数Ⅱ
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【高校数学】数Ⅱ：微分法と積分法：定積分の計算（同じ積分範囲）【NI・SHI・NOがていねいに解説】
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#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
$\displaystyle \int_{-2}^{3}(2x^2+4x-3)dx-2 \int_{-2}^{3}(x^2+4x+3)dx$
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次の定積分を求めよ。
$\displaystyle \int_{-2}^{3}(2x^2+4x-3)dx-2 \int_{-2}^{3}(x^2+4x+3)dx$
二乗して➖2
傍接円の半径を求める 解き方2通り
福田の数学〜千葉大学2024年文系第1問〜三角形の成立条件と対数
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#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#指数関数と対数関数#対数関数#千葉大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
(1) 3辺の長さが$2,5,a$である三角形が存在するような、$a$の値の範囲を求めよ。
(2) 3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$である三角形が存在するような、$x$の値の範囲を求めよ。
(3) ある二等辺三角形の3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$であるとき、$x$の値を求めよ。
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(1) 3辺の長さが$2,5,a$である三角形が存在するような、$a$の値の範囲を求めよ。
(2) 3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$である三角形が存在するような、$x$の値の範囲を求めよ。
(3) ある二等辺三角形の3辺の長さが$\log_{10}(5x),\log_{10}(x+10),\log_{10}3$であるとき、$x$の値を求めよ。
これできる？
【高校数学】高校数学 指数の基本計算の考え方【数学のコツ】
福田のおもしろ数学198〜18°系の三角比
福田の数学〜立教大学2024年経済学部第2問〜接線が作る三角形の面積の最小値
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p,q$を正の定数とする。座標平面上に放物線$C:y=-x^2$がある。$C$上の点$\mathrm{P}(p,-p^2)$における$C$の接線を$l$,$\mathrm{Q}(q,-q^2)$における$C$の接線を$m$とする。また$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする。
(1) $l,m$の方程式をそれぞれ求めよ。
(2) $\mathrm{R}$の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3) $\mathrm{Q}$と$l$の距離$d$を$p,q$を用いて表せ。
(4) 三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$p,q$を用いて表せ。
(5) $l$と$m$が直交するとき、$q$を$p$を用いて表せ。
(6) $l$と$m$が直交するとき、(4)の$S$の最小値を求めよ。また、そのときの$p$の値を求めよ。
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$p,q$を正の定数とする。座標平面上に放物線$C:y=-x^2$がある。$C$上の点$\mathrm{P}(p,-p^2)$における$C$の接線を$l$,$\mathrm{Q}(q,-q^2)$における$C$の接線を$m$とする。また$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする。
(1) $l,m$の方程式をそれぞれ求めよ。
(2) $\mathrm{R}$の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3) $\mathrm{Q}$と$l$の距離$d$を$p,q$を用いて表せ。
(4) 三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$p,q$を用いて表せ。
(5) $l$と$m$が直交するとき、$q$を$p$を用いて表せ。
(6) $l$と$m$が直交するとき、(4)の$S$の最小値を求めよ。また、そのときの$p$の値を求めよ。
意外と簡単な指数の問題
大学入試問題#877「朝マック問題」 #自治医科大学(2006) #相加相乗平均
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#自治医科大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{36x^2+102x-17}{6x-1}$の最小値を求めよ。
$(x \gt \displaystyle \frac{1}{6})$
出典：2006年自治医科大学
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$\displaystyle \frac{36x^2+102x-17}{6x-1}$の最小値を求めよ。
$(x \gt \displaystyle \frac{1}{6})$
出典：2006年自治医科大学
福田の数学〜立教大学2024年経済学部第1問(6)〜定積分で表された関数
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#立教大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0 \leqq x \leqq1$ の範囲において $f(x) \geqq 0$ である $2$ 次関数 $f(x) = ax^2+b$ は、等式
$\displaystyle f(x)(\int_0^1f(t)dt) = x^2+5$
を満たす。このとき、定数 $a,b$ は $a=\fbox{ケ}, b=\fbox{コ}$ である。
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$0 \leqq x \leqq1$ の範囲において $f(x) \geqq 0$ である $2$ 次関数 $f(x) = ax^2+b$ は、等式
$\displaystyle f(x)(\int_0^1f(t)dt) = x^2+5$
を満たす。このとき、定数 $a,b$ は $a=\fbox{ケ}, b=\fbox{コ}$ である。
福田のおもしろ数学196〜3重因子で割った余りを求める
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#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x^n-1$ を $(x-1)^3$ で割った余りを求めよ。ただし、 $x \geqq 3$ とする。
