数列
数列
福井大 漸化式と整数問題の融合
単元：
#数Ⅰ#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#漸化式#数学(高校生)#福井大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2010福井大学過去問題
k,n自然数
$a_1=k$
$a_{n+1}=2a_n+1$
①$a_{n+4}-a_n$は15の倍数であることを示せ
②$a_{2010}$が15の倍数となる最小のk
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2010福井大学過去問題
k,n自然数
$a_1=k$
$a_{n+1}=2a_n+1$
①$a_{n+4}-a_n$は15の倍数であることを示せ
②$a_{2010}$が15の倍数となる最小のk
【数学】2022年度 第2回 K塾記述高2模試 全問解説（ベクトルはおまけ）、※修正箇所：問1(1)（概要欄へ）
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#複素数と方程式#図形と計量#式の計算（整式・展開・因数分解）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#2次方程式と2次不等式#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#確率#図形と方程式#三角関数#複素数#三角関数とグラフ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2022年度第2回全統記述高2模試全問解説動画です！
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2022年度第2回全統記述高2模試全問解説動画です！
福田の数学〜千葉大学2023年第6問〜連立漸化式となる確率Part2
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ 1個のさいころを投げて出た目によって数直線上の点Pを動かすことを繰り返すゲームを考える。最初のPの位置を$a_0$=0とし、さいころを$n$回投げたあとのPの位置$a_n$を次のルールで定める。
・$a_{n-1}$=7 のとき、$a_n$=7
・$a_{n-1}$≠7 のとき、$n$回目に出た目$m$に応じて
$a_n$=$
\left\{\begin{array}{1}
a_{n-1}+m (a_{n-1}+m=1,3,4,5,6,7のとき)\\
1 (a_{n-1}+m=2,12のとき)\\
14-(a_{n-1}+m) (a_{n-1}+m=8,9,10,11のとき)\\
\end{array}\right.
$
(1)$a_2$=1 となる確率を求めよ。
(2)$n$≧1について、$a_n$=7 となる確率を求めよ。
(3)$n$≧3について、$a_n$=1 となる確率を求めよ。
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$\Large\boxed{6}$ 1個のさいころを投げて出た目によって数直線上の点Pを動かすことを繰り返すゲームを考える。最初のPの位置を$a_0$=0とし、さいころを$n$回投げたあとのPの位置$a_n$を次のルールで定める。
・$a_{n-1}$=7 のとき、$a_n$=7
・$a_{n-1}$≠7 のとき、$n$回目に出た目$m$に応じて
$a_n$=$
\left\{\begin{array}{1}
a_{n-1}+m (a_{n-1}+m=1,3,4,5,6,7のとき)\\
1 (a_{n-1}+m=2,12のとき)\\
14-(a_{n-1}+m) (a_{n-1}+m=8,9,10,11のとき)\\
\end{array}\right.
$
(1)$a_2$=1 となる確率を求めよ。
(2)$n$≧1について、$a_n$=7 となる確率を求めよ。
(3)$n$≧3について、$a_n$=1 となる確率を求めよ。
福田の数学〜千葉大学2023年第6問〜連立漸化式となる確率Part1
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ 1個のさいころを投げて出た目によって数直線上の点Pを動かすことを繰り返すゲームを考える。最初のPの位置を$a_0$=0とし、さいころを$n$回投げたあとのPの位置$a_n$を次のルールで定める。
・$a_{n-1}$=7 のとき、$a_n$=7
・$a_{n-1}$≠7 のとき、$n$回目に出た目$m$に応じて
$a_n$=$
\left\{\begin{array}{1}
a_{n-1}+m (a_{n-1}+m=1,3,4,5,6,7のとき)\\
1 (a_{n-1}+m=2,12のとき)\\
14-(a_{n-1}+m) (a_{n-1}+m=8,9,10,11のとき)\\
\end{array}\right.
$
(1)$a_2$=1 となる確率を求めよ。
(2)$n$≧1について、$a_n$=7 となる確率を求めよ。
(3)$n$≧3について、$a_n$=1 となる確率を求めよ。
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$\Large\boxed{6}$ 1個のさいころを投げて出た目によって数直線上の点Pを動かすことを繰り返すゲームを考える。最初のPの位置を$a_0$=0とし、さいころを$n$回投げたあとのPの位置$a_n$を次のルールで定める。
・$a_{n-1}$=7 のとき、$a_n$=7
・$a_{n-1}$≠7 のとき、$n$回目に出た目$m$に応じて
$a_n$=$
\left\{\begin{array}{1}
a_{n-1}+m (a_{n-1}+m=1,3,4,5,6,7のとき)\\
1 (a_{n-1}+m=2,12のとき)\\
14-(a_{n-1}+m) (a_{n-1}+m=8,9,10,11のとき)\\
\end{array}\right.
