問題文全文(内容文)：
$x^{2010}$を$x^4-1$で割った余りに$x=3$を代入した値を求めよ。

出典：2010年兵庫医科大学

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-10}^{0} \displaystyle \frac{1}{(x+11)(x+12)}$ $dx$

出典：2013年山梨大学

問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ \displaystyle \frac{a}{20} } \lt \cos\displaystyle \frac{\pi}{8} \lt \sqrt{ \displaystyle \frac{a+1}{20} }$を満たす整数$a$を求めよ。

出典：2014年奈良県立医科大学

問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{\sqrt{ 2x+1 }}$ $dx$

出典：福岡大学

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{(\sqrt{ x^2+x+4 }-\sqrt{ x^2+4 })\sin2x}{x^2}$

出典：2024年愛媛大学

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x-4}{2x^2+5x+2}$ $dx$

出典：2022年東京理科大学

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{\sqrt{ 2x+2}-\sqrt{ 2 }}$ $dx$

出典：小樽商科大学

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
(1)$(3x-1)(9x^2+3x+1)$を展開せよ。
(2)$\displaystyle \frac{x-1}{1+\frac{1}{x+2}}$を簡単にせよ。
(3)2次関数$y=2x^2-x+1$の最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。$\displaystyle \frac{(2+i)^2}{i}$を$a+bi$(a,bは実数)の形で表せ。
(5)$AB=4,BC=\sqrt{7},CA=\sqrt{3}$である△ABCにおいて、cos∠BACの値と△ABCの面積を求めよ。
(6)a,a,b,b,c,cの6文字を1列に並べるとき、並べ方は全部で何通りか。このうち、a,aが隣り合わないような並べ方は何通りか。

第2問-i：2次不等式
aは正の定数とする。実数xについての2つの不等式 $ax^2+(2a-5)x-2a+1＜0$･･･①、$│2x-3│≦3$･･･②がある。
(1)a=2のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべての実数xに対して、①が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

第2問-ii：図形と方程式
xy平面上に、2つの円$C₁:x^2+y^2-10x-a^2-4a+21=0、C2:x^2+y^2=5$がある。また、C₂上の点P(2,1)におけるC₂の 接線を$l$とする。ただし、aはa＞-2を満たす定数とする。
(1)a=1のとき、C₁の中心の座標と半径を求めよ。
(2)$l$の方程式を求めよ。
(3)C₁と$l$が接するようなaの値を求めよ。また、このとき のC1と$l$の接点をQとするとき、線分PQの長さを求めよ。

第3問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$ f(x)=x^3+(a+3)x^2+(3a+b)x+3b$ と、3次方程式 $f(x)=0$･･･(*)がある。
(1)f(-3)を求めよ。
(2)a=-1かつb=1のとき、(*)を解け。
(3)(*)が異なる2つの虚数解をもつためのa,bの条件を求めよ。
(4)a,bが(3)で求めた条件を満たすとし、(*)の異なる2つの虚数解をα,βとする。このとき、$α^2,β^2$がともに(*)の解となるようなa,bの値の組(a,b)をすべて求めよ。

第4問：確率
5枚のカード1,1,2,2,3が入った袋が1つあり、次の操作(I)を考える。
操作(I): 袋から2枚のカードを同時に取り出し、取り出した2枚のカードに書かれた数の和をXとし、取り出した2枚のカードを袋に戻す。
(1)操作(I)を1回行う。
(i)X=2となる確率を求めよ。
(ii)X=4となる確率を求めよ。
さらに、1枚の硬貨を用意し、操作(I)で定まるXの値に対して、次の操作(II)を考える。
操作(II):1枚の硬貨を投げ、表が出たらY=X+1とし、裏が出たらY=Xとする。
操作(I), (II)を(I), (II)の順に1回ずつ行うことを操作Tとする。
(2)操作Tを1回行う。
(i)Y=4となる確率を求めよ。
(ii)Yの期待値を求めよ。
(3)操作Tを3回繰り返すとき、3回のYの値の合計が15になる確率を求めよ。

第5問：三角関数
aを実数の定数とする。θの方程式$cos2θ+2(5a-1)sinθ-12a^2+6a-1=0$･･･(*)がある
(1)cos2θをsinθを用いて表せ。
(2)a=0とする。0≦θ＜2πにおいて、(*)を解け。
(3)0≦θ＜2πにおいて、(*)が異なる4個の解をもつとする。
(i)aのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)0≦θ＜2πにおける(*)の4個の解を、小さい順にθ₁,θ₂,θ₃,θ₄とする。(θ₂-θ₁)+(θ₄-θ₃)=πとなるようなaの値を求めよ。

