大学入試過去問(数学)
大学入試過去問(数学)
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学2B 第2問・第4問【今となっては過去問解説】
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#大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数学#共通テスト
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
共通テスト2023数学2B 第2問・第4問解説していきます.
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【日本最速解答速報】共通テスト2023数学2B 第1問【今となっては過去問解説】
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#大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数学#共通テスト
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
共通テスト2023数学2B 第1問解説していきます.
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【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第2問(2)
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第2問(2)【今となっては過去問解説】
単元：
#大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数学#共通テスト
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
共通テスト2023数学1A 第2問(2)解説していきます.
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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題061〜早稲田大学2019年度社会科学部第１問〜円の通過範囲と放物線と円の位置関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ $k$を実数とする。座標平面において方程式
$x^2+y^2+x+(2k+1)y+k^2+1=0$
の表す図形$C$を考える。次の問いに答えよ。
(1)$C$が円であるような$k$の値の範囲を求めよ。ただし、点も円とみなすものとする。
(2)$k$が変化するとき、$C$が通る点($x,y$)の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3)(2)で求めた領域の境界線と(1)で求めた円が共有点をもたないような、$k$の値の
範囲を求めよ。
2019早稲田大学社会科学部過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ $k$を実数とする。座標平面において方程式
$x^2+y^2+x+(2k+1)y+k^2+1=0$
の表す図形$C$を考える。次の問いに答えよ。
(1)$C$が円であるような$k$の値の範囲を求めよ。ただし、点も円とみなすものとする。
(2)$k$が変化するとき、$C$が通る点($x,y$)の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3)(2)で求めた領域の境界線と(1)で求めた円が共有点をもたないような、$k$の値の
範囲を求めよ。
2019早稲田大学社会科学部過去問
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第4問
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第4問【今となっては過去問解説】
単元：
#大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数学#共通テスト
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
共通テスト2023数学1A 第4問解説していきます.
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【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第3問
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第3問【今となっては過去問解説】
単元：
#大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
共通テスト2023数学1A 第3問解説していきます.
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【日本最速解答速報】共通テスト2023数学ⅠA 第1問(2)
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第1問(2)【今となっては過去問解説】
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学ⅠA 第1問(1)
【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第1問(1)【今となっては過去問解説】
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題060〜早稲田大学2019年度教育学部第３問〜区分求積と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ (1)m,nを自然数とし、$n \geqq 2$とする。このとき、
$\log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right) \lt \displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k} \lt \log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)+\displaystyle\frac{n}{m(m+n)}$
を証明せよ。ただし、$\displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{m+1}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{m+n-1}$とする。
(2)2以上の自然数$n$に対して
$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2n+k)(n+1-k)}$
$b_n=\displaystyle\frac{\log n}{n}$
とおく。$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ。
2019早稲田大学教育学部過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ (1)m,nを自然数とし、$n \geqq 2$とする。このとき、
