図形と方程式

【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係4 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次のような三角形の面積を求めよ。
(1)3点(-1,1),(3,2),(1,4)を頂点とする三角形
(2)3直線

x - 3 y = - 5, 4 x + 3 y = - 5, 2 x - y = 5

で作られる三角形

平面上の2点をA(1,1),B(2,3)とする。
点Pが放物線

y = x^{2} + 4 x + 11

を動くとき、

△

PABの面積の最小値を求めよ。

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【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係3 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問1
直線

y = 2 x

を

l

とするとき､次のものを求めよ｡
(1)

l

に関して､点

A (5, 0)

と対称な点Bの座標
(2)

l

に関して､直線

3 x + y = 15

と対称な直線の方程式

問２

k

を定数とする｡直線

(k + 2) x + (2 k - 3) y = 5 k - 4

は

k

の値に関係なく定点を通る｡その定点の座標を求めよ｡

問３

x - y = 1, 2 x - 3 y = 1, a x + b y = 1

が1点で交わらなければ､3点

(1, ｰ 1), (2, ｰ 3), (a, b)

は一直線上にあることを証明せよ｡

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【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

3 x - 2 y + 3 = 0, 2 x - 4 y + k = 0, x - k y + 5 = 0

が1点で交わるように､定数

k

の値を求めよ｡

x + 3 y = 2, x + y = 0, a x + 2 y = - 4

が三角形を作らないような定数

a

の値を求めよ｡

2直線

x - y + 1 = 0, 3 x + 2 y - 12 = 0

の交点を通り､次の条件を満たす直線の方程式を､それぞれ求めよ｡
(1)直線

5 x ｰ 6 y ｰ 8 = 0

に平行である｡
(2)直線

5 x ｰ 6 y ｰ 8 = 0

に垂直である｡

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【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形

A B C

について次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し、その点の座標を求めよ。
(1)　各辺の垂直二等分線
(2)　各頂点から対辺に下した垂線

x + a y + 1 = 0, a x + (a + 2) y + 3 = 0

が次の条件を満たすとき定数

a

の値をそれぞれ求めよ。
(1)　平行である
(2)　垂直である

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【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分の利用 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
3点

(2, - 2), (- 1, 1), C

を頂点とする三角形が正三角形になるとき、点

C

の座標を求めよ。

3点

(3, 5), (2, - 2), - (6, 2)

から等距離にある点の座標を求めよ。

(1) 4点

A (- 2, 3), B (5, 4), C (- 3, 1), D

を頂点とする平行四辺形

A B C D

がある。対角線

A C, B D

の交点及び、頂点

D

の座標を求めよ。
(2) 4点

A (- 2, 3), B (5, 4), C (- 3, 1), D

を頂点とする平行四辺形について、頂点

D

となりうる点の座標をすべて答えよ。

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【数Ⅱ】【図形と方程式】内分と外分の基本、点と直線 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2点

A (- 5), B (11)

に対して、線分

A B

を

5 : 3

に内分する点を

P

、

7 : 11

に外分する点を

Q

とする。線分

P Q

の中点の座標を求めよ。

次の3点が一直線上にあるとき、

t

の値を求めよ。
(1)　

(- 2, 6), (0, 3), (4, t)

(2)　

(1, 4), (- 1, t), (t, 2)

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【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分重心 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形の各辺の中点の座標を

(- 1, - 1), (- 0, - 1), (2, - 2)

であるとき、この三角形の3つの頂点の座標を求めよ。

△ A B C

の重心を

G

とするとき、次の等式を証明せよ。

A B^{2} ＋ A C^{2} ＝ B G^{2} ＋ C G^{2} ＋ ４ A G^{2}

△ A B C

において辺

A B, B C, C A

を

3 : 2

に内分する点を、それぞれ

D, E, F

とするとき、

△ A B C

と

△ D E F

の重心は一致することを証明せよ。

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【高校数学】線形計画法(円と直線パターン)の考え方【数学のコツ】

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} ≦ 1, y ≧ 0

のとき、

- 2 x + y

の最大値、最小値を求めよ。

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【高校数学】円と直線が接するときの２パターンの考え方【数学のコツ】

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の円と直線が接するときのkの値と接点の座標を求めよ。

x^{2} + y^{2} = 4, y = x + k

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福田の数学〜神戸大学2024年理系第2問〜放物線と2接線た作る三角形の重心の軌跡

