対数関数

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
10進法で表された数

12^{100}

を2進法で表したときの桁数を求めよ。
ただし,

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。

l o g_{10} 1.4 = 0.416

,

l o g_{10} 1.8 = 0.255

,

l o g_{10} 2.1 = 0.322

とするとき,

l o g_{10} 2

,

l o g_{10} 3

,

l o g_{10} 7

の値を求めよ。
また,

l o g_{10} 63

の値を求めよ。

次の問いに答えよ。
(1)

l o g_{2} 3

が無理数であることを証明せよ。
(2) (1)を用いて

l o g_{2} 6

が無理数であることを証明せよ。
(3) (2)を用いて

l o g_{6} 4

が無理数であることを証明せよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。
(1)

6^{20}

は何桁の整数か。
(2)

6^{20}

の最高位の数字を求めよ。

年利率5%, 1年ごとの複利で10万円を預金した時,
x年後の元利合計は

10 (1.05)^{x}

万円となる。
元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か。
ただし,

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

,

l o g_{10} 7 = 0.8451

とする。

1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。
99.99%より多くの花粉を一度に除去するには,
このフィルターは最低何枚必要か。ただし,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数不等式2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。
また、そのときの

x

の値を求めよ。
(1)

y = (\log_{3} x)^{2} + 2 \log_{3} x

(2)

y = (\log_{2} \frac{4}{x}) (\log_{2} \frac{x}{2})

(3)

y = (\log_{3} x)^{2} - 4 \log_{3} x + 3 (1 \leq x \leq 27)

関数

y = \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (6 - x)

の最小値を求めよ。

a > 0

,

b > 0

のとき、不等式

\log_{2} (a + \frac{1}{b}) + \log_{2} (b + \frac{1}{a}) \geq 2

を証明せよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数不等式1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。
(1)

2 \log_{0.1} (x - 1) < \log_{0.1} (7 - x)

(2)

\log_{10} (x - 3) + \log_{10} x \leq 1

(3)

\log_{2} (1 - x) + \log_{2} (3 - x) < 1 + \log_{2} 3

次の方程式を解け。
(1)

2^{x} = 3^{2 x - 1}

(2)

5^{2 x} = 3^{x + 2}

次の方程式、不等式を解け。
(1)

(\log_{3} x)^{2} - \log_{2} x^{4} + 3 = 0

(2)

(\log_{\frac{1}{2}} x)^{2} - \log_{\frac{1}{4}} x = 0

(3)

(\log_{3} x)^{2} - \log_{9} x - 2 \leq 0

(4)

(\log_{\frac{1}{3}} x)^{2} + \log_{\frac{1}{3}} x^{2} - 15 > 0

次のxについての不等式を解け。
ただし、

a

は 1 と異なる正の定数とする。
(1)

\log_{a} (x + 3) < \log_{a} (2 x + 2)

(2)

\log_{a} (x^{2} - 3 x - 10) \geq \log_{a} (2 x - 4)

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数のグラフ、方程式 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかけ。
(1)

y = \log_{2} (x - 2)

(2)

y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1

(3)

y = \log_{10} (- x)

次の数の大小を不等号を用いて表せ。
(1)

\log_{0.5} 4, \log_{2} 4, \log_{3} 4

(2)

\log_{3} 0.5, \log_{2} 0.5, \log_{3} 0.5

(3)

\log_{4} 9, \log_{5} 25, 1.5

次の方程式を解け
(1)

\log_{10} (x + 2) (x + 5) = 1

(2)

\log_{\frac{1}{3}} (9 + x - x^{2}) = - 1

(1)

\log_{2} x + \log_{2} (x + 3) = 2

(2)

\log_{4} (2 x + 3) + \log_{4} (4 x + 1) = 2 \log_{4} 5

(3)

\log_{2} (3 - x) = \log_{2} (2 x + 18)

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】指数対数計算 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
第1問
次の式の値を求めよ。

(1) 5^{\log_{5} 7}

(2) 10^{1 + \log_{10} 3}

(3) 36^{\log_{6} \sqrt{5}}

(4) 7^{\log_{49} 4}

第2問

x y z \neq 0, 2^{x} = 5^{y} = 10^{\frac{z}{2}}

のとき、等式

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}

を証明せよ。

第3問

\log_{11} 2

の小数第1位の数を求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第5問〜ある対数とそれを超えない最大の整数

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#整数の性質#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

x

を正の実数とする。

m

と

n

は、それぞれ

m

≦

\log_{4} \frac{x}{8}

,　

n

≦

\log_{2} \frac{8}{x}

　を満たす最大の整数とし、さらに、

α

=

\log_{4} \frac{x}{8}

－

m

,　

β

=

\log_{2} \frac{8}{x}

－

n

　とおく。
(1)