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$x^n-1$ を $(x-1)^3$ で割った余りを求めよ。ただし、 $x \geqq 3$ とする。
#自治医科大学2024 #式変形
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#自治医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}=3$のとき$\displaystyle \frac{x+x^{-1}}{2}$の値を求めよ。
出典：2024年自治医科大学
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$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}=3$のとき$\displaystyle \frac{x+x^{-1}}{2}$の値を求めよ。
出典：2024年自治医科大学
福田のおもしろ数学194〜6次方程式をどう解くか
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#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$(x+7)^7=x^7+7^7$ を満たすすべての $x$ を求めよ。
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$(x+7)^7=x^7+7^7$ を満たすすべての $x$ を求めよ。
#立教大学2012 #積分方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=x^2+4x-\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)$ $dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ。
出典：2012年立教大学
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$f(x)=x^2+4x-\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)$ $dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ。
出典：2012年立教大学
福田の数学〜立教大学2024年経済学部第1問(2)〜恒等式の未定係数を決定する方法
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
等式$\frac{3x^2-x+4}{(x+1)^3}=\frac{a}{(z+1)^3}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるような定数$a, b, c$は$a=\fbox{ウ}, b=\fbox{エ}, c=\fbox{オ}$である。
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等式$\frac{3x^2-x+4}{(x+1)^3}=\frac{a}{(z+1)^3}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるような定数$a, b, c$は$a=\fbox{ウ}, b=\fbox{エ}, c=\fbox{オ}$である。
これ意味わかる？
福田のおもしろ数学192〜連立方程式と対称式
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#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
連立方程式$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = 1 \\
x^3 + y^3 = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$を解いて下さい。
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連立方程式$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = 1 \\
x^3 + y^3 = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$を解いて下さい。
福田の数学〜立教大学2024年経済学部第1問(1)〜対数関数の最小値
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1\leqq x\leqq 8$の範囲において、関数$y=(\log_{2} x)^2-8\log_{2} x-20$は$x=\fbox{ア}$のときに最小値$\fbox{イ}$をとる。
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$1\leqq x\leqq 8$の範囲において、関数$y=(\log_{2} x)^2-8\log_{2} x-20$は$x=\fbox{ア}$のときに最小値$\fbox{イ}$をとる。
【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
単元：
#数Ⅱ#図形の性質#式と証明#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#恒等式・等式・不等式の証明#その他#数学(高校生)#参考書紹介
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
※問題は動画内参照
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【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
※問題は動画内参照
【高校数学】線形計画法(円と直線パターン)の考え方【数学のコツ】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x^2+y^2≦1, y≧0$のとき、$-2x+y$の最大値、最小値を求めよ。
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$x^2+y^2≦1, y≧0$のとき、$-2x+y$の最大値、最小値を求めよ。
福田の数学〜立教大学2024年理学部第4問〜3次方程式の実数解と整数解
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$m, a, b, c, d, e, f, r, s, t$を自然数とする。このとき(1)~(5)に答えよ。ただし、(2)(3)の事実は(4)(5)で用いてよい。
(1)2次方程式$2x^2+5x+m=0$の解が有理数となるような自然数$m$をすべて求めよ。ただし、$p$が素数であるとき$\sqrt{p}$が無理数であることを用いてよい。
(2)3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の実数解は負の数であることを証明せよ。ただし、方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が少なくとも1つ実数解をもつことは証明せずに用いてよい。
