慶應義塾大学
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福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第5問〜空間における平面と平面の交線
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第4問〜指数不等式と対数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第3問〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
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福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(1)〜三角形の面積と線分の長さ
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第5問〜データの分析、平均と分散
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)$20$人の生徒に、$5$点満点の小テストを行った。
次の度数分布表は全員のテストの得点である。
この小テストの得点の平均値は$\boxed{ハ}$、
分散は$\boxed{ヒ}$である。
また、生徒のうちの$1$名の得点が$\boxed{フ}$点から
$\boxed{ヘ}$点に変更された場合、
生徒全員の得点の平均値は$3$、分散は$2$となる。
(2)確率変数$X$と$Y$は独立であり、$X$の平均が$m_x$、
分散が$\upsilon_x$であるとする。
また、$a,b$は定数とする。このとき、$aX+bY$の
平均は$\boxed{ホ}$、分散は$\boxed{マ}$である。
(3)確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n,X_{n+1}$は互いに
独立であり、
$T_n=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots + X_n)$
の平均が$m$、分散が$\upsilon$であるとする。
$X_{n+1}$の平均が$m'$、分散が$\upsilon'$であるとき、
$T_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}(X_1+X_2+\cdots +X_n+X_{n+1})$
の平均は$\boxed{ミ}$、分散は$\boxed{ム}$である。
図は動画内参照
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{5}$
(1)$20$人の生徒に、$5$点満点の小テストを行った。
次の度数分布表は全員のテストの得点である。
この小テストの得点の平均値は$\boxed{ハ}$、
分散は$\boxed{ヒ}$である。
また、生徒のうちの$1$名の得点が$\boxed{フ}$点から
$\boxed{ヘ}$点に変更された場合、
生徒全員の得点の平均値は$3$、分散は$2$となる。
(2)確率変数$X$と$Y$は独立であり、$X$の平均が$m_x$、
分散が$\upsilon_x$であるとする。
また、$a,b$は定数とする。このとき、$aX+bY$の
平均は$\boxed{ホ}$、分散は$\boxed{マ}$である。
(3)確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n,X_{n+1}$は互いに
独立であり、
$T_n=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots + X_n)$
の平均が$m$、分散が$\upsilon$であるとする。
$X_{n+1}$の平均が$m'$、分散が$\upsilon'$であるとき、
$T_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}(X_1+X_2+\cdots +X_n+X_{n+1})$
の平均は$\boxed{ミ}$、分散は$\boxed{ム}$である。
図は動画内参照
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第4問〜放物線と接線の囲む面積と内積の最小値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第3問〜空間ベクトルと四面体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
座標空間内に
$3$点$A(-1,1,6),B(0,3,6),C(1,1,5)$をとる。
このとき、$\vert \overrightarrow{AB} \vert =\boxed{ス},\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AC}=\boxed{セ}$であり、
$\angle BAC$の大きさを$\theta$とすると、
$\sin\theta=\boxed{ソ}$である。
ただし、$0\lt \theta \lt \pi$とする。
また、三角形$ABC$の面積は$\boxed{タ}$である。
さらに、
$3$点$A,B,C$の定める平面$ABC$に原点$O$から
垂線$OH$を下ろすと、点$H$の座標は$\boxed{チ}$であり、
四面体$OABC$の体積は$\boxed{ツ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{3}$
座標空間内に
$3$点$A(-1,1,6),B(0,3,6),C(1,1,5)$をとる。
このとき、$\vert \overrightarrow{AB} \vert =\boxed{ス},\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AC}=\boxed{セ}$であり、
$\angle BAC$の大きさを$\theta$とすると、
$\sin\theta=\boxed{ソ}$である。
ただし、$0\lt \theta \lt \pi$とする。
