千葉大学

数学「大学入試良問集」【16−2 複素数平面と三角形の形との関係】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上に三角形

A B C

があり、その頂点

A, B, C

を表す複素数をそれぞれ

z_{1}, z_{2}, z_{3}

とする。
複素数

ω

に対して、

z_{1} = ω z_{3}, z_{2} = ω z_{1}, z_{3} = ω z_{2}

が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）

1 + ω + ω^{2}

の値を求めよ。
（2）三角形

A B C

はどんな形の三角形か。
（3）

z = z_{1} + 2 z_{2} + 3 z_{3}

の表す点を

D

とすると、三角形

O B D

はどんな形の三角形か。ただし、

O

は原点である。

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数学「大学入試良問集」【7−1 二次関数の最大最小】を宇宙一わかりやすく

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

a

を正の実数とする。
2次関数

f (x) = a x^{2} - 2 (a + 1) x + 1

に対して、次の問いに答えよ。
（1）関数

y = f (x)

のグラフの頂点の座標を求めよ。
（2）

0 ≦ x ≦ 2

の範囲で

y = f (x)

の最大値と最小値を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【6−6 外接球と四面体】を宇宙一わかりやすく

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

A B = 5, B C = 7, C A = 8

および

O A = O B = O C = t

を満たす四面体

O A B C

がある。
（1）

∠ B A C

を求めよ。
（2）

△ A B C

の外接円の半径を求めよ。
（3）4つの頂点

O, A, B, C

が同一球面上にあるとき、その球の半径が最小となるような実数

t

の値を求めよ。

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【理数個別の過去問解説】2007年度千葉大学数学第2問解説

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
nは奇数とする。このとき、次のことを証明せよ。
(1)n²-1は8の倍数である。
(2)n⁵-nは3の倍数である。
(3)n⁵-nは120の倍数である。
千葉大学(文理共通)2007年第2問より

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千葉大　三次関数と円　東大数学科卒の杉山さん

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#指数関数と対数関数#円と方程式#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
曲線

y = x^{3} - x

と円

(x - a^{2}) + (y - a)^{2} = 2 a^{2}

の共有点が2つ
共有点の

x

座標は？

(a > 0)

出典：千葉大学　過去問

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千葉大　漸化式　良問再投稿

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n} = \frac{(1 + \sqrt{3})^{n} + (1 - \sqrt{3})^{n}}{4} (n ≧ 2)

以下を求めよ

a_{n}

は整数

a_{n}

は3で割ると余りが2

出典：2013年千葉大学　過去問

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千葉大　素数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a, b

は2以上の自然数

（1）

a^{b} - 1

が素数なら

a = 2, b

は素数。示せ

（2）

a^{b} + 1

が素数なら

b = 2^{c} (c

は自然数

)

示せ

出典：2007年千葉大学　過去問

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千葉大　複素数　極形式　７乗根

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

α = \cos \frac{2}{7} π + i \sin \frac{2}{7} π

（1）

α + α^{2} + α^{3} + α^{4} + α^{5} + α^{6}

（2）

(1 - α) (1 - α^{2}) (1 - α^{3}) (1 - α^{4})

(1 - α^{5}) (1 - α^{6})

(1)(2)それぞれ値を求めよ

出典：千葉大学　過去問

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千葉大（医）整数問題　良問再投稿

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
①

3^{n} = k^{3} + 1

②

3^{n} = k^{2} - 40

k, n

自然数

出典：千葉大学大学院医学研究院・医学部　過去問

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千葉大放物線と法線

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

C : y = \frac{1}{2} x^{2}

点

(a, b)

を通る

C

の法線が3本引ける

a, b

の必要十分条件は？

出典：2010年千葉大学　過去問

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千葉大　整式

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a, b, c, d

は自然数

a \neq b, c \neq d

自然数

p, q

が存在することを示せ

出典：2004年千葉大学　過去問

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千葉大漸化式証明

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n} \frac{(1 + \sqrt{3})^{n} + (1 - \sqrt{3})^{n}}{4}

n ≧ 2

の自然数

（1）

a_{n}

は整数

（2）

a_{n}

を3で割ると余りは2である

出典：2013年千葉大学　過去問

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千葉大　整数問題　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
下記証明せよ
（1）