$
(1)$a_2$=1 となる確率を求めよ。
(2)$n$≧1について、$a_n$=7 となる確率を求めよ。
(3)$n$≧3について、$a_n$=1 となる確率を求めよ。
いい問題
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
n自然数
$\sqrt{n}$に最も近い整数を$a_n$とする
(例)$a_3=2$,$a_{10}=3$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{2023}\frac{1}{a_n}$を求めよ
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n自然数
$\sqrt{n}$に最も近い整数を$a_n$とする
(例)$a_3=2$,$a_{10}=3$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{2023}\frac{1}{a_n}$を求めよ
福田の数学〜東京医科歯科大学2023年医学部第2問PART2〜場合分けされた連立漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#東京医科歯科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ xyz空間において、3点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)を通る平面$\pi_1$と3点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を通る平面$\pi_2$を考える。$x_0$=1, $y_0$=2, $z_0$=-2として、点P${}_0$($x_0$,$y_0$,$z_0$)から始めて、次の手順でP${}_1$($x_1$,$y_1$,$z_1$), P${}_2$($x_2$,$y_2$,$z_2$),... を決める。
・$k$が偶数のとき、$\pi_1$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
・$k$が奇数のとき、$\pi_2$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\pi_2$に直交するベクトルのうち、長さが1で$x$成分が正のもの$n_2$を求めよ。
(2)$x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k$,$y_k$,$z_k$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}y_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}z_k$を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ xyz空間において、3点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)を通る平面$\pi_1$と3点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を通る平面$\pi_2$を考える。$x_0$=1, $y_0$=2, $z_0$=-2として、点P${}_0$($x_0$,$y_0$,$z_0$)から始めて、次の手順でP${}_1$($x_1$,$y_1$,$z_1$), P${}_2$($x_2$,$y_2$,$z_2$),... を決める。
・$k$が偶数のとき、$\pi_1$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
・$k$が奇数のとき、$\pi_2$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\pi_2$に直交するベクトルのうち、長さが1で$x$成分が正のもの$n_2$を求めよ。
(2)$x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k$,$y_k$,$z_k$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}y_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}z_k$を求めよ。
福田の数学〜東京医科歯科大学2023年医学部第2問PART1〜場合分けされた連立漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#漸化式#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#東京医科歯科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ xyz空間において、3点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)を通る平面$\pi_1$と3点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を通る平面$\pi_2$を考える。$x_0$=1, $y_0$=2, $z_0$=-2として、点P${}_0$($x_0$,$y_0$,$z_0$)から始めて、次の手順でP${}_1$($x_1$,$y_1$,$z_1$), P${}_2$($x_2$,$y_2$,$z_2$),... を決める。
・$k$が偶数のとき、$\pi_1$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
・$k$が奇数のとき、$\pi_2$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\pi_2$に直交するベクトルのうち、長さが1で$x$成分が正のもの$n_2$を求めよ。
(2)$x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k$,$y_k$,$z_k$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}y_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}z_k$を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ xyz空間において、3点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)を通る平面$\pi_1$と3点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を通る平面$\pi_2$を考える。$x_0$=1, $y_0$=2, $z_0$=-2として、点P${}_0$($x_0$,$y_0$,$z_0$)から始めて、次の手順でP${}_1$($x_1$,$y_1$,$z_1$), P${}_2$($x_2$,$y_2$,$z_2$),... を決める。
・$k$が偶数のとき、$\pi_1$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
・$k$が奇数のとき、$\pi_2$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\pi_2$に直交するベクトルのうち、長さが1で$x$成分が正のもの$n_2$を求めよ。
