立教大学

福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(2)〜17のn乗の1の位

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)

17^{n}

の1の位の数が1になる最小の自然数

n

は

イ

である。また、

17^{555}

の1の位の数を求めると、

ウ

である。

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福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(1)〜三角方程式の基本

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)実数

x

が

3 \cos x

=

\sin^{2} x

　を満たすとき、

\cos x

の値は

ア

である。

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大学入試問題#860「これ、ええ問題」　#立教大学　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{\sin (1 - \cos x)}{x^{2}}

出典：立教大学　入試問題

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#立教大学(2010) #定積分 #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} \frac{2 x^{3}}{1 + x^{2}} d x

出典：2010年立教大学

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第3問〜放物線と直線で囲まれた図形の面積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　pを正の実数とする。Oを原点とする座標平面上の放物線C：

y

=

\frac{1}{4} x^{2}

上の点P

(p, \frac{1}{4} p^{2})

における接線を

l

、Pを通り

x

軸に垂直な直線を

m

とする。また、

m

上の点Q

(p, - 1)

を通り

l

に垂直な直線を

n

とし、

l

と

n

の交点をRとする。さらに、

l

に関してQと対称な点をSとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)

l

の方程式を

p

を用いて表せ。
(2)

n

の方程式およびRの座標をそれぞれ

p

を用いて表せ。
(3)Sの座標を求めよ。
(4)

l

を対象軸として、

l

に関して

m

と対称な直線

m^{'}

の方程式を

p

を用いて表せ。
また、

m^{'}

とCの交点のうちPと異なる点をTとするとき、Tの

x

座標を

p

を用いて表せ。
(5)(4)のTに対して、線分ST、線分OSおよびCで囲まれた部分の面積を

p

を用いて表せ。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第2問〜利息計算と漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

　1年目の初めに新規に100万円を預金し、2年目以降の毎年初めに12万円を追加で預金する。ただし、毎年の終わりに、その時点での預金額の8%が利子として預金に加算される。自然数

n

に対して、

n

年目の終わりに利子が加算された後の預金額を

S_{n}

万円とする。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、

\log_{10} 2

=0.3010,　

\log_{10} 3

=0.4771とする。
(1)

S_{1}

,　

S_{2}

をそれぞれ求めよ。
(2)

S_{n + 1}

を

S_{n}

を用いて表せ。
(3)

S_{n}

を

n

を用いて表せ。
(4)

\log_{10} 1.08

を求めよ。
(5)

S_{n}

＞513　を満たす最小の自然数

n

を求めよ。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(7)〜集合と座標平面

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(7)座標平面の3つの部分集合
A=

{(x, - 2 x + 2) | x は 実 数, x < 0}

B=

{(x, 2 x + 2) | x は 実 数, x ≧ 0}

C=

{(x, - x + 3) | x は 実 数}

に対し、(A

\cup

B)

\cap

C　に属する点の座標をすべて求めると

キ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(6)〜関数方程式

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(6)2次式

f (x)

が

f (f (x))

=

f (x)^{2}

+1 を満たすとき

f (x)

=

カ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(5)〜共面条件

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(5)

t

を実数とする。座標空間において、3点O(0,0,0), A(1,0,2), B(2,-1,0)の定める平面OAB上に点C(

t

+1,

t

,1-

t

)があるとき、

t

=

オ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(4)〜確率の基本性質

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(4)大小2個のさいころを同時に投げる。大きいサイコロのでた目を

a

、小さいサイコロのでた目を

b

とするとき、

\frac{a}{b}

が整数になる確率は

エ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(3)〜三角形を解く

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(3)三角形ABCにおいてAB=AC=4,　BC=6とする。AB上の点PがCP=5を満たすとき、AP=

ウ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(2)〜条件付き最大最小問題

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(2)2つの実数

x

,

y

が

x^{2}

+

y^{2}

=1　を満たすとき、

z

=2

x

+

y

のとりうる値の範囲は

イ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(1)〜三角関数の最小値

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(1)関数

y

=4

\cos^{2} θ

-

4 \sin θ

-5　の最小値は

ア

である。

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第4問〜数学的帰納法とはさみうちの原理

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

　正の数列

x_{1}

,

x_{2}

,

x_{3}

,...,

x_{n}

,... は以下を満たすとする。

x_{1}

=8,　

x_{n + 1}

=

\sqrt{1 + x_{n}}

　(

n

=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)

x_{2}

,

x_{3}

,

x_{4}

をそれぞれ求めよ。
(2)すべての

n

≧1について(

x_{n + 1}

-

α

)(

x_{n + 1}

+

α

)=

x_{n}

-

α

　となる定数

α

で、
正であるものを求めよ。
(3)

