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福田の数学〜北里大学2024医学部第1問(1)〜三角関数の最大最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
2つの実数x,yは$x^2+y^2 \leqq 4,x \geqq 0 $を満たすとする。このとき、$3x+4y-3$の最小値は$\boxed{ ア }$、最大値は$\boxed{ イ }$である。また、$3x^2+4xy-3y^2$の最大値は$\boxed{ ウ }$である。
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2つの実数x,yは$x^2+y^2 \leqq 4,x \geqq 0 $を満たすとする。このとき、$3x+4y-3$の最小値は$\boxed{ ア }$、最大値は$\boxed{ イ }$である。また、$3x^2+4xy-3y^2$の最大値は$\boxed{ ウ }$である。
福田のおもしろ数学312〜三角形の内角と辺の長さに成り立つ不等式の証明
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\triangle $ABCにおいて$60 \leqq \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \lt 90$が成り立つことを証明してください。ただし、A,B,Cは度数法で表されているものとする。
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$\triangle $ABCにおいて$60 \leqq \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \lt 90$が成り立つことを証明してください。ただし、A,B,Cは度数法で表されているものとする。
福田の数学〜早稲田大学2024社会科学部第3問〜集合と数列
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$n$を$n \geqq 3$である自然数とする。相異なる$n$個の正の数を小さい順に並べた集合$S=${ $a_{ 1 },a_{ 2 }・・・,a_{ n } $}を考える。$a_{ 1 }=k$とするとき、次の問いに答えよ。
(1)$a_{ i }-a_{ 1 }$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ 2 }$を求めよ。
(2)(1)のとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
(3)$\frac{a_{ i }}{a_{ 1 }}$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
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$n$を$n \geqq 3$である自然数とする。相異なる$n$個の正の数を小さい順に並べた集合$S=${ $a_{ 1 },a_{ 2 }・・・,a_{ n } $}を考える。$a_{ 1 }=k$とするとき、次の問いに答えよ。
(1)$a_{ i }-a_{ 1 }$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ 2 }$を求めよ。
(2)(1)のとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
(3)$\frac{a_{ i }}{a_{ 1 }}$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
福田のおもしろ数学311〜n個の積の和を最大にする方法
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$n$個の実数 $a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$と$n$個の実数を適当に並べたものを$b_1, b_2, \cdots ,b_n $ として、$s = a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n $を最大にするには$b_1 \leqq b_2 \leqq \cdots \leqq b_n $となるように並べたときである。これを証明して下さい。(ただし、$n\geqq 2$とする)
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$n$個の実数 $a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$と$n$個の実数を適当に並べたものを$b_1, b_2, \cdots ,b_n $ として、$s = a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n $を最大にするには$b_1 \leqq b_2 \leqq \cdots \leqq b_n $となるように並べたときである。これを証明して下さい。(ただし、$n\geqq 2$とする)
福田の数学〜早稲田大学2024社会科学部第2問〜三角形の内心と垂心の位置ベクトル
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
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問題文全文(内容文)：
$
\begin{eqnarray}
\fcolorbox{black}{ white }{$2$}OA = 6, \,OB = 5,\,AB=7である\triangle OABにおいて、\vec{a} \ = \ \vec{OA} , \ \vec{b} \ = \ \vec{OB}とおく。
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
(1)\triangle OABの内心を1、辺ABと直線OIの交点をCとする。\vec{OC}を\vec{a}, \ \vec{b}で表せ。
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
(1) \vec{OI}を \vec{a}, \ \vec{b}で表せ。
\end{eqnarray}
$
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$
\begin{eqnarray}
\fcolorbox{black}{ white }{$2$}OA = 6, \,OB = 5,\,AB=7である\triangle OABにおいて、\vec{a} \ = \ \vec{OA} , \ \vec{b} \ = \ \vec{OB}とおく。
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
(1)\triangle OABの内心を1、辺ABと直線OIの交点をCとする。\vec{OC}を\vec{a}, \ \vec{b}で表せ。
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
