三角関数とグラフ

大学入試問題#916「これは受験生に失礼」　#東海大学医学部2024　#三角関数

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東海大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sin α - \sin β = \frac{1}{3}

\cos α + \cos β = \frac{1}{5}

のとき、

\cos (α + β)

の値を求めよ。

出典：2024年東海大学医学部

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福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(1)〜三角方程式の基本

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)実数

x

が

3 \cos x

=

\sin^{2} x

　を満たすとき、

\cos x

の値は

ア

である。

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三角関数数三角関数の不等式2【NI・SHI・NOがていねいに解説】

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

0 ≦ θ < 2 π

のとき，次の不等式を解け。
(1)

\sin (θ + \frac{π}{4}) ≦ \frac{\sqrt{3}}{2}

(2)

\tan (θ - \frac{π}{6}) > 1

(3)

\cos (θ - \frac{π}{3}) < - \frac{\sqrt{3}}{2}

(4)

\tan (θ + \frac{π}{6}) ≧ - \sqrt{3}

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【高校数学】全て覚える必要はない！？三角関数の性質のコツ【数学のコツ】

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角関数の性質のコツを解説していきます.

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第1問〜円の接線で出来る図形の面積の最小

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#微分法と積分法#三角関数とグラフ#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

円

C

：

x^{2}

+

(y - 1)^{2}

=1 に接する直線で、

x

切片、

y

切片がともに正であるものを

l

とする。

C

と

l

と

x

軸により囲まれた部分の面積を

S

、

C

と

l

と

y

軸により囲まれた部分の面積を

T

とする。

S

+

T

が最小となるとき、

S

－

T

の値を求めよ。

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福田のおもしろ数学129〜三角関数の最大問題

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1 + \sin θ}{2 + \cos θ}

(

θ

は実数)の最大値を求めよ。

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福田のおもしろ数学122〜どれがどれですか？該当する関数を見つけてください

単元： #数Ⅱ#三角関数#指数関数と対数関数#三角関数とグラフ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{cccc} x & a & b & c \\ f_{1} (x) & 0.980 & 0.921 & 0.825 \\ f_{2} (x) & 0.063 & 0.251 & 0.565 \\ f_{3} (x) & 0.803 & 0.644 & 0.517 \\ f_{4} (x) & 0.199 & 0.389 & 0.565 \end{array}

上の数表において、

f_{1} (x)

,

f_{2} (x)

,

f_{3} (x)

,

f_{4} (x)

は関数

\sin x

,

\cos x

,

\frac{π}{2} x^{2}

,

3^{- x}

のうちのどれかである。どれがどれか？
ただし、

a

,

b

,

c

は0<

a

<

b

<

c

<

\frac{π}{2}

,

b

=

\frac{a + c}{2}

を満たし、数値はどれも小数第4位を四捨五入してある。

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福田のおもしろ数学089〜サイン100乗とコサイン100乗の和の最大最小

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

θ

がすべての実数を動くとき

\sin^{100} θ

+

\cos^{100} θ

の最大値、最小値を求めよ。

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【短時間でポイントチェック!!】三角関数の合成〔現役講師解説、数学〕

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：

r \sin (θ + α)

の形に表せ。
ただし、

r > 0, - π < α ≦ π

とする。
①

\sin θ - \cos θ

②

\frac{\sqrt{3}}{2} \sin θ + \frac{1}{2} \cos θ

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共テ数学90％取る勉強法

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#式と証明#複素数と方程式#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#2次関数とグラフ#整数の性質#場合の数#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#三角関数とグラフ#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
共通テスト数学90％取る勉強法説明動画です

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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福田の数学〜中央大学2023年経済学部第1問(3)〜三角関数の最大

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ π / 2

のとき、次の関数が最大となる

x

の値を求めよ。

y = \sin^{2} 2 x + 2 \cos^{2} x

2023中央大学経済学部過去問

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第1問〜三角関数の最大最小

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

関数

y

=2(

\sin^{3} x

+

\cos^{3} x

)+8

\sin x \cos x

+5　(0≦

x

＜2

π

)
を考える。

\sin x

+

\cos x

=

t

　とおく。
(1)

y

を

t

の式で表すと

y

=

ア t^{3}

+

イ t^{2}

+

ウ t

+

エ

である。
(2)関数

y

は

t

=

\frac{オ}{カ}

において最小値

\frac{キ}{ク}

をとる。
(3)関数

y

は

x

=

\frac{ケ}{コ} π

において最大値

サ

+

\sqrt{コ}

をとる。

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【わかりやすく】三角不等式（2次不等式を利用）【数学Ⅰ三角比】

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数学(高校生)

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：

0^{\circ} ≦ θ ≦ 180^{\circ}

のとき、次の不等式を解け。

2 \cos^{2} θ - \cos θ < 0

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【わかりやすく】三角方程式（2次方程式を利用）【数学Ⅰ三角比】

