数B
数B
福田の数学〜一橋大学2024年文系第1問〜シグマが2024になるような2変数の値
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ $\displaystyle\sum_{k=1}^mk(n-2k)$=2024 を満たす正の整数の組($m$, $n$)を求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ $\displaystyle\sum_{k=1}^mk(n-2k)$=2024 を満たす正の整数の組($m$, $n$)を求めよ。
福田の数学〜東北大学2024年文系第4問〜連立漸化式と不定方程式の整数解
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $n$を正の整数とする。2つの整数$a_n$, $b_n$を条件
$(1+\sqrt 2)^n$=$a_n$+$b_n\sqrt 2$
により定める。ここで$\sqrt 2$は無理数なので、このような整数の組($a_n$, $b_n$)はただ1つに定まる。
(1)$a_{n+1}$, $b_{n+1}$を$a_n$, $b_n$を用いてそれぞれ表せ。さらに$b_4$, $b_5$, $b_6$の値をそれぞれ求めよ。
(2)等式$(1-\sqrt 2)^n$=$a_n$－$b_n\sqrt 2$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
(3)$n$≧2 のとき、$b_{n+1}b_{n-1}$－$b_n^2$ を求めよ。
(4)$pb_6$－$qb_5$=1, 0≦$p$≦100, 0≦$q$≦100 をすべて満たす整数$p$, $q$の組($p$, $q$)を1組求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ $n$を正の整数とする。2つの整数$a_n$, $b_n$を条件
$(1+\sqrt 2)^n$=$a_n$+$b_n\sqrt 2$
により定める。ここで$\sqrt 2$は無理数なので、このような整数の組($a_n$, $b_n$)はただ1つに定まる。
(1)$a_{n+1}$, $b_{n+1}$を$a_n$, $b_n$を用いてそれぞれ表せ。さらに$b_4$, $b_5$, $b_6$の値をそれぞれ求めよ。
(2)等式$(1-\sqrt 2)^n$=$a_n$－$b_n\sqrt 2$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
(3)$n$≧2 のとき、$b_{n+1}b_{n-1}$－$b_n^2$ を求めよ。
(4)$pb_6$－$qb_5$=1, 0≦$p$≦100, 0≦$q$≦100 をすべて満たす整数$p$, $q$の組($p$, $q$)を1組求めよ。
【高校数学】統計的な推測 2週間完成【⑦仮説検定】
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・ある硬貨を484回投げたところ、おもてが222回出た。この硬貨は、表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
・あるテレビ番組の視聴率は従来10%であった。無作為に400世帯を選んで調査したところ、48世帯が視聴していることがわかった。視聴率は従来よりも上がったと判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
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・ある硬貨を484回投げたところ、おもてが222回出た。この硬貨は、表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
・あるテレビ番組の視聴率は従来10%であった。無作為に400世帯を選んで調査したところ、48世帯が視聴していることがわかった。視聴率は従来よりも上がったと判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
【統計分野】正規分布ってなんだろう？ついて解説しました！【数学b】
【高校数学】ここは大事！統計的な推測 2週間完成【⑥推定】
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・ある試験を受けた高校生の中から、100人を任意に選んだところ、平均点は58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、母平均を信頼度95%で推定せよ。
・ある町の有権者2500人を無作為に抽出して、A政党の支持者を調べたところ、625人であった。この町のA政党支持率を信頼度95%で推定せよ。
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・ある試験を受けた高校生の中から、100人を任意に選んだところ、平均点は58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、母平均を信頼度95%で推定せよ。
・ある町の有権者2500人を無作為に抽出して、A政党の支持者を調べたところ、625人であった。この町のA政党支持率を信頼度95%で推定せよ。
【高校数学】模試までに整理すればまだ間に合う！統計的な推測 2週間完成【⑤母集団と標本】
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・母平均120、母標準偏差30をもつ母集団から大きさ100の無作為標本を抽出するとき、その標本平均$\bar{X}$が123より大きい値をとる確率を求めよ。
・ある国の有権者の内閣支持率が50%であるとき、無作為に抽出した400人の有権者の内閣支持率をRとする。Rが48%以上、52%以下である確率を求めよ。
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・母平均120、母標準偏差30をもつ母集団から大きさ100の無作為標本を抽出するとき、その標本平均$\bar{X}$が123より大きい値をとる確率を求めよ。
・ある国の有権者の内閣支持率が50%であるとき、無作為に抽出した400人の有権者の内閣支持率をRとする。Rが48%以上、52%以下である確率を求めよ。
【高校数学】正規分布はこれ１本でマスター！統計的な推測 2週間完成【④正規分布】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・1000人の生徒に数学のテストを行ったところ、その成績は平均48点、標準偏差15点であった。成績が正規分布に従うものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) ある生徒の点数が78点以上である確率を求めよ。