(1) \vec{OI}を \vec{a}, \ \vec{b}で表せ。
\end{eqnarray}
$
福田のおもしろ数学310〜累乗で表された数の大小比較
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$$\left( \left( 3 \right)^3 \right)^4,\left( \left( 3 \right)^4 \right)^3,\left( \left( 3 \right)^4\right)^4,\left( \left( 4\right)^3 \right)^3,\left( \left( 4 \right)^3 \right)^4を昇順に直してください。ただし、a^{ b^c}=a^{ (b^c)}とする。$$
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$$\left( \left( 3 \right)^3 \right)^4,\left( \left( 3 \right)^4 \right)^3,\left( \left( 3 \right)^4\right)^4,\left( \left( 4\right)^3 \right)^3,\left( \left( 4 \right)^3 \right)^4を昇順に直してください。ただし、a^{ b^c}=a^{ (b^c)}とする。$$
福田の数学〜早稲田大学2024社会科学部第1問〜領域における最大最小
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$$連立不等式
y≦-\frac{2}{3}x+4, y≧x-1,x≧0,y≧0
の表す領域をDとする。点(x,y)が領域Dを動くとき、次の問いに答えよ。
$$(1)領域Dを座標平面上に図示せよ。$$
$$(2)-2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(3)2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(4)aがすべての実数を動くとき、ax+yの最大値をaで分類せよ。$$
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$$連立不等式
y≦-\frac{2}{3}x+4, y≧x-1,x≧0,y≧0
の表す領域をDとする。点(x,y)が領域Dを動くとき、次の問いに答えよ。
$$(1)領域Dを座標平面上に図示せよ。$$
$$(2)-2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(3)2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(4)aがすべての実数を動くとき、ax+yの最大値をaで分類せよ。$$
福田のおもしろ数学309〜自然数から自然数への関数f(n)に関する関数方程式
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$$自然数を自然数へ写す関数f(n)が次を満たす。$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}$$
$$このような関数f(n)をすべて求めて下さい。$$
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$$自然数を自然数へ写す関数f(n)が次を満たす。$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}$$
$$このような関数f(n)をすべて求めて下さい。$$
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第3問〜空間の中の2つの三角形の面積の和の最小値
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
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問題文全文(内容文)：
3 座標空間において、4点をA(0, 0, 2), B(-1, 0, 4), C(1, 1, 0), D(0, 0, 1) とする。次の問いに答えよ。
(1) Pを直線AB上の点とするとき、三角形PCDの面積の最小値を求めよ。
(2) Q,Rを直線 CD上のとし、QR = √3とする。三角形QABの面積と三角形 RAB の面積の和の最小値を求めよ。
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3 座標空間において、4点をA(0, 0, 2), B(-1, 0, 4), C(1, 1, 0), D(0, 0, 1) とする。次の問いに答えよ。
(1) Pを直線AB上の点とするとき、三角形PCDの面積の最小値を求めよ。
(2) Q,Rを直線 CD上のとし、QR = √3とする。三角形QABの面積と三角形 RAB の面積の和の最小値を求めよ。
福田のおもしろ数学308〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$x^2+xy+y^2 = (\dfrac{x+y}{3}+1)^3$を満たす整数x、yをすべて求めて下さい。
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$x^2+xy+y^2 = (\dfrac{x+y}{3}+1)^3$を満たす整数x、yをすべて求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第2問〜正24角形の頂点を結んでできる四角形の面積と確率
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#三角関数#加法定理とその応用#早稲田大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
座標平面において、単位円上の24個の点を${\textrm P}_n(\cos\dfrac{n}{12}\pi,\sin\dfrac{n}{12}\pi)~(n=1,2,3,\cdots,24)$とする。1から24までの番号を付けた24枚のカードから4枚取り出す。取り出したカードの番号を$a,b,c,d$とするとき、点${\textrm P}_a,{\textrm P}_b,{\textrm P}_c,{\textrm P}_d$を頂点とする四角形を$R$とする。四角形$R$の面積の取りうる値を大きい順に$S_1,S_2,S_3$とする。
(1)$S_2$を求めよ。
(2)四角形$R$の面積が$S_3$になる確率を求めよ。
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座標平面において、単位円上の24個の点を${\textrm P}_n(\cos\dfrac{n}{12}\pi,\sin\dfrac{n}{12}\pi)~(n=1,2,3,\cdots,24)$とする。1から24までの番号を付けた24枚のカードから4枚取り出す。取り出したカードの番号を$a,b,c,d$とするとき、点${\textrm P}_a,{\textrm P}_b,{\textrm P}_c,{\textrm P}_d$を頂点とする四角形を$R$とする。四角形$R$の面積の取りうる値を大きい順に$S_1,S_2,S_3$とする。
