整数の性質
整数の性質
福田の数学〜2023年共通テスト速報〜数学IA第４問整数〜長方形のタイルを並べて長方形を作る
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1)横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1(※動画参照)のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\boxed{\ \ アイ\ \ }$である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ウエオカ\ \ }$のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が$\boxed{\ \ キク\ \ }$になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより$\boxed{\ \ キク\ \ }$長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが$\boxed{\ \ ケコサシ\ \ }$のものである。
(2)花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2(※動画参照)のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$のものであり、図2のような長方形は縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は$\boxed{\ \ タチ\ \ }$であり、$\boxed{\ \ タチ\ \ }$の倍数のうちで$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもある最小の正の整数は$\boxed{\ \ ツテトナ\ \ }$である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ニヌネノ\ \ }$のものであることがわかる。
2023共通テスト過去問
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第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1)横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1(※動画参照)のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\boxed{\ \ アイ\ \ }$である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ウエオカ\ \ }$のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が$\boxed{\ \ キク\ \ }$になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより$\boxed{\ \ キク\ \ }$長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが$\boxed{\ \ ケコサシ\ \ }$のものである。
(2)花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2(※動画参照)のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$のものであり、図2のような長方形は縦の長さが$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は$\boxed{\ \ タチ\ \ }$であり、$\boxed{\ \ タチ\ \ }$の倍数のうちで$\boxed{\ \ スセソ\ \ }$の倍数でもある最小の正の整数は$\boxed{\ \ ツテトナ\ \ }$である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{\ \ ニヌネノ\ \ }$のものであることがわかる。
2023共通テスト過去問
整数問題
単元：
#数Ⅰ#数A#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
nを自然数とする.
$(4n-1)^{2n+1}+(4n+1)^{2n-1}$は$32n^2$で割り切れることを示せ.
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nを自然数とする.
$(4n-1)^{2n+1}+(4n+1)^{2n-1}$は$32n^2$で割り切れることを示せ.
ナイスな整数問題
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
nを自然数とする.
$(4n-1)^{2n+1}+(4n+1)^{2n-1}$は$8n$で割り切れることを示せ.
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nを自然数とする.
$(4n-1)^{2n+1}+(4n+1)^{2n-1}$は$8n$で割り切れることを示せ.
整式の剰余 xの２０２３乗
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ x^{2023}を\displaystyle \sum_{n=1}^{16} x^n=1+x+x^2+････+x^{16}$で割った余りを求めよ.
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$ x^{2023}を\displaystyle \sum_{n=1}^{16} x^n=1+x+x^2+････+x^{16}$で割った余りを求めよ.
自作の整数問題 効率よく絞り込め
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
k,nを自然数とする.
$49・3^n=k^2+9152$
自然数(k,n)の組をすべて求めよ.
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k,nを自然数とする.
$49・3^n=k^2+9152$
自然数(k,n)の組をすべて求めよ.
宮崎大 整数問題基本
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
素数Pを2進法で表したらすべての位の数が1でk桁であったkは素数であることを示せ.
宮崎大過去問
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素数Pを2進法で表したらすべての位の数が1でk桁であったkは素数であることを示せ.
宮崎大過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題053〜名古屋大学2017年度文系第３問〜不定方程式の解と条件を満たす約数の個数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 次の問に答えよ。
(1)次の条件(＊)を満たす3つの自然数($a$,$b$,$c$)をすべて求めよ。
(＊)$a \lt b \lt c$かつ$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$である。
(2)偶数$2n(n \geqq 1)$の3つの正の約数$p,q,r$で$p \gt q \gt r$と$p+q+r=n$を満たす組($p,q,r$)の個数を$f(n)$とする。ただし、条件を満たす組が存在しない場合は、
$f(n)=0$とする。$n$が自然数全体を動くときの$f(n)$の最大値$M$を求めよ。
また、$f(n)=M$となる自然数$n$の中で最小のものを求めよ。
2017名古屋大学文系過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ 次の問に答えよ。
(1)次の条件(＊)を満たす3つの自然数($a$,$b$,$c$)をすべて求めよ。
(＊)$a \lt b \lt c$かつ$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$である。
(2)偶数$2n(n \geqq 1)$の3つの正の約数$p,q,r$で$p \gt q \gt r$と$p+q+r=n$を満たす組($p,q,r$)の個数を$f(n)$とする。ただし、条件を満たす組が存在しない場合は、
$f(n)=0$とする。$n$が自然数全体を動くときの$f(n)$の最大値$M$を求めよ。
また、$f(n)=M$となる自然数$n$の中で最小のものを求めよ。
2017名古屋大学文系過去問
ホッケースティック恒等式
単元：
#数A#整数の性質#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
a,b,cは0以上の整数であり,$a+b+c \leqq 11$となる.