(2) 78点以上の生徒は約何人いると考えられるか。
(3) 30点以下の生徒は約何人いると考えられるか。
・ある植物の種子の発芽率は80%であるという。この植物の種子を900個まいたとき、次の問いに答えよ。
(1) 750個以上の種子が発芽する確率を求めよ。
(2) 900個のうちn個以上の種子が発芽する確率が80%以上となるようなnの最大値を求めよ。
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・1000人の生徒に数学のテストを行ったところ、その成績は平均48点、標準偏差15点であった。成績が正規分布に従うものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) ある生徒の点数が78点以上である確率を求めよ。
(2) 78点以上の生徒は約何人いると考えられるか。
(3) 30点以下の生徒は約何人いると考えられるか。
・ある植物の種子の発芽率は80%であるという。この植物の種子を900個まいたとき、次の問いに答えよ。
(1) 750個以上の種子が発芽する確率を求めよ。
(2) 900個のうちn個以上の種子が発芽する確率が80%以上となるようなnの最大値を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2024年文系第2問〜漸化式を解く
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$について考える。
$a_1$=3, $a_{n+1}$=$3a_n$－$\displaystyle\frac{3^{n+1}}{n(n+1)}$
(1)$b_n$=$\frac{a_n}{3^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ。
(2)数列$\left\{a_n\right\}$ の一般項を求めよ。
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$\Large{\boxed{2}}$ 次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$について考える。
$a_1$=3, $a_{n+1}$=$3a_n$－$\displaystyle\frac{3^{n+1}}{n(n+1)}$
(1)$b_n$=$\frac{a_n}{3^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ。
(2)数列$\left\{a_n\right\}$ の一般項を求めよ。
【高校数学】模試に向けて今からでも間に合う！統計的な推測 2週間完成【③二項分布】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・次の二項分布の平均、分散と標準偏差を求めよ。
$\displaystyle B(5,\frac{1}{6})$
・1個のさいころを8回投げるとき、4以上の目が出る回数をXとする。
(1) 4以上の目が3回以上出る確率を求めよ。
(2) 確率変数Xの期待値と標準偏差を求めよ。
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・次の二項分布の平均、分散と標準偏差を求めよ。
$\displaystyle B(5,\frac{1}{6})$
・1個のさいころを8回投げるとき、4以上の目が出る回数をXとする。
(1) 4以上の目が3回以上出る確率を求めよ。
(2) 確率変数Xの期待値と標準偏差を求めよ。
【高校数学】統計的な推測 2週間完成【②同時分布、確率変数の和の期待値、独立な確率変数】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・500円硬貨2枚と100円硬貨1枚を同時に投げる。表の出た硬貨の金額の和の期待値を求めよ。
・Aは2枚、Bは3枚の硬貨を同時に投げ、表の出た枚数をそれぞれX,Yとするとき、積XYの期待値を求めよ。
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・500円硬貨2枚と100円硬貨1枚を同時に投げる。表の出た硬貨の金額の和の期待値を求めよ。
・Aは2枚、Bは3枚の硬貨を同時に投げ、表の出た枚数をそれぞれX,Yとするとき、積XYの期待値を求めよ。
【過去問解説】2023年度北里大学医学部 数学 大問1(3)【医塾公式】
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
医塾の過去問解説チャンネル
問題文全文(内容文)：
正の整数 $n$ に対して $a_n = \alpha^n + \beta^n$ （ただし $\alpha = 3 + \sqrt{10},\, \beta = 3 - \sqrt{10}$）と置く。
(1) $a_2, a_3$ の値をそれぞれ求めよ。
(2) $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。
(3) $\alpha^{111}$ の整数部分を $K$ とするとき、$K$ を $10$ で割った余りを求めよ。
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正の整数 $n$ に対して $a_n = \alpha^n + \beta^n$ （ただし $\alpha = 3 + \sqrt{10},\, \beta = 3 - \sqrt{10}$）と置く。
(1) $a_2, a_3$ の値をそれぞれ求めよ。
(2) $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。
(3) $\alpha^{111}$ の整数部分を $K$ とするとき、$K$ を $10$ で割った余りを求めよ。
【高校数学】模試に向けて今からでも間に合う！統計的な推測 2週間完成【①確率変数と確率分布、期待値、分散、標準偏差、確率変数の変換】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
・3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る枚数をXとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。
・1個のサイコロを1回投げるとき、出る目の数をXとする。Xの期待値、分散、標準偏差を求めよ。
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・3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る枚数をXとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。
