数Ⅱ
数Ⅱ
【数Ⅱ】【微分法と積分法】微分の基本4 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1辺の長さ$x$の正四面体がある。
(1)正四面体の表面積を$S$とするとき，$S$を$x$の関数で表せ。
(2)$x$が変化するとき，$S$の$x=5$における微分係数を求めよ。
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1辺の長さ$x$の正四面体がある。
(1)正四面体の表面積を$S$とするとき，$S$を$x$の関数で表せ。
(2)$x$が変化するとき，$S$の$x=5$における微分係数を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】微分の基本3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\{(ax+b)^n\}'=na(ax+b)^{n-1}$ ($n$ は正の整数) であることを用いて、次の関数を微分せよ。
$(1)\ y=(2x+1)^3$
$(2)\ y=(x-1)^4$
$(3)\ y=(-2x+1)^5$
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$\{(ax+b)^n\}'=na(ax+b)^{n-1}$ ($n$ は正の整数) であることを用いて、次の関数を微分せよ。
$(1)\ y=(2x+1)^3$
$(2)\ y=(x-1)^4$
$(3)\ y=(-2x+1)^5$
【数Ⅱ】【微分法と積分法】微分の基本2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)=x^2-3x$ とする。
関数 $y=f(x)$ のグラフ上の2点 $(1,\,f(1)),\ (a,\,f(a))$ を結ぶ直線の傾きが、$x=b$ $(1< b < a)$ における微分係数 $f'(b)$ に等しい。
$b$ を $a$ で表せ。
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$f(x)=x^2-3x$ とする。
関数 $y=f(x)$ のグラフ上の2点 $(1,\,f(1)),\ (a,\,f(a))$ を結ぶ直線の傾きが、$x=b$ $(1< b < a)$ における微分係数 $f'(b)$ に等しい。
$b$ を $a$ で表せ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】微分の基本1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数 $f(x)$ について、$x=a$ における微分係数 $f'(x)$ を求めよ。また、$f'(a)$ が、$x$ が $0$ から $2$ まで変化するときの平均変化率に一致するとき、$a$ の値を求めよ。
$(1)\ f(x)=x^2-x$
$(2)\ f(x)=x^3-x^2+1$
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次の関数 $f(x)$ について、$x=a$ における微分係数 $f'(x)$ を求めよ。また、$f'(a)$ が、$x$ が $0$ から $2$ まで変化するときの平均変化率に一致するとき、$a$ の値を求めよ。
$(1)\ f(x)=x^2-x$
$(2)\ f(x)=x^3-x^2+1$
【数Ⅱ】【微分法と積分法】極限の計算 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1)$\displaystyle \lim_{ x \to -2 } (x^2+1)(x-1)$
(2)$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } (x^3-1)(x-1)$
(3)$\displaystyle \lim_{ x \to 2 } (x^2-x-2)(x^2+x-6)$
(4)$\displaystyle \lim_{ x \to -3 } \frac{1}{x+3}(\frac{12}{x-3}+2)$
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(1)$\displaystyle \lim_{ x \to -2 } (x^2+1)(x-1)$
(2)$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } (x^3-1)(x-1)$
(3)$\displaystyle \lim_{ x \to 2 } (x^2-x-2)(x^2+x-6)$
(4)$\displaystyle \lim_{ x \to -3 } \frac{1}{x+3}(\frac{12}{x-3}+2)$
【数Ⅱ】【複素数と方程式】剰余の定理と因数定理1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の有理数の範囲で因数分解せよ。
(1)$4x^3+x+1$
(2)$2x^3-x^2+9$
(3)$3x^3+8x^2-1$
次の式を因数分解せよ。
(1)$x^4+5x^3+5x^2-5x-6$
(2)$x^4+4x^3-x^2-16x-12$
$P(x)=x^3+ax^2+bx^+c$とする。$P(x)$は$x^2-1$で割り切れ、また、$P(x)$を$2$で割ると余りが$3$である。このとき、定数$a,b,c$の値を求めよ。
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次の有理数の範囲で因数分解せよ。
(1)$4x^3+x+1$
(2)$2x^3-x^2+9$
(3)$3x^3+8x^2-1$
次の式を因数分解せよ。
(1)$x^4+5x^3+5x^2-5x-6$
(2)$x^4+4x^3-x^2-16x-12$
$P(x)=x^3+ax^2+bx^+c$とする。$P(x)$は$x^2-1$で割り切れ、また、$P(x)$を$2$で割ると余りが$3$である。このとき、定数$a,b,c$の値を求めよ。