また、三角形$ABC$の面積は$\boxed{タ}$である。
さらに、
$3$点$A,B,C$の定める平面$ABC$に原点$O$から
垂線$OH$を下ろすと、点$H$の座標は$\boxed{チ}$であり、
四面体$OABC$の体積は$\boxed{ツ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(3)〜数学的帰納法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(3)自然数$n$に対して、
$3^n-2n-1$が
$4$の倍数であることの数学的帰納法を
用いた証明を記述しなさい。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{2}$
(3)自然数$n$に対して、
$3^n-2n-1$が
$4$の倍数であることの数学的帰納法を
用いた証明を記述しなさい。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(2)〜円のベクトル方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(2)平面上の異なる$2$点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$に対して、
ベクトル方程式
$2 \vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=\vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\vert$
を満たす点$P(\overrightarrow{p})$全体の集合は円となる。
この円の中心の位置ベクトルは$\boxed{サ}$で半径は
$\boxed{シ}$となる。
ただし、$\boxed{シ}$では根号を用いない表記とすること。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{2}$
(2)平面上の異なる$2$点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$に対して、
ベクトル方程式
$2 \vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=\vert \overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\vert$
を満たす点$P(\overrightarrow{p})$全体の集合は円となる。
この円の中心の位置ベクトルは$\boxed{サ}$で半径は
$\boxed{シ}$となる。
ただし、$\boxed{シ}$では根号を用いない表記とすること。
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福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(1)〜極形式とド・モアブルの定理
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(4)〜三角関数の最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)関数$y=(2\sin 2x+\sin x)+\sin x (0\leqq x \lt 2\pi)$は、
$x=\boxed{オ}$のとき最大値$\boxed{カ}$をとる。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(4)関数$y=(2\sin 2x+\sin x)+\sin x (0\leqq x \lt 2\pi)$は、
$x=\boxed{オ}$のとき最大値$\boxed{カ}$をとる。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(3)〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)さいころを$6$回続けて投げる。
$3$の倍数の目が出る回数が$2$になる確率は
$\boxed{ウ}$である。
また、$3$の倍数の目が出た回数が$2$であったとき、
その$2$回が続けて起こる条件付き確率は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)さいころを$6$回続けて投げる。
$3$の倍数の目が出る回数が$2$になる確率は
$\boxed{ウ}$である。
また、$3$の倍数の目が出た回数が$2$であったとき、
その$2$回が続けて起こる条件付き確率は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(2)〜対数不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)不等式$2(\log_3 x)^2+2\log_9 x \gt 1$を解くと
$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(1)〜分母の有理化
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$の分母を有理化すると
$\boxed{ア}$である。
〈追加問題〉
$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5+\sqrt6}$の分母を有理化すると
$\Box$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$の分母を有理化すると
$\boxed{ア}$である。
〈追加問題〉
$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5+\sqrt6}$の分母を有理化すると
$\Box$である。
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福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第3問〜確率漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。