(2)$x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k$,$y_k$,$z_k$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}y_k$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}z_k$を求めよ。
福田の数学〜立教大学2023年経済学部第2問〜利息計算と漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 1年目の初めに新規に100万円を預金し、2年目以降の毎年初めに12万円を追加で預金する。ただし、毎年の終わりに、その時点での預金額の8%が利子として預金に加算される。自然数$n$に対して、$n$年目の終わりに利子が加算された後の預金額を$S_n$万円とする。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、$\log_{10}2$=0.3010, $\log_{10}3$=0.4771とする。
(1)$S_1$, $S_2$をそれぞれ求めよ。
(2)$S_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ。
(3)$S_n$を$n$を用いて表せ。
(4)$\log_{10}1.08$を求めよ。
(5)$S_n$＞513 を満たす最小の自然数$n$を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ 1年目の初めに新規に100万円を預金し、2年目以降の毎年初めに12万円を追加で預金する。ただし、毎年の終わりに、その時点での預金額の8%が利子として預金に加算される。自然数$n$に対して、$n$年目の終わりに利子が加算された後の預金額を$S_n$万円とする。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、$\log_{10}2$=0.3010, $\log_{10}3$=0.4771とする。
(1)$S_1$, $S_2$をそれぞれ求めよ。
(2)$S_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ。
(3)$S_n$を$n$を用いて表せ。
(4)$\log_{10}1.08$を求めよ。
(5)$S_n$＞513 を満たす最小の自然数$n$を求めよ。
長岡技術科大 ナイスな問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2008長岡技術科学大学過去問題
①$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-\frac{1}{4}}$を求めよ
②$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\frac{5}{3}$を示せ
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2008長岡技術科学大学過去問題
①$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-\frac{1}{4}}$を求めよ
②$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\frac{5}{3}$を示せ
【高校数学】群数列を分かりやすく～どこよりも易しく丁寧に～ 3-13【数学Ｂ】
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
1|3,5,7|9,11,13,15,17|19…
第n群の最初の数と最後の数を求めよ
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1|3,5,7|9,11,13,15,17|19…
第n群の最初の数と最後の数を求めよ
大阪市立大 整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#大阪市立大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
20216大阪市立大学過去問題
x,y整数 n自然数
$x^2+y^2$が$3^{2n-1}$の倍数ならx,yともに$3^n$の倍数であることを示せ
①n=1のとき
②n=2のとき
③すべての自然数n
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20216大阪市立大学過去問題
x,y整数 n自然数
$x^2+y^2$が$3^{2n-1}$の倍数ならx,yともに$3^n$の倍数であることを示せ
①n=1のとき
②n=2のとき
③すべての自然数n
大学入試問題#589「一度は解いておきたい良問」 奈良女子大学(2004) #数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#奈良女子大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1\times a_2\times・・・\times a_n=\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n!)^2}$のとき
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ
出典：2004年奈良女子大学 入試問題
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$a_1\times a_2\times・・・\times a_n=\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n!)^2}$のとき
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ
出典：2004年奈良女子大学 入試問題
大阪市立大 奇数の平方の和
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#大阪市立大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2021大阪市立大学
nは奇数
$S_n=1+3+5+7+\cdots+n$
$T_n=1^2+3^2+5^2+7^2+\cdots+n^2$
①$S_n$,$T_n$をnの式で表せ
②$T_n$がnで割り切れるためのnの条件
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2021大阪市立大学
nは奇数
$S_n=1+3+5+7+\cdots+n$
$T_n=1^2+3^2+5^2+7^2+\cdots+n^2$
①$S_n$,$T_n$をnの式で表せ
②$T_n$がnで割り切れるためのnの条件
【短時間でマスター!!】漸化式を解説！〔現役講師解説、数学〕
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
数学2B
$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$
$\{a_n\}$の一般項
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数学2B