・1個のサイコロを1回投げるとき、出る目の数をXとする。Xの期待値、分散、標準偏差を求めよ。
実はコスパがいい!?文系も理系も入試に関わってくる『統計的な推測』について
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
文系も理系も入試に関わってくる『統計的な推測』について解説していきます
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文系も理系も入試に関わってくる『統計的な推測』について解説していきます
数Bの統計分野はどう勉強していけばいい!?
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#統計的な推測#その他#勉強法#数学(高校生)#数B
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
数Bの統計分野 今後の勉強法について説明動画です
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数Bの統計分野 今後の勉強法について説明動画です
福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第3問〜群数列
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 数列 $\frac{0}{1}$, $\frac{1}{1}$, $\frac{0}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{0}{3}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{3}$, $\frac{0}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{4}$, $\frac{0}{5}$, ...
の第$n$項を$a_n$とする。
(1)約分することで$a_n$=1 を満たす自然数$n$のうち、$k$番目に小さいものを$N_k$で表す。例えば、$N_1$=2, $N_2$=5 である。また、自然数$k$に対して、$N_k$を$k$を用いて表すと$N_k$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。また、自然数$k$に対して、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第$N_k$項までの和を$k$を用いて表すと$\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
(2)約分することで$a_n$=$\frac{1}{4}$ を満たす自然数$n$のうち、$k$番目に小さいものを$M_k$で表す。例えば$M_1$=11, $M_2$=$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。このとき、自然数$k$に対して、$M_k$を$k$を用いて表すと$M_k$=$\boxed{\ \ チ\ \ }$である。
(3)$a_{200}$を約分した形で表すと$a_{200}$=$\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。また数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第200項までの和は$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{3}$ 数列 $\frac{0}{1}$, $\frac{1}{1}$, $\frac{0}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{0}{3}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{3}$, $\frac{0}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{4}$, $\frac{0}{5}$, ...
の第$n$項を$a_n$とする。
(1)約分することで$a_n$=1 を満たす自然数$n$のうち、$k$番目に小さいものを$N_k$で表す。例えば、$N_1$=2, $N_2$=5 である。また、自然数$k$に対して、$N_k$を$k$を用いて表すと$N_k$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。また、自然数$k$に対して、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第$N_k$項までの和を$k$を用いて表すと$\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
(2)約分することで$a_n$=$\frac{1}{4}$ を満たす自然数$n$のうち、$k$番目に小さいものを$M_k$で表す。例えば$M_1$=11, $M_2$=$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。このとき、自然数$k$に対して、$M_k$を$k$を用いて表すと$M_k$=$\boxed{\ \ チ\ \ }$である。
(3)$a_{200}$を約分した形で表すと$a_{200}$=$\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。また数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第200項までの和は$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。
福田のおもしろ数学100〜帰納的に考える方法〜階段の登り方
単元：
#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
一度に1段または2段登ることにして10段の階段を上る方法は何通りあるか。
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一度に1段または2段登ることにして10段の階段を上る方法は何通りあるか。
福田のおもしろ数学095〜素数が並ぶ数列
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
次の数列は全ての項が素数であるかどうか調べよ。
17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, ...
