問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ 数列\left\{x_n\right\},　\left\{y_n\right\}を次の式\\
x_1=0,　x_{n+1}=x_n+n+2\cos\frac{2\pi x_n}{3}　　(n=1,2,3,\ldots)\\
y_{3m+1}=3m,　y_{3m+2}=3m+2,　y_{3m+3}=3m+4　　(m=0,1,2,3,\ldots)\\
により定める。このとき、数列\left\{x_n-y_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}

2022京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル\ \overrightarrow{ v_k }\ を\\
\overrightarrow{ v_k }=(\cos\frac{2k\pi}{3},　\sin\frac{2k\pi}{3})\\
と定める。投げたとき表と裏がどちらも\frac{1}{2}の確率で出るコインをN回投げて、\\
座標平面上に点X_0,X_1,X_2,\ldots,X_Nを以下の規則(\textrm{i}),(\textrm{ii})に従って定める。\\
(\textrm{i})X_0はOにある。\\
(\textrm{ii})nを1以上N以下の整数とする。X_{n-1}が定まったとし、X_nを次のように定める。\\
・n回目のコイン投げで表が出た場合、\\
\overrightarrow{ OX_n }=\overrightarrow{ OX_{n-1} }+\overrightarrow{ v_k }\\
によりX_nを定める。ただし、kは1回目からn回目までの\\
コイン投げで裏が出た回数とする。\\
・n回目のコイン投げで裏が出た場合、X_nをX_{n-1}と定める。\\
(1)N=8とする。X_8がOにある確率を求めよ。\\
(2)N=200とする。X_{200}がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表が\\
ちょうどr回出る確率をp_rとおく。ただし0 \leqq r \leqq 200である。p_rを求めよ。\\
またp_rが最大となるrの値を求めよ。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ 曲線C:y=\cos^3x　(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}),x軸およびy軸で囲まれる図形の面s系をS\\
とする。0 \lt t \lt \frac{\pi}{2}とし、C上の点Q(t,\cos^3t)と原点O,およびP(t,o),R(0,\cos^3t)\\
を頂点にもつ長方形OPQRの面積をf(t)とする。このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)Sを求めよ。\\
(2)f(t)は最大値をただ一つのtでとることを示せ。そのときのtを\alphaとすると、\\
f(\alpha)=\frac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}　であることを示せ。\\
(3)\frac{f(\alpha)}{S} \lt \frac{9}{16}　を示せ。
\end{eqnarray}

2022京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ aはa≠1を満たす正の実数とする。xy平面上の点P_1,P_2,\ldots\ldots,P_n,\ldots\ldotsおよび\\
Q_1,Q_2,\ldots\ldots,Q_n,\ldots\ldotsが、すべての自然数nについて\\
\overrightarrow{ P_nP_{n+1} }=(1-a)\overrightarrow{ P_nQ_n },　　\overrightarrow{ Q_nQ_{n+1} }=(0, \frac{a^{-n}}{1-a})\\
を満たしているとする。またP_nの座標を(x_n,y_n)とする。\\
(1)x_{n+2}をa,　x_n,　x_{n+1}で表せ。\\
(2)x_1=0,　x_2=1のとき、数列\left\{x_n\right\}の一般項を求めよ。\\
(3)y_1=\frac{a}{(1-a)^2},　y_2-y_1=1のとき数列\left\{y_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}

2022北海道大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 0 \leqq a \leqq b \leqq 1を満たすa,bに対し、関数\\
f(x)=|x(x-1)|+|(x-a)(x-b)|\\
を考える。xが実数の範囲を動くとき、f(x)は最小値mをもつとする。\\
(1)x \lt 0およびx \gt 1ではf(x) \gt mとなることを示せ。\\
(2)m=f(0)またはm=f(1)であることを示せ。\\
(3)a,bが0 \leqq a \leqq b \leqq 1を満たして動くとき、mの最大値を求めよ。
\end{eqnarray}