【数Ⅱ】【複素数と方程式】2次方程式の解と判別式7 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2次方程式$(x+1)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-2)(x+1)=0$の2つの解をα、βとするとき、次の式の値を求めよ。
$\frac{1}{(α-2)(β-2)}+\frac{1}{(α-1)(β-1)}+\frac{1}{(α+1)(β+1)}$
解の公式を用いて、次の2次式を因数分解せよ。
(1)$x^2-xy-xz+2y-2$
(2)$2x^2-5xy+2y^2+x+y-1$
次の連立方程式を解け。
(1)$x+y=3$
$x+y+xy=-7$
(2)$x^2+y^2=13$
$xy=6$
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2次方程式$(x+1)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-2)(x+1)=0$の2つの解をα、βとするとき、次の式の値を求めよ。
$\frac{1}{(α-2)(β-2)}+\frac{1}{(α-1)(β-1)}+\frac{1}{(α+1)(β+1)}$
解の公式を用いて、次の2次式を因数分解せよ。
(1)$x^2-xy-xz+2y-2$
(2)$2x^2-5xy+2y^2+x+y-1$
次の連立方程式を解け。
(1)$x+y=3$
$x+y+xy=-7$
(2)$x^2+y^2=13$
$xy=6$
【数Ⅱ】【複素数と方程式】2次方程式の解と判別式6 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の式を、（ア）有理数（イ）実数（ウ）複素数 の各範囲で因数分解せよ。
（1）$x^4-3x^2+2$ （2）$6x^4-7x^2-3$ （3）$x^4+4$
2次方程式$x^2-2(m-3)x+4m=0$が次のような異なる2つの解をもつように、定数$m$の値の範囲を定めよ。
（1）2つとも正 （2）2つとも負 （3）異符号
2次方程式$x^2+2mx+2m^2-5=0$が、次のような異なる2つの解をもつように、定数$m$の値の範囲を定めよ。
（1）2つの解がともに1より大きい。
（2）2つの解がともに1より小さい。
（3）1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。
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次の式を、（ア）有理数（イ）実数（ウ）複素数 の各範囲で因数分解せよ。
（1）$x^4-3x^2+2$ （2）$6x^4-7x^2-3$ （3）$x^4+4$
2次方程式$x^2-2(m-3)x+4m=0$が次のような異なる2つの解をもつように、定数$m$の値の範囲を定めよ。
（1）2つとも正 （2）2つとも負 （3）異符号
2次方程式$x^2+2mx+2m^2-5=0$が、次のような異なる2つの解をもつように、定数$m$の値の範囲を定めよ。
（1）2つの解がともに1より大きい。
（2）2つの解がともに1より小さい。
（3）1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。
福田のおもしろ数学412〜正n角形の内部の点から各辺に下ろした垂線の長さに関する不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
一辺の長さ$a$の正$n$角形の内部に点$X$をとる。
$X$から各辺またはその延長に下ろした垂線の長さを
$h_1,h_2,\cdots h_n$とする。
$\dfrac{1}{h_1}+\dfrac{1}{h_2}+\cdots +\dfrac{1}{h_n} \gt \dfrac{2\pi}{a}$
であることを証明して下さい。
図は動画内参照
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一辺の長さ$a$の正$n$角形の内部に点$X$をとる。
$X$から各辺またはその延長に下ろした垂線の長さを
$h_1,h_2,\cdots h_n$とする。
$\dfrac{1}{h_1}+\dfrac{1}{h_2}+\cdots +\dfrac{1}{h_n} \gt \dfrac{2\pi}{a}$
であることを証明して下さい。
図は動画内参照
福田のおもしろ数学408〜変数が素数である連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
pq=r+1 \\
2(p^2+q^2)=r^2+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす素数$p,q,r$を求めて下さい。
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
pq=r+1 \\
2(p^2+q^2)=r^2+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす素数$p,q,r$を求めて下さい。
大学受験生が覚えてたら差がつく公式
福田のおもしろ数学405〜√2+√3が円周率πよりも大きいことの証明
福田のおもしろ数学404〜単位円に内接する三角形に関する三角関数の値
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図のように$\triangle ABC$が単位円に内接している。
$\angle A,\angle B,\angle C$の二等分線と円との交点
をそれぞれ$A_1,B_1,C_1$とする。
$\dfrac{AA_1 \cos \dfrac{A}{2}+BB_1\cos\dfrac{B}{2}+CC_1\cos\dfrac{C}{2}}{\sin A+\sin B+\sin C}$
の値を求めよ。
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図のように$\triangle ABC$が単位円に内接している。
$\angle A,\angle B,\angle C$の二等分線と円との交点
をそれぞれ$A_1,B_1,C_1$とする。