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次の数列は全ての項が素数であるかどうか調べよ。
17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, ...
福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第1問(1)〜等差数列と等比中項
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (1)$n$を自然数とする。数列$\left\{a_n\right\}$は初項が25, 公差が0でない等差数列であり、3つの項$a_8$, $a_9$, $a_{10}$を
$a_9$, $a_{10}$, $a_8$
の順に並べると等比数列になる。この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。
(i)一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
(ii)不等式$S_n$＜0 を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{1}$ (1)$n$を自然数とする。数列$\left\{a_n\right\}$は初項が25, 公差が0でない等差数列であり、3つの項$a_8$, $a_9$, $a_{10}$を
$a_9$, $a_{10}$, $a_8$
の順に並べると等比数列になる。この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。
(i)一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
(ii)不等式$S_n$＜0 を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
福田の数学〜東京工業大学2024年理系第3問〜点列と漸化式の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ $xy$平面上に、点A($a$,0), B(0,$b$), C($-a$,0)(ただし0＜$a$＜$b$)をとる。点A,Bを通る直線を$l$とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を$k$とする。さらに、点Aを通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_1$とし、点$C_1$を通り、$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_1$とする。以下、$n$=1,2,3,...に対して、点$A_n$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_{n+1}$、点$C_{n+1}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_{n+1}$とする。
(1)点$A_n$, $C_n$の座標を求めよ。
(2)△$CBA_n$の面積$S_n$を求めよ。
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{BA_n}{BC}$を求めよ。
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$\Large\boxed{3}$ $xy$平面上に、点A($a$,0), B(0,$b$), C($-a$,0)(ただし0＜$a$＜$b$)をとる。点A,Bを通る直線を$l$とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を$k$とする。さらに、点Aを通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_1$とし、点$C_1$を通り、$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_1$とする。以下、$n$=1,2,3,...に対して、点$A_n$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_{n+1}$、点$C_{n+1}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_{n+1}$とする。
(1)点$A_n$, $C_n$の座標を求めよ。
(2)△$CBA_n$の面積$S_n$を求めよ。
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{BA_n}{BC}$を求めよ。
【限定公開】【過去問解説】2023年度埼玉医科大学医学部 数学 大問3【医塾公式】
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#埼玉医科大学
指導講師：
医塾の過去問解説チャンネル
問題文全文(内容文)：
大問3
座標平面上の長方形の領域において、$n$ を $2$ 桁以上の自然数の定数とし、$d$ を $1 \leqq d \leqq n$ の実数値をとる変数とする。
領域 $0 \leqq x \leqq d, \ 0 \leqq y \leqq n + \dfrac{1}{2} - d$ 内にあり、$x, y$ がともに自然数である点（格子点）の個数を $M(d)$ とする。
問1$n = 10$ のとき、$M(1) = \fbox{ 15 }$, $\quad M\left(\dfrac{3}{2}\right) = \fbox{ 16 }$, $\quad M(2) = \fbox{ 17 }$
であり、$\displaystyle\lim_{d \to \frac{3}{2} + 0} M(d) = \fbox{ 18 }$
である。
問2$k$ を $n-1$ 以下の自然数とする。$k \leqq d < k + \dfrac{1}{2}$ のとき、$M(d) = \fbox{ 19 }$ であり、$k + \dfrac{1}{2} \leqq d < k + 1$ のとき、$M(d) = \fbox{ 20 }$ である。
問3$n = 17$ のとき、$M(d)$ の最大値は $\fbox{ 21 } \fbox{ 22 }$である。