(1)$S_2$を求めよ。
(2)四角形$R$の面積が$S_3$になる確率を求めよ。
福田のおもしろ数学307〜不等式の証明エレガントに証明しよう
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#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$a\geqq 1,b\geqq 1$のとき、$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\leqq \sqrt{ab}$であることを示して下さい。
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$a\geqq 1,b\geqq 1$のとき、$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\leqq \sqrt{ab}$であることを示して下さい。
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第1問(4)〜放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
座標平面において、放物線$y=x^2$を$C$とする。点$P(s,t)$から放物線$C$に異なる2本の接線が引け、その接点をそれぞれ$A,B$とする。線分$PA,PB$と放物線$C$で囲まれた図形の面積が$\displaystyle\frac{144}{125}$であるとき$s,t$の満たす方程式は？
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座標平面において、放物線$y=x^2$を$C$とする。点$P(s,t)$から放物線$C$に異なる2本の接線が引け、その接点をそれぞれ$A,B$とする。線分$PA,PB$と放物線$C$で囲まれた図形の面積が$\displaystyle\frac{144}{125}$であるとき$s,t$の満たす方程式は？
福田のおもしろ数学306〜5次方程式の5つの解がすべて実数にはなれない条件
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#数Ⅱ#式と証明#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
実数係数の5次方程式
$z^5+az^4+bz^3+cz^2+dz+e=0$
について$2a^2\lt 5b$のときはすべての解が実数にはなれないことを示してください。
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実数係数の5次方程式
$z^5+az^4+bz^3+cz^2+dz+e=0$
について$2a^2\lt 5b$のときはすべての解が実数にはなれないことを示してください。
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第1問(3)〜漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$C$を$1$でない正の実数とする。正の実数の数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=C,$${a_n}^{n+1}{a_{n+1}}^n=C^{-(2n+1)}$
このとき、一般項$a_n$を$C$を用いて表せ。
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$C$を$1$でない正の実数とする。正の実数の数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている。
$a_1=C,$${a_n}^{n+1}{a_{n+1}}^n=C^{-(2n+1)}$
このとき、一般項$a_n$を$C$を用いて表せ。
福田のおもしろ数学305〜四角形に内接する円の半径
単元：
#数Ⅰ#数A#図形の性質#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
図は動画参照
$AP=19,BP=26,CQ=37,DQ=23$
内接円の半径は？
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図は動画参照
$AP=19,BP=26,CQ=37,DQ=23$
内接円の半径は？
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第1問(2)〜不等式で決定される自然数の列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$n$を$2$以上の整数とし、$a_1,a_2,a_3,・・・,a_n$を正の整数とする。
$a_1=1,{a_{i+3}}^3\lt 27{a_i}^4(i=1,2,3,・・・,n-1)$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}=\frac{a_1}{a_{2}}+\frac{a_2}{a_{3}}+\frac{a_3}{a_{4}}+・・・+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\lt 1$
であるとき、$a_n$のとりうる値の最大値は？
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$n$を$2$以上の整数とし、$a_1,a_2,a_3,・・・,a_n$を正の整数とする。
$a_1=1,{a_{i+3}}^3\lt 27{a_i}^4(i=1,2,3,・・・,n-1)$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}=\frac{a_1}{a_{2}}+\frac{a_2}{a_{3}}+\frac{a_3}{a_{4}}+・・・+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\lt 1$
であるとき、$a_n$のとりうる値の最大値は？
福田のおもしろ数学304〜複素数の実部の最大値
単元：
#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C
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問題文全文(内容文)：
複素数 $z$ が $|z|=4$ を満たすとき $\displaystyle (75+117i) z + \frac{96 + 144i}{z}$ の実部の最大値を求めよ。
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複素数 $z$ が $|z|=4$ を満たすとき $\displaystyle (75+117i) z + \frac{96 + 144i}{z}$ の実部の最大値を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2024商学部第1問(1)〜絶対値の付いた式の不等式を解く