(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。
(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、
$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$
という関係式が成立する。
また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。
ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。
(3)関係式
$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$
を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。
(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{3}$
点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。
(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。
(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、
$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$
という関係式が成立する。
また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。
ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。
(3)関係式
$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$
を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。
(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第2問〜分数関数の接線とベクトル計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(3)〜逆関数の微分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(2)〜6または8または9で割り切れる数の個数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)$n$を自然数とする。
$1$から$n$までの自然数の中で$6$または$8$または
$9$で割り切れるものの個数を$a_n$で表す。
このとき、$a_{30}=\boxed{ウ}$となる。
また、$a_n=1000$を満たす最大の$n$は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)$n$を自然数とする。
$1$から$n$までの自然数の中で$6$または$8$または
$9$で割り切れるものの個数を$a_n$で表す。
このとき、$a_{30}=\boxed{ウ}$となる。
また、$a_n=1000$を満たす最大の$n$は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(1)〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第4問〜確率と期待値と無限級数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
当たりくじが$3$本入っている$9$本のくじがある。
このくじを無作為に$1$本引き、
当たりくじかどうかを確認してから元に戻す試行を、
当たりくじが出るまで繰り返す。
当たりくじが出たときのみ得点を得ることができ、
$n$回目にの試行で当たりくじが出た場合、
得られる得点は$50n$点とする。
$n$回目に得られる得点の期待値を$E_n$とする。
ただし、$n$は自然数とする。
(1)$5$回目までに当たりくじが出る確率は$\boxed{ノ}$である。
(2)$\dfrac{E_n}{E_{n+1}}=\dfrac{10}{7}$であるとき、$n=\boxed{ハ}$である。
(3)$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{E_n}{E_{n+1}}$を求めると$\boxed{ヒ}$である。
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}E_k$を$n$の式で表すと$\boxed{フ}$であり、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}E_k$を求めると$\boxed{ヘ}$である。
ただし、$\vert r \vert \lt 1$を満たす実数$r$に対し、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n \times r^n=0$が
成り立つこととする。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{4}$
当たりくじが$3$本入っている$9$本のくじがある。
このくじを無作為に$1$本引き、
当たりくじかどうかを確認してから元に戻す試行を、
当たりくじが出るまで繰り返す。
当たりくじが出たときのみ得点を得ることができ、
$n$回目にの試行で当たりくじが出た場合、
得られる得点は$50n$点とする。
$n$回目に得られる得点の期待値を$E_n$とする。
ただし、$n$は自然数とする。
(1)$5$回目までに当たりくじが出る確率は$\boxed{ノ}$である。
(2)$\dfrac{E_n}{E_{n+1}}=\dfrac{10}{7}$であるとき、$n=\boxed{ハ}$である。
(3)$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{E_n}{E_{n+1}}$を求めると$\boxed{ヒ}$である。
