数Ⅲ
数Ⅲ
【数Ⅲ】【積分とその応用】曲線x=θcosθ、y=θsinθ(0≦θ≦2π)の長さは、曲線y=x²/2(0≦θ≦2π)の長さに等しいことを示せ。
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線x=θcosθ、y=θsinθ(0≦θ≦2π)の長さは、曲線y=x²/2(0≦θ≦2π)の長さに等しいことを示せ。
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曲線x=θcosθ、y=θsinθ(0≦θ≦2π)の長さは、曲線y=x²/2(0≦θ≦2π)の長さに等しいことを示せ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】次の曲線の長さLを求めよ。ただし、θは媒介変数a,p,qは定数であり、a＞0,0＜q＜π/2 を満たす。
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線の長さLを求めよ。ただし、θは媒介変数a,p,qは定数であり、a＞0,0＜q＜π/2 を満たす。
(1) x=a(cosθ+θsinθ)、y=a(sinθ-θcosθ) (0≦θ≦p)
(2) y=log(cosx) (0≦θ≦p)
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次の曲線の長さLを求めよ。ただし、θは媒介変数a,p,qは定数であり、a＞0,0＜q＜π/2 を満たす。
(1) x=a(cosθ+θsinθ)、y=a(sinθ-θcosθ) (0≦θ≦p)
(2) y=log(cosx) (0≦θ≦p)
【数Ⅲ】【積分とその応用】半径がaである円Oの直径ABの両端AおよびBから出発して円Oの周上を同じ向きに動く2点P,QがPの速さはQの速さの2倍でAからBまで動くとき、△APQの面積の最大値を求めよ｡
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
半径がaである円Oの直径ABの両端AおよびBから出発して円Oの周上を同じ向きにそれぞれ一定の速さで動く2点P,Qがある｡Pの速さはQの速さの2倍で､PがAからBまで動くとき、△APQの面積の最大値を求めよ｡また,その時の∠BOQの大きさを求めよ｡
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半径がaである円Oの直径ABの両端AおよびBから出発して円Oの周上を同じ向きにそれぞれ一定の速さで動く2点P,Qがある｡Pの速さはQの速さの2倍で､PがAからBまで動くとき、△APQの面積の最大値を求めよ｡また,その時の∠BOQの大きさを求めよ｡
【数Ⅲ】【積分とその応用】点Ｐが原点Ｏを中心とする半径rの円の周上を等速円運動ＯＰが毎秒π/6ラジアンだけ回転するとき，点Ｐの速さと加速度の大きさを求めよ。
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
点Ｐが，原点Ｏを中心とする半径rの円の周上を，等速円運動。ＯＰが毎秒π/6ラジアンだけ回転するとき，点Ｐの速さと加速度の大きさを求めよ。ただし，Ｐは円周上の点（ｒ，０）から出発するものとする。
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点Ｐが，原点Ｏを中心とする半径rの円の周上を，等速円運動。ＯＰが毎秒π/6ラジアンだけ回転するとき，点Ｐの速さと加速度の大きさを求めよ。ただし，Ｐは円周上の点（ｒ，０）から出発するものとする。
【数Ⅲ】【積分とその応用】半径が10cm深さが20cmの直円錐形容器に毎秒3cm³の割合で静かに水を注ぐとき水の深さが6cmになった瞬間の水面の上昇する速さと水面の面積の増加する速さを求めよ。
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
上面の半径が10cm,深さが20cmの直円錐形の容器が，その軸を鉛直にして固定されている。この容器に毎秒3cm³の割合で静かに水を注ぐとき，水の深さが6cmになった瞬間の，水面の上昇する速さと，水面の面積の増加する速さを求めよ。
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上面の半径が10cm,深さが20cmの直円錐形の容器が，その軸を鉛直にして固定されている。この容器に毎秒3cm³の割合で静かに水を注ぐとき，水の深さが6cmになった瞬間の，水面の上昇する速さと，水面の面積の増加する速さを求めよ。
福田の数学〜立教大学2025理学部第3問〜指数関数と円でできる領域の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a,p$は正の実数とする。
座標平面上の曲線$C_1:y=e^x$と$C_1$上の点
$(p,e^p)$がある。
$P$における$C_1$の法線を$\ell,\ell$と$x$軸の
交点を$A(a,0)$、$A$を中心とする半径$r$の円を
$C_2$とする。
$P$が$C_1$と$C_2$のただ一つの共有点であるとき、
次の問いに答えよ。
(1)$\ell$の方程式を$p$を用いて表せ。
(2)$a$を$p$を用いて表せ。
(3)$r$を$p$を用いて表せ。
(4)$\angle OAP=\dfrac{\pi}{6}$のとき、$p$の値を求めよ。
(5)$p$を(4)で求めた値とするとき、
次の不等式の表す領域$D$の面積$S$を求めよ。
$-2 \leqq x \leqq p,\ y\geqq 0,\ y\leqq e^x,$
$(x-a)^2+y^2\geqq r^2$
$2025$年立教大学理学部過去問題
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$\boxed{3}$
$a,p$は正の実数とする。
座標平面上の曲線$C_1:y=e^x$と$C_1$上の点
$(p,e^p)$がある。
$P$における$C_1$の法線を$\ell,\ell$と$x$軸の
交点を$A(a,0)$、$A$を中心とする半径$r$の円を
$C_2$とする。
$P$が$C_1$と$C_2$のただ一つの共有点であるとき、
次の問いに答えよ。
(1)$\ell$の方程式を$p$を用いて表せ。
(2)$a$を$p$を用いて表せ。
(3)$r$を$p$を用いて表せ。
(4)$\angle OAP=\dfrac{\pi}{6}$のとき、$p$の値を求めよ。
(5)$p$を(4)で求めた値とするとき、
次の不等式の表す領域$D$の面積$S$を求めよ。
$-2 \leqq x \leqq p,\ y\geqq 0,\ y\leqq e^x,$
$(x-a)^2+y^2\geqq r^2$
$2025$年立教大学理学部過去問題
福田のおもしろ数学522〜連続関数の性質
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
すべての実数で定義された連続関数$f(x)$に対し、
$\dfrac{f(x)}{x} \ (x\neq 0)$
が常に正であるとき、
$f(0)$の値を求めて下さい。
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すべての実数で定義された連続関数$f(x)$に対し、
$\dfrac{f(x)}{x} \ (x\neq 0)$
が常に正であるとき、
$f(0)$の値を求めて下さい。
福田の数学〜立教大学2025理学部第1問(3)〜定積分の計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{7}{6}\pi}\sin x \sin 2x \ dx$の値は
$\boxed{エ}$である。
$2025$年立教大学理学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{7}{6}\pi}\sin x \sin 2x \ dx$の値は
$\boxed{エ}$である。
$2025$年立教大学理学部過去問題
福田のおもしろ数学515〜関数の最大と最小
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\left\vert \sin x+\dfrac{2}{3+\sin x}+b\right\vert$
の最大値を$f(b)$とするとき、
($b$は任意の実数)
$f(b)$の最小値を求めて下さい。
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$\left\vert \sin x+\dfrac{2}{3+\sin x}+b\right\vert$
の最大値を$f(b)$とするとき、
($b$は任意の実数)
$f(b)$の最小値を求めて下さい。
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限5 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
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数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限4 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
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次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限3 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限2 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n}}$
