問題文全文(内容文)：
連立方程式$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 = 1 \\
x^3 + y^3 = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$を解いて下さい。

問題文全文(内容文)：
$1\leqq x\leqq 8$の範囲において、関数$y=(\log_{2} x)^2-8\log_{2} x-20$は$x=\fbox{ア}$のときに最小値$\fbox{イ}$をとる。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int e^{\sqrt{x}} dx$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$m, a, b, c, d, e, f, r, s, t$を自然数とする。このとき(1)~(5)に答えよ。ただし、(2)(3)の事実は(4)(5)で用いてよい。
(1)2次方程式$2x^2+5x+m=0$の解が有理数となるような自然数$m$をすべて求めよ。ただし、$p$が素数であるとき$\sqrt{p}$が無理数であることを用いてよい。
(2)3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の実数解は負の数であることを証明せよ。ただし、方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が少なくとも1つ実数解をもつことは証明せずに用いてよい。
(3)3次方程式$x^3+dx^2+ex+f=0$が整数$n$を解にもつとする。このとき$n$は$f$の約数であることを示せ。
(4)3次方程式$x^3+rx^2+rx+3=0$が整数解を少なくとも1つもつような自然数$r$をすべて求めよ。
(5)3次方程式$x^3+sx^2+tx+6=0$が異なる3つの整数を解にもつような自然数の組$(s, t)$をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac {5^k(4k-1)}{k(k+1)}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}O$を原点とする座標平面上に放物線$C:y=x-x^2$がある。$C$上の点$P(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$における$C$の接線を$l$、$Q(1,0)$における$C$の接線を$m$とする。$l$と$y$軸、$m$と$y$軸の交点をそれぞれR、Sとする。
(1)$l,m$の方程式をそれぞれ求めよ。
(2)$C$の$0\leqq x \leqq 1$の部分と、2つの線分QS,OSで囲まれた図形の面積Aを求めよ。
(3)$C$の$0 leqq x \leqq 1$の部分と、線分OQで囲まれた図形を、$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V_1$を求めよ。
(4)$C$の$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$の部分と、2つの線分PR,ORで囲まれた図形を、$y$軸のまわりに1回転させてできる立体$V_2$を求めよ。
(5)$C$の$0 \leqq x \leqq 1$の部分と、線分OQで囲まれた図形を、$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V_3$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$x, \, y, \, z$ は実数で
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + y + z = 1 \\
x^2 + y^2 + z^2 = 3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
のとき、$z$ の最大値と最小値、そのときの $x, \, y$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$1$ から $6$ の番号がひとつずつ重複なくつけられた $6$ つの箱がある。このとき、次の試行を行う。
$\fbox{さいころを $1$ つ投げて、出た目の番号のついた箱に玉を $1$ つ入れる。}$
この試行を繰り返し、いずれかの箱に玉が $3$ 個入った時点で終了する。ただし、$1$ 回目の試行を行う前は、どの箱にも玉は $1$ 個も入っていないとする。終了するまでに行った試行の回数を $N$ とする。
$(1)$ $N$ のとりうる最小値 $N_0$ と最大値 $N_1$ をそれぞれ求めよ。
$(2)$ $N=N_{0}$ となる確率を求めよ。
$(3)$ $N=N_{0}+1$ となる確率を求めよ。
$(4)$ 試行を $6$ 回行った時点で、すべての箱に $1$ つずつ玉が入るという事象を $A$ とする。また、$N=N_{1}$ となる事象を $B$ とする。事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A}(B)$ を求めよ。
$(5)$ $N=N_{1}$ となる確率を $P$ とするとき、$6^{8}P$ は整数となる。その値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
法線ベクトルが $\vec{p}=(-1, \, 2, \, 1)$ である平面 $\alpha$ に、光線が方向ベクトル $\vec{q}=(2, \, -1, \, 2)$ で入射した。このとき反射光線の方向ベクトルを単位ベクトルで求めよ。

問題文全文(内容文)：
$$座標空間において、点(-1,0,0)を通りベクトル\vec{ a }=(0,1,1)に平行な直線
上の点と、$$$$点(0,0,4)を通り\vec{ b }=(1,2,0)に平行な直線上の点の距離
の最小値は\boxed{ ク }である。$$