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}E_k$を$n$の式で表すと$\boxed{フ}$であり、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}E_k$を求めると$\boxed{ヘ}$である。
ただし、$\vert r \vert \lt 1$を満たす実数$r$に対し、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n \times r^n=0$が
成り立つこととする。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第3問〜逆関数と定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
実数$x$に対して、関数
$f(x)=\dfrac{1}{3}x+\sqrt{\dfrac{1}{9}x^2+8}$
がある。ただし、定義域は$x\geqq 0$である。
$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする。
(1)$g(x)$を求めると、$g(x)=\boxed{ナ}$であり、
$g(x)$定義域は$\boxed{ニ}$である。
(2)$\displaystyle \int_{2\sqrt2}^{4}g(x)dx$を求めると$\boxed{ヌ}$である。
(3)$\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$を求めると$\boxed{ネ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{3}$
実数$x$に対して、関数
$f(x)=\dfrac{1}{3}x+\sqrt{\dfrac{1}{9}x^2+8}$
がある。ただし、定義域は$x\geqq 0$である。
$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする。
(1)$g(x)$を求めると、$g(x)=\boxed{ナ}$であり、
$g(x)$定義域は$\boxed{ニ}$である。
(2)$\displaystyle \int_{2\sqrt2}^{4}g(x)dx$を求めると$\boxed{ヌ}$である。
(3)$\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$を求めると$\boxed{ネ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第2問〜薬の効果を検定する
単元：
#大学入試過去問(数学)#確率分布と統計的な推測#確率分布#学校別大学入試過去問解説(数学)#標本調査#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
薬を病気にかかっている患者に投与すると、
投与された患者のうちの$40$% に治療の効果が認められる。
この薬に対し、新しく開発した薬$\beta$の方が
治療の効果が認められる割合が高いかどうか、
有意水準$5$%で検定を行う。
病気$X$にかかっている患者から無作為に抽出した$1000$人に
薬を投与したとき、
$n$人以上に治療の効果が認められると、
薬$\alpha$よりも薬$\beta$の方が効果が認められる割合が高いと判断される。
ただし、薬の治療効果の標本比率を$R$、母比率を$p$とする。
(1) 帰無仮説$H_0$と対立仮説$H_1$に設定する式は
$H_0:\boxed{チ},H_1:\boxed{ツ}$である。
$H_0$が正しいと仮定するとき、
$R$は近似的に正規分布$N(\boxed{テ},\boxed{ト})$に従う。
(2) (1) をふまえ、
$n$のとりうる最小の値を求めなさい。
ただし、解答に
「標準正規分布」と「棄却域」という言葉を含めなさい。
なお、
$\sqrt{2}=1.4,\sqrt3=1.7,\sqrt5 = 2.2$として計算し、
必要に応じて正規分布表を用いなさい。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{2}$
薬を病気にかかっている患者に投与すると、
投与された患者のうちの$40$% に治療の効果が認められる。
この薬に対し、新しく開発した薬$\beta$の方が
治療の効果が認められる割合が高いかどうか、
有意水準$5$%で検定を行う。
病気$X$にかかっている患者から無作為に抽出した$1000$人に
薬を投与したとき、
$n$人以上に治療の効果が認められると、
薬$\alpha$よりも薬$\beta$の方が効果が認められる割合が高いと判断される。
ただし、薬の治療効果の標本比率を$R$、母比率を$p$とする。
(1) 帰無仮説$H_0$と対立仮説$H_1$に設定する式は
$H_0:\boxed{チ},H_1:\boxed{ツ}$である。
$H_0$が正しいと仮定するとき、
$R$は近似的に正規分布$N(\boxed{テ},\boxed{ト})$に従う。
(2) (1) をふまえ、
$n$のとりうる最小の値を求めなさい。
ただし、解答に
「標準正規分布」と「棄却域」という言葉を含めなさい。
なお、
$\sqrt{2}=1.4,\sqrt3=1.7,\sqrt5 = 2.2$として計算し、
必要に応じて正規分布表を用いなさい。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(5)〜複素数平面上の正n角形の頂点に関する性質
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(5)$n$は$n\geqq 3$を満たす自然数とする。
複素数$z$を$\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin \dfrac{2\pi}{n}$とおき、
複素数平面において$z^k (0\leqq k \leqq n-1)$が表す点を
$P_k$とする。
ただし、$k$は整数、$i$は虚数単位とする。
(i)$n$個の点$P_0,P_1,P_2,\cdots P_{n-1}$を
頂点とする正$n$角形の面積を$S_n$とする。
