数学(高校生)
数学(高校生)
【数B】【確率分布と統計的な推測】推定 ※問題文は概要欄
単元：
#確率分布と統計的な推測#統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
ある町で、 1 つの政策に対する賛否を調べる世論調査を、任意に抽出した有権者 400 人に対して行ったところ、政策支持者は 216 人であった。この町の有権者 1 万人のうち、この政策の支持者は何人ぐらいいると推定されるか。95% の信頼度で推定せよ。
数千枚の答案の採点をした。信頼度 95% 、信頼区間の幅 4 点以下でその平均点を推定したいとすると、少なくとも何枚以上の答案を抜き出さなければならないか。また、信頼区間の幅 2 点以下で推定するとすればどうか。ただし、従来の経験で点数の標準偏差は 15 点としてよいことはわかっているものとする。
(1) 確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うとき、$P(|Z|≦\square)=0.99$ が成り立つ。 $\square$ に当てはまる最も適切な値を、次の$①〜④$のうちから1つ選べ。
$①1.75 ②1.96 ③2.33 ④2.58$
(2) ある試験を受けた高校生の中から、100 人を任意に選んだところ、平均点は 58.3 点であった。母標準偏差を 13.0 点として、母平均を信頼度 99% で推定せよ。
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ある町で、 1 つの政策に対する賛否を調べる世論調査を、任意に抽出した有権者 400 人に対して行ったところ、政策支持者は 216 人であった。この町の有権者 1 万人のうち、この政策の支持者は何人ぐらいいると推定されるか。95% の信頼度で推定せよ。
数千枚の答案の採点をした。信頼度 95% 、信頼区間の幅 4 点以下でその平均点を推定したいとすると、少なくとも何枚以上の答案を抜き出さなければならないか。また、信頼区間の幅 2 点以下で推定するとすればどうか。ただし、従来の経験で点数の標準偏差は 15 点としてよいことはわかっているものとする。
(1) 確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うとき、$P(|Z|≦\square)=0.99$ が成り立つ。 $\square$ に当てはまる最も適切な値を、次の$①〜④$のうちから1つ選べ。
$①1.75 ②1.96 ③2.33 ④2.58$
(2) ある試験を受けた高校生の中から、100 人を任意に選んだところ、平均点は 58.3 点であった。母標準偏差を 13.0 点として、母平均を信頼度 99% で推定せよ。
【数B】【確率分布と統計的な推測】母集団と標本 ※問題文は概要欄
単元：
#確率分布と統計的な推測#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1,1,2,3,3の数字を記入した5枚のカードが袋の中にある。これを母集団とし、無作為に大きさ2の標本$X_{1},X_{2}$を抽出する。
(1) 母集団分布と母平均を求めよ。
(2) 標本平均$\bar{X}$の確率分布を、復元抽出、非復元抽出の各場合について求めよ。
1,2,3,4,5の数字を書いた5枚のカードが袋の中にある。これを母集団とし、書かれた数字が奇数であるという特性をAとするとき、次の問いに答えよ。
(1) 特性Aの母比率を求めよ。
(2) この母集団から、大きさ1の無作為標本を抽出するとき、特性Aの標本比率の確率分布を求めよ。
(3) この母集団から、大きさ2の無作為標本を抽出するとき、復元抽出,非復元抽出の各場合について、特性Aの標本比率の確率分布を求めよ。
1枚の硬貨をn回投げて、表の出る回数をXとするとき、$|\frac{X}{n}-\frac{1}{2}|\leq0.01$となる確率が0.95以上になるためには、nをどのくらい大きくすればよいか。 100未満を切り上げて答えよ。
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1,1,2,3,3の数字を記入した5枚のカードが袋の中にある。これを母集団とし、無作為に大きさ2の標本$X_{1},X_{2}$を抽出する。
(1) 母集団分布と母平均を求めよ。
(2) 標本平均$\bar{X}$の確率分布を、復元抽出、非復元抽出の各場合について求めよ。
1,2,3,4,5の数字を書いた5枚のカードが袋の中にある。これを母集団とし、書かれた数字が奇数であるという特性をAとするとき、次の問いに答えよ。
(1) 特性Aの母比率を求めよ。
(2) この母集団から、大きさ1の無作為標本を抽出するとき、特性Aの標本比率の確率分布を求めよ。
(3) この母集団から、大きさ2の無作為標本を抽出するとき、復元抽出,非復元抽出の各場合について、特性Aの標本比率の確率分布を求めよ。
1枚の硬貨をn回投げて、表の出る回数をXとするとき、$|\frac{X}{n}-\frac{1}{2}|\leq0.01$となる確率が0.95以上になるためには、nをどのくらい大きくすればよいか。 100未満を切り上げて答えよ。
福田のおもしろ数学430〜整式を満たす整数解の性質
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
整数係数の整式$P(x)$に対して
$P(x)=1$と$P(x)＝3＄がともに整数解をもつとき、
$P(x)=2$
は異なる$2$つの整数解をもてるか？
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整数係数の整式$P(x)$に対して
$P(x)=1$と$P(x)＝3＄がともに整数解をもつとき、
$P(x)=2$
は異なる$2$つの整数解をもてるか？
福田の数学〜京都大学2025理系第1問(1)〜複素数の絶対値の取り得る値の最大最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$i$は虚数単位とする。
