数Ⅲ
数Ⅲ
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x=\cos^4\theta,y=\sin^4\theta~~(0\leqq \theta \leqq \dfrac\pi2)$で表される曲線を$C$とし、曲線$C$の接線を$l$とする。曲線$C$と接線$l$、$x$軸で囲まれた部分の面積と、曲線$C$と接線$l$、$y$軸で囲まれた面積の和が$\frac{1}{24}$であるという。このとき、接線$l$の方程式を求めよ。
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$x=\cos^4\theta,y=\sin^4\theta~~(0\leqq \theta \leqq \dfrac\pi2)$で表される曲線を$C$とし、曲線$C$の接線を$l$とする。曲線$C$と接線$l$、$x$軸で囲まれた部分の面積と、曲線$C$と接線$l$、$y$軸で囲まれた面積の和が$\frac{1}{24}$であるという。このとき、接線$l$の方程式を求めよ。
福田のおもしろ数学449〜3次式が常に0以上となるxの範囲
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
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実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2025文系第1問〜関数の増減と接線の方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田のおもしろ数学447〜簡単な関数方程式を解こう
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$f(x)f(y)＝f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めて下さい。
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正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$f(x)f(y)＝f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜北海道大学2025理系第3問〜部分積分と極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田のおもしろ数学445〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$y^2f(x)=f\left(\dfrac{x}{y}\right)$を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めなさい。
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正の実数の集合を$R^{+}$と表す。
$f:R^{+}→R^{+}$が任意の$x,y \in R^{+}$に対し
$y^2f(x)=f\left(\dfrac{x}{y}\right)$を満たしている。
このような$f(x)$をすべて求めなさい。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積8 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$x=\cos^3\theta,y=\sin^3\theta$で囲まれた部分の面積を求めよ。
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曲線$x=\cos^3\theta,y=\sin^3\theta$で囲まれた部分の面積を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積7 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) $x=1-t^4,y=t-t^3~~(0\leqq t \leqq 1)$
(2) $x=t+\sin t,y=1-\cos t~~(0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
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次の曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) $x=1-t^4,y=t-t^3~~(0\leqq t \leqq 1)$
(2) $x=t+\sin t,y=1-\cos t~~(0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積5 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$5x^2+2xy+y^2=16$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
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曲線$5x^2+2xy+y^2=16$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
福田のおもしろ数学441〜ガウス記号を使って定義された数列の極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a_n=\dfrac{1}{n^2} \displaystyle \sum_{k=1}^n [\sqrt{2n^2-k^2}]$とするとき、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$を求めて下さい。
$[x]$は$x$を超えない最大の整数とする。
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$a_n=\dfrac{1}{n^2} \displaystyle \sum_{k=1}^n [\sqrt{2n^2-k^2}]$とするとき、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$を求めて下さい。
$[x]$は$x$を超えない最大の整数とする。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積9 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
座標平面上で、原点$\rm O$から曲線$y=\sin x$へ引いた接線の接点を${\rm T}(\alpha,\sin\alpha)$とする。ただし、$\pi < \alpha < \dfrac32\pi$とする。
(1)$\alpha$の満たす方程式を求めよ。
(2)曲線$y=\sin x$と線分$\rm OT$で囲まれた部分の面積$S$を、$\cos\alpha$で表せ。
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座標平面上で、原点$\rm O$から曲線$y=\sin x$へ引いた接線の接点を${\rm T}(\alpha,\sin\alpha)$とする。ただし、$\pi < \alpha < \dfrac32\pi$とする。
(1)$\alpha$の満たす方程式を求めよ。
(2)曲線$y=\sin x$と線分$\rm OT$で囲まれた部分の面積$S$を、$\cos\alpha$で表せ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積6 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2つの曲線$y=x^2,\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$と$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
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2つの曲線$y=x^2,\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$と$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積4 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
$x=\cos\theta$
$y=2\sin\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$
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次の曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
$x=\cos\theta$
$y=2\sin\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積3 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) y²=x²(1-x)
(2) |y+1|=x|x-3|
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次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) y²=x²(1-x)
(2) |y+1|=x|x-3|
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積2 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の楕円によって囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) 2x²+3y²=6
(2) 3x²+4y²=1
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次の楕円によって囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) 2x²+3y²=6
(2) 3x²+4y²=1