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#微分法と積分法#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#面積、体積#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

a

,

b

,

c

は実数で、

a

≠0とする。放物線

C

と直線

l_{1}

,

l_{2}

をそれぞれ

C

：

y

=

a x^{2}

+

b x

+

c

l_{1}

：

y

=

- 3 x

+3

l_{2}

：

y

=

x

+3
で定める。

l_{1}

,

l_{2}

がともに

C

と接するとき、以下の問いに答えよ。
(1)

b

を求めよ。

c

を

a

を用いて表せ。
(2)

C

が

x

軸と異なる2点で交わるとき、

\frac{1}{a}

のとりうる値の範囲を求めよ。
(3)

C

と

l_{1}

の接点をP、

C

と

l_{2}

の接点をQ、放物線

C

の頂点をRとする。

a

が(2)の条件を満たしながら動くとき、

△ P Q R

の重心Gの軌跡を求めよ。

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福田のおもしろ数学154〜2変数関数の最大最小

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x

,

y

が実数で、

x^{2}

+

(y - 1)^{2}

≦1　のとき、

z

=

\frac{x + y + 1}{x - y + 3}

　の最大値、最小値を求めよ。

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福田のおもしろ数学148〜円の面積

単元： #数A#数Ⅱ#図形の性質#図形と方程式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
左図(※動画参照)で4つの四角形はすべて面積が

16 {cm}^{2}

の正方形です。
円の面積を求めて下さい。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年商学部第2問(4)〜領域と集合の要素の個数

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(4)

x y

平面上で、不等式

x

≦5 の表す領域を

A

, 不等式

x

+

y

≧10 の表す領域を

B

とする。また、

x y

平面上の点の集合

S

は以下の3つの条件をすべて満たす。
(条件1)

S

に含まれるどの点も、その

x

座標と

y

座標はともに1以上10以下の自然数である。
(条件2)

S

の要素で領域

A

に含まれるものは、領域

B

に含まれる。
(条件3)

S

の要素で領域

B

に含まれるものは、領域

A

に含まれる。

S

を、条件1～3を満たす中で要素の個数が最大のものとするとき、その要素の個数は

シ ス

である。

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円を表す方程式

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
円を表す方程式
＊図は動画内参照

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【高校数学】【図形と方程式】領域の超時短裏ワザ！後編

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
定期考査直前、「この問題だけはできるようにしよう！」ってことで領域の問題を裏ワザで解説してみました。（割と有名なので知ってる人はゴメンナサイ）この動画は前編（ • 【高校数学】【図形と方程式】領域の超時短裏ワザ！前編【後編は明日１８時公開！】）を見てからご覧ください！

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【高校数学】【図形と方程式】領域の超時短裏ワザ！前編【後編は明日１８時公開！】

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
定期考査直前、「この問題だけはできるようにしよう！」ってことで領域の問題を裏ワザで解説してみました。（割と有名なので知ってる人はゴメンナサイ）
この動画では「

x - 2 y - 4 ≧ 0

」を図示します！

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第5問〜円の性質と切り取られる弦の長さ

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

2点A(－

\sqrt{2}

－

\sqrt{6}

,

\sqrt{2}

－

\sqrt{6}

),　B(

\sqrt{2}

+

\sqrt{6}

,

\sqrt{2}

－

\sqrt{6}

)と原点O(0, 0)について、

θ

=

∠ AOB

とするとき、

θ

=

\frac{ナ}{ニ} π

である。ただし、0≦

θ

≦

π

とする。さらに円

x^{2}

+

y^{2}

－

2 x

－

10 y

+22=0 を

C

とする。円

C

上の点P, Qは

∠ APB

=

∠ AQB

=

\frac{5}{12} π

を満たす点とする。このとき、PQ=

ヌ \sqrt{\frac{ネ}{ノ}}

である。

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大学入試問題#802「ほんまに解いてほしい良問」　#岡山大学(2002) #通過領域

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岡山大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
座標平面上に点

A (0, 2)

と点

B (1, 0)

があり線分

A B

上の点

P

から

x

軸、

y

軸におろした垂線の足をそれぞれ

Q, R

とする。
点

P

が

A

から

B

まで動くとき、線分

Q R

の通過する部分の面積を求めよ。

出典：2002年岡山大学　入試問題

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福田のおもしろ数学116〜円の内部の点(a,b)に対してax+by=r^2はどんな直線を表しているか