$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=\boxed{シ}$であり、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めると$\boxed{ス}$である。
(ii)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} z^k$を求めると$\boxed{ス}$である。
(iii)$n=7$とする。
三角形$P_1P_2P_4$の重心を$A(\alpha)$、
三角形$P_3P_5P_6$の重心を$B(\beta)$とおく。
複素数$\alpha,\beta$を求めると、
$\alpha=\boxed{ソ},\beta=\boxed{タ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{1}$
(5)$n$は$n\geqq 3$を満たす自然数とする。
複素数$z$を$\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin \dfrac{2\pi}{n}$とおき、
複素数平面において$z^k (0\leqq k \leqq n-1)$が表す点を
$P_k$とする。
ただし、$k$は整数、$i$は虚数単位とする。
(i)$n$個の点$P_0,P_1,P_2,\cdots P_{n-1}$を
頂点とする正$n$角形の面積を$S_n$とする。
$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=\boxed{シ}$であり、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めると$\boxed{ス}$である。
(ii)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} z^k$を求めると$\boxed{ス}$である。
(iii)$n=7$とする。
三角形$P_1P_2P_4$の重心を$A(\alpha)$、
三角形$P_3P_5P_6$の重心を$B(\beta)$とおく。
複素数$\alpha,\beta$を求めると、
$\alpha=\boxed{ソ},\beta=\boxed{タ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(4)〜円柱を切ってできる立体の体積と側面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#立体図形#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)$xyz$空間において、
$xy$平面上に$(0,0,0)$を中心とする半径$2$の円がある。
この円と、$(0,0,2\sqrt3)$を中心とする半径$2$の円を
底面とする円柱を、
原点を通り$xz$平面と$30$度の角をなす平面によって
切断し、$2$つの立体に分ける。
いま$2$つの立体のうち、
体積の小さい方の立体について考える。
その立体の体積を$V$、切り口の面積を$S_1$、
円柱の側面であった部分の面積を$S_2$とする。
(i)$V=\boxed{ケ}$
(ii)$S_1=\boxed{コ},S_2=\boxed{サ}$である。
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$\boxed{1}$
(4)$xyz$空間において、
$xy$平面上に$(0,0,0)$を中心とする半径$2$の円がある。
この円と、$(0,0,2\sqrt3)$を中心とする半径$2$の円を
底面とする円柱を、
原点を通り$xz$平面と$30$度の角をなす平面によって
切断し、$2$つの立体に分ける。
いま$2$つの立体のうち、
体積の小さい方の立体について考える。
その立体の体積を$V$、切り口の面積を$S_1$、
円柱の側面であった部分の面積を$S_2$とする。
(i)$V=\boxed{ケ}$
(ii)$S_1=\boxed{コ},S_2=\boxed{サ}$である。
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(3)〜絶対値の付いた対数関数の最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)実数$x$に対して、関数
$f(x)=\left \vert \dfrac{1}{10^{-x}\log 10^{-x}}\right \vert$
は、$x=\boxed{キ}$のとき最小値$\boxed{ク}$をとる。
ただし、$x$は$x\gt 0$を満たし、対数は自然対数とする。
なお、$\log 2=0.69,\log 3=1.10,\log 5=1.61,$
自然対数の底$e$は$2.72$として計算し、
$\boxed{キ}$と$\boxed{ク}$は小数で答えなさい。
値が小数第$2$位までで割り切れない場合は、
小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めなさい。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)実数$x$に対して、関数
$f(x)=\left \vert \dfrac{1}{10^{-x}\log 10^{-x}}\right \vert$
は、$x=\boxed{キ}$のとき最小値$\boxed{ク}$をとる。
ただし、$x$は$x\gt 0$を満たし、対数は自然対数とする。
なお、$\log 2=0.69,\log 3=1.10,\log 5=1.61,$
自然対数の底$e$は$2.72$として計算し、
$\boxed{キ}$と$\boxed{ク}$は小数で答えなさい。
値が小数第$2$位までで割り切れない場合は、
小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めなさい。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(2)〜正八面体に内接する立方体の体積