2022北海道大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 数列\left\{a_n\right\}の初項から第n項までの和S_n、数列\left\{b_n\right\}の初項から第n項までの和T_n\\
はそれぞれ\\
S_n=\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{ C }_k,　T_n=\sum_{k=1}^n k・{}_n \mathrm{ C }_k\\
で表される。\\
(1)x \gt y \geqq 1を満たす自然数x,yについて、\\
{}_x \mathrm{ C }_y={}_{x-1} \mathrm{ C }_y+{}_i \mathrm{ C }_j,　y・{}_x \mathrm{ C }_y=x・{}_p \mathrm{ C }_q,\\
が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、i=\boxed{\ \ ス\ \ },j=\boxed{\ \ セ\ \ },\\
p=\boxed{\ \ ソ\ \ },q=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
(2)a_2,b_4の値をそれぞれ求めるとa_2=\boxed{\ \ チ\ \ },b_4=\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
(3)S_n,a_nをそれぞれnの式で表すと、S_n=\boxed{\ \ テ\ \ },a_n=\boxed{\ \ ト\ \ }である。\\
(4)b_nをnの式で表すと、b_n=\boxed{\ \ ナ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ 座標空間内の点A(0,0,2)と点B(1,0,1)を結ぶ線分ABをz軸の周りに\\
1回転させて得られる局面をSとする。S上の点Pとxy平面上の点QがPQ=2を\\
満たしながら動くとき、線分PQの中点Mが通過しうる範囲をKとする。\\
Kの体積を求めよ。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (7)1辺の長さが\sqrt2の正三角形を底面とし、高さが4の直三角柱を考える。\\
この直三角柱を以下の条件①と条件②を共に満たす平面で切断するとき、切断面の\\
面積の最小値は\boxed{\ \ シ\ \ }である。ただし、直三角柱は底面と側面が垂直である三角柱\\
のことである。\\
条件①　切断面が直角三角形になる。\\
条件②　切断面の図形のすべての辺が直三角柱の側面上にある。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (6)　0 \leqq x \leqq \pi,　0 \leqq y \leqq \piを満たすx,yに対して、等式2\sin x+\sin y=1が\\
成り立つとする。\\
(\textrm{i})この等式を満たすxの範囲は\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
(\textrm{ii})x,yが2\cos x+\cos y=2\sqrt2を満たすとき、\sin(x+y)の値を求めると\\
\boxed{\ \ サ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 四面体OABCが\\
OA=4,　OB=AB=BC=3,　OC=AC=2\sqrt3\\
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、\triangle OAPの重心をGとする。\\
このとき、次の各問いに答えよ。\\
(1)\overrightarrow{ PG } ∟ \overrightarrow{ OA }を示せ。\\
(2)Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。
\end{eqnarray}

2022京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (5)　x≠2である正の実数xに対して、方程式\\
\log_{10}x+\log_{100}x^2-\log_{0.1}|x-2|=\log_{10}a　　(a \gt 0)\\
がある。\\
(\textrm{i})x=6のとき、aの値は\boxed{\ \ ク\ \ }である。\\
(\textrm{ii})この方程式が異なる3個の実数解をもつとき、aの値の範囲は\boxed{\ \ ケ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ nを自然数とする。3つの整数n^2+2,n^4+2,n^6+2の最大公約数A_nを求めよ。
\end{eqnarray}

2022京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (4)f(x)はxの2次関数である。f(x)はx=-2で極値をとり、\int_{-3}^0f(x)dx=0\\
を満たす。またxy平面上において、f(x)のグラフy=f(x)はx軸と異なる2点で交わり、\\
y=f(x)とx軸で囲まれる部分の面積は\frac{8}{3}である。このときf(x)=\boxed{\ \ キ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 箱の中に1からnまでの番号の付いたn枚の札がある。ただし、n \geqq 5とし、\\
同じ番号の札はないとする。この箱から3枚の札を同時に取り出し、札の番号を\\
小さい順にX,Y,Zとする。このとき、Y-X \geqq 2かつZ-Y \geqq 2となる確率を\\
求めよ。
\end{eqnarray}

2022京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 座標平面上の曲線\hspace{210pt}\\
C:y=x^3-x\\
を考える。\\
(1)座標平面上の全ての点Pが次の条件(\textrm{i})を満たすことを示せ。\\
(\textrm{i})点Pを通る直線lで、曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。\\
(2)次の条件(\textrm{ii})を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。\\
(\textrm{ii})点Pを通る直線lで、曲線Cと相異なる3点で交わり、かつ、直線lと\\
曲線Cで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (3)3つの部屋A,B,Cがある。この3つの部屋に対して、複数の生徒が以下の\\
試行(*)を繰り返し行うことを考える。\\
(*)\left\{
\begin{array}{1}
・生徒それぞれが部屋を無作為に1つ選んで入る。\\
・生徒全員が部屋に入ったら、各部屋の生徒の人数を確認する。\\
・生徒全員が部屋を出る。\\
・1人の生徒しかいない部屋があった場合、その部屋に入った生徒は\\
次回以降の試行に参加しない。\\
\end{array}
\right.\\
\\
(\textrm{i})4人の生徒が試行(*)を1回行ったとき、2回目の試行に参加する生徒が\\
3人になる確率は\boxed{\ \ オ\ \ }である。\\
(\textrm{ii})5人の生徒が試行(*)を続けて2回行ったとき、3回目の試行に参加する\\
生徒が2人になる確率は\boxed{\ \ カ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (2)a,bは実数とする。xの3次方程式x^3+(a+4)x^2-3(a+4)x+b=0\\
の実数解がx=3のみであるとき、aの値の範囲は\boxed{\ \ エ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 5.4 \lt \log_42022 \lt 5.5であることを示せ。ただし、0.301 \lt \log_{10}2 \lt 0.3011で\\
あることは用いてよい。
\end{eqnarray}