第6問：数列
nは自然数。等差数列{a_n}があり、a₁+a₂=8,a₄+a₅=20である。また、公比が実数である等比数列{b_n}があり、
b₁+b₂=4, b₄+b₅=108である。
(1)数列{a_n}の一般項を求めよ。また、数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
(2)数列{b_n}の一般項を求めよ。
(3)数列{c_n}は、左から順に次のような項が並べられた数列である。 b₁がa₁個、b₂がa₂個、b₃がa₃個、...、b_nがa_n個、... すなわち、{c}: b₁,...,b₁, b₂,...,b₂, b₃,..,b₃,...,b_n,...,b_n,...
(i)C₂₀₂₃の値を求めよ。ただし、結果は2¹⁰⁰のように指数表示のままでよい。
(ii)$\displaystyle \sum_{k=1}^{2023}c_k$の値を求めよ。ただし、結果は$2^{100}$のように指数表示のままでよい。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (2)$17^n$の1の位の数が1になる最小の自然数$n$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。また、$17^{555}$の1の位の数を求めると、$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (1)実数$x$が$3\cos x$=$\sin^2x$　を満たすとき、$\cos x$の値は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{6}}$ $a$,$b$,$p$を実数とする。関数$f(x)$=$x^3$+$ax^2$+$bx$+17　は$x$=$p$で極大値、$x$=$-4p$で極小値をとり、$f(-2p)$=-17　を満たすとする。
(1)$a$,$b$,$p$の値、および$f(x)$の極大値$M$、極大値$m$を、それぞれ求めよ。
(2)(1)で求めた$a$,$b$および0≦$t$≦5　を満たす実数$t$に対して、区間0≦$x$≦$t$　における|$f(x)$|の最大値を$g(t)$とする。$t$の値について場合分けをして、それぞれの場合に$g(t)$を求めよ。
(3)(2)で求めた$g(t)$に対して、定積分$I$=$\displaystyle\int_0^5g(t)dt$　を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$(2×3×5×7×11×13)^{10}$　の10進法での桁数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ $x$を正の実数とする。$m$と$n$は、それぞれ$m$≦$\displaystyle\log_4\frac{x}{8}$,　$n$≦$\displaystyle\log_2\frac{8}{x}$　を満たす最大の整数とし、さらに、$\alpha$=$\displaystyle\log_4\frac{x}{8}$－$m$,　$\beta$=$\displaystyle\log_2\frac{8}{x}$－$n$　とおく。
(1)$\log_2x$を、$m$と$\alpha$を用いて表せ。
(2)$2\alpha$+$\beta$　の取りうる値を全て求めよ。
(3)$n$=$m$－1　のとき、$m$と$n$の値を求めよ。
(4)$n$=$m$－1　となるために$x$が満たすべき必要十分条件を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ $p$,$q$を正の実数とし、Oを原点とする座標空間内に3点A(3,$-\sqrt 3$,0),B(3,$\sqrt 3$,0),C($p$,0,$q$)をとる。ただし、四面体OABCは1辺の長さが$2\sqrt 3$の正四面体であるとする。
(1)$p$および$q$の値を求めよ。
以下、点$\displaystyle\left(\frac{3}{2},0,\frac{q}{2}\right)$に関してO,A,B,Cと対称な点を、それぞれD,E,F,Gとする。
(2)直線DGと平面ABCとの交点Hの座標を求めよ。
(3)直線CBと平面DEGとの交点をI、直線CAと平面DFGとの交点をJとする。
四角形CJHIの面積$S$と四角錐G－CJHIの体積$V$を、それぞれ求めよ。