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数学(高校生)

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：

0^{\circ} ≦ θ ≦ 180^{\circ}

のとき、次の等式を満たす

θ

を求めよ。

2 \sin^{2} θ - 3 \cos θ = 0

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【わかりやすく】弧度法について解説（数学Ⅱ 三角関数）

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数学(高校生)

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：
次の角を弧度法で表せ。
（1）

30^{\circ}

（2）

45^{\circ}

（3）

120^{\circ}

（4）

- 90^{\circ}

（5）

108^{\circ}

（6）

390^{\circ}

（7）

\frac{π}{3}

（8）

\frac{7}{6} π

（9）

\frac{9}{4} π

（10）

- \frac{5}{12} n

（11）

\frac{11}{2} π

（12）

3

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大学入試問題#608「絶対値・・・・」　横浜市立大学(2009)　#定積分

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} | \sin 2 x | \sin x d x

出典：2009年横浜市立大学　入試問題

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大学入試問題#607「やばい、忙しすぎる」　青山学院大学(2007)　#定積分

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{\frac{π}{2}}^{π} x (\cos 2 x - \sin 2 x) d x

出典：2007年青山学院大学　入試問題

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【数学】2022年度第2回 K塾記述高2模試全問解説（ベクトルはおまけ）、※修正箇所：問1(1)（概要欄へ）

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#複素数と方程式#図形と計量#式の計算（整式・展開・因数分解）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#2次方程式と2次不等式#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#確率#図形と方程式#三角関数#複素数#三角関数とグラフ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2022年度第2回全統記述高2模試全問解説動画です！

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大学入試問題#593「カップラーメン食べながらでも解いて」　関西大学(2011)　#三角関数

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#関西大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x - y = \frac{π}{3}

のとき

\frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y}

の値を求めよ

出典：2011年関西大学　入試問題

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大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」　東京帝国大学1937　#定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n

：正の整数

\int_{0}^{π} \frac{\sin (2 n - 1) x}{\sin x} d x = π

を示せ

出典：1937年東京帝国大学　入試問題

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福田の数学〜東北大学2023年理系第２問〜三角方程式の解の個数とその極限

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#三角関数#円と方程式#三角関数とグラフ#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

関数f(x)=

\sin 3 x

+

\sin x

について、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)=0 を満たす正の実数

x

のうち、最小のものを求めよ。
(2)正の整数

m

に対して、f(x)=0を満たす正の実数

x

のうち、

m

以下のものの個数を

p (m)

とする。極限値

lim_{m \to \infty} \frac{p (m)}{m}

を求めよ。

2023東北大学理系過去問

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なんやこれ？

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数学(高校生)

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
三角関数のグラフの説明動画です

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福田の数学〜大阪大学2023年文系第１問〜三角方程式と解の存在範囲

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#図形と方程式#三角関数#円と方程式#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a,bを実数とする。θについての方程式

\cos 2 θ = a \sin θ + b

が実数解をもつような点(a,b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ

2023大阪大学文系過去問

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【0≦θ≦πを問題文に追加】微分すると大変かも・・・　By ～らん～

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

m, n

：自然数

m ≧ 2

f (θ) = \frac{\sin n θ}{\cos n θ + m}

の最大値を

α (m, n)

とする

\sum_{m = 2}^{\infty} {α (m, n)}^{2}

を求めよ

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2023京都大学　正五角形の一辺の長さ

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
(1)

\cos 2 θ, \cos 3 θ

を

\cos θ

を用いて表せ.
(2)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さと1.15の大小比較せよ.

2023京都大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題084〜東北大学2018年度理系第４問〜三角形の内接円と外接円の半径の関係

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

　三角形ABCの内接円の半径をr,　外接円の半径をRとし、h=

\frac{r}{R}

とする。
また、

∠

A=2α,　

∠

B=2β,　

∠

C=2γ とおく。
(1)h=4

\sin α \sin β \sin γ

となることを示せ。
(2)三角形ABCが直角三角形のときh≦

\sqrt{2} - 1

が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(3)一般の三角形ABCに対してh≦

\frac{1}{2}

が成り立つことを示せ。また等号が成り立つのはどのような場合か。

2018東北大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題079〜京都大学2018年度理系第３問〜円に内接する四角形の４辺の積の最大

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　αは0＜α≦

\frac{π}{2}

を満たす定数とし、四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える。
(i)四角形ABCDは半径1の円に内接する。
(ii)

∠

ABC=

∠

DAB=α
条件(i)(ii)を満たす四角形のなかで、4辺の長さの積
k=AB・BC・CD・DA
が最大となるものについて、kの値を求めよ。

2018京都大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題093〜中央大学2020年度理工学部第５問〜円周上の点と三角形五角形の面積