2022京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点S(x_1,y_1),T(x_2,y_2)\\
に対し、点Sが点Tから十分離れているとは、\\
|x_1-x_2| \geqq 1　または　|y_1-y_2| \geqq 1\\
が成り立つことと定義する。\\
不等式\\
0 \leqq x \leqq 3,　0 \leqq y \leqq 3\\
が表す正方形の領域をDとし、その2つの頂点A(3,0),　B(3,3)を考える。\\
さらに、次の条件(\textrm{i}),(\textrm{ii})を共に満たす点Pをとる。\\
(\textrm{i})点Pは領域Dの点であり、かつ、放物線y=x^2上にある。\\
(\textrm{ii})点Pは、3点O,A,Bのいずれからも十分離れている。\\
点Pのx座標をaとする。\\
(1)aのとりうる値の範囲を求めよ。\\
(2)次の条件(\textrm{iii}),(\textrm{iv})をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積f(a)を求めよ。\\
(\textrm{iii})点Qは領域Dの点である。\\
(\textrm{iv})点Qは、4点O,A,B,Pのいずれからも十分離れている。\\
(3)aは(1)で求めた範囲を動くとする。(2)のf(a)を最小にするaの値を求めよ。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (1)整数a,bは等式(a+bi)^3=-16+16iを満たす。ただし、iは虚数単位とする。\\
(\textrm{i})a=\boxed{\ \ ア\ \ },　b=\boxed{\ \ イ\ \ }である。\\
(\textrm{ii})\frac{i}{a+bi}-\frac{1+5i}{4}を計算すると\boxed{\ \ ウ\ \ }である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 数列\left\{a_n\right\}を次のように定める。\\
a_1=1,　　a_{n+1}=a_n^2+1　　(n=1,2,3,\ldots)\\
(1)正の整数nが3の倍数のとき、a_nは5の倍数となることを示せ。\\
(2)k,nを正の整数とする。a_nがa_kの倍数となるための必要十分条件をk,nを\\
用いて表せ。\\
(3)a_{2022}と(a_{8091})^2の最大公約数を求めよ。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 次の関数f(x)を考える。\\
f(x)=(\cos x)\log(\cos x)-\cos x+\int_0^x(\cos t)\log(\cos t)dt　(0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2})\\
(1)f(x)は区間0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2}において最小値を持つことを示せ。\\
(2)f(x)は区間0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2}における最小値を求めよ。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、w=z+\frac{2}{z}\\
で表される点wの描く図形をCとする。Cで囲まれた部分の内部(ただし、\\
境界線は含まない)に定点\alphaをとり、\alphaを通る直線lがCと交わる2点を\beta_1,\beta_2とする。\\
このとき、次の問いに答えよ。ただしiは虚数単位とする。\\
(1)w=u+vi(u,vは実数)とするとき、uとvの間に成り立つ関係式を求めよ。\\
(2)点\alphaを固定したままlを動かすとき、積|\beta_1-\alpha|・|\beta_2-\alpha|が最大となる\\
ようなlはどのような直線のときか調べよ。
\end{eqnarray}

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数をa_1,a_2,\ldots,a_kと並べる。\\
ただし、a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_kとする。\\
以下の2つの条件(\textrm{i}),(\textrm{ii})を満たすmについて考える。\\
(\textrm{i})mは素数ではない。\\
(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt kを満たす全ての整数i,jについてa_j-a_i \leqq 3が\\
成り立つ。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)kは3または4であることを示し、mをa_2を用いて表せ。\\
(2)k=3となるとき、全ての正の整数nについて(a_2n+1)^{a_2}-1は\\
mの倍数であることを示せ。
\end{eqnarray}

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 実数aは正の定数とする。実数全体で定義された関数f(x)=\frac{|x+a|}{\sqrt{x^2+1}}について、\\
\\
次の問いに答えよ。\\
(1)f(x)がx=-aで微分可能であるかどうか調べよ。\\
(2)f(x)の最大値が\sqrt2となるように、定数aの値を定めよ。\\
(3)定数aは(2)で定めた値とする。y=f(x)のグラフとx軸およびy軸で囲まれた部分\\
をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
\end{eqnarray}