問題文全文(内容文)：
7月は共通テストの過去問を何年分解くべきなのか解説します。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 実数$a$に対して$f(a)$=$\displaystyle\frac{1}{2}(2^a-2^{-a})$とおく。また、$A$=$2^a$とする。
(1)等式$\displaystyle\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$=$\displaystyle\boxed{\ \ ア\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$－$\displaystyle\boxed{\ \ イ\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)$　より、実数$a$に対して
$\left\{f(a)\right\}^3$=$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}f(3a)$－$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}f(a)$　...①が成り立つ。
(2)実数$a$,$b$に対して$f(a)$=$b$が成り立つならば、$A$=$2^a$は2次方程式
$A^2$－$\boxed{\ \ キ\ \ }bA$－$\boxed{\ \ ク\ \ }$=0
を満たす。$2^a$>0より、$a$は$b$を用いて
$a$=$\log_2\left(\boxed{\ \ ケ\ \ }b+\sqrt{b^2+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して$f(a)$=$b$となる実数$a$が、ただ1つに定まる。
以下、数列$\left\{a_n\right\}$に対して$f(a_n)$=$b_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{b_n\right\}$が、関係式
$4b_{n+1}^3$+$3b_{n+1}$－$b_n$=0　($n$=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から$f\left(\boxed{\ \ サ\ \ }a_{n+1}\right)$=$f(a_n)$　($n$=1,2,3,...)となるので、(2)より、
$a_n$=$\displaystyle\frac{a_1}{\boxed{\ \ シ\ \ }^{n-p}}$　($n$=1,2,3,...)が得られる。ここで、$p$=$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
(4)$n$≧2に対して、$S_n$=$\displaystyle\sum_{k=2}^n3^{k-1}b_k^3$　とおく。$c_n$=$3^nb_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{c_n\right\}$の階差数列を用いると、③より、
$S_n$=$\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}b_1$－$\frac{\boxed{\ \ タ\ \ }^n}{\boxed{\ \ チ\ \ }}b_n$　($n$=2,3,4,...)
となる。ゆえに、$b_1$=$\displaystyle\frac{4}{3}S_5$－108　が成り立つならば$a_1$=$\boxed{\ \ ツテト\ \ }\log_2\boxed{\ \ ナ\ \ }$　である。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 袋の中に、1から9までの番号を重複なく1つずつ記入したカードが9枚入っている。A,B,C,Dの4人のうちDがさいころを投げて、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが、袋の中からカードを1枚引き、カードに記入された番号を記録することを試行という。ただし、1度引いたカードは袋に戻さない。この試行を3回続けて行う。また、1回目の試行前のA,B,Cの点数をそれぞれ0としたうえで、以下の(a),(b)に従い、各回の試行後のA,B,Cの点数を定める。
(a)各回の試行においてカードを引いた人は、その回の試行前の自分の点数に、その回の試行で記録した番号を加え、試行後の点数とする。
(b)各回の試行においてカードを引いていない人は、その回の試行前の自分の点数を、そのまま試行後の点数とする。
(1)1回目の試行後、Bの点数が3の倍数となる確率は$\frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}}$である。ただし、0はすべての整数の倍数である。
(2)2回目の試行後、A,B,Cのうち、1人だけの点数が0である確率は$\frac{\boxed{ウエ}}{\boxed{オカ}}$である。
(3)2回目の試行後のAの点数が5以上となる確率は$\frac{\boxed{キク}}{\boxed{ケコ}}$である。
(4)2回目の試行後のAの点数が5以上であるとき、3回目の試行後のA,B,Cの点数がすべて5以上である条件付き確率は$\frac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。

