問題文全文(内容文)：
$ a,nは整数(n \geqq2)aから始まる連続n個の整数の和が2023となる(a,n)の組は,
(1)全部で何通りか?
(2)a,nともに奇数は何通りか?$

問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!}$
x=?

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ $\alpha=\log_23$とし、自然数nに対して
$a_n=[n\alpha]$,　$b_n=\left[\displaystyle\frac{n\alpha}{\alpha-1}\right]$
とする。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
(1)$a_5=\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
(2)$b_3=k$とおくと、不等式$\displaystyle\frac{3^{k+c}}{2^k} \leqq 1 \lt \frac{3^{k+1+c}}{2^{k+1}}$が整数$c=\boxed{\ \ セ\ \ }$で成り立ち、
$b_3=\boxed{\ \ ソ\ \ }$であることがわかる。
(3)$a_n \leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
(4)$b_n \leqq$ 10を満たす自然数nの個数は$\boxed{\ \ チ\ \ }$である。
(5)$a_n \leqq$ 50を満たす自然数nの個数をsとし、$b_n \leqq$ 50を満たす自然数nの個数をtとする。このとき、s+t=$\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。

2019上智大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す。記号[ ]をガウス記号という。
以下の問いではNを自然数とする。
(1) nを0 $\leqq$ n $\leqq$ Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n,　N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$)を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(3) 曲線y=N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$(0 $\leqq$ x $\leqq$ N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して$\displaystyle\lim_{N \to \infty}\frac{B(N)}{A(N)}$を求めよ。

2017筑波大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
9を分母とする正の既約分数で,100より小さいものの総和を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{11}}$　数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$,　　$a_{n+1}=1+\frac{1}{\displaystyle1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_k}$が収束することを示し、その和を求めよ。

2017千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 初項$a_1=1$, 公差4の等差数列$\left\{a_n\right\}$を考える。以下の問いに答えよ。
(1) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。
(2) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、$7^2$の倍数である項の個数を求めよ。
(3) 初項から第n項までの積$a_1a_2\cdots a_n$が$7^{45}$の倍数となる最小の自然数nを求めよ。

2017九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$ Oを原点とする平面上の動点Rが$R_0$(1, 0)から出発して、単位円の周上を1秒ごとに反時計周りに移動する。移動するときの動径ORの回転角は、確率$\frac{1}{2}$で$\frac{\pi}{6}$、確率$\frac{1}{2}$で$\frac{\pi}{3}$である。n秒後のRの位置を$R_n$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$R_5$が(-1, 0)である確率を求めよ。
(2)$R_9$がx軸上にある確率を求めよ。
次に、$R_n$がx軸上またはy軸上にある確率を$p_n$(n≧1)とする。
(3)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。
(4)$p_n$を求めよ。

2019中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +\frac{1}{16} +\frac{1}{32} + \cdots =?$

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ $n$ を正の整数とし、1,2,3,4,5,6の6個の数字から同じ数字を繰り返し用いることを許して$n$桁の整数をつくる。このような整数のうち、1が奇数個用いられるものの総数を$A_n$、それ以外のものの総数を$B_n$とする。
また、1か6がいずれも奇数個用いられるものの総数を$C_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$A_4$を求めよ。
(2)正の整数$n$に対して、$A_{n+1}$を$A_n$と$B_n$を用いて表せ。
(3)正の整数$n$に対して、$A_n$と$B_n$を求めよ。
(4)$p$を定数とする。$X_1=p$,$X_{n+1}=2X_n+6^n$($n$=1,2,3,...)で定められる
数列を$\left\{X_n\right\}$とする。正の整数$n$に対して、$X_n$を$n$と$p$を用いて表せ。
(5)正の整数$n$に対して、$C_n$を求めよ。

2021北里大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}　正四面体ABCDの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、\\
隣の3頂点のいずれかに等しい確率\frac{a}{3}で移るか、もとの頂点に確率1-aで\\
留まる。初め頂点Aにいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率をp_nとする。\\
ただし、0 \lt a \lt 1とし、nは自然数とする。\\
\\
(1)数列\left\{p_n\right\}の漸化式を求めよ。\\
\\
(2)確率p_nを求めよ。
\end{eqnarray}

2017北海道大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　nは3以上の自然数とする。面積1の正n角形P_nを考え、その周の\\
長さをL_nとする。次の問いに答えよ。\\
(1)(L_n)^2を求めよ。\\
(2)\lim_{n \to \infty}L_nを求めよ。\\
(3)n \lt kならば(L_n)^2 \gt (L_k)^2となることを示せ。\\
\end{eqnarray}