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 袋Aには白玉2個、赤玉1個、袋Bには白玉1個、赤玉2個が入っている。\\
この状態から始めて、次の操作を繰り返し行う。\\
操作\\
①　袋A、袋Bから玉を1個ずつ取り出す。\\
②　(\textrm{i})取り出した2個の玉の色が同じである場合は、取り出した玉を2個とも\\
袋Aに入れる。\\
(\textrm{ii})取り出した2個の玉の色が異なる場合は、袋Aから取り出した玉は袋B\\
に入れ、袋Bから取り出した玉は袋Aに入れる。\\
このとき、\\
・操作を2回繰り返した後に袋Aに入っている赤玉の個数が1個である確率は\boxed{\ \ (ア)\ \ }\\
・操作を3回繰り返した後に袋Aに入っている赤玉の個数が0個である確率は\boxed{\ \ (イ)\ \ }\\
である。
\end{eqnarray}

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
東京大学2021年理系大問1\\
\\
C:s^2+ax+bは放物線y=x^2と2つの共有点を持ち、一方の共有点のx座標は\\
-1 \lt x \lt 0を満たし、他方の共有点のx座標は0 \lt x \lt 1を満たす。\\
(1)点(a,b)のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。\\
(2)放物線Cの通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。
\end{eqnarray}

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }を満たすとする。tを0 \lt t \lt 1を満たす\\
実数とし、線分ABをt:(1-t)に内分する点をPとする。\\
また、直線OP上に点Qをとる。\\
\\
(1)\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}　である。\\
また、実数kを用いて、\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }と表せる。したがって\\
\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }　　\ldots\ldots\ldots\ldots①\\
\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OP }が垂直となるのは、t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}　のときである。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }　～　\boxed{\ \ キ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪kt　　①(k-kt)　　②(kt+1)\\
③(kt-1)　　④(k-kt+1)　　⑤(k-kt-1)\\
\\
以下、t ≠\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}とし、\angle OCQが直角であるとする。\\
\\
(2)\angle OCQが直角であることにより、(1)のkは\\
k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }}　\ldots②\\
となることがわかる。\\
\\
平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Bを含む部分をD_1、含まない部分をD_2とする。また、平面\\
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Aを含む部分をE_1、含まない部分をE_2とする。\\
・0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}ならば、点Qは\boxed{\ \ ス\ \ }。\\
・\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1ならば、点Qは\boxed{\ \ セ\ \ }。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪D_1に含まれ、かつE_1に含まれる\\
①D_1に含まれ、かつE_2に含まれる\\
②D_2に含まれ、かつE_1に含まれる\\
③D_2に含まれ、かつE_2に含まれる\\
\\
\\
(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と|\overrightarrow{ OQ }|の関係について考えている。\\
t=\frac{1}{2}のとき、①と②により、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}とわかる。\\
\\
太郎:t≠\frac{1}{2}のときにも、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となる場合があるかな。\\
花子:|\overrightarrow{ OQ }|をtを用いて表して、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。\\
太郎:計算が大変そうだね。\\
花子:直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとしたら\\
|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるよ。\\
太郎:\overrightarrow{ OR }を\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OB }を用いて表すことができれば、\\
tの値が求められそうだね。\\
\\
\\
直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとすると\\
\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }\\
=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
t≠\frac{1}{2}のとき、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるtの値は\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}である。
\end{eqnarray}