$\log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right) \lt \displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k} \lt \log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)+\displaystyle\frac{n}{m(m+n)}$
を証明せよ。ただし、$\displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{m+1}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{m+n-1}$とする。
(2)2以上の自然数$n$に対して
$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2n+k)(n+1-k)}$
$b_n=\displaystyle\frac{\log n}{n}$
とおく。$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ。
2019早稲田大学教育学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題059〜慶應義塾大学2019年度薬学部第１問(7)〜球に内接する四角錐の体積の最大値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (7)正四角錐ABCDEの全ての頂点は半径3の球面上にある。
この正四角錐の体積Vの最大値は$\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
2019慶應義塾大学薬学部過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ (7)正四角錐ABCDEの全ての頂点は半径3の球面上にある。
この正四角錐の体積Vの最大値は$\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
2019慶應義塾大学薬学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題058〜慶應義塾大学2019年度環境情報学部第５問〜正方形の中の内接外接する円の半径
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ 図のように(※動画参照)、1つの正方形の中に、半径の異なる3種類の円が合計10個配置されている。
円$A_1$と$A_2$は半径が同じRで、それぞれ図のように正方形の2辺に内接している。
円$B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$は半径が同じrで、円$B_1$と$B_2$は接し、
図のように両方とも円$A_1$に内接し円$A_2$に外接している。円$B_3$と$B_4$は接し、図のように両方とも円$A_1$と円$A_2$に内接している。円$B_5$と$B_6$は接し、
図のように両方とも円$A_1$に外接し円$A_2$に内接している。
円$C_1$と$C_2$は半径が同じ$r'$で、それぞれ図のように正方形の2辺に内接し、円$A_1$と$A_2$に外接している。なお、円$B_1,B_2,B_5,B_6$は正方形の辺に接していない。
このとき、正方形の1辺の長さをsとすると
$\left\{\begin{array}{1}
R=\displaystyle\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}r \\
s=\left(\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt{R}+\boxed{\ \ キク\ \ }\sqrt{r'}\right)^{\boxed{ケコ}}\\
r'=\frac{\boxed{\ \ サシ\ \ }+\displaystyle\sqrt{10}+\boxed{\ \ スセ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }+\displaystyle5\sqrt{10}}}{\boxed{\ \ チツ\ \ }}r\\
\end{array}\right.$
である。
2019慶應義塾大学環境情報学部過去問
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$\Large{\boxed{5}}$ 図のように(※動画参照)、1つの正方形の中に、半径の異なる3種類の円が合計10個配置されている。
円$A_1$と$A_2$は半径が同じRで、それぞれ図のように正方形の2辺に内接している。
円$B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$は半径が同じrで、円$B_1$と$B_2$は接し、
図のように両方とも円$A_1$に内接し円$A_2$に外接している。円$B_3$と$B_4$は接し、図のように両方とも円$A_1$と円$A_2$に内接している。円$B_5$と$B_6$は接し、
図のように両方とも円$A_1$に外接し円$A_2$に内接している。
円$C_1$と$C_2$は半径が同じ$r'$で、それぞれ図のように正方形の2辺に内接し、円$A_1$と$A_2$に外接している。なお、円$B_1,B_2,B_5,B_6$は正方形の辺に接していない。
このとき、正方形の1辺の長さをsとすると
$\left\{\begin{array}{1}
R=\displaystyle\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}r \\
s=\left(\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt{R}+\boxed{\ \ キク\ \ }\sqrt{r'}\right)^{\boxed{ケコ}}\\
r'=\frac{\boxed{\ \ サシ\ \ }+\displaystyle\sqrt{10}+\boxed{\ \ スセ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }+\displaystyle5\sqrt{10}}}{\boxed{\ \ チツ\ \ }}r\\
\end{array}\right.$
である。
2019慶應義塾大学環境情報学部過去問
大阪公立大 ７の８０乗の下５桁
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#大阪公立大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ 7^{80}$の下5桁を求めよ.
大阪公立大過去問
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$ 7^{80}$の下5桁を求めよ.
大阪公立大過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題057〜慶應義塾大学大学2019年度商学部第３問〜グループ分けの確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 男子7人、女子5人の12人の中から3人を選んで第1グループを作る。次に、残った人の中から3人を選んで第2グループを作る。