α

を(2)で求めたものとする。すべての

n

≧1について

x_{n}

＞

α

であることを

n

に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値

lim_{n \to \infty} x_{n}

を求めよ。

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第3問〜双曲線と直線の囲む面積

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　座標平面上の曲線Cを
C：

y

=

\frac{3}{x}

-8　(

x

>0)
で定める。また

p

を正の定数とし、点

(p, \frac{3}{p} - 8)

におけるCの接線を

l

とする。
さらに、

a

を実数とし、直線

y

=

a x

を

m

とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)

l

の方程式を求めよ。
(2)

l

が原点を通るとき、

p

の値を求めよ。
(3)Cと

m

が異なる2点P,Qを共有するとき、

a

の値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、Qの

x

座標

x_{0}

はPの

x

座標

x_{1}

よりも大きいとする。

x_{0}

-

x_{1}

=1であるときの

a

の値を求めよ。
(5)(4)のとき、Cと直線

m

で囲まれる図形の面積を求めよ。

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第2問〜ベクトルの共面条件と共線条件

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

0<

k

1とする。座標空間内の四面体OABCについて、線分ACの中点をD、線分BCの中点をE、線分DEを1：2に内分する点をPとする。また、
線分OPを

k

：1-

k

に内分する点をQとし、Rを

\vec{C R}

=

l \vec{C Q}

を満たす点とする。

\vec{a}

=

\vec{O A}

,　

\vec{b}

=

\vec{O B}

,　

\vec{c}

=

\vec{O C}

とおいたとき、次の問いに答えよ。
(1)

\vec{O D}

,　

\vec{O E}

,　

\vec{O P}

を

\vec{a}

,　

\vec{b}

,　

\vec{c}

を用いて表せ。
(2)

\vec{O R}

を

\vec{a}

,　

\vec{b}

,　

\vec{c}

,　

k

,　

l

を用いて表せ。
(3)Rが平面OAB上にあるとき、

l

を

k

を用いて表せ。
(4)線分OAの中点をF、線分OBの中点をGとする。Rが線分FG上にあるときの

k

の値を求めよ。

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(5)〜反復試行の確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(5)表の出る確率が

\frac{2}{3}

、裏の出る確率が

\frac{1}{3}

のコインを投げて、表が出たら+1点を加え、裏が出たら-1点を加える。というルールのゲームを行う。
0点から初めて5回コインを投げ終わった時、得点が3点以上となる確率は

オ

である。

2023立教大学理学部過去問

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(4)〜２次方程式が整数解をもつ条件

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)-1≦

α

≦1 とする。

x

に関する方程式

x^{2}

-

\frac{3}{2} x

-

\frac{9}{4}

+

α

=0
が整数解をもつとき、

α

の値は

エ

である。

2023立教大学理学部過去問

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(3)〜線分上の格子点の個数

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)座標平面上の2点O(0, 0)とP(2023, 1071)について、線分OA上にある点(x, y)でx, yが共に整数であるものの個数は

ウ

である。
ただし、線分OPは両端点を含むものとする。

2023立教大学理学部過去問

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(2)〜極値をとる条件

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)関数

f (t)

=

a \cos^{3} t

+

\cos^{2} t

が

t

=

\frac{π}{4}

で極値をとるとき、

a

=

イ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(1)〜指数方程式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#指数関数と対数関数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)方程式

2^{x + 2}

-

2^{2 x + 1}

+16=0 を解くと

x

=

ア

である。

2023立教大学理学部過去問

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立教大のナイスな問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2023立教大学過去問題

A = \frac{10^{40} - 3^{10}}{9997}

,

B = \frac{10^{36} - 3^{9}}{9997}

①Aの１の位の数
②A-3Bを素因数分解
③AとBの最大公約数

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大学入試問題#491「綺麗な問題」　立教大学類題　By 英語orドイツ語シはBかHかさん　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
（1）

\int x e^{- x} l o g (x + 1) d x

（2）

\int \frac{l o g x - 1}{(l o g x + x)^{2}} d x

出典：立教大学　入試問題

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題074〜立教大学2019年度経済学部第１問(6)〜最大公約数を求める

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(6)14351と14803の最大公約数は

キ

である。

2019立教大学経済学部過去問

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大学入試問題#341「部分積分の心を・・・」　立教大学　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int (\sin x + x \cos x) l o g x d x

出典：立教大学　入試問題

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福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第１問〜サイコロの目の約数倍数の確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを3回投げるとき、出た目を順にX_1,X_2,X_3とする。
また、

Y = \frac{X_{2} X_{3}}{X_{1}}

とする。
(1)

X_{1} = 2

のとき、Yが整数となる確率は

\frac{ア}{イ}

である。

(2)

X_{1} = 3

のとき、Yが整数となる確率は

\frac{ウ}{エ} で あ る 。 (3)