複素数$z$が、
絶対値が$2$である複素数全体を動くとき、
$\left \vert z-\dfrac{i}{z}\right \vert$
の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$i$は虚数単位とする。
複素数$z$が、
絶対値が$2$である複素数全体を動くとき、
$\left \vert z-\dfrac{i}{z}\right \vert$
の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係4 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のような三角形の面積を求めよ。
(1)3点(-1,1),(3,2),(1,4)を頂点とする三角形
(2)3直線$x-3y=-5,4x+3y=-5,2x-y=5$で作られる三角形
平面上の2点をA(1,1),B(2,3)とする。
点Pが放物線$y=x^{2}+4x+11$を動くとき、$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ。
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次のような三角形の面積を求めよ。
(1)3点(-1,1),(3,2),(1,4)を頂点とする三角形
(2)3直線$x-3y=-5,4x+3y=-5,2x-y=5$で作られる三角形
平面上の2点をA(1,1),B(2,3)とする。
点Pが放物線$y=x^{2}+4x+11$を動くとき、$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ。
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
問1
直線$y=2x$を$l$とするとき､次のものを求めよ｡
(1)$l$に関して､点$\rm A(5,0)$と対称な点Bの座標
(2) $l$に関して､直線$3x+y=15$と対称な直線の方程式
問２
$k$を定数とする｡直線$(k+2)x+(2k-3)y=5k-4$は$k$の値に関係なく定点を通る｡その定点の座標を求めよ｡
問３
$x-y=1,2x-3y=1,ax+by=1$が1点で交わらなければ､3点$(1,ｰ1),(2,ｰ3),(a,b)$は一直線上にあることを証明せよ｡
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問1
直線$y=2x$を$l$とするとき､次のものを求めよ｡
(1)$l$に関して､点$\rm A(5,0)$と対称な点Bの座標
(2) $l$に関して､直線$3x+y=15$と対称な直線の方程式
問２
$k$を定数とする｡直線$(k+2)x+(2k-3)y=5k-4$は$k$の値に関係なく定点を通る｡その定点の座標を求めよ｡
問３
$x-y=1,2x-3y=1,ax+by=1$が1点で交わらなければ､3点$(1,ｰ1),(2,ｰ3),(a,b)$は一直線上にあることを証明せよ｡
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$3x-2y+3=0,2x-4y+k=0,x-ky+5=0$が1点で交わるように､定数$k$の値を求めよ｡
$x+3y=2,x+y=0,ax+2y=-4$が三角形を作らないような定数$a$の値を求めよ｡
2直線$x-y+1=0,3x+2y-12=0$の交点を通り､次の条件を満たす直線の方程式を､それぞれ求めよ｡
(1)直線$5xｰ6yｰ8=0$に平行である｡
(2)直線$5xｰ6yｰ8=0$に垂直である｡
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$3x-2y+3=0,2x-4y+k=0,x-ky+5=0$が1点で交わるように､定数$k$の値を求めよ｡
$x+3y=2,x+y=0,ax+2y=-4$が三角形を作らないような定数$a$の値を求めよ｡
2直線$x-y+1=0,3x+2y-12=0$の交点を通り､次の条件を満たす直線の方程式を､それぞれ求めよ｡
(1)直線$5xｰ6yｰ8=0$に平行である｡
(2)直線$5xｰ6yｰ8=0$に垂直である｡
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形$\rm ABC$について次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し、その点の座標を求めよ。
(1) 各辺の垂直二等分線
(2) 各頂点から対辺に下した垂線
$x+ay+1=0, ax+(a+2)y+3=0$ が次の条件を満たすとき定数$a$の値をそれぞれ求めよ。
(1) 平行である
(2) 垂直である
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三角形$\rm ABC$について次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し、その点の座標を求めよ。
(1) 各辺の垂直二等分線
(2) 各頂点から対辺に下した垂線
$x+ay+1=0, ax+(a+2)y+3=0$ が次の条件を満たすとき定数$a$の値をそれぞれ求めよ。
(1) 平行である
(2) 垂直である
【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分の利用 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
3点$(2,-2),(-1,1),\rm C$を頂点とする三角形が正三角形になるとき、点$\rm C$の座標を求めよ。
3点$(3,5),(2,-2),-(6,2)$から等距離にある点の座標を求めよ。
(1) 4点$\rm A(-2,3),B(5,4),C(-3,1),D$を頂点とする平行四辺形$\rm ABCD$ がある。対角線$\rm AC,BD$の交点及び、頂点$\rm D$の座標を求めよ。