(1)第1グループの男子の数が
0人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イウ\ \ }}$
1人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}$
2人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$
3人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シス\ \ }}$
である。
(2)第1グループも第2グループも男子の数が1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}$である。また、第2グループの男子の数が1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}$である。
(3)第2グループの男子の数が1人であるとき、第1グループの男子の数も1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}$である。
2019慶應義塾大学商学部過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ 男子7人、女子5人の12人の中から3人を選んで第1グループを作る。次に、残った人の中から3人を選んで第2グループを作る。
(1)第1グループの男子の数が
0人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イウ\ \ }}$
1人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}$
2人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$
3人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シス\ \ }}$
である。
(2)第1グループも第2グループも男子の数が1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}$である。また、第2グループの男子の数が1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}$である。
(3)第2グループの男子の数が1人であるとき、第1グループの男子の数も1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}$である。
2019慶應義塾大学商学部過去問
福田の数学〜北里大学2020年医学部第１問(1)〜虚数係数の３次方程式の解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (1)$p,q$を実数の定数、$i$を虚数単位とする。$x$の方程式
$x^3-(p-i)x^2+(q-pi)x-2p+\displaystyle\frac{3p}{2}i=0$
が$2+i$を解にもつとする。このとき、$p=\boxed{\ \ ア\ \ }$,$q=\boxed{\ \ イ\ \ }$である。また、この方程式の$2+i$以外の解を$\alpha$,$\beta$(ただし、|$\alpha$| $\lt$ |$\beta$|)とおくと$\left(\displaystyle\frac{\beta-i}{\alpha}\right)^7=\boxed{\ \ ウ \ \ }$である。
2020北里大学医学部過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ (1)$p,q$を実数の定数、$i$を虚数単位とする。$x$の方程式
$x^3-(p-i)x^2+(q-pi)x-2p+\displaystyle\frac{3p}{2}i=0$
が$2+i$を解にもつとする。このとき、$p=\boxed{\ \ ア\ \ }$,$q=\boxed{\ \ イ\ \ }$である。また、この方程式の$2+i$以外の解を$\alpha$,$\beta$(ただし、|$\alpha$| $\lt$ |$\beta$|)とおくと$\left(\displaystyle\frac{\beta-i}{\alpha}\right)^7=\boxed{\ \ ウ \ \ }$である。
2020北里大学医学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題056〜神戸大学2017年度文系第１問〜３次関数の最大最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#接線と増減表・最大値・最小値#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ tを正の実数とする。$f(x)=x^3+3x^2-3(t^2-1)x+2t^3-3t^2+1$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)2t^3-3t^2+1 を因数分解せよ。
(2)$f(x)$が極小値0をもつことを示せ。
(3)$-1 \leqq x \leqq 2$における$f(x)$の最小値$m$と最大値$M$をtの式で表せ。
2017神戸大学文系過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ tを正の実数とする。$f(x)=x^3+3x^2-3(t^2-1)x+2t^3-3t^2+1$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)2t^3-3t^2+1 を因数分解せよ。
(2)$f(x)$が極小値0をもつことを示せ。
(3)$-1 \leqq x \leqq 2$における$f(x)$の最小値$m$と最大値$M$をtの式で表せ。
2017神戸大学文系過去問
学習院大 二次不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ f(x)=x^2+2(a-5)x+a^2-11a+26$
$f(x)a$を満たす実数xが存在するようなaの範囲を求めよ.
学習院大過去問
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$ f(x)=x^2+2(a-5)x+a^2-11a+26$
$f(x)a$を満たす実数xが存在するようなaの範囲を求めよ.
学習院大過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題055〜大阪大学2017年度理系第５問〜回転体と回転体の交わりの部分の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ xy平面上で放物線y=$x^2$と直線y=2で囲まれた図形を、y軸のまわりに1回転してできる回転体をLとおく。回転体Lに含まれる点のうち、xy平面上の直線x=1からの距離が1以下のもの全体がつくる立体をMとおく。
(1)$t$を$0 \leqq t \leqq 2$を満たす実数とする。xy平面上の点(0, $t$)を通り、
y軸に直交する平面によるMの切り口の面積を$S(t)$とする。$t=(2\cos\theta)^2$ $\left(\displaystyle\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$のとき、$S(t)$を$\theta$を用いて表せ。