(a,b,c)の組は何通りか?
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a,b,cは0以上の整数であり,$a+b+c \leqq 11$となる.
(a,b,c)の組は何通りか?
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題050〜一橋大学2017年度文系第２問〜連立方程式の整数解
単元：
#連立方程式#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 連立方程式$\\$
$\left\{\begin{array}{1}
x^2=yz+7\\
y^2=zx+7\\
z^2=xy+7\\
\end{array}\right.\\$
を満たす整数の組(x,y,z)でx $\leqq$ y $\leqq$ zとなるものを求めよ。
2017一橋大学文系過去問
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$\Large{\boxed{2}}$ 連立方程式$\\$
$\left\{\begin{array}{1}
x^2=yz+7\\
y^2=zx+7\\
z^2=xy+7\\
\end{array}\right.\\$
を満たす整数の組(x,y,z)でx $\leqq$ y $\leqq$ zとなるものを求めよ。
2017一橋大学文系過去問
はなでんの解説頼まれた
【はなおでんがん】理系注文大学対抗戦の解説
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
2022^2022の1の位をの値を求めよ。
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2022^2022の1の位をの値を求めよ。
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題046〜一橋大学2017年度文系第３問〜次数のわからない整式の決定問題
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
P(0)=1, P(x+1)-P(x)=2xを満たす整式P(x)を求めよ。
2017一橋大学文系過去問
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P(0)=1, P(x+1)-P(x)=2xを満たす整式P(x)を求めよ。
2017一橋大学文系過去問
北海道大 整数問題
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
k,nを自然数とする.
$25×3^n=k^2+176,(k,n)$をすべて求めよ.
2021北海道大過去問
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k,nを自然数とする.
$25×3^n=k^2+176,(k,n)$をすべて求めよ.
2021北海道大過去問
【数A】変数3つの不定方程式を解く！
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$5x+7y+9z=1$を満たす整数解$x,y,z$を求めよ
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$5x+7y+9z=1$を満たす整数解$x,y,z$を求めよ
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題044〜北海道大学2017年度理系第1問〜不等式の証明と整数問題
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#式と証明#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#整数の性質#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数の2乗となる数を平方数という。
(1)自然数a,n,kに対して、
$n(n+1)+a=(n+k)^2$が成り立つとき、
$a \geqq k^2+2k-1$
が成り立つことを示せ。
(2)$n(n+1)+14$が平方数となるような自然数nを全て求めよ。
2017北海道大学理系過去問
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自然数の2乗となる数を平方数という。
(1)自然数a,n,kに対して、
$n(n+1)+a=(n+k)^2$が成り立つとき、
$a \geqq k^2+2k-1$
が成り立つことを示せ。
(2)$n(n+1)+14$が平方数となるような自然数nを全て求めよ。
2017北海道大学理系過去問
整数問題
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
整数(x,y,z)の組をすべて求めよ.
$x^6+y^6+z^6=3xyz$
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整数(x,y,z)の組をすべて求めよ.
$x^6+y^6+z^6=3xyz$
ナイスな連立４元三次方程式
単元：
#数A#数Ⅱ#複素数と方程式#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#複素数#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+bcd=30 \\\
b+acd=30 \\
c+abd=30 \\
d+abc=30
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を解け.
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+bcd=30 \\\
b+acd=30 \\
c+abd=30 \\
d+abc=30
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を解け.
【数A】不定方程式の答えがあわないことありませんか？
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
不定方程式の答えあわせをしたとき、出した答えと解答が違うときがあるとおもいます。
その場合の確認方法についての解説です！
3x-7y=1を満たす整数解x,yを求めよ
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不定方程式の答えあわせをしたとき、出した答えと解答が違うときがあるとおもいます。
その場合の確認方法についての解説です！
3x-7y=1を満たす整数解x,yを求めよ
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題038〜京都大学2017年度理系第３問〜三角関数と自然数解
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#整数の性質#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p,q$を自然数,$\alpha,\beta$を
$\tan\alpha=\frac{1}{p}$,$\tan\beta=\frac{1}{q}$
を満たす実数とする。このとき、
$\tan(\alpha+2\beta)=2$
を満たすp,qの組(p,q)を全て求めよ。
2017京都大学理系過去問
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$p,q$を自然数,$\alpha,\beta$を
$\tan\alpha=\frac{1}{p}$,$\tan\beta=\frac{1}{q}$
を満たす実数とする。このとき、
$\tan(\alpha+2\beta)=2$
を満たすp,qの組(p,q)を全て求めよ。
2017京都大学理系過去問
大学入試問題#404「よく見る基本問題」 名古屋大学2009 #整数問題
単元：
#数A#整数の性質#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x,y$：正の実数
$\displaystyle \frac{2}{x}+\displaystyle \frac{1}{y}=\displaystyle \frac{1}{4}$をみたす組$(x,y)$をすべて求めよ。
出典：2009年名古屋大学 入試問題
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$x,y$：正の実数
$\displaystyle \frac{2}{x}+\displaystyle \frac{1}{y}=\displaystyle \frac{1}{4}$をみたす組$(x,y)$をすべて求めよ。
出典：2009年名古屋大学 入試問題
関西大 フェルマーの小定理の証明
単元：
#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
Pは素数であり,m,kを自然数とする.