$\dfrac{AA_1 \cos \dfrac{A}{2}+BB_1\cos\dfrac{B}{2}+CC_1\cos\dfrac{C}{2}}{\sin A+\sin B+\sin C}$
の値を求めよ。
福田のおもしろ数学403〜条件付きの不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x+y=2,x\gt 0,y\gt 0$のとき、
$x^3y^3(x^3+y^3)\leqq 2$
を証明して下さい。
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$x+y=2,x\gt 0,y\gt 0$のとき、
$x^3y^3(x^3+y^3)\leqq 2$
を証明して下さい。
福田のおもしろ数学397〜与えられた連分数が整数になれないことの証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+n}}}
\end{eqnarray}$
は整数になれない。証明して下さい。
＊$n$は整数である。
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$\begin{eqnarray}
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+n}}}
\end{eqnarray}$
は整数になれない。証明して下さい。
＊$n$は整数である。
福田のおもしろ数学394〜6次の多項式に関する証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
6次の多項式$P(x)$について
$0\lt a \lt b$が
$P(a)=P(-a),P(b)=P(-b),P'(0)=0$
を満たしている。
任意の$x$に対し$P(x)=P(-x)$が
成り立つことを証明せよ。
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6次の多項式$P(x)$について
$0\lt a \lt b$が
$P(a)=P(-a),P(b)=P(-b),P'(0)=0$
を満たしている。
任意の$x$に対し$P(x)=P(-x)$が
成り立つことを証明せよ。
【数Ⅱ】【式と証明】分数式の計算 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{4}{1+a^2}+\dfrac{2}{1-a}+\dfrac{8}{1+a^4}$
(2) $\dfrac{ca}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{ab}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{bc}{(c-a)(a-b)}$
次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{x+2}{x}+\dfrac{x+3}{x+1}+\dfrac{x-5}{x-3}+\dfrac{x-6}{x-4}$
(2)$\dfrac{2}{(a-1)(a+1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a+3)}+\dfrac{2}{(a+3)(a+5)}$
$x+\dfrac{1}{x}=4$のとき，
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$
の値を求めよ。
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次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{4}{1+a^2}+\dfrac{2}{1-a}+\dfrac{8}{1+a^4}$
(2) $\dfrac{ca}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{ab}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{bc}{(c-a)(a-b)}$
次の式を計算せよ。
(1) $\dfrac{x+2}{x}+\dfrac{x+3}{x+1}+\dfrac{x-5}{x-3}+\dfrac{x-6}{x-4}$
(2)$\dfrac{2}{(a-1)(a+1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a+3)}+\dfrac{2}{(a+3)(a+5)}$
$x+\dfrac{1}{x}=4$のとき，
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$
の値を求めよ。
【数Ⅱ】【式と証明】二項定理の活用 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の□に入る数を，二項定理を用いて求めよ。
${}_{101} \mathrm{ C }_0+{}_{101} \mathrm{ C }_2+{}_{101} \mathrm{ C }_4+…$$…+{}_{101} \mathrm{ C }_{98}+{}_{101} \mathrm{ C }_{100}=2^□$
二項定理を用いて，次のことを証明せよ。
ただし，nは3以上の整数とする。
（1）$(1+\dfrac{1}{n})^n＞2$
（2） x＞0 のとき $(1+x)^n＞1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$
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次の□に入る数を，二項定理を用いて求めよ。
${}_{101} \mathrm{ C }_0+{}_{101} \mathrm{ C }_2+{}_{101} \mathrm{ C }_4+…$$…+{}_{101} \mathrm{ C }_{98}+{}_{101} \mathrm{ C }_{100}=2^□$
二項定理を用いて，次のことを証明せよ。
ただし，nは3以上の整数とする。
（1）$(1+\dfrac{1}{n})^n＞2$