\log_{2} x

を、

m

と

α

を用いて表せ。
(2)

2 α

+

β

　の取りうる値を全て求めよ。
(3)

n

=

m

－1　のとき、

m

と

n

の値を求めよ。
(4)

n

=

m

－1　となるために

x

が満たすべき必要十分条件を求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第3問〜指数関数で定義された数列の漸化式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

実数

a

に対して

f (a)

=

\frac{1}{2} (2^{a} - 2^{- a})

とおく。また、

A

=

2^{a}

とする。
(1)等式

{(A - \frac{1}{A})}^{3}

=

ア {(A - \frac{1}{A})}^{3}

－

イ (A - \frac{1}{A})

　より、実数

a

に対して

{f (a)}^{3}

=

\frac{ウ}{エ} f (3 a)

－

\frac{オ}{カ} f (a)

　...①が成り立つ。
(2)実数

a

,

b

に対して

f (a)

=

b

が成り立つならば、

A

=

2^{a}

は2次方程式

A^{2}

－

キ b A

－

ク

=0
を満たす。

2^{a}

>0より、

a

は

b

を用いて

a

=

\log_{2} (ケ b + \sqrt{b^{2} + コ})

　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して

f (a)

=

b

となる実数

a

が、ただ1つに定まる。
以下、数列

{a_{n}}

に対して

f (a_{n})

=

b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{b_{n}}

が、関係式

4 b_{n + 1}^{3}

+

3 b_{n + 1}

－

b_{n}

=0　(

n

=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から

f (サ a_{n + 1})

=

f (a_{n})

　(

n

=1,2,3,...)となるので、(2)より、

a_{n}

=

\frac{a_{1}}{シ^{n - p}}

　(

n

=1,2,3,...)が得られる。ここで、

p

=

ス

である。
(4)

n

≧2に対して、

S_{n}

=

\sum_{k = 2}^{n} 3^{k - 1} b_{k}^{3}

　とおく。

c_{n}

=

3^{n} b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{c_{n}}

の階差数列を用いると、③より、

S_{n}

=

\frac{セ}{ソ} b_{1}

－

\frac{タ^{n}}{チ} b_{n}

　(

n

=2,3,4,...)
となる。ゆえに、

b_{1}

=

\frac{4}{3} S_{5}

－108　が成り立つならば

a_{1}

=

ツ テ ト \log_{2} ナ

　である。

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福田のおもしろ数学159〜俳句はスパコンとAIで終了してしまうのか

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#場合の数#場合の数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
俳句はスパコンとAIに駆逐されるのか？

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年商学部第2問(2)〜ベクトルの列とその絶対値の評価

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#指数関数と対数関数#対数関数#数列#平面上のベクトルと内積#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(2)ベクトルの列

\vec{a_{1}}

,

\vec{a_{2}}

, ...,

\vec{a_{n}}

, ...を条件

\vec{a_{1}}

=(1,0),

\vec{a_{2}}

=

(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

,

\vec{a_{n + 2}}

=

\frac{\vec{a_{n + 1}} ・ \vec{a_{n}}}{| \vec{a_{n}} |^{2}} \vec{a_{n}}

で定める。このとき

\vec{a_{9}}

=

(\frac{イ}{ウ エ オ}, カ)

である。また、

| \vec{a_{n}} |

<

10^{- 25}

を満たす最小の自然数

n

は

キ ク

である。ただし、必要であれば、

\log_{10} 2

=0.301を近似として用いてよい。

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福田のおもしろ数学141〜指数方程式の解

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の式を満たす

x

を求めよ。

40^{x - 1}

=

2^{2 x + 1}

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福田のおもしろ数学136〜巨大な数の大小関係

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2023^{2024}

と

2024^{2023}

の大小を比較してください。

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福田のおもしろ数学119〜アイデア募集〜対数の大小比較

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\log_{2} 3

と

\log_{3} 4

　の大小を比較せよ。

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福田の数学〜東北大学2024年理系第2問〜対数不等式の証明と自然数解

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

以下の問いに答えよ。
(1)

t

を

t

＞1 を満たす実数とする。正の実数

x

が2つの条件
(a)

x

＞

\frac{1}{\sqrt{t} - 1}

(b)

x

≧

2 \log_{t} x

をともに満たすとする。このとき、不等式

x

+1＞

2 \log_{t} (x + 1)

を示せ。
(2)

n

≦

2 \log_{2} n

を満たす正の整数

n

をすべて求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(1)〜6番目に大きい約数と6乗根に最も近い自然数

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
( 1 ) 2024 の約数の中で 1 番大きいものは 2024 だが、 6 番目に大きいものはアである。 2024 の 6 乗根に最も近い自然数はイである。

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2024年共通テスト徹底解説〜数学ⅡB第1問(1)対数関数〜福田の入試問題解説

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第1問(1)対数関数を徹底解説します

2024共通テスト過去問

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対数不要！！

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

3^{a} = 15, 5^{b} = 15

のとき

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = ?