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#三角関数#微分法と積分法#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#中央大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

原点Oを中心とする半径1の円周上に2点
Q(

\cos a

,

\sin a

), R(

\cos (a + b), \sin (a + b)

)
をとる。ただし、a, bはa ＞0,b ＞0, a +b＜

\frac{π}{2}

を満たす。また、点Qからx軸へ下ろした垂線の足を点Pとし、点Rからy軸へ下した垂線の足を点Sとする。

△

OPQの面積と

△

ORSの面積の和をA, 五角形OPQRSの面積をBとおく。
(1)Aをaとbで表せ。
(2)bを固定して、aを0＜a＜

\frac{π}{2}

-bの範囲で動かすとき、Aがとりうる値の範囲をbで表し、Aが最大値をとるときのaの値をbで表せ。
(3)Bはa=

\frac{π}{8}

, b=

\frac{π}{4}

のときに最大値をとることを示せ。

2020中央大学理工学部過去問

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福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IIB第１問三角関数と対数〜三角不等式と対数が有理数とならない条件

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#三角関数#指数関数と対数関数#三角関数とグラフ#指数関数#対数関数#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1)

x = \frac{π}{6}

のとき

\sin x ア \sin 2 x

であり、

x = \frac{2}{3} π

のとき

\sin x イ \sin 2 x

である。

ア

,

イ

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜　①=　②＞
(2)

\sin x

と

\sin 2 x

の値の大小関係を詳しく調べよう。

\sin 2 x

-

\sin x

=

\sin 2 x (ウ \cos x - エ)

であるから、

\sin 2 x

-

\sin x

＞0が成り立つことは
「

\sin x

＞0かつ

ウ \cos x - エ > 0

」... ①
「

\sin x

＜0かつ

ウ \cos x - エ < 0

」... ②
が成り立つことと同値である。

0 ≦ x ≦ 2 π

のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は

0 < x < \frac{π}{オ}

であり、②が成り立つようなxの値の範囲は

π < x < \frac{カ}{キ} π

である。よって、

0 ≦ x ≦ 2 π

のとき、

\sin 2 x > \sin x

が成り立つようなxの値の範囲は

0 < x < \frac{π}{オ}, π < x < \frac{カ}{キ} π

である。
(3)

\sin 3 x

と

\sin 4 x

の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式

\sin (α + β)

-

\sin (α - β)

=

2 \cos α \sin β

...③
が得られる。

α + β = 4 x

,

α - β = 3 x

を満たす

α

,

β

に対して③を用いることにより、

\sin 4 x - \sin 3 x > 0

が成り立つことは
「

\cos ク > 0

かつ

\sin ケ > 0

」...④
または
「

\cos ク < 0

かつ

\sin ケ < 0

」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。

0 ≦ x ≦ π

のとき、④,⑤により、

\sin 4 x

＞

\sin 3 x

が成り立つようなxの値の範囲は

0 ≦ x ≦ \frac{π}{コ}

,

\frac{サ}{シ} π < x < \frac{ス}{セ} π

である。

ク

,　

ケ

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①x　②2x　③3x
④4x　⑤5x　⑥6x　⑦

\frac{x}{2}

　
⑧

\frac{3}{2} x

　⑨

\frac{5}{2} x

　ⓐ

\frac{7}{2} x

　ⓑ

\frac{9}{2} x

(4)(2), (3)の考察から、

0 ≦ x ≦ π

のとき、

\sin 3 x > \sin 4 x > \sin 2 x

が成り立つようなxの値の範囲は

\frac{π}{コ}

<

\frac{π}{ソ}

,　

\frac{ス}{セ} π < x < \frac{タ}{チ} π

であることがわかる。
[ 2 ]
(1)

a > 0

,　

a \neq 1

,　

b > 0

のとき、

\log_{a} b = x

とおくと、

ツ

が成り立つ。

ツ

の解答群
⓪

x^{a} = b

　①

x^{b} = a

　②

a^{x} = b

③

b^{x} = a

　④

a^{b} = x

　⑤

b^{a} = x

(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)

\log_{5} 25 = テ

,　

\log_{9} 27 = \frac{ト}{ナ}

であり、どちらも有理数である。
(ii)

\log_{2} 3

が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。

\log_{2} 3

が有理数であると仮定すると、

\log_{2} 3

＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて

\log_{2} 3 = \frac{p}{q}

と表すことができる。このとき、(1)により

\log_{2} 3 = \frac{p}{q}

は

ニ

と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、

ニ

を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、

\log_{2} 3

は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「

ヌ

ならば

\log_{a} b

は常に無理数である」ことがわかる。

ヌ

の解答群
⓪aが偶数　①bが偶数　②aが奇数　
③bが奇数　④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数　⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

2023共通テスト過去問

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