（2） x＞0 のとき $(1+x)^n＞1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$
【数Ⅱ】【式と証明】展開式の係数 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (2x²-1)⁶ ［x⁶］ (2)(2x³-3x)⁵ ［x⁹］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (a+b+c)⁶ ［ab²c³］ (2)(x+y-3z)⁸ ［x⁵yz²］
次の式の展開式における、［ ］内のものを求めよ。
(1) (x²+1/x)⁷ ［x²の項の係数］ (2)(2x³-1/3x²)⁵ ［定数項］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+y+z)⁶ ［x²yz³］
(2) (x+2y+3z)⁶ ［x³y²z］
(3) (2x-3y+z)⁷ ［x²y²z³］
(4) (x+y-3z)⁸ ［x⁵z³］
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次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (2x²-1)⁶ ［x⁶］ (2)(2x³-3x)⁵ ［x⁹］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (a+b+c)⁶ ［ab²c³］ (2)(x+y-3z)⁸ ［x⁵yz²］
次の式の展開式における、［ ］内のものを求めよ。
(1) (x²+1/x)⁷ ［x²の項の係数］ (2)(2x³-1/3x²)⁵ ［定数項］
次の式の展開式における、［ ］内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+y+z)⁶ ［x²yz³］
(2) (x+2y+3z)⁶ ［x³y²z］
(3) (2x-3y+z)⁷ ［x²y²z³］
(4) (x+y-3z)⁸ ［x⁵z³］
【数Ⅱ】【式と証明】3次式の展開、因数分解、割り算 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(a+b+c)³を展開せよ。
次の式を因数分解せよ。
(1) x³-3x²+6x-8 (2)8a³-36a²b+54ab²-27b³
次の式A,Bをxについての多項式とみて、AをBで割った商と余りを求めよ。
(1)A=2x³+7ax²+5a²x+6a³, B=x+3a
(2)A=x³-3ax²+4a³, B=x²-2ax-2a²
(3)A=x⁴+x²y²+y⁴, B=x²+xy+y²
(4)A=2x²+4xy-3y²-5x+2y-1, B=x+y+2
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(a+b+c)³を展開せよ。
次の式を因数分解せよ。
(1) x³-3x²+6x-8 (2)8a³-36a²b+54ab²-27b³
次の式A,Bをxについての多項式とみて、AをBで割った商と余りを求めよ。
(1)A=2x³+7ax²+5a²x+6a³, B=x+3a
(2)A=x³-3ax²+4a³, B=x²-2ax-2a²
(3)A=x⁴+x²y²+y⁴, B=x²+xy+y²
(4)A=2x²+4xy-3y²-5x+2y-1, B=x+y+2
【数Ⅱ】【複素数と方程式】2次方程式の解と判別式5 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2次方程式$x^2+ax+b=0$の2つの解に、それぞれ1を加えた数を解に持つ2次方程式が$x^2+bx+aー6=0$であるという。定数a、bを求めよ。
2次方程式$x^2-px+2=0$の2つの解の和と積を2つの解に持つ2次方程式が$x^2-5x+q=0$であるという。定数a、bの値を求めよ。
Aさんは2次方程式の定数項を違えたために$x=-3±\sqrt{14}$ という解を導き、Bさんは同じ2次方程式の1次の項の係数を読み違えたために、x=1、5という解を導いた。もとの正しい2次方程式の解を求めよ。
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2次方程式$x^2+ax+b=0$の2つの解に、それぞれ1を加えた数を解に持つ2次方程式が$x^2+bx+aー6=0$であるという。定数a、bを求めよ。
2次方程式$x^2-px+2=0$の2つの解の和と積を2つの解に持つ2次方程式が$x^2-5x+q=0$であるという。定数a、bの値を求めよ。
Aさんは2次方程式の定数項を違えたために$x=-3±\sqrt{14}$ という解を導き、Bさんは同じ2次方程式の1次の項の係数を読み違えたために、x=1、5という解を導いた。もとの正しい2次方程式の解を求めよ。
【数Ⅱ】【複素数と方程式】2次方程式の解と判別式4 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
pを実数とする。次の2次方程式の解の1つが[ ]内の数であるとき、他の解を求めよ。また、定数pの値を求めよ。
(1) $2x^2+10x+p=0$ $[\displaystyle \frac{1}{2}
] $
(2)$x^2+px+4=0$ $[1+\sqrt{3}i]$
2次方程式$x^2-2x+7=0$の2つの解をα,βとするとき、次の2数を解とする2次方程式を作れ。
(1) α+2,β+2
(2) -2α, -2β
(3) α², β²
2次方程式$x^2-5x+5=0$は異なる2つの実数解をもつ。2つの実数解の小数部分を解とする2次方程式を作れ。
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pを実数とする。次の2次方程式の解の1つが[ ]内の数であるとき、他の解を求めよ。また、定数pの値を求めよ。
(1) $2x^2+10x+p=0$ $[\displaystyle \frac{1}{2}
] $
(2)$x^2+px+4=0$ $[1+\sqrt{3}i]$
2次方程式$x^2-2x+7=0$の2つの解をα,βとするとき、次の2数を解とする2次方程式を作れ。
(1) α+2,β+2
(2) -2α, -2β
(3) α², β²