問題文全文(内容文)：
入試問題　法政大学高等学校

$(a^2+2a)^2-2(a^2+2a)-3$
を因数分解しなさい。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$
(2)$\theta$は|$\theta$|<$\displaystyle\frac{\pi}{2}$の範囲の定数とする。$x$=$\tan\theta$とおくと、$\displaystyle\frac{x}{x^2+1}$=$\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}\sin2\theta$かつ$\displaystyle\frac{1}{x^2+1}$=$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}(\cos2\theta$+1)であるので、$\displaystyle y=\frac{x^2+3x+5}{x^2+1}$とすると、
$\displaystyle y=\frac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}\sin(2\theta+\alpha)$+$\boxed{セ}$
と表せる。ただし、$\cos\alpha$=$\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}$,　$\sin\alpha$=$\frac{\boxed{チ}}{\boxed{ツ}}$である。また、|$x$|≦1に対応する$\theta$の範囲が|$\theta$|≦$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{テ}}$であることに注意すると、|$x$|≦1における$y$の取りうる値の最大値は$\frac{\boxed{トナ}}{\boxed{ニ}}$、最小値は$\frac{\boxed{ヌ}}{\boxed{ネ}}$　である。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (1)$p$を実数とする。$x$の2次方程式$x^2$－($p$－9)$x$－$p$+1=0　の解は整数$m$<0<$n$が成り立つとする。このとき$mn$+$m$+$n$=$\boxed{\ \ アイ\ \ }$なので、$m$=$\boxed{\ \ ウエ\ \ }$,　$n$=$\boxed{\ \ オ\ \ }$,　$p$=$\boxed{\ \ カキ\ \ }$　である。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標空間の4点O(0,0,0),A(-3,-1,1),B(2,-2,2),C(3,3,3)を頂点とする四面体OABCの、平面$z$=$t$による切り口を$S_t$とする。
(1)$S_t$は1<$t$<2のとき四角形となり、$t$=1および$t$=2のとき三角形となる。
1<$t$1　となるので、点Eはこの六面体の外にある。
(さ),(し),(す)の選択肢：ABC,ABD,ACD,BCD,OAD,OBD,OCD
(4)1<$t$<2に対して、(3)の六面体を平面$z$=$t$で切った切り口の面積を$U(t)$とすると、$U(t)$は$t$=$\boxed{\ \ (た)\ \ }$(ただし1<$\boxed{\ \ (た)\ \ }$<2)において最大値$\boxed{\ \ (ち)\ \ }$をとる。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ -1,0,1以外のすべての実数$x$に対して定義された関数
$f(x)$=$\displaystyle\frac{1}{3x(x^2-1)}$
を考える。
(1)$f(x)$は$x$=$\boxed{\ \ (あ)\ \ }$において極小値$\boxed{\ \ (い)\ \ }$をとり、$x$=$\boxed{\ \ (う)\ \ }$において極大値$\boxed{\ \ (え)\ \ }$をとる。
(2)曲線$y$=$f(x)$の概形を描きなさい。
(3)直線$y$=$mx$が曲線$y$=$f(x)$とちょうど4点で交わるとき、定数$m$の値の範囲は$\boxed{\ \ (お)\ \ }$である。
(4)$a$=$\boxed{\ \ (か)\ \ }$,　$b$=$\boxed{\ \ (き)\ \ }$,　$c$=$\boxed{\ \ (く)\ \ }$とすると、つぎの恒等式が成り立つ。
$f(x)$=$\displaystyle\frac{a}{x-1}$+$\displaystyle\frac{b}{x}$+$\displaystyle\frac{c}{x+1}$
(5)直線$y$=$mx$　(ただし$m$>0)が曲線$y$=$f(x)$と第1象限において交わる点Pの$x$座標を$x(m)$とし、
$A(m)$=$\displaystyle\lim_{T \to \infty}\int_{x(m)}^Tf(x)dx$
とおいて、$A(m)$を$m$の式で表すと、$A(m)$=$\boxed{\ \ (け)\ \ }$となる。また、原点をO、$\left(x(m),0\right)$を座標とする点をQとし、三角形OPQの面積を$B(m)$とおくと$\displaystyle\lim_{m \to +0}\frac{A(m)}{B(m)}$=$\boxed{\ \ (こ)\ \ }$　となる。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 袋が2つ(袋1と袋2)および赤玉2個、白玉4個が用意されている。それぞれの袋に玉が3個ずつ入った状態として、次の3つがあり得る。
状態A：袋1に入っている赤玉が0個である状態
状態B：袋1に入っている赤玉が1個である状態
状態C：袋1に入っている赤玉が2個である状態
上記の各状態に対して、次の2段階からなる操作Tを考える。
操作T：袋1から玉を1個無作為に取り出し、それを袋2に入れる。次に、袋2から玉を1個無作為に取り出し、それを袋1に入れる。
(1)X,YをそれぞれA,B,Cのいずれかとする。状態Xに対し操作Tを1回施した結果、状態Yになる確率をP(X→Y)で表す。このとき、
