数Ⅲ
数Ⅲ
福田の数学〜名古屋大学2025理系第1問〜関数の増減と最大
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第5問〜分数関数のグラフと解の存在範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田のおもしろ数学488〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
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実数から実数への関数$f(x)$が
任意の実数$x,y$に対して
$f(x+f(y))=x+f(f(y))$
を満たしている。また$f(2025)=2026$である。
$f(x)$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(2)〜対数不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第5問〜無理関数のグラフ上に無数の有理点が存在する証明
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学476〜完全順列と極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
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$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
福田のおもしろ数学475〜関数方程式の正しい解き方
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0$以上の実数の集合を$R'$とする。
$R'→R'$の関数$f(x)$が任意の$x,y$に対して
$xy(y)+yf(x)=f(x)f(y)(f(x)+f(y))$
を満たしている。
$f(x)$を求めて下さい。
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$0$以上の実数の集合を$R'$とする。
$R'→R'$の関数$f(x)$が任意の$x,y$に対して
$xy(y)+yf(x)=f(x)f(y)(f(x)+f(y))$
を満たしている。
$f(x)$を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第2問〜分数関数の接線とベクトル計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(3)〜逆関数の微分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第3問〜逆関数と定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
実数$x$に対して、関数
$f(x)=\dfrac{1}{3}x+\sqrt{\dfrac{1}{9}x^2+8}$
がある。ただし、定義域は$x\geqq 0$である。
$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする。
(1)$g(x)$を求めると、$g(x)=\boxed{ナ}$であり、
$g(x)$定義域は$\boxed{ニ}$である。
(2)$\displaystyle \int_{2\sqrt2}^{4}g(x)dx$を求めると$\boxed{ヌ}$である。
(3)$\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$を求めると$\boxed{ネ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{3}$
実数$x$に対して、関数
$f(x)=\dfrac{1}{3}x+\sqrt{\dfrac{1}{9}x^2+8}$
がある。ただし、定義域は$x\geqq 0$である。
$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする。
(1)$g(x)$を求めると、$g(x)=\boxed{ナ}$であり、
$g(x)$定義域は$\boxed{ニ}$である。
(2)$\displaystyle \int_{2\sqrt2}^{4}g(x)dx$を求めると$\boxed{ヌ}$である。
(3)$\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$を求めると$\boxed{ネ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(4)〜円柱を切ってできる立体の体積と側面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#立体図形#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)$xyz$空間において、
$xy$平面上に$(0,0,0)$を中心とする半径$2$の円がある。
この円と、$(0,0,2\sqrt3)$を中心とする半径$2$の円を
底面とする円柱を、
原点を通り$xz$平面と$30$度の角をなす平面によって
切断し、$2$つの立体に分ける。
いま$2$つの立体のうち、
体積の小さい方の立体について考える。
その立体の体積を$V$、切り口の面積を$S_1$、
円柱の側面であった部分の面積を$S_2$とする。
(i)$V=\boxed{ケ}$
(ii)$S_1=\boxed{コ},S_2=\boxed{サ}$である。
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$\boxed{1}$
(4)$xyz$空間において、
$xy$平面上に$(0,0,0)$を中心とする半径$2$の円がある。
この円と、$(0,0,2\sqrt3)$を中心とする半径$2$の円を
底面とする円柱を、
原点を通り$xz$平面と$30$度の角をなす平面によって
切断し、$2$つの立体に分ける。
いま$2$つの立体のうち、
体積の小さい方の立体について考える。
その立体の体積を$V$、切り口の面積を$S_1$、
円柱の側面であった部分の面積を$S_2$とする。
(i)$V=\boxed{ケ}$
(ii)$S_1=\boxed{コ},S_2=\boxed{サ}$である。
福田のおもしろ数学463〜2定点を見込む角を最大にする方法
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図のように点$P$を$y$軸の正の部分を
動かすとき、
$\theta$が最大となる点$P$の位置は？
$2$通りの解答を考えて下さい。
図は動画内参照
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図のように点$P$を$y$軸の正の部分を
動かすとき、
$\theta$が最大となる点$P$の位置は？
$2$通りの解答を考えて下さい。
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福田のおもしろ数学461〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0$以上の実数で定義された実数値関数$f(x)$は
(i)$f(1)=1$
(ii)$f\left(\dfrac{1}{x+y}\right)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)+f\left(\dfrac{1}{y}\right)$
$ \hspace{ 100pt } (x+y,x,y\neq 0)$
(iii)$(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y)$
$\hspace{ 100pt }(x+y,x,y\neq 0)$
を満たしている。$f(x)$を求めよ。
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$0$以上の実数で定義された実数値関数$f(x)$は
(i)$f(1)=1$
(ii)$f\left(\dfrac{1}{x+y}\right)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)+f\left(\dfrac{1}{y}\right)$
$ \hspace{ 100pt } (x+y,x,y\neq 0)$
(iii)$(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y)$
$\hspace{ 100pt }(x+y,x,y\neq 0)$
を満たしている。$f(x)$を求めよ。
福田のおもしろ数学458〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
整数から整数への関数$f(n)$が
$f(n)=f(n^2+n+1)$
を満たす偶関数であるとき、
$f(n)$を求めて下さい。
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整数から整数への関数$f(n)$が
$f(n)=f(n^2+n+1)$
を満たす偶関数であるとき、
$f(n)$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第3問〜4次関数が極大値をもつ条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学454〜積分に関するシュワルツの不等式の証明と等号成立条件
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#不定積分#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