2次方程式$x^2-5x+5=0$は異なる2つの実数解をもつ。2つの実数解の小数部分を解とする2次方程式を作れ。
福田のおもしろ数学390〜対数の性質
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,b,c,d$は正の整数である。
$\log_a b=\dfrac{3}{2},\log_c d=\dfrac{5}{4},a-c=9$のとき、
$b-d$はいくつであるか？
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$a,b,c,d$は正の整数である。
$\log_a b=\dfrac{3}{2},\log_c d=\dfrac{5}{4},a-c=9$のとき、
$b-d$はいくつであるか？
【数Ⅱ】【複素数と方程式】2次方程式の解と判別式3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
a、b、cは実数の定数とする。2次方程式ax²＋bx＋ｃ＝０は次の場合において、虚数解をもたないことを示せ。
(1) b=a+c
(2)a+c=0
(3)aとcが異符号
次の2次方程式の解の種類を判別せよ。ただし、a、bは実数の定数とする。
13x²－2(2a-3b)x+a²＋b²＝０
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a、b、cは実数の定数とする。2次方程式ax²＋bx＋ｃ＝０は次の場合において、虚数解をもたないことを示せ。
(1) b=a+c
(2)a+c=0
(3)aとcが異符号
次の2次方程式の解の種類を判別せよ。ただし、a、bは実数の定数とする。
13x²－2(2a-3b)x+a²＋b²＝０
【数Ⅱ】【複素数と方程式】2次方程式の解と判別式2 ※問題文は概要欄
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#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2つの2次方程式x²+mx+m=0, x²+mx+1=0がともに虚数解をもつとき、定数mの値の範囲を定めよ。
2つの2次方程式x²+2mx-2m=0, x²+(m-1)x+m²=0が次の条件を満たすとき、定数mの値の範囲を定めよ。
(1)少なくとも一方が実数解をもつ
(2)一方だけが実数解をもつ
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2つの2次方程式x²+mx+m=0, x²+mx+1=0がともに虚数解をもつとき、定数mの値の範囲を定めよ。
2つの2次方程式x²+2mx-2m=0, x²+(m-1)x+m²=0が次の条件を満たすとき、定数mの値の範囲を定めよ。
(1)少なくとも一方が実数解をもつ
(2)一方だけが実数解をもつ
【数Ⅱ】【複素数と方程式】2次方程式の解と判別式1 ※問題文は概要欄
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#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の2次方程式を解け。
(1)$3(x+1)^2-2(x+1)-1=0$
(2)$2(x-1)^2-4(x-1)+3=0$
(3)$x^2-\sqrt{2} x+\sqrt{2} -1=0$
(4)$x^2-2x+9+2\sqrt{15}=0$
kは定数とする。次の方程式の解の種類を判別せよ。
(1)$kx^2-3x+1=0$
(2)$(k^2-1) x^2+2(k-1)+2=0$
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次の2次方程式を解け。
(1)$3(x+1)^2-2(x+1)-1=0$
(2)$2(x-1)^2-4(x-1)+3=0$
(3)$x^2-\sqrt{2} x+\sqrt{2} -1=0$
(4)$x^2-2x+9+2\sqrt{15}=0$
kは定数とする。次の方程式の解の種類を判別せよ。
(1)$kx^2-3x+1=0$
(2)$(k^2-1) x^2+2(k-1)+2=0$
【数Ⅱ】【複素数と方程式】複素数の純虚数、共役 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2つの複素数a+biと2-3iの和が純虚数、積が実数となるように、実数a, bの値を定めよ。
虚数α、βの和、積がともに実数ならば、α、βは互いに共役であることを示せ。
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2つの複素数a+biと2-3iの和が純虚数、積が実数となるように、実数a, bの値を定めよ。
虚数α、βの和、積がともに実数ならば、α、βは互いに共役であることを示せ。
【数Ⅱ】【複素数と方程式】複素数基本 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#複素数と方程式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1)$\left({\displaystyle \frac{3-2i}{2+3i}}\right)^2$
(2)$\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\right)^2$
(3)$(2+i)^3+(2-i)^3$
(4)$\left(\displaystyle \frac{1}{i}-i\right)\left(\displaystyle \frac{2}{i}+i\right)i^3$
(5)$\displaystyle \frac{2+3i}{3-2i}+\displaystyle \frac{2-3i}{3+2i}$
(6)$\displaystyle \frac{1}{i}+1-i+i²-i³+i⁴$
$x=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}i}{2}$,$y=\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}i}{2}$であるとき、次の式の値を求めよ。
(1)$x+y$
(2)$xy$
(3)$x^2+y^2$