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#立体図形#立体切断#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)$a$は$a\gt 0$を満たす実数とする。
$xyz$空間に$6$点$(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a),$
$(-a,0,0)(0,-a,0)(0,0,-a)$を頂点とする多面体
$S$がある。
(i)$S$の体積は$\boxed{オ}$である。
(ii)立方体$U$のすべての頂点が$S$の辺上にあるとき、
$U$の体積は$\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)$a$は$a\gt 0$を満たす実数とする。
$xyz$空間に$6$点$(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a),$
$(-a,0,0)(0,-a,0)(0,0,-a)$を頂点とする多面体
$S$がある。
(i)$S$の体積は$\boxed{オ}$である。
(ii)立方体$U$のすべての頂点が$S$の辺上にあるとき、
$U$の体積は$\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(1)〜絶対不等式と2次関数の最大最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$a$を実数とする。
$x$の$2$次関数$f(x)＝x^2-ax+a+2$は、
すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 0$を満たす。
(i)$a$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
(ii)$-2\leqq x\leqq 3$において、$f(x)$の最大値を$m$,
最大値を$M$とおく。
$m$が最大となるのは$a=\boxed{イ}$のときであり、
このとき$m=\boxed{ウ},M=\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$a$を実数とする。
$x$の$2$次関数$f(x)＝x^2-ax+a+2$は、
すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 0$を満たす。
(i)$a$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
(ii)$-2\leqq x\leqq 3$において、$f(x)$の最大値を$m$,
最大値を$M$とおく。
$m$が最大となるのは$a=\boxed{イ}$のときであり、
このとき$m=\boxed{ウ},M=\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
【慶應文学部あめりあてゃ】１浪２留の末についに進級！
単元：
#大学入試過去問(数学)#化学#学校別大学入試過去問解説(数学)#大学入試過去問(化学)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#慶應義塾大学#数学(高校生)#理科(高校生)#慶應義塾大学#慶應義塾大学#小論文(高校生)#慶應義塾大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
藤川天を置き去りにした衝撃展開！**慶應文学部「あめりあてゃ」**のヤバすぎる大学生活が暴露されたぞ。
1浪2留（1年生を3回！）の末、ついに**「仮進級」**を勝ち取ったあめりあてゃ。しかし、喜びの裏には地獄があった！
* **慶應文学部は1年から2年への進級が鬼ムズ**。
* 彼女は語学を2つ（フランス語とドイツ語）も取っていたという**「バカじゃないの」な選択**をしていた。そのうち1科目ずつ落としたため、「仮進級」扱いとなった。
* しかも彼女、GPAは**「0.5」**という信じられない低さ！視力並みに悪いGPAで、人気の「美学美術」（ビビ）への進学は断念。
* 第一志望のビビへの発表を駅の改札で見て、**泣き叫んだ**というエピソードも。
* 結局、第二希望の**西洋史学**に進むことに。
さらに彼女は、**アイドル活動を半年で解散**していたことも判明。すぐに問題が起こり、揉めて解散したらしい。
そして衝撃の事実！彼女は3年間も慶應にいるのに、**三田キャンパスに一度も行ったことがない**というから驚きだ。
次なる目標は**ミスコン出場**！モリテツチャンネル出身者はミスコン・ミスターコン率100%のため、ぜひ出場してほしいと先生たちから強く勧められているぞ。
そして動画のラストには、合格祝いとしてモリテツ先生と**サンリオピューロランドに行く約束**が浮上！ピューロランド編が爆誕する可能性も出てきたぞ。
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藤川天を置き去りにした衝撃展開！**慶應文学部「あめりあてゃ」**のヤバすぎる大学生活が暴露されたぞ。
1浪2留（1年生を3回！）の末、ついに**「仮進級」**を勝ち取ったあめりあてゃ。しかし、喜びの裏には地獄があった！
* **慶應文学部は1年から2年への進級が鬼ムズ**。
* 彼女は語学を2つ（フランス語とドイツ語）も取っていたという**「バカじゃないの」な選択**をしていた。そのうち1科目ずつ落としたため、「仮進級」扱いとなった。
* しかも彼女、GPAは**「0.5」**という信じられない低さ！視力並みに悪いGPAで、人気の「美学美術」（ビビ）への進学は断念。
* 第一志望のビビへの発表を駅の改札で見て、**泣き叫んだ**というエピソードも。
* 結局、第二希望の**西洋史学**に進むことに。
さらに彼女は、**アイドル活動を半年で解散**していたことも判明。すぐに問題が起こり、揉めて解散したらしい。
そして衝撃の事実！彼女は3年間も慶應にいるのに、**三田キャンパスに一度も行ったことがない**というから驚きだ。
次なる目標は**ミスコン出場**！モリテツチャンネル出身者はミスコン・ミスターコン率100%のため、ぜひ出場してほしいと先生たちから強く勧められているぞ。
そして動画のラストには、合格祝いとしてモリテツ先生と**サンリオピューロランドに行く約束**が浮上！ピューロランド編が爆誕する可能性も出てきたぞ。