P(A→A)=$\boxed{\ \ (あ)\ \ }$,　P(A→B)=$\boxed{\ \ (い)\ \ }$,　P(B→A)=$\boxed{\ \ (う)\ \ }$,
P(B→B)=$\boxed{\ \ (え)\ \ }$,　P(C→A)=$\boxed{\ \ (お)\ \ }$,　P(C→B)=$\boxed{\ \ (か)\ \ }$　である。
(2)以下、$n$を自然数とし、状態Bから始めて操作Tを繰り返し施す。操作Tを$n$回施し終えたとき、状態Aである確率を$a_n$、状態Bである確率を$b_n$、状態Cである確率を$c_n$とする。$n$≧2　とするとき、$a_n$,$b_n$,$c_n$と$a_{n-1}$,$b_{n-1}$,$c_{n-1}$の間には次の関係式が成り立つ。
$\left\{\begin{array}{1}
a_n=\boxed{\ \ (あ)\ \ }a_{n-1}+\boxed{\ \ (う)\ \ }b_{n-1}+\boxed{\ \ (お)\ \ }c_{n-1}\\
b_n=\boxed{\ \ (い)\ \ }a_{n-1}+\boxed{\ \ (え)\ \ }b_{n-1}+\boxed{\ \ (か)\ \ }c_{n-1}\\
\end{array}\right.$
したがって$b_n$と$b_{n-1}$の間には次の関係式が成り立つことが分かる。
$b_n$=$\boxed{\ \ (き)\ \ }b_{n-1}$+$\boxed{\ \ (く)\ \ }$
これより、$n$≧1　に対して$b_n$を$n$の式で表すと
$b_n$=$\boxed{\ \ (け)\ \ }$+$\boxed{\ \ (こ)\ \ }(\boxed{\ \ (さ)\ \ })^n$
となる。さらに$d_n$=$\displaystyle\frac{a_n}{(\boxed{\ \ (あ)\ \ })^n}$とおくとき、$d_n$を$n$の式で表すと
$d_n$=$\boxed{\ \ (し)\ \ }\left\{(\boxed{\ \ (す)\ \ })^n-(\boxed{\ \ (せ)\ \ })^n\right\}$
となる。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$
(3) 関数$y$=$\cos x\sin 2x$　$\left(0≦x≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$の最大値は$\boxed{\ \ (け)\ \ }$である。また、この関数のグラフと$x$軸で囲まれてできる図形の面積は$\boxed{\ \ (こ)\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (2)座標平面の第1象限の点(X,Y)において楕円$\frac{x^2}{3}$+$\frac{y^2}{2}$=1　に接する直線を$l$とすると、$l$の傾きは$\boxed{\ \ (お)\ \ }$である。また、原点をO、$l$と$x$軸, $y$軸との交点をそれぞれP, Qとすると、三角形OPQの面積は(X,Y)=($\boxed{\ \ (か)\ \ }$, $\boxed{\ \ (き)\ \ }$)のときに最小値$\boxed{\ \ (く)\ \ }$をとる。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (1)座標平面の3点O(0,0), A(3,0), B(1, $\sqrt 3$)を頂点とする三角形OABの外心の座標は($\boxed{\ \ (あ)\ \ }$, $\boxed{\ \ (い)\ \ }$)であり、内心の座標は($\boxed{\ \ (う)\ \ }$, $\boxed{\ \ (え)\ \ }$)である。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 座標平面上の原点O(0,0)、点A(2,1)を考える。点Bは第1象限にあり、|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{10}$,　$\overrightarrow{OA}\bot\overrightarrow{AB}$を満たすとする。以下の問いに答えよ。
(1)点Bの座標を求めよ。
(2)$s$,$t$を正の実数とし、$\overrightarrow{OC}$=$s\overrightarrow{OA}$+$t\overrightarrow{OB}$　を満たす点Cを考える。三角形OACと三角形OBCの面積が等しく、|$\overrightarrow{OC}$|=4　が成り立つとき、$s$,$t$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $n$を3以上の整数とする。座標平面上の点のうち、$x$座標と$y$座標がともに1以上$n$以下の整数であるものを考える。これら$n^2$個の点のうち3点以上を通る直線の個数を$L(n)$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$L(3)$を求めよ。
(2)$L(4)$を求めよ。
(3)$L(5)$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 以下の問いに答えよ。
(1)自然数$a$, $b$が$a$<$b$を満たすとき、$\displaystyle\frac{b!}{a!}$≧$b$　が成り立つことを示せ。
(2)2・$a!$=$b!$　を満たす自然数の組($a$, $b$)を全て求めよ。
(3)$a!$+$b!$=2・$c!$　を満たす自然数の組($a$, $b$, $c$)を全て求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 整式$f(z)$=$z^6$+$z^4$+$z^2$+1
について、以下の問いに答えよ。
(1)$f(z)$=0　を満たす全ての複素数$z$に対して、|$z$|=1　が成り立つことを示せ。
(2)次の条件を満たす複素数$w$を全て求めよ。
条件：$f(z)$=0　を満たす全ての複素数$z$に対して
$f(wz)$=0　が成り立つ。