【場合の数】集合の個数 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅰ#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
全体集合Uと、その部分集合

A

,

B

に対して

_{n}

U = 50,

_{n}

(

A

\cup

B

) = 42,

_{n}

(

A

\cap

B

) = 3,

_{n}

(

\overset{―}{A}

\cap

B

) = 15であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。
(1)

\overset{―}{A}

\cap

\overset{―}{B}

　　　　　(2)

A

\cap

\overset{―}{B}

　　　　　(3)

A

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【数A】【場合の数】集合の文章題 ※問題文は概要欄

単元： #数A#場合の数と確率#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
海外旅行者100人のうち、75人がカゼ薬を、80人が胃薬を携帯していた。次のような人は、最も多くて何人か。また少なくて何人か。
　　　　　　　(1)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人
　　　　　　　(2)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯していない人

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【数A】【場合の数】3つの集合 ※問題文は概要欄

単元： #数A#場合の数と確率#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。
　　　　　(1)2,3,7の少なくとも1つで割り切れる数
　　　　　(2)2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数

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【数Ⅰ】【集合と論証】背理法の使い方 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
"

x, y, z

は実数とする。次の▢の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。

（１）

(x - y) (y - z) = 0

は

x = y = z

であるための

（２）

「 x > 0

かつ

y > 0 」

は、

x y > 0

であるための

（３）

x = y = 0

は、

「 x y = 0

かつ

x + y = 0 」

であるための

（４）

∠ A < 90

は

△ A B C

が鋭角三角形であるための

（５）

△ A B C

の3辺

B C, C A, A B

の長さがそれぞれa

, b, c

とする。
　　　

(a - b) (a^{2} + b^{2} = c^{2}) = 0

は

△ A B C

が直角二等辺三角形であるための

a, b

は実数とする。次の2つの条件

p, q

は同値であることを証明せよ。

p : a > 1

かつ

b > 1

q : a + b > 2

かつ

(a - 1) (b - 1) > 0

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【数Ⅰ】【集合と論証】対偶の使い方 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【1問目】

m, n

は整数とする。次の命題を証明せよ。

（１）

n^{2}

が5の倍数ならば、

n

は5の倍数である。
（２）

m n

が3の倍数ならば、

m, n

の少なくとも一方は3の倍数である。

【2問目】

\sqrt{6}

が無理数であることを用いて、

\sqrt{3} - \sqrt{2}

は無理数であることを証明せよ。

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【数Ⅰ】【集合と論証】真偽の調べ方 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

a, b

は実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
（１）

a b = 0

ならば

a^{2} + b^{2} = 0

である。
（２）

a^{2} = 4

ならば

| a + 1 | ≧ 1

である。
（３）

a b

が有理数であるならば、

a, b

はともに有理数である。
（４）

a + b, a b

がともに有理数ならば、

a, b

はともに有理数である。

全体集合を

U

とし、条件

p, q

を満たす全体の集合を、それぞれ

P, Q

とする。
命題

\overset{―}{p} \Rightarrow q

が真であるとき、

P, Q

について常に成り立つ事をすべて選べ。

①

P ＝ Q

②

Q \subset P

③

\overset{―}{Q} \subset P

④

P \subset \overset{―}{Q}

⑤

P \cup \overset{―}{Q} ＝ P

⑥

P \cup \overset{―}{Q} ＝ \overset{―}{Q}

⑦

P \cap Q ＝ \emptyset

⑧

P \cup Q ＝ U

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【数Ⅰ】【集合と論証】集合:ベン図を利用した問題 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

U ＝ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

を全体集合とする。

U

の部分集合

A, B

について

A \cap B ＝ {2}

\overset{―}{A} \cap B ＝ {4, 6, 8}

\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B} ＝ {1, 9}

であるとき、次の∩を求めよ。
（１）

A \cup B

（２）

B

（３）

A \cap \overset{―}{B}

U = {x | 1 ≦ x ≦ 10 、 x は 整 数}

を全体集合とする。

U

の部分集合

A = {1, 2, 3, 4, 8} B = {3, 4, 5, 6} C = {2, 3, 6, 7}

について、次の集合を求めよ。
（１）

A \cap B \cap C

（２）

A \cup B \cup C

（３）

A \cap B \cap \overset{―}{C}

（４）

\overset{―}{A} \cap B \cap \overset{―}{C}

（５）

\overset{―}{(A \cap B \cap C)}

（６）

(A \cup C) \cap \overset{―}{B}

A = {1, 3, 3 a - 2}

B = {- 5 、 a + 2 、 a^{2} - 2 a + 1}

A \cap B = {1, 4}

のとき
定数

a

の値と和集合

A \cup B

を求めよ。

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福田のおもしろ数学150〜sin1°は有理数か

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\sin 1 °

　は有理数か？

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年商学部第2問(4)〜領域と集合の要素の個数

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(4)

x y

平面上で、不等式

x

≦5 の表す領域を

A

, 不等式

x

+

y

≧10 の表す領域を

B

とする。また、

x y

平面上の点の集合

S

は以下の3つの条件をすべて満たす。
(条件1)