福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜慶應義塾大学理工学部2020第5問〜平面ベクトルと面積比
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\fbox{5}$ 平行四辺形$ABCD$において、$AB=2, BC=3$とし、対角線$AC$の長さを$4$とする。 辺$AB, BC, CD, DA$上にそれぞれ点$E, F, G, H$を$AE=BF=CG=DH=x$を満たすようにとる。ただし、$x$は$0x<2$の範囲を動くとする。さらに、対角線$AC$上に点$P$を$AP=x^2$を満たすようにとる。以下では、平行四辺形$ABCD$の面積を$S$とする。
(1) $\triangle$$AEP$の面積を$T_1$とする。$\frac{T_1}{S}$は、$x$を用いて表すと$\fbox{ テ }$となる。
(2) $\triangle$$EFP$ の面積を$T_2$とする。$\frac{T_2}{S}$は、$x=$$\fbox{ ト }$のとき最大値$\fbox{ ナ }$をとる。
(3) $\triangle$$GHP$の面積を$T_3$とする。$\frac{T_3}{S}$となるのは$x=$$\fbox{ ニ }$のときである。
(4) 点$P$が線分$EH$上にあるのは$x=$$\fbox{ ヌ }$のときである。
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$\fbox{5}$ 平行四辺形$ABCD$において、$AB=2, BC=3$とし、対角線$AC$の長さを$4$とする。 辺$AB, BC, CD, DA$上にそれぞれ点$E, F, G, H$を$AE=BF=CG=DH=x$を満たすようにとる。ただし、$x$は$0x<2$の範囲を動くとする。さらに、対角線$AC$上に点$P$を$AP=x^2$を満たすようにとる。以下では、平行四辺形$ABCD$の面積を$S$とする。
(1) $\triangle$$AEP$の面積を$T_1$とする。$\frac{T_1}{S}$は、$x$を用いて表すと$\fbox{ テ }$となる。
(2) $\triangle$$EFP$ の面積を$T_2$とする。$\frac{T_2}{S}$は、$x=$$\fbox{ ト }$のとき最大値$\fbox{ ナ }$をとる。
(3) $\triangle$$GHP$の面積を$T_3$とする。$\frac{T_3}{S}$となるのは$x=$$\fbox{ ニ }$のときである。
(4) 点$P$が線分$EH$上にあるのは$x=$$\fbox{ ヌ }$のときである。
福田の数学〜慶應義塾大学2024環境情報学部第5問〜リーグ戦の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
(1) 6つの大学による野球の総当たり戦を考える。総当たり戦では、どの2つの大学も1試合ずつ対戦し、試合ごとに引き分けなしで勝敗が決定する。いま、 各大学の実力は拮抗していて、勝敗の確率は$\frac{1}{2}$ずつとする。 このとき、全勝する大学が存在する確率は$\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$ 、全勝する大学と全敗する大学が両方存在する確率は$\frac{\fbox{オカキ}}{\fbox{クケコ}}$ 、どの大学も1試合は勝って1試合は負ける確率は$\frac{\fbox{サシス}}{\fbox{セソタ}}$である。
(2) 4つの大学による野球の総当たり戦を考える。総当たり戦では、どの2つの大学も1試合ずつ対戦し、試合ごとに引き分けなしで勝敗が決定する。いま、4つの大学のうちK大学の実力が他の3つの大学よりもまさっていて、K大学が他の大学に勝つ確率は$\frac{3}{4}$負ける確率は$\frac{1}{4}$とする。一方で、K大学以外の3つの大学の2 実力は拮抗していて、これらの大学同士の勝敗の確率は$\frac{1}{2}$ずつとする。このとき、全勝する大学が存在する確率はする確率は、$\frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テト}}$、全勝する大学と全敗する大学が両方存在する確率は$\frac{\fbox{ナニ}}{\fbox{ヌネ}}$、どの大学も1試合は勝って1試合は負ける確率は$\frac{\fbox{ノハ}}{\fbox{ヒフ}}$である。
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(1) 6つの大学による野球の総当たり戦を考える。総当たり戦では、どの2つの大学も1試合ずつ対戦し、試合ごとに引き分けなしで勝敗が決定する。いま、 各大学の実力は拮抗していて、勝敗の確率は$\frac{1}{2}$ずつとする。 このとき、全勝する大学が存在する確率は$\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$ 、全勝する大学と全敗する大学が両方存在する確率は$\frac{\fbox{オカキ}}{\fbox{クケコ}}$ 、どの大学も1試合は勝って1試合は負ける確率は$\frac{\fbox{サシス}}{\fbox{セソタ}}$である。
(2) 4つの大学による野球の総当たり戦を考える。総当たり戦では、どの2つの大学も1試合ずつ対戦し、試合ごとに引き分けなしで勝敗が決定する。いま、4つの大学のうちK大学の実力が他の3つの大学よりもまさっていて、K大学が他の大学に勝つ確率は$\frac{3}{4}$負ける確率は$\frac{1}{4}$とする。一方で、K大学以外の3つの大学の2 実力は拮抗していて、これらの大学同士の勝敗の確率は$\frac{1}{2}$ずつとする。このとき、全勝する大学が存在する確率はする確率は、$\frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テト}}$、全勝する大学と全敗する大学が両方存在する確率は$\frac{\fbox{ナニ}}{\fbox{ヌネ}}$、どの大学も1試合は勝って1試合は負ける確率は$\frac{\fbox{ノハ}}{\fbox{ヒフ}}$である。