(2)Mの体積Vを求めよ。
2017大阪大学理系過去問
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$\Large{\boxed{5}}$ xy平面上で放物線y=$x^2$と直線y=2で囲まれた図形を、y軸のまわりに1回転してできる回転体をLとおく。回転体Lに含まれる点のうち、xy平面上の直線x=1からの距離が1以下のもの全体がつくる立体をMとおく。
(1)$t$を$0 \leqq t \leqq 2$を満たす実数とする。xy平面上の点(0, $t$)を通り、
y軸に直交する平面によるMの切り口の面積を$S(t)$とする。$t=(2\cos\theta)^2$ $\left(\displaystyle\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$のとき、$S(t)$を$\theta$を用いて表せ。
(2)Mの体積Vを求めよ。
2017大阪大学理系過去問
福田の数学〜北里大学2021年医学部第３問〜関数の増減とはさみうちの原理による数列の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 関数$f(x)=x^5-2x^3+9x$について考える。実数$t$に対して$y=f(x)$上の点($t, f(t)$)における接線と$x$軸の交点の$x$座標を$g(t)$とおく。
また、正の実数$t$に対して$h(t)=\displaystyle\frac{g(t)}{t}$とおく。次の問いに答えよ。
(1)$g(t)$を求めよ。
(2)$h'(t)=0$を満たす正の実数$t$を求めよ。
(3)実数$p$は、すべての正の実数$t$に対して|$h(t)$|$\leqq p$を満たすとする。
このような$p$の最小値を求めよ。
(4)$a$を定数とする。$a_1=a, a_{n+1}=g(a_n)$ $(n=1,2,3...)$で定められる数列
$\left\{a_n\right\}$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0$となることを示せ。
2021北里大学医学部過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ 関数$f(x)=x^5-2x^3+9x$について考える。実数$t$に対して$y=f(x)$上の点($t, f(t)$)における接線と$x$軸の交点の$x$座標を$g(t)$とおく。
また、正の実数$t$に対して$h(t)=\displaystyle\frac{g(t)}{t}$とおく。次の問いに答えよ。
(1)$g(t)$を求めよ。
(2)$h'(t)=0$を満たす正の実数$t$を求めよ。
(3)実数$p$は、すべての正の実数$t$に対して|$h(t)$|$\leqq p$を満たすとする。
このような$p$の最小値を求めよ。
(4)$a$を定数とする。$a_1=a, a_{n+1}=g(a_n)$ $(n=1,2,3...)$で定められる数列
$\left\{a_n\right\}$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0$となることを示せ。
2021北里大学医学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題054〜大阪大学2017年度文系第１問〜放物線とx軸で囲まれた面積
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ $b,c$を実数、$q$を正の実数とする。放物線$P:y=-x^2+bx+c$の頂点の$y$座標が
$q$のとき、放物線$P$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$q$を用いて表せ。
2017大阪大学文系過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ $b,c$を実数、$q$を正の実数とする。放物線$P:y=-x^2+bx+c$の頂点の$y$座標が
$q$のとき、放物線$P$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$q$を用いて表せ。
2017大阪大学文系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題053〜名古屋大学2017年度文系第３問〜不定方程式の解と条件を満たす約数の個数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 次の問に答えよ。
(1)次の条件(＊)を満たす3つの自然数($a$,$b$,$c$)をすべて求めよ。
(＊)$a \lt b \lt c$かつ$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$である。
(2)偶数$2n(n \geqq 1)$の3つの正の約数$p,q,r$で$p \gt q \gt r$と$p+q+r=n$を満たす組($p,q,r$)の個数を$f(n)$とする。ただし、条件を満たす組が存在しない場合は、
$f(n)=0$とする。$n$が自然数全体を動くときの$f(n)$の最大値$M$を求めよ。
また、$f(n)=M$となる自然数$n$の中で最小のものを求めよ。
2017名古屋大学文系過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ 次の問に答えよ。
(1)次の条件(＊)を満たす3つの自然数($a$,$b$,$c$)をすべて求めよ。
(＊)$a \lt b \lt c$かつ$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$である。
(2)偶数$2n(n \geqq 1)$の3つの正の約数$p,q,r$で$p \gt q \gt r$と$p+q+r=n$を満たす組($p,q,r$)の個数を$f(n)$とする。ただし、条件を満たす組が存在しない場合は、
$f(n)=0$とする。$n$が自然数全体を動くときの$f(n)$の最大値$M$を求めよ。
また、$f(n)=M$となる自然数$n$の中で最小のものを求めよ。
2017名古屋大学文系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題052〜東京慈恵会医科大学2019年度医学部第２問〜２曲線の相接と囲まれた部分の面積とその極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ $a,b$は定数で$a \gt 1$とする。2つの曲線$C_1:y=\displaystyle\frac{3e^x-1}{e^x+1}$,$C_2:y=\displaystyle\frac{e^x}{a^2}+b$が共有点Pをもち、点Pにおいて共通の接線をもつとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$C_1$の凹凸および変曲点を調べ、$C_1$の概形を描け。
(2)点Pの座標と$b$を$a$で表せ。
(3)$C_1$,$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を$a$で表せ。また、極限値$\displaystyle\lim_{a \to \infty}S(a)$を求めよ。
ただし、必要ならば$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}= 0$であることを用いてよい。