問題文全文(内容文)：
底辺の半径1、高さ1の直円錐を図のような平面で切ったとき断面積はいくら？

問題文全文(内容文)：
$$iを虚数単位とする。複素数zはz^{ 2 }=3-2\sqrt{10 }iを満たし、かつzの実部は正であるとする。$$$$このとき、zの実部は\boxed{ カ }であり、虚部は\boxed{ キ }である。$$

問題文全文(内容文)：
$$Nはn桁の自然数とする。$$
$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \frac{\log_{ 10 } N}{n}を求めよ。$$

問題文全文(内容文)：
$$nは自然数とする。
f_{ n }(x)=x^{ \frac{ 1 }{ n }}\log x (x \gt0)がx=a_{ n }で極小値をとるとき、$$
$$a_{ n }=\boxed{ エ }である。このとき、\displaystyle \sum_{i=1}^n a_n=\boxed{ オ }である。$$

問題文全文(内容文)：
8枚の区別のつかない硬貨のなかに、本物よりも軽い偽物が1枚混じっている。
おもりなしの天秤を使って偽物を見つけ出すためには、最小で南海天秤を使えばよいでしょうか。

問題文全文(内容文)：
\(8\)枚の区別のつかない硬貨のなかに、本物よりも軽い偽物が\(1\)枚混じっている。
おもりなしの天秤を使って偽物を見つけ出すためには、
最小で何回天秤を使えばよいでしょうか。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (2)$17^n$の1の位の数が1になる最小の自然数$n$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。また、$17^{555}$の1の位の数を求めると、$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
0≦$x$≦1,　0≦$y$≦1のとき、2変数関数
$f(x,y)$=$5xy-2(x+y)+1$
の最大値$M$、最小値$m$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (1)実数$x$が$3\cos x$=$\sin^2x$　を満たすとき、$\cos x$の値は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
|$x$|＜1　のとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}nx^n$=0　を示せ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{6}}$ $a$,$b$,$p$を実数とする。関数$f(x)$=$x^3$+$ax^2$+$bx$+17　は$x$=$p$で極大値、$x$=$-4p$で極小値をとり、$f(-2p)$=-17　を満たすとする。
(1)$a$,$b$,$p$の値、および$f(x)$の極大値$M$、極大値$m$を、それぞれ求めよ。
(2)(1)で求めた$a$,$b$および0≦$t$≦5　を満たす実数$t$に対して、区間0≦$x$≦$t$　における|$f(x)$|の最大値を$g(t)$とする。$t$の値について場合分けをして、それぞれの場合に$g(t)$を求めよ。
(3)(2)で求めた$g(t)$に対して、定積分$I$=$\displaystyle\int_0^5g(t)dt$　を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$(2×3×5×7×11×13)^{10}$　の10進法での桁数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ $x$を正の実数とする。$m$と$n$は、それぞれ$m$≦$\displaystyle\log_4\frac{x}{8}$,　$n$≦$\displaystyle\log_2\frac{8}{x}$　を満たす最大の整数とし、さらに、$\alpha$=$\displaystyle\log_4\frac{x}{8}$－$m$,　$\beta$=$\displaystyle\log_2\frac{8}{x}$－$n$　とおく。
(1)$\log_2x$を、$m$と$\alpha$を用いて表せ。
(2)$2\alpha$+$\beta$　の取りうる値を全て求めよ。
(3)$n$=$m$－1　のとき、$m$と$n$の値を求めよ。
(4)$n$=$m$－1　となるために$x$が満たすべき必要十分条件を求めよ。

問題文全文(内容文)：
連続する4つの自然数の積は平方数にならないことを証明しなさい。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ $p$,$q$を正の実数とし、Oを原点とする座標空間内に3点A(3,$-\sqrt 3$,0),B(3,$\sqrt 3$,0),C($p$,0,$q$)をとる。ただし、四面体OABCは1辺の長さが$2\sqrt 3$の正四面体であるとする。
(1)$p$および$q$の値を求めよ。
以下、点$\displaystyle\left(\frac{3}{2},0,\frac{q}{2}\right)$に関してO,A,B,Cと対称な点を、それぞれD,E,F,Gとする。
(2)直線DGと平面ABCとの交点Hの座標を求めよ。
(3)直線CBと平面DEGとの交点をI、直線CAと平面DFGとの交点をJとする。
四角形CJHIの面積$S$と四角錐G－CJHIの体積$V$を、それぞれ求めよ。