(2) 4点$\rm A(-2,3),B(5,4),C(-3,1),D$を頂点とする平行四辺形について、頂点$\rm D$となりうる点の座標をすべて答えよ。
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3点$(2,-2),(-1,1),\rm C$を頂点とする三角形が正三角形になるとき、点$\rm C$の座標を求めよ。
3点$(3,5),(2,-2),-(6,2)$から等距離にある点の座標を求めよ。
(1) 4点$\rm A(-2,3),B(5,4),C(-3,1),D$を頂点とする平行四辺形$\rm ABCD$ がある。対角線$\rm AC,BD$の交点及び、頂点$\rm D$の座標を求めよ。
(2) 4点$\rm A(-2,3),B(5,4),C(-3,1),D$を頂点とする平行四辺形について、頂点$\rm D$となりうる点の座標をすべて答えよ。
【数Ⅱ】【図形と方程式】内分と外分の基本、点と直線 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2点$\rm A(-5),B(11)$に対して、線分$\rm AB$を$5:3$に内分する点を$\rm P$、$7:11$に外分する点を$\rm Q$とする。線分$\rm PQ$の中点の座標を求めよ。
次の3点が一直線上にあるとき、$t$の値を求めよ。
(1) $(-2,6),(0,3),(4,t)$
(2) $(1,4),(-1,t),(t,2)$
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2点$\rm A(-5),B(11)$に対して、線分$\rm AB$を$5:3$に内分する点を$\rm P$、$7:11$に外分する点を$\rm Q$とする。線分$\rm PQ$の中点の座標を求めよ。
次の3点が一直線上にあるとき、$t$の値を求めよ。
(1) $(-2,6),(0,3),(4,t)$
(2) $(1,4),(-1,t),(t,2)$
【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分重心 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形の各辺の中点の座標を$(-1,-1),(-0,-1),(2,-2)$であるとき、この三角形の3つの頂点の座標を求めよ。
$\triangle \rm ABC$の重心を$\rm G$とするとき、次の等式を証明せよ。$\rm AB^2＋AC^2＝BG^2＋CG^2＋４AG^2$
$\triangle \rm ABC$において辺$\rm AB,BC,CA$を$3:2$に内分する点を、それぞれ$\rm D,E,F$とするとき、$\triangle \rm ABC$と$\triangle \rm DEF$の重心は一致することを証明せよ。
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三角形の各辺の中点の座標を$(-1,-1),(-0,-1),(2,-2)$であるとき、この三角形の3つの頂点の座標を求めよ。
$\triangle \rm ABC$の重心を$\rm G$とするとき、次の等式を証明せよ。$\rm AB^2＋AC^2＝BG^2＋CG^2＋４AG^2$
$\triangle \rm ABC$において辺$\rm AB,BC,CA$を$3:2$に内分する点を、それぞれ$\rm D,E,F$とするとき、$\triangle \rm ABC$と$\triangle \rm DEF$の重心は一致することを証明せよ。
【高校数学】東京大学2025年度理系数学第2問 積分と極限の問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
■【東京大学 2025】
(1)$x＞1$のとき、不等式$logx≦x-1$を示せ。
(2)次の極限を求めよ。
$\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\displaystyle \int_1^2log\displaystyle(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})dx$
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■【東京大学 2025】
(1)$x＞1$のとき、不等式$logx≦x-1$を示せ。
(2)次の極限を求めよ。
$\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\displaystyle \int_1^2log\displaystyle(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})dx$
福田のおもしろ数学429〜複雑な無理関数の最大値
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$xy+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$
$\qquad -\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
の最大値を求めよ。
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$xy+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$
$\qquad -\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
の最大値を求めよ。
福田の数学〜東京大学2025文系第4問〜放物線で囲まれた面積の最大値
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$a$は実数とする。
座標平面において、次の連立不等式の表す領域の