(3)3次方程式$x^3+dx^2+ex+f=0$が整数$n$を解にもつとする。このとき$n$は$f$の約数であることを示せ。
(4)3次方程式$x^3+rx^2+rx+3=0$が整数解を少なくとも1つもつような自然数$r$をすべて求めよ。
(5)3次方程式$x^3+sx^2+tx+6=0$が異なる3つの整数を解にもつような自然数の組$(s, t)$をすべて求めよ。
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$m, a, b, c, d, e, f, r, s, t$を自然数とする。このとき(1)~(5)に答えよ。ただし、(2)(3)の事実は(4)(5)で用いてよい。
(1)2次方程式$2x^2+5x+m=0$の解が有理数となるような自然数$m$をすべて求めよ。ただし、$p$が素数であるとき$\sqrt{p}$が無理数であることを用いてよい。
(2)3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の実数解は負の数であることを証明せよ。ただし、方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が少なくとも1つ実数解をもつことは証明せずに用いてよい。
(3)3次方程式$x^3+dx^2+ex+f=0$が整数$n$を解にもつとする。このとき$n$は$f$の約数であることを示せ。
(4)3次方程式$x^3+rx^2+rx+3=0$が整数解を少なくとも1つもつような自然数$r$をすべて求めよ。
(5)3次方程式$x^3+sx^2+tx+6=0$が異なる3つの整数を解にもつような自然数の組$(s, t)$をすべて求めよ。
＊tanの加法定理を覚える動画です
福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(4)〜係数が虚数の2次方程式の解
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#数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$$iを虚数単位とする。複素数zはz^{ 2 }=3-2\sqrt{10 }iを満たし、かつzの実部は正であるとする。$$$$このとき、zの実部は\boxed{ カ }であり、虚部は\boxed{ キ }である。$$
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$$iを虚数単位とする。複素数zはz^{ 2 }=3-2\sqrt{10 }iを満たし、かつzの実部は正であるとする。$$$$このとき、zの実部は\boxed{ カ }であり、虚部は\boxed{ キ }である。$$
式の値
これなんで？ フルは↑
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#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#複素数と方程式#式の計算（整式・展開・因数分解）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#複素数
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
これなんで？ フルは↑
【問題文】20×20
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これなんで？ フルは↑
【問題文】20×20
「20+20=200」になる理由を解説
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#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#複素数と方程式#式の計算（整式・展開・因数分解）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#複素数#数学(高校生)
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
「20+20=200」になる理由を解説しています。
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「20+20=200」になる理由を解説しています。
【高校数学】円と直線が接するときの２パターンの考え方【数学のコツ】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の円と直線が接するときのkの値と接点の座標を求めよ。
$x^2+y^2=4, y=x+k$
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次の円と直線が接するときのkの値と接点の座標を求めよ。
$x^2+y^2=4, y=x+k$
福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(1)〜三角方程式の基本
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (1)実数$x$が$3\cos x$=$\sin^2x$ を満たすとき、$\cos x$の値は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
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$\Large{\boxed{1}}$ (1)実数$x$が$3\cos x$=$\sin^2x$ を満たすとき、$\cos x$の値は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第6問〜3次関数の増減と最大値と面積
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{6}}$ $a$,$b$,$p$を実数とする。関数$f(x)$=$x^3$+$ax^2$+$bx$+17 は$x$=$p$で極大値、$x$=$-4p$で極小値をとり、$f(-2p)$=-17 を満たすとする。
(1)$a$,$b$,$p$の値、および$f(x)$の極大値$M$、極大値$m$を、それぞれ求めよ。
(2)(1)で求めた$a$,$b$および0≦$t$≦5 を満たす実数$t$に対して、区間0≦$x$≦$t$ における|$f(x)$|の最大値を$g(t)$とする。$t$の値について場合分けをして、それぞれの場合に$g(t)$を求めよ。
(3)(2)で求めた$g(t)$に対して、定積分$I$=$\displaystyle\int_0^5g(t)dt$ を求めよ。
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$\Large{\boxed{6}}$ $a$,$b$,$p$を実数とする。関数$f(x)$=$x^3$+$ax^2$+$bx$+17 は$x$=$p$で極大値、$x$=$-4p$で極小値をとり、$f(-2p)$=-17 を満たすとする。
(1)$a$,$b$,$p$の値、および$f(x)$の極大値$M$、極大値$m$を、それぞれ求めよ。
(2)(1)で求めた$a$,$b$および0≦$t$≦5 を満たす実数$t$に対して、区間0≦$x$≦$t$ における|$f(x)$|の最大値を$g(t)$とする。$t$の値について場合分けをして、それぞれの場合に$g(t)$を求めよ。
(3)(2)で求めた$g(t)$に対して、定積分$I$=$\displaystyle\int_0^5g(t)dt$ を求めよ。