2 x^{2} - y^{2} = 9

を満たす整数

x, y

は3の倍数である

（2）

21 x^{2} - 10 y^{2} = 9

を満たす整数

x, y

は存在しない

出典：千葉大学　過去問

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千葉大　二重絶対値記号のついた二次方程式の解の個数 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#２次関数#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#2次方程式と2次不等式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題

| x^{2} - 6 x - | x - 6 | | + x = a

実数解の個数(a実数)

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千葉大　漸化式　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
90千葉大学過去問題

a_{1} = 1

3 (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) = (n + 2) a_{n}

(1)一般項

a_{n}

を求めよ。
(2)

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}

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千葉大（医）訂正版　整数問題 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2013千葉大学過去問題

m^{4} + 14 m^{2}

が

2 m + 1

の整数倍となるような整数mを全て

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千葉大（医）訂正版をご覧ください。別解をコメントしてくださった方がいるので、公開はします。Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2013千葉大学過去問題

m^{4} + 14 m^{2}

が

2 m + 1

の整数倍となるような整数mを全て求めよ.

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千葉大　整数 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題

8 n^{3} + 40 n

が

2 n + 1

で割り切れるような自然数nをすべて求めよ。

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千葉大　三次関数と放物線　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題
a実数、2つの曲線

y = x^{3} + 2 a x^{2} - 3 a^{2} x - 4

y = a x^{2} - 2 a^{2} x - 3 a

はある共有点で両方に共通な接線をもつ。aを求めよ

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千葉大　三次関数高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題

f (x) = x^{3}, g (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

f(x)とg(x)のグラフが点

(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})

で共通の接線をもつ。
(1)b,cをaを用いて表せ。
(2)f(x)-g(x)の

0 ≦ x ≦ 1

における最小値をaを用いて表せ。

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千葉大　埼玉大　整式の剰余　三乗根　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#埼玉大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題

x^{4} + a x^{3} + a x^{2} + b x - 6

が

x^{2} - 2 x + 1

で割り切れるとき、a,bの値

埼玉大学過去問題

\frac{1}{2 -^{3} \sqrt{7}} = P + q^{3} \sqrt{7} + r^{3} \sqrt{49}

が成り立つ整数p,q,rの例をあげよ。

^{3} \sqrt{7}

と

^{3} \sqrt{9}

ではどちらが2に近いか。

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千葉大　整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題
Pを素数、nを2以上の自然数

x^{n} - P^{n} x - P^{n + 1} = 0

は整数解をもたないことを証明せよ。

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千葉大　素数　整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題
n,Nは自然数
(1)5以上の素数は6n+1の形で表されることを示せ。
(2)6N-1は、6n-1の形で表される素数を約数にもつことを示せ。
(3)6n-1の形で表される素数は無限にあることを示せ。

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千葉大　整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2004千葉大学過去問題
x,y自然数、pは素数

p^{2} = x^{3} + y^{3}

となる
(p,x,y)をすべて求めよ。

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千葉大　整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題
30!について
(1)

2^{k}

で割ったとき商が整数となる最大のkの値
(2)末尾に0がいくつ並ぶか
(3)1の位から左に見ていき最初にあらわれる0以外の数は何か

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千葉大学　整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#指数関数と対数関数#指数関数#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2003千葉大学過去問題
x,y,z,nは自然数

x^{2} = 7^{2 n} (y^{2} + 10 z^{2})

が成り立っている
(1)平方数を3で割った余りは0か1を示せ
(2)yzは3の倍数であることを示せ。
(3)y,zが共に素数のときxをnを用いて表せ。

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千葉大学、弘前大学　整数問題　メルセンヌ素数　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#千葉大学#数学(高校生)#弘前大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
弘前大学過去問題

n^{5} - n

は30の倍数であることを示せ。

千葉大学過去問題

2^{n} - 1

が素数ならnは素数であることを示せ。

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千葉大（医）整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2010千葉大学過去問題
k,n自然数
(1)

3^{n} = k^{3} + 1

(2)

3^{n} = k^{2} - 40

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