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
円

x^{2}

+

y^{2}

=

r^{2}

の内部の点(

a

,

b

)に対して直線

a x

+

b y

=

r^{2}

はどんな直線か。ただし、(

a

,

b

)

\neq

(0,0)とする。

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福田のおもしろ数学115〜円外の点から引いた2本の接線の接点を結んでできる直線の方程式

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
円

x^{2}

+

y^{2}

=

r^{2}

上に円外の点(

a

,

b

)から2本の接線を引く。このとき2接点P,Qを結ぶ直線の方程式は

a x

+

b y

=

r^{2}

であることを証明せよ。

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福田のおもしろ数学114〜円の接線の公式の証明

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
円

x^{2}

+

y^{2}

=

r^{2}

上の点(

a

,

b

)における接線の方程式は

a x

+

b y

=

r^{2}

であることを証明せよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第1問(4)〜円と接線の長さ

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)円

x^{2}

+

y^{2}

－

4 x

+

10 y

+11=0 を

C

とするとき、円

C

の中心は

オ

であり、半径は

カ

である。また、この円

C

には点P(3,2)から2本の接線を引くことができるが、その接点の1つをAとする。このとき、線分APの長さはAP=

キ

である。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第2問〜放物線と円が接する条件と面積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

原点をOとする

x y

平面上に円

x^{2}

+

y^{2}

－

12 y

=0 があり、円の中心をPとする。
円周上に動点Qがあり、半直線POを始線とする動径PQの回転角を

θ

とする。
ただし、

θ

は

- \frac{π}{2}

＜

θ

＜

\frac{π}{2}

を満たす実数とする。
(1)直線PQを表す方程式は、

θ

=0 のとき

ソ

であり、

θ

≠0 のとき

タ

である。
(2)点Qを通る放物線

y

=

a x^{2}

+

b

をおく。点Qにおける放物線の接線は、点Qにおける円の接線と一致する。ただし、

a

,

b

は実数であり、

a

は

a

＞0 を満たす。
(i)

θ

≠0 のとき

a

と

b

を

θ

で表すと、

a

=

チ

,

b

=

ツ

である。
(ii)

θ

=

- \frac{π}{3}

のとき、直線PQと放物線で囲まれる部分の面積は

テ

である。

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福田のおもしろ数学091〜定積分と軌跡

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#積分とその応用#不定積分#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\int_{x}^{y} (| t | - 1) d t

=0 を満たす点(

x

,

y

)の軌跡を図示せよ。

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福田のおもしろ数学090〜絶対値の付いた方程式が表す点の軌跡

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
|

x^{2}

+

y^{2}

－1|+|

x^{2}

－

y^{2}

|=|

2 x^{2}

－1| を満たす点(

x

,

y

)の軌跡を図示せよ。

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福田のおもしろ数学087〜絶対値の付いた2変数の方程式の解

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

| x - 1 |

+

| x - 2 |

=

| y - 1 |

+

| y - 2 |

を満たす点(

x

,

y

)の集合を図示せよ。

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円と放物線　2024明大中野

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

y = \frac{1}{2} x^{2}

座標は？
＊図は動画内参照
2024明治大学付属中野高等学校

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福田のおもしろ数学056〜折り返し問題〜半円を折り返す

単元： #数A#数Ⅱ#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
図は半円 O を点 C で接するように折り返したもので EF はその折り目である。EF と AB の交点を D とする。

A C = 6, B C = 2

のとき、 AD の長さを求めよ。
※図は動画内参照

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福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
放物線

y = x^{2}

のうち

- 1 ≦ x ≦ 1

を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき

\vec{O R} = \frac{1}{k} \vec{O P} + k \vec{O Q}

を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および

lim_{k \to + 0} S (k), lim_{k \to \infty} S (k)

を求めよ。

2018東京大学理系過去問

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計算不要！　反比例と面積　2024早稲田佐賀

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
△OAE,△ABE,四角形BECDの面積の大小関係を答えよ
＊図は動画内参照
2024早稲田佐賀高等学校(改)

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 図形と方程式

【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係4 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係3 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分の利用 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【図形と方程式】内分と外分の基本、点と直線 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分重心 ※問題文は概要欄

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福田のおもしろ数学154〜2変数関数の最大最小

福田のおもしろ数学148〜円の面積

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円を表す方程式

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