2019東京慈恵会医科大学医学部過去問
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$\Large{\boxed{2}}$ $a,b$は定数で$a \gt 1$とする。2つの曲線$C_1:y=\displaystyle\frac{3e^x-1}{e^x+1}$,$C_2:y=\displaystyle\frac{e^x}{a^2}+b$が共有点Pをもち、点Pにおいて共通の接線をもつとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$C_1$の凹凸および変曲点を調べ、$C_1$の概形を描け。
(2)点Pの座標と$b$を$a$で表せ。
(3)$C_1$,$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を$a$で表せ。また、極限値$\displaystyle\lim_{a \to \infty}S(a)$を求めよ。
ただし、必要ならば$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}= 0$であることを用いてよい。
2019東京慈恵会医科大学医学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題051〜東京理科大学2019年度理工学部第１問(2)〜桁数と最高位の数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (2)$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$とする。$2^{36}$は$\boxed{\ \ テト \ \ }$桁の整数である。
$3^n$が$\boxed{\ \ テト \ \ }$桁の整数となる最小の自然数$n$は$\boxed{\ \ ナニ \ \ }$であり、$2^{36}+6×3^{\boxed{\ \ ナニ \ \ }}$
は$\boxed{\ \ ヌネ \ \ }$桁の整数である。
2019東京理科大学理工学部過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ (2)$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$とする。$2^{36}$は$\boxed{\ \ テト \ \ }$桁の整数である。
$3^n$が$\boxed{\ \ テト \ \ }$桁の整数となる最小の自然数$n$は$\boxed{\ \ ナニ \ \ }$であり、$2^{36}+6×3^{\boxed{\ \ ナニ \ \ }}$
は$\boxed{\ \ ヌネ \ \ }$桁の整数である。
2019東京理科大学理工学部過去問
福田の数学〜北里大学2021年医学部第２問〜条件が複雑な重複順列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ $n$ を正の整数とし、1,2,3,4,5,6の6個の数字から同じ数字を繰り返し用いることを許して$n$桁の整数をつくる。このような整数のうち、1が奇数個用いられるものの総数を$A_n$、それ以外のものの総数を$B_n$とする。
また、1か6がいずれも奇数個用いられるものの総数を$C_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$A_4$を求めよ。
(2)正の整数$n$に対して、$A_{n+1}$を$A_n$と$B_n$を用いて表せ。
(3)正の整数$n$に対して、$A_n$と$B_n$を求めよ。
(4)$p$を定数とする。$X_1=p$,$X_{n+1}=2X_n+6^n$($n$=1,2,3,...)で定められる
数列を$\left\{X_n\right\}$とする。正の整数$n$に対して、$X_n$を$n$と$p$を用いて表せ。
(5)正の整数$n$に対して、$C_n$を求めよ。
2021北里大学医学部過去問
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$\Large{\boxed{2}}$ $n$ を正の整数とし、1,2,3,4,5,6の6個の数字から同じ数字を繰り返し用いることを許して$n$桁の整数をつくる。このような整数のうち、1が奇数個用いられるものの総数を$A_n$、それ以外のものの総数を$B_n$とする。
また、1か6がいずれも奇数個用いられるものの総数を$C_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$A_4$を求めよ。
(2)正の整数$n$に対して、$A_{n+1}$を$A_n$と$B_n$を用いて表せ。
(3)正の整数$n$に対して、$A_n$と$B_n$を求めよ。
(4)$p$を定数とする。$X_1=p$,$X_{n+1}=2X_n+6^n$($n$=1,2,3,...)で定められる
数列を$\left\{X_n\right\}$とする。正の整数$n$に対して、$X_n$を$n$と$p$を用いて表せ。
(5)正の整数$n$に対して、$C_n$を求めよ。
2021北里大学医学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題050〜一橋大学2017年度文系第２問〜連立方程式の整数解
単元：
#連立方程式#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 連立方程式$\\$
$\left\{\begin{array}{1}
x^2=yz+7\\
y^2=zx+7\\
z^2=xy+7\\
\end{array}\right.\\$
を満たす整数の組(x,y,z)でx $\leqq$ y $\leqq$ zとなるものを求めよ。
2017一橋大学文系過去問
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$\Large{\boxed{2}}$ 連立方程式$\\$
$\left\{\begin{array}{1}
x^2=yz+7\\
y^2=zx+7\\
z^2=xy+7\\
\end{array}\right.\\$
を満たす整数の組(x,y,z)でx $\leqq$ y $\leqq$ zとなるものを求めよ。
2017一橋大学文系過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題049〜早稲田大学2019年度商学部第２問〜折れ線の長さの最小値問題
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 座標平面上において、放物線\ y=x^2上の点をP、円(x-3)^2+(y-1)^2=1\ 上の\\
点をQ、直線\ y=x-4上の点をRとする。次の設問に答えよ。\\
\\
(1)QR の最小値を求めよ。\\
(2)PR+QR の最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
2019早稲田大学商学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 座標平面上において、放物線\ y=x^2上の点をP、円(x-3)^2+(y-1)^2=1\ 上の\\
点をQ、直線\ y=x-4上の点をRとする。次の設問に答えよ。\\
\\
(1)QR の最小値を求めよ。\\
(2)PR+QR の最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
2019早稲田大学商学部過去問