$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$
$\{a_n\}$の一般項
福田の数学〜立教大学2023年理学部第4問〜数学的帰納法とはさみうちの原理
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 正の数列$x_1$,$x_2$,$x_3$,...,$x_n$,... は以下を満たすとする。
$x_1$=8, $x_{n+1}$=$\sqrt{1+x_n}$ ($n$=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$x_2$,$x_3$,$x_4$をそれぞれ求めよ。
(2)すべての$n$≧1について($x_{n+1}$-$\alpha$)($x_{n+1}$+$\alpha$)=$x_n$-$\alpha$ となる定数$\alpha$で、
正であるものを求めよ。
(3)$\alpha$を(2)で求めたものとする。すべての$n$≧1について$x_n$＞$\alpha$であることを$n$に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 正の数列$x_1$,$x_2$,$x_3$,...,$x_n$,... は以下を満たすとする。
$x_1$=8, $x_{n+1}$=$\sqrt{1+x_n}$ ($n$=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$x_2$,$x_3$,$x_4$をそれぞれ求めよ。
(2)すべての$n$≧1について($x_{n+1}$-$\alpha$)($x_{n+1}$+$\alpha$)=$x_n$-$\alpha$ となる定数$\alpha$で、
正であるものを求めよ。
(3)$\alpha$を(2)で求めたものとする。すべての$n$≧1について$x_n$＞$\alpha$であることを$n$に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ。
慶應義塾大（経済）数列の最大値
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2011慶應義塾大学過去問題
n=1,2,・・・100
$a_n=n3^n$・${}_{100} \mathrm{ C }_n$
$a_n$を最大にするnの値
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2011慶應義塾大学過去問題
n=1,2,・・・100
$a_n=n3^n$・${}_{100} \mathrm{ C }_n$
$a_n$を最大にするnの値
【高校数学】等差数列×等比数列の和～どこよりも丁寧に分かりやすく～ 3-12【数学Ｂ】
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
等差×等比
$S=1・1+2・2++3・2²+…n・2^{n-1}$
を求めよ
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等差×等比
$S=1・1+2・2++3・2²+…n・2^{n-1}$
を求めよ
福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(3)〜線分上の格子点の個数
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (3)座標平面上の2点O(0, 0)とP(2023, 1071)について、線分OA上にある点(x, y)でx, yが共に整数であるものの個数は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
ただし、線分OPは両端点を含むものとする。
2023立教大学理学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (3)座標平面上の2点O(0, 0)とP(2023, 1071)について、線分OA上にある点(x, y)でx, yが共に整数であるものの個数は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
ただし、線分OPは両端点を含むものとする。
2023立教大学理学部過去問
等比数列の和を1から解説
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$3+3^2+3^3+ \cdots +3^7$ $(3^8=6561)$
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$3+3^2+3^3+ \cdots +3^7$ $(3^8=6561)$
虚数単位の入った漸化式 学習院大
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#数列#漸化式#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数C#学習院大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2019学習院大学過去問題
$Z_1=1$
$Z_{n+1}=iZ_n+2$
(1)$Z_{2019}$
(2)$Z_n$が通る円の中心と半径
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2019学習院大学過去問題
$Z_1=1$
$Z_{n+1}=iZ_n+2$
(1)$Z_{2019}$
(2)$Z_n$が通る円の中心と半径
学習院大 漸化式の基本問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#学習院大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
学習院大学過去問題
数列$\{ a_n \}$の初項から第n項までの和を$S_n$とする
$S_n=2n^2+n-a_n$
$a_n$の一般項を求めよ
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学習院大学過去問題
数列$\{ a_n \}$の初項から第n項までの和を$S_n$とする
$S_n=2n^2+n-a_n$
$a_n$の一般項を求めよ
【数学A】一橋大学文系2010 確率の問題（解説）
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
$n$を3以上の自然数とする
サイコロを$n$回投げ、出た目の数をそれぞれ順に$X_1,X_2,$･･･$,X_n$とする
$i=2,3,…n$に対して$Xi=Xi-1$となる事象を$Ai$ことする。
(1)$A_2,A_3,…,A_n$のうち少なくとも1つが起こる確率$pn$は?
(2)$A_2,A_3,…,A_n$少なくとも2つが起こる確率$gn$は?
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$n$を3以上の自然数とする
サイコロを$n$回投げ、出た目の数をそれぞれ順に$X_1,X_2,$･･･$,X_n$とする
$i=2,3,…n$に対して$Xi=Xi-1$となる事象を$Ai$ことする。
(1)$A_2,A_3,…,A_n$のうち少なくとも1つが起こる確率$pn$は?
(2)$A_2,A_3,…,A_n$少なくとも2つが起こる確率$gn$は?