問題文全文(内容文)：
次の表の空欄を埋めよ。
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 3 & 9 & 3 & 11 & 18 & 13 & 19 & 27 & 55 &　\\ \hline
2 & 6 & 2 & 7 & 15 & 8 & 17 & 24 & 34 & 29 &　\\ \hline
3 & 1 & 5 & 12 & 5 & 13 & 21 & 21 & 23 & 30 &　\\ \hline
\end{array}$

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 実数$a$に対して$f(a)$=$\displaystyle\frac{1}{2}(2^a-2^{-a})$とおく。また、$A$=$2^a$とする。
(1)等式$\displaystyle\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$=$\displaystyle\boxed{\ \ ア\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$－$\displaystyle\boxed{\ \ イ\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)$　より、実数$a$に対して
$\left\{f(a)\right\}^3$=$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}f(3a)$－$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}f(a)$　...①が成り立つ。
(2)実数$a$,$b$に対して$f(a)$=$b$が成り立つならば、$A$=$2^a$は2次方程式
$A^2$－$\boxed{\ \ キ\ \ }bA$－$\boxed{\ \ ク\ \ }$=0
を満たす。$2^a$>0より、$a$は$b$を用いて
$a$=$\log_2\left(\boxed{\ \ ケ\ \ }b+\sqrt{b^2+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して$f(a)$=$b$となる実数$a$が、ただ1つに定まる。
以下、数列$\left\{a_n\right\}$に対して$f(a_n)$=$b_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{b_n\right\}$が、関係式
$4b_{n+1}^3$+$3b_{n+1}$－$b_n$=0　($n$=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から$f\left(\boxed{\ \ サ\ \ }a_{n+1}\right)$=$f(a_n)$　($n$=1,2,3,...)となるので、(2)より、
$a_n$=$\displaystyle\frac{a_1}{\boxed{\ \ シ\ \ }^{n-p}}$　($n$=1,2,3,...)が得られる。ここで、$p$=$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
(4)$n$≧2に対して、$S_n$=$\displaystyle\sum_{k=2}^n3^{k-1}b_k^3$　とおく。$c_n$=$3^nb_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{c_n\right\}$の階差数列を用いると、③より、
$S_n$=$\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}b_1$－$\frac{\boxed{\ \ タ\ \ }^n}{\boxed{\ \ チ\ \ }}b_n$　($n$=2,3,4,...)
となる。ゆえに、$b_1$=$\displaystyle\frac{4}{3}S_5$－108　が成り立つならば$a_1$=$\boxed{\ \ ツテト\ \ }\log_2\boxed{\ \ ナ\ \ }$　である。

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解いてください。
$ax$>$b$

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 袋の中に、1から9までの番号を重複なく1つずつ記入したカードが9枚入っている。A,B,C,Dの4人のうちDがさいころを投げて、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが、袋の中からカードを1枚引き、カードに記入された番号を記録することを試行という。ただし、1度引いたカードは袋に戻さない。この試行を3回続けて行う。また、1回目の試行前のA,B,Cの点数をそれぞれ0としたうえで、以下の(a),(b)に従い、各回の試行後のA,B,Cの点数を定める。
(a)各回の試行においてカードを引いた人は、その回の試行前の自分の点数に、その回の試行で記録した番号を加え、試行後の点数とする。
(b)各回の試行においてカードを引いていない人は、その回の試行前の自分の点数を、そのまま試行後の点数とする。
(1)1回目の試行後、Bの点数が3の倍数となる確率は$\frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}}$である。ただし、0はすべての整数の倍数である。
(2)2回目の試行後、A,B,Cのうち、1人だけの点数が0である確率は$\frac{\boxed{ウエ}}{\boxed{オカ}}$である。
(3)2回目の試行後のAの点数が5以上となる確率は$\frac{\boxed{キク}}{\boxed{ケコ}}$である。
(4)2回目の試行後のAの点数が5以上であるとき、3回目の試行後のA,B,Cの点数がすべて5以上である条件付き確率は$\frac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。