【数Ⅲ】【積分とその応用】面積1 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1)$y=xe^{1-x}$,$y=xe^{x-1}$
(2)$y=x^2$,$y=xe^{1-x}$
(3)$y=e^x$,$y=e^{3x}$,$y=e^{2-x}$
(4)$y=(x-e)logx$,$y=0$
(5)$y=sinx$,$y=sin2x(0 \leqq x \leqq 2π)$
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次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1)$y=xe^{1-x}$,$y=xe^{x-1}$
(2)$y=x^2$,$y=xe^{1-x}$
(3)$y=e^x$,$y=e^{3x}$,$y=e^{2-x}$
(4)$y=(x-e)logx$,$y=0$
(5)$y=sinx$,$y=sin2x(0 \leqq x \leqq 2π)$
福田のおもしろ数学438〜定積分の値の評価
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{2}{3} \lt \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \lt \dfrac{\pi}{4}$
を証明してください。
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$\dfrac{2}{3} \lt \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \lt \dfrac{\pi}{4}$
を証明してください。
福田のおもしろ数学437〜連立不等式の表す立体の体積
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \geqq 0,z \geqq 0 \quad \cdots ① \\
x+y \leqq 1 \qquad \cdots② \\\
z^2\leqq y-x \quad \cdots ③
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす点$(x,y,z)$の集合からなる
立体の体積を求めよ。
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \geqq 0,z \geqq 0 \quad \cdots ① \\
x+y \leqq 1 \qquad \cdots② \\\
z^2\leqq y-x \quad \cdots ③
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす点$(x,y,z)$の集合からなる
立体の体積を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分部分積分 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
定積分$\displaystyle \int_0^1x^2e^{2x}~dx$を求めよ。
定積分$\displaystyle \int_0^\frac\pi2(ax-\sin x)^2~dx$を最小にする実数$a$の値を求めよ。
定積分$\displaystyle I=\int_0^\frac\pi2e^{-3x}\sin x~dx$を求めよ。
自然数$n$について、$\displaystyle I_n=\int_1^e(\log x)^n~dx$とする。
(1) $I_1$を求めよ。
(2) $I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ。
(3) $I_4$を求めよ。
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定積分$\displaystyle \int_0^1x^2e^{2x}~dx$を求めよ。
定積分$\displaystyle \int_0^\frac\pi2(ax-\sin x)^2~dx$を最小にする実数$a$の値を求めよ。
定積分$\displaystyle I=\int_0^\frac\pi2e^{-3x}\sin x~dx$を求めよ。
自然数$n$について、$\displaystyle I_n=\int_1^e(\log x)^n~dx$とする。
(1) $I_1$を求めよ。
(2) $I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ。
(3) $I_4$を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+2)\sqrt{3x+4}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^4 \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}~dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}~dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^3 \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(5) $\displaystyle \int_{1}^2 \frac{dx}{e^x-1}$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{\frac\pi4} \frac{\sin^3x}{\cos^2x}~dx$
次の定積分を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。
(1) $\displaystyle \int_{0}^1 \sqrt{2x-x^2}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{\frac12} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{\frac a2} \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac32}}$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-2x+2}$
(5) $\displaystyle \int_{3}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+4}$
(6) $\displaystyle \int_{6}^{12} \frac{dx}{x^2-3x-10}$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$
(8) $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt3} \frac{2x+1}{x^2+1}~dx$
次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$
(2) $\displaystyle\int_{-a}^af(x)~dx=\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^af(x)~dx=\int_0^{\frac a 2}\{f(x)+f(a-x)\}~dx$
(4) $f(a+x)=f(a-x)$のとき$\displaystyle \int_{a-b}^{a+b}f(x)~dx=2\int_a^{a+b}f(x)~dx$
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次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+2)\sqrt{3x+4}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^4 \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}~dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}~dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^3 \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(5) $\displaystyle \int_{1}^2 \frac{dx}{e^x-1}$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{\frac\pi4} \frac{\sin^3x}{\cos^2x}~dx$
次の定積分を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。
(1) $\displaystyle \int_{0}^1 \sqrt{2x-x^2}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{\frac12} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{\frac a2} \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac32}}$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-2x+2}$
(5) $\displaystyle \int_{3}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+4}$
(6) $\displaystyle \int_{6}^{12} \frac{dx}{x^2-3x-10}$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$
(8) $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt3} \frac{2x+1}{x^2+1}~dx$
次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$