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大問3
座標平面上の長方形の領域において、$n$ を $2$ 桁以上の自然数の定数とし、$d$ を $1 \leqq d \leqq n$ の実数値をとる変数とする。
領域 $0 \leqq x \leqq d, \ 0 \leqq y \leqq n + \dfrac{1}{2} - d$ 内にあり、$x, y$ がともに自然数である点（格子点）の個数を $M(d)$ とする。
問1$n = 10$ のとき、$M(1) = \fbox{ 15 }$, $\quad M\left(\dfrac{3}{2}\right) = \fbox{ 16 }$, $\quad M(2) = \fbox{ 17 }$
であり、$\displaystyle\lim_{d \to \frac{3}{2} + 0} M(d) = \fbox{ 18 }$
である。
問2$k$ を $n-1$ 以下の自然数とする。$k \leqq d < k + \dfrac{1}{2}$ のとき、$M(d) = \fbox{ 19 }$ であり、$k + \dfrac{1}{2} \leqq d < k + 1$ のとき、$M(d) = \fbox{ 20 }$ である。
問3$n = 17$ のとき、$M(d)$ の最大値は $\fbox{ 21 } \fbox{ 22 }$である。
【限定公開】【過去問解説】2023年度昭和大学 Ⅰ期 数学 大問4【医塾公式】
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#昭和大学
指導講師：
医塾の過去問解説チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。(1) $1$ から $n$ までの自然数を重複なく $1$ 枚に $1$ つずつ記した $n$ 枚のカードを用意した。 $n$ 枚のカードから同時に $2$ 枚のカードを選ぶ。カードに記された数字の和が $n+1$ より小さい場合が何通りあるか調べたい。$n=8$ のときは何通りあるか。$n=9$ のときは何通りあるか。$n$ が偶数のとき何通りあるか。$n$ が奇数のとき何通りあるか。(2) $p$ は自然数とする（ $p < n$ ）。 $n$ 枚のカードから $p$ と $p+1$ が記された計 $2$ 枚のカードを抜き出した。残ったカードに記された自然数をすべて合計すると $2023$ となった。このときの自然数 $p$ と $n$ とを求めよ。
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次の各問いに答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。(1) $1$ から $n$ までの自然数を重複なく $1$ 枚に $1$ つずつ記した $n$ 枚のカードを用意した。 $n$ 枚のカードから同時に $2$ 枚のカードを選ぶ。カードに記された数字の和が $n+1$ より小さい場合が何通りあるか調べたい。$n=8$ のときは何通りあるか。$n=9$ のときは何通りあるか。$n$ が偶数のとき何通りあるか。$n$ が奇数のとき何通りあるか。(2) $p$ は自然数とする（ $p < n$ ）。 $n$ 枚のカードから $p$ と $p+1$ が記された計 $2$ 枚のカードを抜き出した。残ったカードに記された自然数をすべて合計すると $2023$ となった。このときの自然数 $p$ と $n$ とを求めよ。
難解な数列の問題 By 英語orドイツ語シはBかHか さん
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_0=b_0=1$
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{a_n^2+b_n^2}$
$b_{n+1}=2-\displaystyle \frac{b_n}{a_n^2+b_n^2}$
一般項$a_n,b_n$を求めよ。
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$a_0=b_0=1$
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{a_n^2+b_n^2}$
$b_{n+1}=2-\displaystyle \frac{b_n}{a_n^2+b_n^2}$
一般項$a_n,b_n$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理
単元：
#大学入試過去問(数学)#漸化式#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
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関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
福田のおもしろ数学051〜10秒チャレンジ！〜階乗の付いた分数の計算
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{2}{3!}+\displaystyle \frac{3}{4!}+\displaystyle \frac{4}{5!}+\displaystyle \frac{5}{6!}$を計算してください。
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$\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{2}{3!}+\displaystyle \frac{3}{4!}+\displaystyle \frac{4}{5!}+\displaystyle \frac{5}{6!}$を計算してください。
福田の数学〜東京大学2018年理系第2問〜数列の増減とユークリッドの互除法
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$a_{ 1 },a_{ 2 }・・・$を
$a_{ n }=\dfrac{2_{ n }+{}_1 \mathrm{ C }_n}{n!}$(n=1,2,・・・)
で定める