面積を$S(a)$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2+2 \\
y \geqq \vert x^2+a \vert \\\
-1 \leqq x \leqq 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$a$が$ 2\leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき、
$S(a)$の最大値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問
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$\boxed{4}$
$a$は実数とする。
座標平面において、次の連立不等式の表す領域の
面積を$S(a)$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2+2 \\
y \geqq \vert x^2+a \vert \\\
-1 \leqq x \leqq 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$a$が$ 2\leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき、
$S(a)$の最大値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問
【数A】【場合の数と確率】期待値、このゲームは得？損？ ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
白玉2個、黒玉5個、赤玉3個が入っている袋から玉を1個取り出し、白玉が出たら1000円、黒玉が出たら100円もらえ、赤玉が出たら800円を支払うゲームがある。ゲームの参加料が0円であるとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。
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白玉2個、黒玉5個、赤玉3個が入っている袋から玉を1個取り出し、白玉が出たら1000円、黒玉が出たら100円もらえ、赤玉が出たら800円を支払うゲームがある。ゲームの参加料が0円であるとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。
【数A】【場合の数と確率】コインを投げたときの得点の期待値 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出たら100点、2枚出たら50点を獲得し、1枚のときは60点を、1枚も出ていないときは70点を失うものとする。1回硬貨を投げるときの得点の期待値を求めよ。
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3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出たら100点、2枚出たら50点を獲得し、1枚のときは60点を、1枚も出ていないときは70点を失うものとする。1回硬貨を投げるときの得点の期待値を求めよ。
【数A】【場合の数と確率】さいころ2個の目の積の期待値 ※問題文は概要欄
【数A】【場合の数と確率】条件付き確率、帽子を忘れてくる確率 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月A、B、C3軒を順に年始回りをして家に帰ったところ、帽子を忘れてきたことに気がついた。2番目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。
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5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月A、B、C3軒を順に年始回りをして家に帰ったところ、帽子を忘れてきたことに気がついた。2番目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。
【数A】【場合の数と確率】条件付き確率、原因の確率 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
ある電器店が、A社、B社、C社から同じ製品を仕入れた。A社、B社、C社から仕入れた比率は4:3:2であり、製品が不良品である比率はそれぞれ3%、4%、5%であるという。いま、大量にある3社の製品をよく混ぜ、その中から1個抜き取って調べたところ、不良品であった。これがA社から仕入れたものである確率を求めよ。
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ある電器店が、A社、B社、C社から同じ製品を仕入れた。A社、B社、C社から仕入れた比率は4:3:2であり、製品が不良品である比率はそれぞれ3%、4%、5%であるという。いま、大量にある3社の製品をよく混ぜ、その中から1個抜き取って調べたところ、不良品であった。これがA社から仕入れたものである確率を求めよ。
【数A】【場合の数と確率】条件付き確率2 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
Aの袋には白玉3個と赤玉2個、Bの袋には白玉2個と赤玉3個、Cの袋には白玉1個と赤玉4個が入っている。1個のさいころを投げて1の目が出たらAの袋を、2,3の目が出たらBの袋を、4～6の目が出たらCの袋を選び、1個の玉を取り出すものとする。取り出された玉が白玉であったとき、それがCの袋から取り出された玉である確率を求めよ。
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Aの袋には白玉3個と赤玉2個、Bの袋には白玉2個と赤玉3個、Cの袋には白玉1個と赤玉4個が入っている。1個のさいころを投げて1の目が出たらAの袋を、2,3の目が出たらBの袋を、4～6の目が出たらCの袋を選び、1個の玉を取り出すものとする。取り出された玉が白玉であったとき、それがCの袋から取り出された玉である確率を求めよ。