中央大 三項間漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2023中央大学過去問題
$a_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$
①$a_{n+2}+a_n=4a_{n+1}$を示せ
②$a_{n+1}+a_n$は3の倍数であることを示せ
③$a_{2023}$を3で割った余り
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2023中央大学過去問題
$a_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$
①$a_{n+2}+a_n=4a_{n+1}$を示せ
②$a_{n+1}+a_n$は3の倍数であることを示せ
③$a_{2023}$を3で割った余り
福田の数学〜神戸大学2023年理系第3問〜確率の基本性質と数え上げ
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ nを2以上の整数とする。袋の中には1から2nまでの整数が1つずつ書いてある2n枚のカードが入っている。以下の問いに答えよ。
(1)この袋から同時に2枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ。
(2)この袋から同時に3枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ。
(3)この袋から同時に2枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が2n+1以上である確率を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
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$\Large\boxed{3}$ nを2以上の整数とする。袋の中には1から2nまでの整数が1つずつ書いてある2n枚のカードが入っている。以下の問いに答えよ。
(1)この袋から同時に2枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ。
(2)この袋から同時に3枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ。
(3)この袋から同時に2枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が2n+1以上である確率を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
福田の数学〜神戸大学2023年理系第1問〜漸化式の解法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array} \\
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} (x≦ 1)\\
2x-1 (x \gt 1)\\
\end{array}\right.$
で定める。aを実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_1$=a, $a_{n+1}$=$f(a_n)$ (n=1,2,3,...)
で定める。以下の問いに答えよ。
(1)すべての実数xについて$f(x)$≧x が成り立つことを示せ。
(2)a≦1のとき、すべての正の整数nについて$a_n$≦1が成り立つことを示せ。
(3)数列$\left\{a_n\right\}$の一般項をnとaを用いて表せ。
2023神戸大学理系過去問
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$\Large\boxed{1}$ 関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array} \\
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} (x≦ 1)\\
2x-1 (x \gt 1)\\
\end{array}\right.$
で定める。aを実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_1$=a, $a_{n+1}$=$f(a_n)$ (n=1,2,3,...)
で定める。以下の問いに答えよ。
(1)すべての実数xについて$f(x)$≧x が成り立つことを示せ。
(2)a≦1のとき、すべての正の整数nについて$a_n$≦1が成り立つことを示せ。
(3)数列$\left\{a_n\right\}$の一般項をnとaを用いて表せ。
2023神戸大学理系過去問
上智大 連立漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
上智大学過去問題
$a_1 =0,b_1=6$
$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$,$b_{n+1}=a_n$
点Pの$(a_n,b_n)$はある直線上にある。その式は？
$n \to \infty$のときの$P_n$
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上智大学過去問題
$a_1 =0,b_1=6$
$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$,$b_{n+1}=a_n$
点Pの$(a_n,b_n)$はある直線上にある。その式は？
$n \to \infty$のときの$P_n$
福田の数学〜九州大学2023年文系第4問PART2〜確率漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $w$を$x^3$=1 の虚数解のうち虚部が正であるものとする。さいころを繰り返し投げて、次の規則で4つの複素数0, 1, $w$, $w^2$を並べていくことにより、複素数の列$z_1$, $z_2$, $z_3$, ... を定める。
・$z_1$=0 とする。
・$z_k$まで定まった時、さいころを投げて、出た目を$t$とする。このとき$z_{k+1}$を以下のように定める。
・$z_k$=0 のとき、$z_{k+1}$=$w^t$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=1, 2のとき、$z_{k+1}$=0 とする。
・$z_k$≠0, $t$=3のとき、$z_{k+1}$=$wz_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=4のとき、$z_{k+1}$=$\bar{wz_k}$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=5のとき、$z_{k+1}$=$z_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=6のとき、$z_{k+1}$=$\bar{z_k}$ とする。
ここで複素数$z$に対し、$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す。以下の問いに答えよ。
(1)$ω^2$=$\bar{ω}$であることを示せ。
(2)$z_n$=0となる確率を$n$の式で表せ。
(3)$z_3$=1, $z_3$=$ω$, $z_3$=$ω^2$となる確率をそれぞれ求めよ。