単元：
#数Ⅰ#数と式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
不等式 $\displaystyle |\frac{2024n}{1 - 46n} + 44| < \frac{1}{2025}$ を満たす正の整数 $n$ の最小値を求めよ。
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不等式 $\displaystyle |\frac{2024n}{1 - 46n} + 44| < \frac{1}{2025}$ を満たす正の整数 $n$ の最小値を求めよ。
福田のおもしろ数学303〜階乗のたくさんある分数の和
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{1}{2! 17!} $$\displaystyle + \frac{1}{3! 16!} $$\displaystyle + \frac{1}{4! 15!}$$+ \cdots $$\displaystyle + \frac{1}{9! 10!} $$\displaystyle = \frac{N}{1! 18!}$ を満たす $N$ を求めよ。
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$\displaystyle \frac{1}{2! 17!} $$\displaystyle + \frac{1}{3! 16!} $$\displaystyle + \frac{1}{4! 15!}$$+ \cdots $$\displaystyle + \frac{1}{9! 10!} $$\displaystyle = \frac{N}{1! 18!}$ を満たす $N$ を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2024教育学部第4問〜媒介変数表示で表された曲線の対称性と面積体積の計算
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
$xy$ 平面上の原点 $\mathrm{O}$ を中心とする単位円を考える。この円周上に点 $\mathrm{P}$ をとり、 $\mathrm{O}$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする点 $\mathrm{P}$ の偏角を $\theta$ とする。さらに、偏角が $3 \theta$ となる点 $\mathrm{Q}$ をこの円周上にとる。点 $\mathrm{P}$ を通る $x$ 軸に垂直な直線と点 $\mathrm{Q}$ を通る $y$ 軸に垂直な直線の交点を $\mathrm{R}$ とする。次の問いに答えよ。
$(1)$ $\theta$ が $0$ から $2 \pi$ まで変化するとき、点 $\mathrm{R}$ の軌跡の概形をかけ。
$(2)$ $(1)$ の点 $\mathrm{R}$ の軌跡によって囲まれた部分の面積を求めよ。
$(3)$ $(1)$ の点 $\mathrm{R}$ の軌跡によって囲まれた部分を、 $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ。
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$xy$ 平面上の原点 $\mathrm{O}$ を中心とする単位円を考える。この円周上に点 $\mathrm{P}$ をとり、 $\mathrm{O}$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする点 $\mathrm{P}$ の偏角を $\theta$ とする。さらに、偏角が $3 \theta$ となる点 $\mathrm{Q}$ をこの円周上にとる。点 $\mathrm{P}$ を通る $x$ 軸に垂直な直線と点 $\mathrm{Q}$ を通る $y$ 軸に垂直な直線の交点を $\mathrm{R}$ とする。次の問いに答えよ。
$(1)$ $\theta$ が $0$ から $2 \pi$ まで変化するとき、点 $\mathrm{R}$ の軌跡の概形をかけ。
$(2)$ $(1)$ の点 $\mathrm{R}$ の軌跡によって囲まれた部分の面積を求めよ。
$(3)$ $(1)$ の点 $\mathrm{R}$ の軌跡によって囲まれた部分を、 $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ。
福田のおもしろ数学302〜ベルトランの仮説を利用したn!の約数に関する性質
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$n$を3以上の整数とし、$n!$の正の約数を小さい方から$1=d_1\lt d_2\lt \cdots \lt d_k = n!$とする。$d_2-d_1\leqq d_3-d_2 \leqq \cdots \leqq d_k-d_{k-1}$が成り立つような$n$をすべて求めよ。
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$n$を3以上の整数とし、$n!$の正の約数を小さい方から$1=d_1\lt d_2\lt \cdots \lt d_k = n!$とする。$d_2-d_1\leqq d_3-d_2 \leqq \cdots \leqq d_k-d_{k-1}$が成り立つような$n$をすべて求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2024教育学部第3問〜法線上の点の座標と最小値
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
放物線 $C : y = x ^ 2$ 上に点$P(t, t²)$をとる。$C$の点$P$における法線上に点$Q$を、$PQ=1$ であり、点$Q$の$y$座標が点$P$の$y$座標よりも大きくなるようにとる。 点$Q$の$x$座標を$f(t)$ とおく。次の問いに答えよ。
(1) $f(t)$ を求めよ。
(2) $t$が$0\leqq t$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を求めよ。
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放物線 $C : y = x ^ 2$ 上に点$P(t, t²)$をとる。$C$の点$P$における法線上に点$Q$を、$PQ=1$ であり、点$Q$の$y$座標が点$P$の$y$座標よりも大きくなるようにとる。 点$Q$の$x$座標を$f(t)$ とおく。次の問いに答えよ。
(1) $f(t)$ を求めよ。
(2) $t$が$0\leqq t$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を求めよ。
福田のおもしろ数学301〜4次方程式の解と係数の関係
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$x ^ 4 - 18x ^ 3 + k x ^ 2 + 200x - 1984 = 0 $の2つの解の積が$-32$のとき、実数$k$の値は?