(4)$x^3+y^3+x^2y+xy^2$
次の等式を満たす実数x,yの値を求めよ。
(1)$(2i+3)x+(2-3i)y=5-i$
(2)$(1-2i)(x+yi)=2+6i$
(3)$(1+xi)^2+(x+i)^2=0$
(4)$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\displaystyle \frac{1}{x+yi}=\displaystyle \frac{1}{2}$
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(1)$\left({\displaystyle \frac{3-2i}{2+3i}}\right)^2$
(2)$\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\right)^2$
(3)$(2+i)^3+(2-i)^3$
(4)$\left(\displaystyle \frac{1}{i}-i\right)\left(\displaystyle \frac{2}{i}+i\right)i^3$
(5)$\displaystyle \frac{2+3i}{3-2i}+\displaystyle \frac{2-3i}{3+2i}$
(6)$\displaystyle \frac{1}{i}+1-i+i²-i³+i⁴$
$x=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}i}{2}$,$y=\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}i}{2}$であるとき、次の式の値を求めよ。
(1)$x+y$
(2)$xy$
(3)$x^2+y^2$
(4)$x^3+y^3+x^2y+xy^2$
次の等式を満たす実数x,yの値を求めよ。
(1)$(2i+3)x+(2-3i)y=5-i$
(2)$(1-2i)(x+yi)=2+6i$
(3)$(1+xi)^2+(x+i)^2=0$
(4)$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\displaystyle \frac{1}{x+yi}=\displaystyle \frac{1}{2}$
福田のおもしろ数学389〜三角関数を含んだ連立方程式
単元：
#数学(中学生)#中２数学#連立方程式#三角関数
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin x = y \\
\sin y = x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を解いて下さい。
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連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin x = y \\
\sin y = x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を解いて下さい。
福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p$を$2$以上の自然数の定数とする。$n$=$2$, $3$, $4$...に対して、関数 $f_n(x) $$(n\gt0)$を
$f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})(1 + \dfrac{x}{n+1}) \cdot\cdot \cdot(1 + \dfrac{x}{pn})
$
で定める。例えば$p$ = $2$のとき
$
f_2(x) = (1 + \dfrac{x}{2})(1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})
$
$
f_3(x) = (1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})(1 + \dfrac{x}{5})(1 + \dfrac{x}{6})
$
である。$f(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }f_n(x)$ $(n\gt0)$とおくとき、次の問に答えよ。
$(1)$$t$$\geqq$$0$のとき、不等式$\dfrac{t}{1+t}$$\leqq$$\log(1+t)$$\leqq$$t$ が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。
$(2)$ $f(x)$を求めよ。
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$p$を$2$以上の自然数の定数とする。$n$=$2$, $3$, $4$...に対して、関数 $f_n(x) $$(n\gt0)$を
$f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})(1 + \dfrac{x}{n+1}) \cdot\cdot \cdot(1 + \dfrac{x}{pn})
$
で定める。例えば$p$ = $2$のとき
$
f_2(x) = (1 + \dfrac{x}{2})(1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})
$
$
f_3(x) = (1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})(1 + \dfrac{x}{5})(1 + \dfrac{x}{6})
$
である。$f(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }f_n(x)$ $(n\gt0)$とおくとき、次の問に答えよ。
$(1)$$t$$\geqq$$0$のとき、不等式$\dfrac{t}{1+t}$$\leqq$$\log(1+t)$$\leqq$$t$ が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。
$(2)$ $f(x)$を求めよ。