2019早稲田大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}　p=2+\sqrt5とおき、自然数n=1,2,3,\cdots対して\\
a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\\
と定める。以下の問いに答えよ。(1)は結論のみを書けばよい。\\
(1)a_1,a_2の値を求めよ。\\
(2)n \geqq 2とする。積a_1a_nを、a_{n+1}とa_{n-1}を用いて表せ。\\
(3)a_nは自然数であることを示せ。\\
(4)a_{n+1}とa_nの最大公約数を求めよ。
\end{eqnarray}

2017東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$(\sqrt5+\sqrt7)^{2022}の1の位の数を求めよ.$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}　玉が2個ずつ入った2つの袋A,Bがあるとき、袋Bから玉を1個取り出して\\
袋Aに入れ、次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れる。という操作を\\
1回の操作と数えることにする。Aに赤玉が2個、Bに白玉が2個入った状態から\\
始め、この操作をn回繰り返した後に袋Bに入っている赤玉の個数がk個で\\
ある確率をP_n(k)(n=1,2,3,\cdots)とする。このとき、次の問いに答えよ。\\
\\
(1)k=0,1,2に対するP_1(k)を求めよ。\\
(2)k=0,1,2に対するP_n(k)を求めよ。\\
\end{eqnarray}

2016名古屋大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　素数p,qを用いて\\
p^q+q^p\\
と表される素数を全て求めよ。
\end{eqnarray}

2016京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}ジョーカーを除く1組52枚のトランプのカードを1列に並べる思考を考える。\\
(1)番号7のカードが4枚連続して並ぶ確率を求めよ。\hspace{95pt}\\
(2)番号7のカードが2枚ずつ隣り合い、4枚連続しては並ばない確率を求めよ。\\\\
\hspace{92pt}\\
8人の人が一列に並ぶとき、\hspace{198pt}\\
(1)A,B,Cの3人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。\hspace{94pt}\\
(2)A,B,Cの3人が隣りあわないように並ぶ場合の数を求めよ。\hspace{54pt}
\end{eqnarray}

2015北海道大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}1つの箱を置ける台と2つの箱A, Bがある。箱Aには赤玉2個、青玉2個が\hspace{40pt}\\
入っており、箱Bには白玉3個、青玉1個が入っている。台の上に箱Aを置き、\hspace{20pt}\\
次の操作を繰り返す。\hspace{224pt}\\
(操作) 台に置かれている箱から玉を1個取り出して色を調べてから箱に戻し、台\\
に置かれている箱を台から降ろす。取りだした玉が青球であれば箱Bを台\\
に置き、それ以外の色の玉であれば箱Aを台に置く。\hspace{74pt}\\
正の整数nに対し、n回目の操作を終えたときに、台に箱Aが置かれている確率\hspace{17pt}\\
をa_n、箱Bが置かれている確率をb_nとおく。次の問いに答えよ。\hspace{70pt}\\
(1) 正の整数nに対し、b_nとa_{n+1}をそれぞれ a_n を用いて表せ。\hspace{80pt}\\
(2) 正の整数nに対し、a_nをnを用いて表せ。\hspace{143pt}\\
(3) 正の整数nに対し、1回目からn回目までのn回の操作で白玉を1回も取り出\hspace{22pt}\\
さない確率をnを用いて表せ。\hspace{190pt}\\
(4)正の整数nに対し、1回目からn回目までのn回の操作で白玉をちょうど1回\hspace{21pt}\\
だけ取り出す確率をnを用いて表せ。\hspace{165pt}
\end{eqnarray}

2022北里大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$ \underbrace{777･･････77^7}_{101桁}を18で割ったあまりを求めよ.$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}\ 複素数からなる数列{z_n}を、次の条件で定める。\hspace{150pt}\\
z_1=0,\ \ \ z_{n+1}=(1+i)z_n-i \ \ \ (i=1,2,3, \ \ ...)\\
正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。\\
(1)z_2=\boxed{\ \ ツ \ \ }+\boxed{\ \ ツ \ \ }\ i, \ \ \ z_3=\boxed{\ \ ト \ \ }+\boxed{\ \ ナ \ \ }\ i,\ \ \ z_4=\boxed{\ \ 二 \ \ }+\boxed{\ \ ヌ \ \ }\ i \ \ である。\\
(2)r \gt 0,\ 0 \leqq θ \lt 2\pi を用いて、1+i=r(\cos θ+i\sin θ)のように1+iを極形式で\\
表すとき、r=\sqrt{\boxed{\ \ ネ \ \ }},\ θ=\frac{\boxed{\ \ ノ \ \ }}{\boxed{\ \ ハ \ \ }}\piである。\\
(3)すべての正の整数nに対する\triangle PA_nA_{n+1}が互いに相似になる点Pに対応する\\
複素数は、\boxed{\ \ ヒ\ \ }+\boxed{\ \ フ \ \ }\ iである。\\
(4)|z_n| \gt 1000となる最小のnはn=\boxed{\ \ へ \ \ }である。\\
(5)A_{2022+k}が実軸上にある最小の正の整数kはk=\boxed{\ \ ホ \ \ }である。
\end{eqnarray}