【数A】【場合の数と確率】条件付き確率1 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
ジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出す。2枚のうちの少なくとも1枚はハートであることがわかっているとき、残りの1枚もハートである確率を求めよ。
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ジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出す。2枚のうちの少なくとも1枚はハートであることがわかっているとき、残りの1枚もハートである確率を求めよ。
【数A】【場合の数と確率】確率の乗法定理 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
箱Aには赤玉3個と白玉2個、箱Bには赤玉と白玉2個ずつ入っている。
(1)箱Aから玉を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を1個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。
(2)箱Aから玉を2個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を2個同時に取り出すとき、それらが2個とも赤玉である確率を求めよ。
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箱Aには赤玉3個と白玉2個、箱Bには赤玉と白玉2個ずつ入っている。
(1)箱Aから玉を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を1個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。
(2)箱Aから玉を2個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を2個同時に取り出すとき、それらが2個とも赤玉である確率を求めよ。
【数A】【場合の数と確率】確率の条件から未知数の決定 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1つのつぼに赤玉と白玉が合計10個入っている。このつぼから1個の玉を取り出し、それをつぼに戻さずにまた1個の玉を取り出す。このとき、取り出される2個の玉がともに赤玉である確率は7/15であるという。このつぼに初め赤玉は何個入っているか。
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1つのつぼに赤玉と白玉が合計10個入っている。このつぼから1個の玉を取り出し、それをつぼに戻さずにまた1個の玉を取り出す。このとき、取り出される2個の玉がともに赤玉である確率は7/15であるという。このつぼに初め赤玉は何個入っているか。
福田のおもしろ数学428〜√n+1-√n-1が有理数になるような整数nが存在するかどうかを考える
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$が有理数となる
整数$n$は存在するか？
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$\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$が有理数となる
整数$n$は存在するか？
福田の数学〜東京大学2025文系第3問〜確率漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
白玉$2$個が横に並んでいる。
投げたとき表と裏の出る確率が
それぞれ$\dfrac{1}{2}$のコインを用いて、
次の手順 (＊) をくり返し、
白玉または黒玉を横一列に並べていく。
手順(＊)
$\quad$コインを投げ、
$\quad$表が出たら白玉、裏が出たら黒玉を、
$\quad$それまでに並べられている一番右にある玉の
$\quad$右隣におく。
$\quad$そして、新しくおいた玉の色が
$\quad$その$1$つ左の玉の色と異なり、
$\quad$かつ$2$つ左の玉の色と一致するときには、
$\quad$新しくおいた玉の$1$つ左の玉を新しくおいた玉と
$\quad$同じ色の玉にとりかえる。
例えば、手順(＊)を$2$回行いコインが裏、表の順に
出た場合には、白玉が$4$つ並ぶ。
正の整数$n$に対して、手順(＊)を$n$回行った時点での
$(n + 2)$個の玉の並び方を考える。
(1)$n = 3$のとき、
右から$2$番目の玉が白玉である確率を求めよ。
(2)$n$を正の整数とする。
右から$2$番目の玉が白玉である確率を求めよ。
(3)$n$を正の整数とする。
右から$1$番目と$2$番目の玉がともに白玉である確率を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
白玉$2$個が横に並んでいる。
投げたとき表と裏の出る確率が
それぞれ$\dfrac{1}{2}$のコインを用いて、
次の手順 (＊) をくり返し、
白玉または黒玉を横一列に並べていく。
手順(＊)
$\quad$コインを投げ、
$\quad$表が出たら白玉、裏が出たら黒玉を、
$\quad$それまでに並べられている一番右にある玉の
$\quad$右隣におく。
$\quad$そして、新しくおいた玉の色が
$\quad$その$1$つ左の玉の色と異なり、
$\quad$かつ$2$つ左の玉の色と一致するときには、
$\quad$新しくおいた玉の$1$つ左の玉を新しくおいた玉と
$\quad$同じ色の玉にとりかえる。
例えば、手順(＊)を$2$回行いコインが裏、表の順に