(2) $\displaystyle\int_{-a}^af(x)~dx=\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^af(x)~dx=\int_0^{\frac a 2}\{f(x)+f(a-x)\}~dx$
(4) $f(a+x)=f(a-x)$のとき$\displaystyle \int_{a-b}^{a+b}f(x)~dx=2\int_a^{a+b}f(x)~dx$
【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分、部分積分 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次を求めよ
(1) $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{e^{1-t}}~dt$
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\cos{2\theta}}{\sin \theta+\cos\theta}~d\theta$
(3) $\displaystyle\int_0^\pi \sin^4x~dx$
(4) $\displaystyle \int_1^2 \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x}~dx$
次を求めよ
(1) $\displaystyle \int_0^\pi |\cos2\theta|~d\theta$
(2) $\displaystyle \int_0^\pi|\sin x+\cos x|~dx$
$m,n$は正の整数とする。次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_0^\pi \cos mx\cos nx~dx$
(2) $\displaystyle \int_0^\pi \sin mx\sin nx~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^\pi \sin mx\cos nx~dx$
定積分$\displaystyle \int_0^\pi (1-a\sin x-b\sin2x)^2~dx$を最小にする定数$a,b$の値を求めよ。
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次を求めよ
(1) $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{e^{1-t}}~dt$
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\cos{2\theta}}{\sin \theta+\cos\theta}~d\theta$
(3) $\displaystyle\int_0^\pi \sin^4x~dx$
(4) $\displaystyle \int_1^2 \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x}~dx$
次を求めよ
(1) $\displaystyle \int_0^\pi |\cos2\theta|~d\theta$
(2) $\displaystyle \int_0^\pi|\sin x+\cos x|~dx$
$m,n$は正の整数とする。次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_0^\pi \cos mx\cos nx~dx$
(2) $\displaystyle \int_0^\pi \sin mx\sin nx~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^\pi \sin mx\cos nx~dx$
定積分$\displaystyle \int_0^\pi (1-a\sin x-b\sin2x)^2~dx$を最小にする定数$a,b$の値を求めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分3 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{\sqrt x}{\sqrt[4]{x^3}+1}~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(3) $\displaystyle \int \log|x^2-1|~dx$
(4) $\displaystyle \int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \tan^4x~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin{2x}}$
(3) $\displaystyle \int \frac{1}{1-\sin x}~dx$
(4) $\displaystyle \int (\sin^3x-\cos^3x)~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int e^x\cos x~dx$
(2) $\displaystyle \int e^{-x}\sin x~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \sin x\log(\cos x)~dx$
(2) $\displaystyle \int x\tan^2x~dx$
(3) $\displaystyle \int \frac{1}{1-e^x}~dx$
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次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{\sqrt x}{\sqrt[4]{x^3}+1}~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(3) $\displaystyle \int \log|x^2-1|~dx$
(4) $\displaystyle \int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \tan^4x~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin{2x}}$
(3) $\displaystyle \int \frac{1}{1-\sin x}~dx$
(4) $\displaystyle \int (\sin^3x-\cos^3x)~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int e^x\cos x~dx$
(2) $\displaystyle \int e^{-x}\sin x~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \sin x\log(\cos x)~dx$
(2) $\displaystyle \int x\tan^2x~dx$
(3) $\displaystyle \int \frac{1}{1-e^x}~dx$
【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分2 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{x^2+x+1}{x^2+1}~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{x^4}{x^2-1}~dx$
(1)次の等式が成り立つように、定数$a,b,c$の値を定めよ。
$\dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}$
(2)不定積分$\displaystyle \int \dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}~dx$を求めよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(x^2-1)}$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2(x+2)}$
(3) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$
(4) $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4}~dx$
(5) $\displaystyle \int \frac{3x+2}{x(x+1)^3}~dx$
(6) $\displaystyle \int \frac{x^4}{x^3-3x+2}~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt x}$
(2) $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{3x+4}-2}~dx$
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次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{x^2+x+1}{x^2+1}~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{x^4}{x^2-1}~dx$
(1)次の等式が成り立つように、定数$a,b,c$の値を定めよ。
$\dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}$
(2)不定積分$\displaystyle \int \dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}~dx$を求めよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(x^2-1)}$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2(x+2)}$
(3) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$
(4) $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4}~dx$
(5) $\displaystyle \int \frac{3x+2}{x(x+1)^3}~dx$