(1)${}_m \mathrm{ C }_0+{}_m \mathrm{ C }_1+{}_m \mathrm{ C }_2+･･･{}_m \mathrm{ C }_m-1+{}_m \mathrm{ C }_m$の値を求めよ.
(2)$1\leqq k\leqq P-1$のとき${}_P \mathrm{ C }_k$はPの倍数である.
(3)$2^P-2$はPの倍数である.
関西大過去問
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Pは素数であり,m,kを自然数とする.
(1)${}_m \mathrm{ C }_0+{}_m \mathrm{ C }_1+{}_m \mathrm{ C }_2+･･･{}_m \mathrm{ C }_m-1+{}_m \mathrm{ C }_m$の値を求めよ.
(2)$1\leqq k\leqq P-1$のとき${}_P \mathrm{ C }_k$はPの倍数である.
(3)$2^P-2$はPの倍数である.
関西大過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題036〜京都大学2017年度文系第２問〜特定の素因数を持つ整数の個数
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。ただし、$0.3010 \lt \log_{10}2 \lt 0.3011$
であることは用いてよい。
(1)100桁以下の自然数で、2以下の素因数を持たないものの個数を求めよ。
(2)100桁の自然数で、2と5以外の素因巣を持たないものの個数を求めよ。
2017京都大学文系過去問
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次の問いに答えよ。ただし、$0.3010 \lt \log_{10}2 \lt 0.3011$
であることは用いてよい。
(1)100桁以下の自然数で、2以下の素因数を持たないものの個数を求めよ。
(2)100桁の自然数で、2と5以外の素因巣を持たないものの個数を求めよ。
2017京都大学文系過去問
あの東大の問題の類題！「あれ」で一発で解けます【数学 入試問題】
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
次の等式を満たす整数$x,y,z$の組$(x,y,z)$をすべて求めなさい。
$x^6+y^6+z^6=3xyz$
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次の等式を満たす整数$x,y,z$の組$(x,y,z)$をすべて求めなさい。
$x^6+y^6+z^6=3xyz$
数１
中学生向け整数問題
単元：
#数A#整数の性質#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
自然数(x,y,z)をすべて求めよ.
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
xy+xz=255 \\
xz-yz-224
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
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自然数(x,y,z)をすべて求めよ.
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
xy+xz=255 \\
xz-yz-224
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
【数学】東京海洋大2021年度整数問題(2)解説
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京海洋大学#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(2)pが5以上の素数であるとき、$p^2-1$は6の倍数であることを示せ
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(2)pが5以上の素数であるとき、$p^2-1$は6の倍数であることを示せ
高校入試だけどもガウス記号 大阪星光学院
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
記号[x]はxを超えない最大の整数。
$[(\frac{x-1}{2})^2] = \frac{x}{2} + 3 $のときx=?
大阪星光学院高等学校
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記号[x]はxを超えない最大の整数。
$[(\frac{x-1}{2})^2] = \frac{x}{2} + 3 $のときx=?
大阪星光学院高等学校
整数問題 基本
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$7^m=5^n+24$を満たす整数(m,n)を求めよ.
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$7^m=5^n+24$を満たす整数(m,n)を求めよ.
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題028〜九州大学2016年度文理共通問題〜余りと合同式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#茨城大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数nに対して、$10^n$を13で割った余りを$a_n$とおく。$a_n$は0から12まで
の整数である。以下の問いに答えよ。
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を13で割った余りに等しいことを示せ。
(2)$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_6$を求めよ。
(3)以下の3条件を満たす自然数Nをすべて求めよ。
$(\textrm{i})N$を十進法で表示した時6桁となる。
$(\textrm{ii})N$を十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くと
2016となる。
$(\textrm{iii})N$は13で割り切れる。
2016九州大学文理過去問
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自然数nに対して、$10^n$を13で割った余りを$a_n$とおく。$a_n$は0から12まで
の整数である。以下の問いに答えよ。
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を13で割った余りに等しいことを示せ。
(2)$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_6$を求めよ。
(3)以下の3条件を満たす自然数Nをすべて求めよ。
$(\textrm{i})N$を十進法で表示した時6桁となる。
$(\textrm{ii})N$を十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くと
2016となる。
$(\textrm{iii})N$は13で割り切れる。
2016九州大学文理過去問
素数問題