出た場合には、白玉が$4$つ並ぶ。
正の整数$n$に対して、手順(＊)を$n$回行った時点での
$(n + 2)$個の玉の並び方を考える。
(1)$n = 3$のとき、
右から$2$番目の玉が白玉である確率を求めよ。
(2)$n$を正の整数とする。
右から$2$番目の玉が白玉である確率を求めよ。
(3)$n$を正の整数とする。
右から$1$番目と$2$番目の玉がともに白玉である確率を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問題
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ5 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1.4次関数$y=f(x)$のグラフの2つの変曲点の座標は
$(-1,1),(1,8)$であり、点$(1,8)$における接線は
直線$y=x$に平行である。関数$f(x)$を求めよ。
2.$a$は定数とする。
曲線$y=(x^2+2x+a)e^x$の変曲点の個数を調べよ
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1.4次関数$y=f(x)$のグラフの2つの変曲点の座標は
$(-1,1),(1,8)$であり、点$(1,8)$における接線は
直線$y=x$に平行である。関数$f(x)$を求めよ。
2.$a$は定数とする。
曲線$y=(x^2+2x+a)e^x$の変曲点の個数を調べよ
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ4 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1.関数$y=-x^3+3x^2$のグラフはただ1つの変曲点をもち、
その点に関して対象であることを示せ。
2.関数$y=x^3+3ax^2+3bx+c$は$x=1$で極小となり、
点$(0,3)$はそのグラフの変曲点である。定数$a,b,c$の値を求めよ。
3.右の図は、関数$y=ax^3+bx^2+cx+d~~(0< x <5)$のグラフで、
$x=2$で極大、$x=4$で極小となり、点$(3,5)$は変曲点である。
定数$a,b,c,d$を求めずに、次のものを求めよ。
(1) $y' > 0$となる$x$の値の範囲
(2) $y'' > 0$となる$x$の値の範囲
(3) $y'$が最小となる$x$の値
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1.関数$y=-x^3+3x^2$のグラフはただ1つの変曲点をもち、
その点に関して対象であることを示せ。
2.関数$y=x^3+3ax^2+3bx+c$は$x=1$で極小となり、
点$(0,3)$はそのグラフの変曲点である。定数$a,b,c$の値を求めよ。
3.右の図は、関数$y=ax^3+bx^2+cx+d~~(0< x <5)$のグラフで、
$x=2$で極大、$x=4$で極小となり、点$(3,5)$は変曲点である。
定数$a,b,c,d$を求めずに、次のものを求めよ。
(1) $y' > 0$となる$x$の値の範囲
(2) $y'' > 0$となる$x$の値の範囲
(3) $y'$が最小となる$x$の値
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ3 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数$f(x)$について、$f'(0)=f''(0)=0$であることを示せ。
また、$f(x)$は$x=0$で極値をとるかどうかを調べよ。
(1) $f(x)=x^4$
(2) $f(x)=x^2\sin x$
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次の関数$f(x)$について、$f'(0)=f''(0)=0$であることを示せ。
また、$f(x)$は$x=0$で極値をとるかどうかを調べよ。
(1) $f(x)=x^4$
(2) $f(x)=x^2\sin x$
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ2 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフの概形をかけ。
(1) $y=\dfrac{x^3}{x^2-4}$
(2) $y=x+\sqrt{1-x^2}$
(3) $y=x\sqrt{1-x^2}$
(4) $y=e^{\frac1x}$
(5) $y=e^{-x}\cos x\quad (0\leqq x \leqq 2\pi)$
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次の関数のグラフの概形をかけ。
(1) $y=\dfrac{x^3}{x^2-4}$
(2) $y=x+\sqrt{1-x^2}$
(3) $y=x\sqrt{1-x^2}$
(4) $y=e^{\frac1x}$
(5) $y=e^{-x}\cos x\quad (0\leqq x \leqq 2\pi)$
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ1 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
(1) $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
(2) $y=2x+\sqrt{x^2-1}$
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次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
(1) $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
(2) $y=2x+\sqrt{x^2-1}$