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}(1)A地区で保護されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが\\
25%含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫された\\
ジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが\\
200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは\\
二項分布B(400,0,\boxed{\ \ アイ\ \ })に従うから、Zの平均(期待値)は\boxed{\ \ ウエオ\ \ }である。\\
\\
(2)Zを(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において\\
重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率を\\
R=\frac{Z}{400}とする。このとき、Rの標準偏差は\sigma(R)=\boxed{\ \ カ\ \ }である。\\
標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布\\
N(0,\boxed{\ \ アイ\ \ },(\boxed{\ \ カ\ \ })^2)に従う。\\
したがって、P(R \geqq x)=0.0465となるようなxの値は\boxed{\ \ キ\ \ }となる。\\
ただし、\boxed{\ \ キ\ \ }の計算においては\sqrt3=1.73とする。\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{3}{6400}　　①\frac{\sqrt3}{4}　　②\frac{\sqrt3}{80}　　③\frac{3}{40}\\　
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
⓪0.209　　　①0.251　　　②0.286　　　③0.395\\
\\
\\
(3)B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから\\
300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ\\
1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、X\\
の取り得る値xの範囲は100 \leqq x \leqq 300である。\\
花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定の全てのジャガイモのうち、\\
重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは\\
Xの確率密度関数f(x)として適当な関数を定め、それを用いて割合を\\
見積もるという方針を立てた。\\
B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出\\
したところ、重さの標本平均は180gであった。\\
図1(※動画参照)はこの標本のヒストグラムである。\\
\\
\\
花子さんは図1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ\\
一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数f(x)として、1次関数\\
f(x)=ax+b　(100 \leqq x \leqq 300)\\
を考えることにした。ただし、100 \leqq x \leqq 300の範囲でf(x) \geqq 0とする。\\
このとき、P(100 \leqq X \leqq 300)=\boxed{\ \ ク\ \ }であることから\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }・10^4a+\boxed{\ \ コ\ \ }・10^2b=\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots①\\
\\
である。\\
花子さんは、Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように\\
確率密度関数を定める方法を用いることにした。\\
連続型確率変数Xの取り得る値xの範囲が100 \leqq x \leqq 300で、その\\
確率密度関数がf(x)のとき、Xの平均(期待値)mは\\
m=\int_{100}^{300}xf(x)dx\\
で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から\\
m=\frac{26}{3}・10^5a+4・10^4b=180　\ldots②\\
となる。①と②により、確率密度関数は\\
f(x)=-\ \boxed{\ \ サ\ \ }・10^{-5}x+\boxed{\ \ シス\ \ }・10^{-3}　\ldots③\\
と得られる。このようにして得られた③のf(x)は、100 \leqq x \leqq 300の範囲で\\
f(x) \geqq 0を満たしており、確かに確率密度関数として適当である。\\
したがって、この花子さんお方針に基づくと、B地区で収穫され、出荷される\\
予定の全てのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは\boxed{\ \ セ\ \ }%\\
あると見積もることができる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ セ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
⓪33　①34　②35　③36
\end{eqnarray}

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい\\
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。\\
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ\\
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに\\
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩\\
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は\\
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に\\
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び\\
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転\\
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い\\
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。\\
x=a_nを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y=b_nをそのときの歩\\
行者の位置とする。\\
\\
\\
(1) 花子さんと太郎さんは、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項を求めるために、歩行者\\
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標\\
平面上の点(x,y)で表すことにした。\\
a_1=2,b_1=2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転\\
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を\\
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき\\
の時刻と位置を表す点の座標は(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })である。よって\\
a_2=\boxed{\ \ イ\ \ },　b_2=\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
である。\\
\\
花子:数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項について考える前に、\\
(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })の求め方について整理してみようか。\\
太郎:花子さんはどうやって求めたの？\\
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと\\
を利用したよ。\\
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を\\
計算して求めることもできるね。\\
\\
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標\\
は(a_n,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は\\
(a_n,b_n)である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に\\
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、a_n,b_nを用いて、\\
(\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ })と表せる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪a_n　①b_n　②2a_n\\
③a_n+b_n　④2b_n　⑤3a_n\\
⑥2a_n+b_n　⑦a_n+2b_n　⑧3b_n\\
\\
以上から、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}について、自然数nに対して、関係式\\
a_{n+1}=a_n+\boxed{\ \ カ\ \ }\ b_n+\boxed{\ \ キ\ \ }　\ldots①\\
b_{n+1}=3b_n+\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots②\\
が成り立つことが分かる。まず、b_1=2と②から\\
b_n=\boxed{\ \ ケ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)\\
を得る。この結果と、a_1=2および１から\\
a_n=\boxed{\ \ コ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)\\
がわかる。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪3^{n-1}+1　①\frac{1}{2}・3^n+\frac{1}{2}\\
②3^{n-1}+n　③\frac{1}{2}・3^n+n-\frac{1}{2}\\
④3^{n-1}+n^2　⑤\frac{1}{2}・3^n+n^2-\frac{1}{2}\\
⑥2・3^{n-1}　⑦\frac{5}{2}・3^{n-1}-\frac{1}{2}\\
⑧2・3^{n-1}+n-1　⑨\frac{5}{2}・3^{n-1}+n-\frac{3}{2}\\
ⓐ2・3^{n-1}+n^2-1　ⓑ\frac{5}{2}・3^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}\\
\\
\\
(2)歩行者がy=300の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく\\
回数は\boxed{\ \ サ\ \ }回である。また、\boxed{\ \ サ\ \ }回目に自転車が歩行者に追いつく\\
時刻は、x=\boxed{\ \ シスセ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}

2022共通テスト数学過去問