(1)$n \geqq 2$とする。$\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}$を規約分数$\dfrac{q_{n}}{p_{n}}$として表したときの分母$p_{n} \geqq 1$と分子$q_{n}$を求めよ。
(2)$a_{n}$が整数となる$n\geqq1$をすべて求めよ。
2018東京大学理過去問
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$a_{ 1 },a_{ 2 }・・・$を
$a_{ n }=\dfrac{2_{ n }+{}_1 \mathrm{ C }_n}{n!}$(n=1,2,・・・)
で定める
(1)$n \geqq 2$とする。$\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}$を規約分数$\dfrac{q_{n}}{p_{n}}$として表したときの分母$p_{n} \geqq 1$と分子$q_{n}$を求めよ。
(2)$a_{n}$が整数となる$n\geqq1$をすべて求めよ。
2018東京大学理過去問
福田のおもしろ数学047〜これができたら天才〜ガウス記号のついた数の和
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\left[\dfrac{13×1}{2024}\right]+\left[\dfrac{13×2}{2024}\right]+\left[\dfrac{13×3}{2024}\right]+・・・+\left[\dfrac{13×2023}{2024}\right]$を計算してください。
ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表します。
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$\left[\dfrac{13×1}{2024}\right]+\left[\dfrac{13×2}{2024}\right]+\left[\dfrac{13×3}{2024}\right]+・・・+\left[\dfrac{13×2023}{2024}\right]$を計算してください。
ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表します。
数列 by ハルハルさん すげー解答: 英語orドイツ語さん #Shorts
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#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=0$
$a_{n+1}=(a_n+4)(a_n+10)$
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$a_1=0$
$a_{n+1}=(a_n+4)(a_n+10)$
2024年共通テスト徹底解説〜数学ⅡB第4問数列〜福田の入試問題解説
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#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します
2024共通テスト過去問
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共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します
2024共通テスト過去問
数列 難易度高め by Picmin3daisukiさん #Shorts
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#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=\sqrt{ 3 }$
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{ 1+a_n^2 }}{a_n}$を満たす一般項$a_n$を求めよ。
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$a_1=\sqrt{ 3 }$
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{ 1+a_n^2 }}{a_n}$を満たす一般項$a_n$を求めよ。
【限定公開】【過去問解説】2022年度帝京大学医学部 数学 大問2(1)【医塾公式】
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#帝京大学
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医塾の過去問解説チャンネル
問題文全文(内容文)：
大問2(1)$a_n = \sin \frac{n\pi}{6}$, $b_n = \cos \frac{n\pi}{3}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} (a_n + b_n) = \frac{1}{2}($ア$)$ であり、$\displaystyle \sum_{n=1}^{250} a_n b_n =$ イ である。また、 $x$ に関する $2$ 次方程式 $2x^2 - 4a_n x - 3b_n = 0$ が負の重解を持つための最小の $n$ の値を $n_0$ とすると、 $n_0 =$ ウ である。
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大問2(1)$a_n = \sin \frac{n\pi}{6}$, $b_n = \cos \frac{n\pi}{3}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} (a_n + b_n) = \frac{1}{2}($ア$)$ であり、$\displaystyle \sum_{n=1}^{250} a_n b_n =$ イ である。また、 $x$ に関する $2$ 次方程式 $2x^2 - 4a_n x - 3b_n = 0$ が負の重解を持つための最小の $n$ の値を $n_0$ とすると、 $n_0 =$ ウ である。