S

に含まれるどの点も、その

x

座標と

y

座標はともに1以上10以下の自然数である。
(条件2)

S

の要素で領域

A

に含まれるものは、領域

B

に含まれる。
(条件3)

S

の要素で領域

B

に含まれるものは、領域

A

に含まれる。

S

を、条件1～3を満たす中で要素の個数が最大のものとするとき、その要素の個数は

シ ス

である。

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福田のおもしろ数学133〜命題の否定〜夏は暑い

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
命題「夏は暑い」を否定せよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(3)〜ルート2が無理数である証明

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(3)

\sqrt{2}

が無理数であることを証明せよ。

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無理数の無理数乗が有理数

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

(無 理 数)^{無 理 数} = 有 理 数

となる例を挙げよ

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(2)〜関数の集合と条件

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)

{x | x ＞ 0}

を定義域とする関数

f (x)

の集合Aに対する以下の3つの条件を考える。
(P)関数

f (x)

と

g (x)

が共にAの要素ならば、関数

f (x) + g (x)

もAの要素である。
(Q)関数

f (x)

と

g (x)

が共にAの要素ならば、関数

f (x) g (x)

もAの要素である。
(R)

α

が0でない定数で関数

f (x)

がAの要素ならば、関数

α f (x)

もAの要素である。
Aを以下の(i)~(iv)の集合とするとき、条件(P),(Q),(R)のうち成り立つものをすべて解答欄にマークせよ。
(i)

f (1)

=0　を満たす関数

f (x)

全体の集合
(ii)

f (α)

=0　となる正の実数

α

が存在する関数

f (x)

全体の集合
(iii)全ての正の実数

x

に対して

f (x)

＞0　が成り立つ関数

f (x)

全体の集合
(iv)定義域

{x | x ＞ 0}

のどこかで連続でない関数

f (x)

全体の集合

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大学入試問題#597「難しくはないと思う」　大阪教育大学(2014)　#命題②

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#大阪教育大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

α = \sqrt[3]{2}

（が無理数は使用可）

α^{2} + p α + q = 0

を満たす有理数

p, q

が存在しなことを示せ

出典：2015年大阪教育大学　入試問題

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大学入試問題#596「√２のいとこ」　大阪教育大学(2014)　#命題①

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#大阪教育大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sqrt[3]{2}

は無理数であることを示せ

出典：2015年大阪教育大学　入試問題

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(7)〜集合と座標平面

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(7)座標平面の3つの部分集合
A=

{(x, - 2 x + 2) | x は 実 数, x < 0}

B=

{(x, 2 x + 2) | x は 実 数, x ≧ 0}

C=

{(x, - x + 3) | x は 実 数}

に対し、(A

\cup

B)

\cap

C　に属する点の座標をすべて求めると

キ

である。

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福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART3

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての

\vec{q}

に対して成り立つとする。D

\neq

0であることを示せ。
以下、D

\neq

0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m} ・ \vec{v}

=

\vec{n} ・ \vec{w}

=1,　

\vec{m} ・ \vec{w}

=

\vec{n} ・ \vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル

\vec{q}

に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART2

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての

\vec{q}

に対して成り立つとする。D

\neq

0であることを示せ。
以下、D

\neq

0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m} ・ \vec{v}

=

\vec{n} ・ \vec{w}

=1,　

\vec{m} ・ \vec{w}

=

\vec{n} ・ \vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル

\vec{q}

に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART1

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての

\vec{q}

に対して成り立つとする。D

\neq

0であることを示せ。
以下、D

\neq

0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m} ・ \vec{v}

=

\vec{n} ・ \vec{w}

=1,　

\vec{m} ・ \vec{w}

=

\vec{n} ・ \vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル

\vec{q}

に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

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千葉大　整数解を持つ条件

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
Pは素数であり,

P^{2} + (5 - P^{2}) x - 3 P = 0

が整数解をもつのは

P = 2

に限ることを示せ.