(6) $\displaystyle \int \frac{x^4}{x^3-3x+2}~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt x}$
(2) $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{3x+4}-2}~dx$
【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分1 ※問題文は概要欄
単元：
#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int x\sqrt[3]{1+x}~dx$
(2) $\displaystyle \int \sin x \cos^4x~dx$
(3) $\displaystyle \int \frac {dx}{\cos^4x}$
(4) $\displaystyle \int (2x+1)e^{x^2+x+5}~dx$
(5) $\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{(e^x+2)^2}~dx$
(6) $\displaystyle \int \frac{\log x}{x(\log x-1)^2}~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{x}{\cos^2x}~dx$
(2) $\displaystyle \int x\log(x-2)~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int x\log(x^2-2)~dx$
(2) $\displaystyle \int e^x\log(e^x+1)~dx$
不定積分$\displaystyle \int (\log x)^3~dx$を求めよ。
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次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int x\sqrt[3]{1+x}~dx$
(2) $\displaystyle \int \sin x \cos^4x~dx$
(3) $\displaystyle \int \frac {dx}{\cos^4x}$
(4) $\displaystyle \int (2x+1)e^{x^2+x+5}~dx$
(5) $\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{(e^x+2)^2}~dx$
(6) $\displaystyle \int \frac{\log x}{x(\log x-1)^2}~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{x}{\cos^2x}~dx$
(2) $\displaystyle \int x\log(x-2)~dx$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int x\log(x^2-2)~dx$
(2) $\displaystyle \int e^x\log(e^x+1)~dx$
不定積分$\displaystyle \int (\log x)^3~dx$を求めよ。
福田の数学〜京都大学2025理系第3問〜関数の増減と値域
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$e$は自然対数の底とする。
$x\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$において定義された次の関数
$f(x),g(x)$を考える。
$f(x)=x^2 \log x$
$g(x)=x^2\log x - \dfrac{1}{1+2\log x}$
実数$t$は$t\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$を満たすとする。
曲線$y=f(x)$上の店$(t,f(t))$における接線に垂直で、
点$(t,g(t))$を通る直線を$l_t$とする。
直線$l_t$が$x$軸と交わる点の$x$座標を$p(t)$とする。
$t$が$\dfrac{1}{\sqrt e} \lt t \leqq e$の範囲を動くとき、
$p(t)$の取りうる値の範囲を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$e$は自然対数の底とする。
$x\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$において定義された次の関数
$f(x),g(x)$を考える。
$f(x)=x^2 \log x$
$g(x)=x^2\log x - \dfrac{1}{1+2\log x}$
実数$t$は$t\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$を満たすとする。
曲線$y=f(x)$上の店$(t,f(t))$における接線に垂直で、
点$(t,g(t))$を通る直線を$l_t$とする。
直線$l_t$が$x$軸と交わる点の$x$座標を$p(t)$とする。
$t$が$\dfrac{1}{\sqrt e} \lt t \leqq e$の範囲を動くとき、
$p(t)$の取りうる値の範囲を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
福田の数学〜京都大学2025理系第1問(2−2)〜定積分の計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2-2)次の定積分の値を求めよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx$
$2025$年京都大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
(2-2)次の定積分の値を求めよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx$
$2025$年京都大学理系過去問題
福田のおもしろ数学429〜複雑な無理関数の最大値
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$xy+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$
$\qquad -\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
の最大値を求めよ。
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$xy+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$
$\qquad -\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
の最大値を求めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ5 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1.4次関数$y=f(x)$のグラフの2つの変曲点の座標は
$(-1,1),(1,8)$であり、点$(1,8)$における接線は
直線$y=x$に平行である。関数$f(x)$を求めよ。
2.$a$は定数とする。
曲線$y=(x^2+2x+a)e^x$の変曲点の個数を調べよ
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1.4次関数$y=f(x)$のグラフの2つの変曲点の座標は
$(-1,1),(1,8)$であり、点$(1,8)$における接線は
直線$y=x$に平行である。関数$f(x)$を求めよ。
2.$a$は定数とする。
曲線$y=(x^2+2x+a)e^x$の変曲点の個数を調べよ
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ4 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1.関数$y=-x^3+3x^2$のグラフはただ1つの変曲点をもち、
その点に関して対象であることを示せ。
2.関数$y=x^3+3ax^2+3bx+c$は$x=1$で極小となり、
点$(0,3)$はそのグラフの変曲点である。定数$a,b,c$の値を求めよ。
3.右の図は、関数$y=ax^3+bx^2+cx+d~~(0< x <5)$のグラフで、
$x=2$で極大、$x=4$で極小となり、点$(3,5)$は変曲点である。
定数$a,b,c,d$を求めずに、次のものを求めよ。
(1) $y' > 0$となる$x$の値の範囲
(2) $y'' > 0$となる$x$の値の範囲
(3) $y'$が最小となる$x$の値
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1.関数$y=-x^3+3x^2$のグラフはただ1つの変曲点をもち、
その点に関して対象であることを示せ。
2.関数$y=x^3+3ax^2+3bx+c$は$x=1$で極小となり、
点$(0,3)$はそのグラフの変曲点である。定数$a,b,c$の値を求めよ。
3.右の図は、関数$y=ax^3+bx^2+cx+d~~(0< x <5)$のグラフで、
$x=2$で極大、$x=4$で極小となり、点$(3,5)$は変曲点である。
定数$a,b,c,d$を求めずに、次のものを求めよ。
(1) $y' > 0$となる$x$の値の範囲
(2) $y'' > 0$となる$x$の値の範囲
(3) $y'$が最小となる$x$の値
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ3 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数$f(x)$について、$f'(0)=f''(0)=0$であることを示せ。
また、$f(x)$は$x=0$で極値をとるかどうかを調べよ。
(1) $f(x)=x^4$
(2) $f(x)=x^2\sin x$
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次の関数$f(x)$について、$f'(0)=f''(0)=0$であることを示せ。
また、$f(x)$は$x=0$で極値をとるかどうかを調べよ。
(1) $f(x)=x^4$
(2) $f(x)=x^2\sin x$