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n}}$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限1 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。ただし、$\theta$は定数とする。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n} \cos \frac{n\pi}{4}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}$
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次の極限を求めよ。ただし、$\theta$は定数とする。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n} \cos \frac{n\pi}{4}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}$
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分の種々の問題6 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ。
(1) $\displaystyle f(x)=x+\int_0^2f(t)e^t~dt$
(2) $\displaystyle f(x)=\sin x-\int_0^\frac\pi3\{f(t)-\frac\pi3\}\sin t~dt$
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次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ。
(1) $\displaystyle f(x)=x+\int_0^2f(t)e^t~dt$
(2) $\displaystyle f(x)=\sin x-\int_0^\frac\pi3\{f(t)-\frac\pi3\}\sin t~dt$
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分の種々の問題5 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数$f(x)$の最大値、最小値を求めよ。
(1) $\displaystyle f(x)=\int_0^x(1+2\cos t)\sin t~dt~~(0\leqq x\leqq2\pi)$
(2) $\displaystyle f(x)=\int_1^x(2-t)\log t~dt~~(1\leqq x\leqq e)$
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次の関数$f(x)$の最大値、最小値を求めよ。
(1) $\displaystyle f(x)=\int_0^x(1+2\cos t)\sin t~dt~~(0\leqq x\leqq2\pi)$
(2) $\displaystyle f(x)=\int_1^x(2-t)\log t~dt~~(1\leqq x\leqq e)$
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分の種々の問題4 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$\displaystyle f(x)=\int_0^{x}\sin 2t~dt~~(0\leqq x\leqq 2\pi)$
の極値を求めよ。
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関数$\displaystyle f(x)=\int_0^{x}\sin 2t~dt~~(0\leqq x\leqq 2\pi)$
の極値を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分の種々の問題3 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$\displaystyle F(x)=\int_x^{2x^2}(x+t)\sin t~dt$
を$x$について微分せよ。
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関数$\displaystyle F(x)=\int_x^{2x^2}(x+t)\sin t~dt$
を$x$について微分せよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分の種々の問題2 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数を$x$について微分せよ。
(1) $\displaystyle y=\int_x^{2x}\cos^2t~dt$
(2) $\displaystyle y=\int_x^{x^2}e^t\sin t~dt$
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次の関数を$x$について微分せよ。
(1) $\displaystyle y=\int_x^{2x}\cos^2t~dt$
(2) $\displaystyle y=\int_x^{x^2}e^t\sin t~dt$
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分の種々の問題1 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数を$x$について微分せよ。
(1) $\displaystyle F(x)=\int_0^x(x+t)e^t~dt$
(2) $\displaystyle F(x)=\int_1^x(t-x)\log t~dt$
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次の関数を$x$について微分せよ。
(1) $\displaystyle F(x)=\int_0^x(x+t)e^t~dt$
(2) $\displaystyle F(x)=\int_1^x(t-x)\log t~dt$
福田のおもしろ数学498〜定積分で定義された関数の極限
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
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$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
福田の数学〜名古屋大学2025理系第1問〜関数の増減と最大
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第5問〜分数関数のグラフと解の存在範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田のおもしろ数学488〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
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実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(2)〜対数不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第5問〜無理関数のグラフ上に無数の有理点が存在する証明
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学476〜完全順列と極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
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$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
福田のおもしろ数学475〜関数方程式の正しい解き方
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0$以上の実数の集合を$R'$とする。
$R'→R'$の関数$f(x)$が任意の$x,y$に対して
$xy(y)+yf(x)=f(x)f(y)(f(x)+f(y))$
を満たしている。
$f(x)$を求めて下さい。
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$0$以上の実数の集合を$R'$とする。
$R'→R'$の関数$f(x)$が任意の$x,y$に対して
$xy(y)+yf(x)=f(x)f(y)(f(x)+f(y))$
を満たしている。
$f(x)$を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第2問〜分数関数の接線とベクトル計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(3)〜逆関数の微分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題