千葉大過去問

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福田の数学〜北海道大学2023年文系第３問〜絶対値の和の最小値

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#場合の数と確率#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#場合の数#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

nを2以上の自然数とする。1個のさいころをn回投げて出た目の数を順に

a_{1}

,

a_{2}

, ....,

a_{n}

とし、

K_{n}

=|1-

a_{1}

|+|

a_{1}

-

a_{2}

|+...+|

a_{n - 1}

-

a_{n}

|+|

a_{n}

-6|
とおく。また

K_{n}

のとりうる値の最小値を

q_{n}

とする。
(1)

K_{2}

=5 となる確率を求めよ。
(2)

K_{3}

=5 となる確率を求めよ。
(3)

q_{n}

を求めよ。また、

K_{n}

=

q_{n}

となるための

a_{1}

,

a_{2}

, ....,

a_{n}

に関する必要十分条件を求めよ。

2023北海道大学文系過去問

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真か偽か

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
真か偽か
(1)

a = 2 b

ならば

\frac{a}{b} = 2

(2)

a b = 2

ならば

a = \frac{2}{b}

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福田の数学〜東京大学2023年理系第４問〜球面と三角形が共有点をもつ条件

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#空間ベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標空間内の4点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)を考える。
(1)

\vec{O P} ⊥ \vec{O A}

,

\vec{O P} ⊥ \vec{O B}

,

\vec{O P} ⊥ \vec{O C}

=1　を満たす点Pの座標を求めよ。
(2)点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。

\vec{O H}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)点Qを

\vec{O Q}

=

\frac{3}{4} \vec{O A}

+

\vec{O P}

により定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

2023東京大学理系過去問

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2023高校入試数学解説92問目逆　反例　静岡県

単元： #数学(中学生)#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#高校入試過去問(数学)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
・逆を書け。
・また逆が正しくないことを示すための反例を1つ書け。
「aもbも正の数ならば、a+bは正の数である」
（2023静岡県）

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慈恵医大　座標のフリした整数問題

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面において,第一象限に属する点P

(\sqrt{2} r, \sqrt{3} s)

(r,sは有理数)をとるとき,線分OPの長さは無理数となることを示せ.

慈恵医大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題005〜一橋大学2015年文系数学第１問〜互いに素な自然数の個数

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
nを2以上の整数とする。n以下の正の整数のうち、nとの最大公約数が1と
なるものの個数をE(n)で表す。たとえば

E (2) = 1, E (3) = 2, E (4) = 2, . . ., E (10) = 4, . . .

である。
(1)E(1024)を求めよ。
(2)E(2015)を求めよ。
(3)mを正の整数とし、pとqを異なる素数とする。

n = p^{m} q^{m} の と き \frac{E (n)}{n} ≧ \frac{1}{3}

が成り立つことを示せ。

2015一橋大学文系過去問

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【苦手な人6分時間をください!!】必要十分条件を解説！〔現役塾講師解説、数学〕

単元： #数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
数学1A
必要十分条件について解説します。

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福田の数学〜上智大学2022年理工学部第１問(1)〜集合と論理

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)x,yを実数とする。次の条件を考える。

p : x y

が無理数である.

q : x, y

がともに無理数である.

r : x, y

の少なくとも一方が無理数である.

(i)

以下から真の命題をすべて選べ。

(a) p \Rightarrow q (b) p \Rightarrow r (c) q \Rightarrow p (d) q \Rightarrow r (e) r \Rightarrow p (f) r \Rightarrow q (ii) x, y

が命題「

p \Rightarrow q

」の判例であるための必要十分条件を、すべて選べ。

(a)

「

x y

が無理数」かつ「x,yが共に有理数」である。

(b)

「

x y

が有理数」かつ「x,yが共に有理数」である。

(c)

「

x y

が有理数」かつ「xが有理数、または、yが有理数」である。

(d)

「

x y

が無理数」かつ「xが有理数、または、yが有理数」である。

(e)

「

x y

が無理数、かつxが有理数」または「xyが無理数、かつ、yが有
理数」である。

(f)

「

x y

が無理数、かつxが有理数」または「xyが有理数、かつ、yが有
理数」である。

2022上智大学理工学部過去問

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福田の数学〜上智大学2022年TEAP理系型第１問(3)〜命題と必要十分な条件

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1
(3) aを正の実数とする。実数からなる集合X, Yを次で定める。

X = x | 0 < x < a, Y = y | 3 < y < 5

次のそれぞれの命題が成り立つための必要十分条件を、選択肢から1つずつ選べ。
(i) すべてのx∈Xとすべてのy∈Yに対してx<yとなる
(ii) 「すべてのx∈Xに対してx<y」となるy∈Yが存在する
(iii) すべてのx∈Xに対して「x<yとなるy∈Yが存在する」

2022上智大学理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 集合と命題（集合・命題と条件・背理法）

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【数A】【場合の数】3つの集合 ※問題文は概要欄

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