(4)$z_n$=1となる確率を$n$の式で表せ。
2023九州大学文系過去問
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$\Large\boxed{4}$ $w$を$x^3$=1 の虚数解のうち虚部が正であるものとする。さいころを繰り返し投げて、次の規則で4つの複素数0, 1, $w$, $w^2$を並べていくことにより、複素数の列$z_1$, $z_2$, $z_3$, ... を定める。
・$z_1$=0 とする。
・$z_k$まで定まった時、さいころを投げて、出た目を$t$とする。このとき$z_{k+1}$を以下のように定める。
・$z_k$=0 のとき、$z_{k+1}$=$w^t$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=1, 2のとき、$z_{k+1}$=0 とする。
・$z_k$≠0, $t$=3のとき、$z_{k+1}$=$wz_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=4のとき、$z_{k+1}$=$\bar{wz_k}$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=5のとき、$z_{k+1}$=$z_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=6のとき、$z_{k+1}$=$\bar{z_k}$ とする。
ここで複素数$z$に対し、$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す。以下の問いに答えよ。
(1)$ω^2$=$\bar{ω}$であることを示せ。
(2)$z_n$=0となる確率を$n$の式で表せ。
(3)$z_3$=1, $z_3$=$ω$, $z_3$=$ω^2$となる確率をそれぞれ求めよ。
(4)$z_n$=1となる確率を$n$の式で表せ。
2023九州大学文系過去問
福田の数学〜九州大学2023年文系第4問PART1〜確率漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $w$を$x^3$=1 の虚数解のうち虚部が正であるものとする。さいころを繰り返し投げて、次の規則で4つの複素数0, 1, $w$, $w^2$を並べていくことにより、複素数の列$z_1$, $z_2$, $z_3$, ... を定める。
・$z_1$=0 とする。
・$z_k$まで定まった時、さいころを投げて、出た目を$t$とする。このとき$z_{k+1}$を以下のように定める。
・$z_k$=0 のとき、$z_{k+1}$=$w^t$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=1, 2のとき、$z_{k+1}$=0 とする。
・$z_k$≠0, $t$=3のとき、$z_{k+1}$=$wz_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=4のとき、$z_{k+1}$=$\bar{wz_k}$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=5のとき、$z_{k+1}$=$z_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=6のとき、$z_{k+1}$=$\bar{z_k}$ とする。
ここで複素数$z$に対し、$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す。以下の問いに答えよ。
(1)$ω^2$=$\bar{ω}$であることを示せ。
(2)$z_n$=0となる確率を$n$の式で表せ。
(3)$z_3$=1, $z_3$=$ω$, $z_3$=$ω^2$となる確率をそれぞれ求めよ。
(4)$z_n$=1となる確率を$n$の式で表せ。
2023九州大学文系過去問
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$\Large\boxed{4}$ $w$を$x^3$=1 の虚数解のうち虚部が正であるものとする。さいころを繰り返し投げて、次の規則で4つの複素数0, 1, $w$, $w^2$を並べていくことにより、複素数の列$z_1$, $z_2$, $z_3$, ... を定める。
・$z_1$=0 とする。
・$z_k$まで定まった時、さいころを投げて、出た目を$t$とする。このとき$z_{k+1}$を以下のように定める。
・$z_k$=0 のとき、$z_{k+1}$=$w^t$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=1, 2のとき、$z_{k+1}$=0 とする。
・$z_k$≠0, $t$=3のとき、$z_{k+1}$=$wz_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=4のとき、$z_{k+1}$=$\bar{wz_k}$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=5のとき、$z_{k+1}$=$z_k$ とする。
・$z_k$≠0, $t$=6のとき、$z_{k+1}$=$\bar{z_k}$ とする。
ここで複素数$z$に対し、$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す。以下の問いに答えよ。
(1)$ω^2$=$\bar{ω}$であることを示せ。
(2)$z_n$=0となる確率を$n$の式で表せ。
(3)$z_3$=1, $z_3$=$ω$, $z_3$=$ω^2$となる確率をそれぞれ求めよ。
(4)$z_n$=1となる確率を$n$の式で表せ。
2023九州大学文系過去問
漸化式 関西医科大
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#関西医科大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2021関西医科大学過去問題
$a_1=\frac{1}{13}$ n=1,2,・・・自然数
$5a_{n+1}=10a_n-a_{n+1}・a_n$
一般項$a_n$を求めよ
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2021関西医科大学過去問題
$a_1=\frac{1}{13}$ n=1,2,・・・自然数
$5a_{n+1}=10a_n-a_{n+1}・a_n$
一般項$a_n$を求めよ
大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」 東京帝国大学1937 #定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$n$：正の整数
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{\sin(2n-1)x}{\sin\ x}\ dx=\pi$を示せ
出典：1937年東京帝国大学 入試問題
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$n$：正の整数
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{\sin(2n-1)x}{\sin\ x}\ dx=\pi$を示せ
出典：1937年東京帝国大学 入試問題