2022上智大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$ a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+3},a_{11}は小数点以下0でない数が初めて表れるのは小数第何位? $

問題文全文(内容文)：
$ a_1=1,a_2=5,a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n-4の一般項a_nを求めよ.$

問題文全文(内容文)：
$ a_1は7であり,n^2a_{n+1}-(n+1)^2a_n=-n^2(n+1)^2である.

(1)a_nの一般項を求めよ.

(2)a_nの最大値を求めよ.$

問題文全文(内容文)：
$ a_1=2,a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{4n+2^n}{2^{n+1}}である.
a_n\lt a_{n+1}を満たす最大の自然数nを求めよ.$

問題文全文(内容文)：
自然数n が 2n-1 個続く、初項が1の次のような数列がある。
1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5,…

このとき、自然数 m が初めて現れるのは第何項か。
また第 2022項はいくつか。

2022立教学部経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\frac{(x^2-1)!}{x^2-1} = 23!$のとき
x=?

問題文全文(内容文)：
実数$x$に対し,$x$を超えない最大の整数を$\lbrack x \rbrack$で表す。数列{$a_k$}を

$a_k=2^{[\sqrt{k}]}$ $(k=1,2,3,･･･)

で定義する。正の整数$n$に対して

$b_n$=$\displaystyle \sum_{k=1}^n^{2} a_k$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a+ar+ar^2=1$
$ar^3+ar^4+ar^5=8$
$ar^6+ar^7+ar^8=?$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{1}} \ (1)三角形ABCの内接円が辺ABと接する点をPとし、\hspace{150pt}\\
辺BCと接する点をQとし、辺CAと接する点をRとする。\\
\angle Aの大きさをθとすると、\angle APR=\boxed{\ \ ア\ \ }であり、\angle PQR=\boxed{\ \ ア\ \ }\ である。\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }の解答群\\
⓪0\ \ \ ①\frac{\pi}{2}\ \ \ ②θ\ \ \ ③\frac{θ}{2}\ \ \ ④\frac{\pi}{2}-θ\ \ \ \\ ⑤\frac{\pi-θ}{2}\ \ \ ⑥\pi-\frac{θ}{2}\ \ \ ⑦\pi-θ\ \ \ ⑧\frac{\pi-3θ}{2}\ \ \ ⑨\frac{\pi}{2}-3θ\ \ \ \\
\\
(2)三角形T_1の3つの角のうち、角の大きさが最小のものは\frac{\pi}{6}で、\\
最大のものは\frac{\pi}{2}であるとする。n=1,\ 2,\ 3,\ ...について、三角形T_nの内接円をO_nとし、\\
T_nとO_nとが接する3つの点を頂点とするような三角形をT_{n+1}とする。\\
このとき、三角形T_2の3つの角のうち、角の大きさが最小のものは\frac{\pi}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\ で、\\
最大のものは\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \pi}{\boxed{\ \ エオ\ \ }}\ である。n=1,\ 2,\ 3,\ ...について、三角形T_nの3つの角のうち、\\
角の大きさが最小のものをa_nとし、最大のものをb_nとする。三角形T_{n+1}について、\\
a_{n+1}=\boxed{\ \ カ\ \ },\ \ \ b_{n+1}=\boxed{\ \ キ\ \ }\\
と表せる。この式より\\
a_n+b_n=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}\pi,\ \ \ b_n-a_n=\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }・\boxed{\ \ サ\ \ }^{n-1}}\\
であり、a_n=\frac{\pi}{\boxed{\ \ シ\ \ }}(1-\frac{1}{\boxed{\ \ ス\ \ }^n}) \ \ \ \ \ \ \ である。\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }、\boxed{\ \ キ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{a_n}{2}\ \ \ ①\frac{b_n}{2}\ \ \ ②\frac{\pi}{2}-a_n\ \ \ ③\frac{\pi}{2}-b_n\ \ \ ④\frac{\pi-a_n}{2}\ \ \ \\ ⑤\frac{\pi-b_n}{2}\ \ \ ⑥\pi-\frac{a_n}{2}\ \ \ ⑦\pi-\frac{b_n}{2}\ \ \ ⑧\pi-a_n\ \ \ ⑨\pi-b_n\ \ \ \\
\end{eqnarray}

2022明治大学全統過去問