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$x ^ 4 - 18x ^ 3 + k x ^ 2 + 200x - 1984 = 0 $の2つの解の積が$-32$のとき、実数$k$の値は?
福田の数学〜早稲田大学2024教育学部第2問〜複素数の集合に関する論証
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
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問題文全文(内容文)：
$3$つの複素数 $z_1, z_2, z_3$に関する条件$P$を次のように定める。
P: 「$z_1, z_2, z_3$はどれも0ではなく、互いに異なり、かつ$ \{{z_1}^n | n は整数\} = \{{z_2}^n | nは整数\} = \{{z_3}^n |n は整数\}$
である。」
次の問いに答えよ。
(1) $3$つの複素数 $z_1,z_2,z_3$が条件$P$を満たしているとする。このとき$ |z_1| = 1$ であることを示せ。また集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数は有限であることを示せ。
(2) 条件$P$を満たす3つの複素数 $z_1,z_2,z_3$のうち、集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数が最小となるものを考える。このとき集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$を求めよ。
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$3$つの複素数 $z_1, z_2, z_3$に関する条件$P$を次のように定める。
P: 「$z_1, z_2, z_3$はどれも0ではなく、互いに異なり、かつ$ \{{z_1}^n | n は整数\} = \{{z_2}^n | nは整数\} = \{{z_3}^n |n は整数\}$
である。」
次の問いに答えよ。
(1) $3$つの複素数 $z_1,z_2,z_3$が条件$P$を満たしているとする。このとき$ |z_1| = 1$ であることを示せ。また集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数は有限であることを示せ。
(2) 条件$P$を満たす3つの複素数 $z_1,z_2,z_3$のうち、集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数が最小となるものを考える。このとき集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$を求めよ。
福田のおもしろ数学300〜絶対値の付いた式の定積分
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$
\displaystyle \int_{0}^{ \pi } |a \sin \ nx + b \cos nx| dx
\quad
$
(nは自然数)を求めよ
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$
\displaystyle \int_{0}^{ \pi } |a \sin \ nx + b \cos nx| dx
\quad
$
(nは自然数)を求めよ
福田の数学〜早稲田大学2024教育学部第1問(4)〜領域と奇跡
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#２次関数#図形と方程式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$
\begin{eqnarray}
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$1$} \ (4) \\
\end{eqnarray}
$
$xy$平面上に3点$O(0,0),A(1,0),B(1,1)$をとる。点$(x,y)$が三角形$OAB$の周および内部を動くときに点$(x+y,xy)$が動く範囲の面積を求めよ。
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$
\begin{eqnarray}
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$1$} \ (4) \\
\end{eqnarray}
$
$xy$平面上に3点$O(0,0),A(1,0),B(1,1)$をとる。点$(x,y)$が三角形$OAB$の周および内部を動くときに点$(x+y,xy)$が動く範囲の面積を求めよ。
福田のおもしろ数学299〜三角関数で表された式の値
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{44} cos \ n^{ \circ }}{\displaystyle \sum_{i=1}^{44} sin \ n^{ \circ }}$とするとき、$[100x]$を求めよ。
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$x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{44} cos \ n^{ \circ }}{\displaystyle \sum_{i=1}^{44} sin \ n^{ \circ }}$とするとき、$[100x]$を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2024教育学部第1問(3)〜対称軸を2本もつ多角形
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$xy$ 平面上の多角形で、$x$ 軸はこの多角形の対称軸であり、直線 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$ もこの多角形の対称軸であるものを考える。このような多角形の辺の数の最小値を求めよ。
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$xy$ 平面上の多角形で、$x$ 軸はこの多角形の対称軸であり、直線 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$ もこの多角形の対称軸であるものを考える。このような多角形の辺の数の最小値を求めよ。
福田のおもしろ数学298〜幾何の問題2つの長方形
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\mathrm{A,D,H,G}$ が同一円周上にあるとき、$\mathrm{CE}$ の長さを求めよ。（図は動画内参照）
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$\mathrm{A,D,H,G}$ が同一円周上にあるとき、$\mathrm{CE}$ の長さを求めよ。（図は動画内参照）