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【共テ数学IIB】知らなきゃ損な裏技集__これで解答時間をキュッと短縮します（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【共テ数学IIB】解答時間短縮裏技集　紹介動画です（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）

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【共テ数学IIB】知らなきゃ損な裏技集__これで解答時間をキュッと短縮します（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#対数関数#数列#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【共テ数学IIB】解答時間短縮、裏技集説明動画です。（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）

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POWERを使おう！対数の基本問題

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x = 2^{\log_{3} 6}

のとき、

6^{\log_{3} 4}

を

x

を用いて表せ

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【短時間でポイントチェック!!】常用対数を用いた桁数の求め方〔現役講師解説、数学〕

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：

\log_{10} 2

=0.3010,

\log_{10} 3

=0.4771とする。

2^{50}

は何桁の整数か？

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【短時間でポイントチェック!!】常用対数のよく出る演習問題〔現役講師解説、数学〕

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：

\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771

①

\log_{10} 6

②

\log_{10} 5

③

\log_{10} 30

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対数方程式　京都産業大

単元： #対数関数

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\log_{3} (2 x + 1) ＋ \log_{3} (x + 1)

＝1
これの実数解を求めよ。

京都産業大過去問

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見掛け倒しの対数方程式

単元： #対数関数

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

(\log_{4} x)^{\log_{2} x}

=X
ｘが1より大きいことを解け

東北学院大過去問

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【短時間でポイントチェック!!】対数の計算・底の変換公式〔現役講師解説、数学〕

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
①

\log_{8} 2 + \log_{8} 4

②

\log_{3} 72 - \log_{3} 8

③

\log_{5} \sqrt{125}

④

\log_{8} 16

⑤

\log_{2} 3 \times \log_{3} 2

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高校数学：数学検定準1級1次:問題1,2 :対数不等式、2直線間の距離

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#指数関数と対数関数#点と直線#対数関数#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題１
次の不等式を解きなさい。

\log_{\frac{1}{2}} 2 x ＞ \log_{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 x + 3

問題２
xy平面上の２直線

3 x ＋ 4 y － 20 ＝ 0

と

3 x ＋ 4 y ＋ 50 ＝ 0

の間の距離を求めなさい。

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福田の数学〜対数関数の最大値2通りの解を紹介〜慶應義塾大学2023年商学部第1問(1)〜対数関数の最大値

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)２つの正の実数x,yについて、

x y^{2} = 10

のとき、

\log_{10} x

,

\log_{10} y

の最大値は

\frac{ア}{イ}

である。

2023慶應義塾大学商学部過去問

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近畿大（医）お知らせもあるよ

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#近畿大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\log_{10} 5

の小数第二位を求めよ

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【短時間でポイントチェック!!】対数方程式・対数不等式〔現役講師解説、数学〕

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
①

\log_{3} x = 2

②

\log_{\sqrt{2}} x ≧ 4

③

\log_{\frac{1}{3}} x ＞ 2

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福田の数学〜(2)から先行きが怪しくなってくる〜慶應義塾大学2023年経済学部第4問〜対数関数の最大

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
x,yを正の実数とし、

2 \log_{2} x + \log_{2} y

とする。また、ｋを正の実数とする。
(1)x,yがx+y=kまたは、kx+y=2Kを満たすとする。このとき、zの取りうる値の最大値

z_{1}

及びその時のxの値を、Ｋを用いて表せ。
(2)x,yはx+y=KまたはKx+y=2Kを満たすとする。このとき、zの取りうる値の最大値

z_{2}

が(1)の

z_{1}

と一致するための必要十分条件を求めよ。
(3)nを自然数とし、

K = 2^{\frac{n}{5}}

とする。(2)の

z_{2}

について、

\frac{3}{2} < z_{2} < \frac{7}{2}

を満たす。
nの最大値および最小値を求めよ。必要があれば

1.58 < \log_{2} 3 < 1.59

を用いよ。

2023慶應義塾大学経済学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 対数関数

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対数方程式　京都産業大