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$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
福田の数学〜北海道大学2025文系第4問〜関数方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
関数$f(x)$は、
すべての実数$x$およびすべての整数$n$について
$f(nx)={f(x)}^n$を満たし、
さらに$f(1)=2$を満たすとする。
ただし、$f(x)$のとりうる値は$0$でない実数とする。
(1)$f(n) \leqq 100$となるような最大の整数$n$を求めよ。
(2)すべての実数$x$について
$f(x)\gt 0$であることを証明せよ。
(3)$f(0.25)$を求めよ。
(4)$a$が有理数のとき、$f(a)$を$a$で表せ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
関数$f(x)$は、
すべての実数$x$およびすべての整数$n$について
$f(nx)={f(x)}^n$を満たし、
さらに$f(1)=2$を満たすとする。
ただし、$f(x)$のとりうる値は$0$でない実数とする。
(1)$f(n) \leqq 100$となるような最大の整数$n$を求めよ。
(2)すべての実数$x$について
$f(x)\gt 0$であることを証明せよ。
(3)$f(0.25)$を求めよ。
(4)$a$が有理数のとき、$f(a)$を$a$で表せ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積13 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$k > 0$とする。曲線$y=\sin2x~~(0\leqq x\leqq \dfrac\pi2)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$y=k\sin x$が2等分するように定数$k$の値を定めよ。
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$k > 0$とする。曲線$y=\sin2x~~(0\leqq x\leqq \dfrac\pi2)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$y=k\sin x$が2等分するように定数$k$の値を定めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積15 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x$軸に平行な直線と曲線$y=\sin x~~(0\leqq x \leqq 3\pi)$が4点で交わるとき、この直線と曲線で囲まれた3つの部分の面積の和が最小となるような直線の方程式を求めよ。
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$x$軸に平行な直線と曲線$y=\sin x~~(0\leqq x \leqq 3\pi)$が4点で交わるとき、この直線と曲線で囲まれた3つの部分の面積の和が最小となるような直線の方程式を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$1\leqq a\leqq e$とする。曲線$y=e^x-a$と$x$軸、$y$軸および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする。
(1) $S(a)$を求めよ。
(2) $S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ。
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$1\leqq a\leqq e$とする。曲線$y=e^x-a$と$x$軸、$y$軸および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする。
(1) $S(a)$を求めよ。
(2) $S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積12 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$\dfrac{\sqrt{x}}a+\dfrac{\sqrt{y}}b=1$は、直線$\dfrac x a+\dfrac y b=1$と$x$軸、$y$軸で囲まれた三角形を一定の面積の比に分割することを示せ。ただし、$a > 0,b > 0$とする。
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曲線$\dfrac{\sqrt{x}}a+\dfrac{\sqrt{y}}b=1$は、直線$\dfrac x a+\dfrac y b=1$と$x$軸、$y$軸で囲まれた三角形を一定の面積の比に分割することを示せ。ただし、$a > 0,b > 0$とする。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積11 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$y=ax^2$と$y=\log x$はただ1点を共有し、その点におけるそれぞれの接線は一致するものとする。
(1)定数$a$の値と共有点の座標を求めよ。
(2)この2つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
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曲線$y=ax^2$と$y=\log x$はただ1点を共有し、その点におけるそれぞれの接線は一致するものとする。
(1)定数$a$の値と共有点の座標を求めよ。
(2)この2つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x=\cos^4\theta,y=\sin^4\theta~~(0\leqq \theta \leqq \dfrac\pi2)$で表される曲線を$C$とし、曲線$C$の接線を$l$とする。曲線$C$と接線$l$、$x$軸で囲まれた部分の面積と、曲線$C$と接線$l$、$y$軸で囲まれた面積の和が$\frac{1}{24}$であるという。このとき、接線$l$の方程式を求めよ。
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$x=\cos^4\theta,y=\sin^4\theta~~(0\leqq \theta \leqq \dfrac\pi2)$で表される曲線を$C$とし、曲線$C$の接線を$l$とする。曲線$C$と接線$l$、$x$軸で囲まれた部分の面積と、曲線$C$と接線$l$、$y$軸で囲まれた面積の和が$\frac{1}{24}$であるという。このとき、接線$l$の方程式を求めよ。
福田のおもしろ数学449〜3次式が常に0以上となるxの範囲
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
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実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2025文系第1問〜関数の増減と接線の方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田のおもしろ数学447〜簡単な関数方程式を解こう
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$f(x)f(y)＝f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めて下さい。
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正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$f(x)f(y)＝f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜北海道大学2025理系第3問〜部分積分と極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田のおもしろ数学445〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$y^2f(x)=f\left(\dfrac{x}{y}\right)$を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めなさい。
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正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$y^2f(x)=f\left(\dfrac{x}{y}\right)$を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めなさい。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積8 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$x=\cos^3\theta,y=\sin^3\theta$で囲まれた部分の面積を求めよ。
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曲線$x=\cos^3\theta,y=\sin^3\theta$で囲まれた部分の面積を求めよ。