X_1=4

の と き 、 Y が 整 数 と な る 確 率 は

\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}}

で あ る 。 (4) Y が 整 数 と な る 確 率 は

\frac{\boxed{クケ}}{\boxed{コサ}}$である。

2022青山学院大学理工学部過去問

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福田の数学〜立教大学2022年経済学部第３問〜放物線と円と直線で囲まれた面積

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#微分法と積分法#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上の放物線

C : y = x^{2}

とC上の点P

(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{4})

がある。
PにおけるCの接線をlとし、また、Pを通りlと直交する直線をmとする。
さらに、mとx軸の交点をQとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)mの方程式を

y = p x + q

とするとき、定数p,qの値を求めよ。
(2)Qの座標を

(a, 0)

とするとき、aの値を求めよ。
(3)Qを中心とする半径rの円Dがlとただ1つの共有点を持つとき、rの値を求めよ。
(4)(1)で定めたp,qの値に対して、次の連立不等式の表す領域の面積S_1を求めよ。

x ≧ 0, y ≧ 0, y ≦ p x + q, y ≦ x^{2}

(5)(2)で定めたaの値と(3)で定めたrの値に対して、次の連立不等式の表す領域
の面積S_2を求めよ。

0 ≦ x ≦ \frac{\sqrt{3}}{2}, y ≧ 0, y ≦ x^{2}, (x - a)^{2} + y^{2} ≧ r^{2}

2022立教学部経済学部過去問

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福田の数学〜立教大学2022年経済学部第２問〜平面ベクトルの直交条件

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
tを正の実数とする。

O A = 1, O B = t

である三角形OABにおいて、

\vec{a} = \vec{O A}

\vec{b} = \vec{O B}, ∠ A O B = θ

とする。ただし、

0 < θ < \frac{π}{2}

とする。また、辺OAの中点
をM、辺OBを1:2に内分する点をNとする。次の問いに答えよ。
(1)

\vec{A N}

と

\vec{B M}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。
(2)内積

\vec{A N} ・ \vec{B M}

を

t

と

\cos θ

を用いて表せ。
(3)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

であるとき、

\cos θ

を

t

を用いて表せ。
(4)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

であるとき、

\cos θ

の最小値とそれを与えるtの値をそれぞれ求めよ。
(5)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

となるθが存在するtの値の範囲を求めよ。

2022立教大学経済学部過去問

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大学入試問題#318　立教大学改 (2021)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{e} \frac{(l o g x)^{4}}{x^{2}} d x

出典：2021年立教大学　入試問題

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福田の数学〜立教大学2022年経済学部第１問(5)〜群数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
自然数n が 2n-1 個続く、初項が1の次のような数列がある。
1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5,…

このとき、自然数 m が初めて現れるのは第何項か。
また第 2022項はいくつか。

2022立教学部経済学部過去問

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福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(2)〜17のn乗の1の位

福田の数学〜立教大学2024年理学部第1問(1)〜三角方程式の基本

大学入試問題#860「これ、ええ問題」 #立教大学 #極限

#立教大学(2010) #定積分 #Shorts

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第3問〜放物線と直線で囲まれた図形の面積

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第2問〜利息計算と漸化式

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(7)〜集合と座標平面

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(6)〜関数方程式

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(5)〜共面条件

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(4)〜確率の基本性質

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(3)〜三角形を解く

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(2)〜条件付き最大最小問題

福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(1)〜三角関数の最小値

福田の数学〜立教大学2023年理学部第4問〜数学的帰納法とはさみうちの原理

福田の数学〜立教大学2023年理学部第3問〜双曲線と直線の囲む面積

福田の数学〜立教大学2023年理学部第2問〜ベクトルの共面条件と共線条件

福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(5)〜反復試行の確率

福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(4)〜２次方程式が整数解をもつ条件

福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(3)〜線分上の格子点の個数

福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(2)〜極値をとる条件

福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(1)〜指数方程式

立教大のナイスな問題

大学入試問題#491「綺麗な問題」 立教大学 類題 By 英語orドイツ語シはBかHか さん #不定積分

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題074〜立教大学2019年度経済学部第１問(6)〜最大公約数を求める

大学入試問題#341「部分積分の心を・・・」 立教大学 #不定積分

福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第１問〜サイコロの目の約数倍数の確率

福田の数学〜立教大学2022年経済学部第３問〜放物線と円と直線で囲まれた面積

福田の数学〜立教大学2022年経済学部第２問〜平面ベクトルの直交条件

大学入試問題#318 立教大学 改 (2021) #定積分

福田の数学〜立教大学2022年経済学部第１問(5)〜群数列

大学入試問題#860「これ、ええ問題」　#立教大学　#極限

大学入試問題#491「綺麗な問題」　立教大学類題　By 英語orドイツ語シはBかHかさん　#不定積分

大学入試問題#341「部分積分の心を・・・」　立教大学　#不定積分

大学入試問題#318　立教大学改 (2021)　#定積分