数Ⅲ
数Ⅲ
#筑波大学(2018) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-\sqrt{ 3 }}^{\sqrt{ 3 }} \displaystyle \frac{1}{x^2+3} dx$
出典：2018年筑波大学
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$\displaystyle \int_{-\sqrt{ 3 }}^{\sqrt{ 3 }} \displaystyle \frac{1}{x^2+3} dx$
出典：2018年筑波大学
福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第7問〜内サイクロイド曲線の長さ
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{7}$ $n$を2以上の自然数とする。座標平面において、原点を中心とする半径$n$の円$C_n$の内側を半径1の円$C$が滑らずに転がるとき、円$C$上の定点Pの軌跡について考える。時刻$t$において、2つの円$C$と$C_n$は点($n\cos t$, $n\sin t$)で接している。
また、時刻$t$=0 において、点Pは点($n$, 0)にある。$t$が0≦$t$≦$\displaystyle\frac{2\pi}{n}$ の範囲を動くとき、点Pの軌跡の長さを$L_n$とする。このとき、$L_2$=$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。また、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}L_n$=$\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
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$\Large\boxed{7}$ $n$を2以上の自然数とする。座標平面において、原点を中心とする半径$n$の円$C_n$の内側を半径1の円$C$が滑らずに転がるとき、円$C$上の定点Pの軌跡について考える。時刻$t$において、2つの円$C$と$C_n$は点($n\cos t$, $n\sin t$)で接している。
また、時刻$t$=0 において、点Pは点($n$, 0)にある。$t$が0≦$t$≦$\displaystyle\frac{2\pi}{n}$ の範囲を動くとき、点Pの軌跡の長さを$L_n$とする。このとき、$L_2$=$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。また、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}L_n$=$\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第6問〜空間内の折れ線の長さの最小値
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ 2点A(1,0,1)とB(2, $\sqrt 3$, 1)、および、$xy$平面上を自由に動く2つの点PとQがあり、$l$=AP+BQ+$\displaystyle\frac{\textrm{PQ}}{2}$とする。$l$が最小値をとるとき、点PとQを通る$xy$平面上の直線の方程式は$y$=$\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }\ x}$－$\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}$ であり、$l$の最小値は$\boxed{\ \ チ\ \ }$+$\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$ である。
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$\Large\boxed{6}$ 2点A(1,0,1)とB(2, $\sqrt 3$, 1)、および、$xy$平面上を自由に動く2つの点PとQがあり、$l$=AP+BQ+$\displaystyle\frac{\textrm{PQ}}{2}$とする。$l$が最小値をとるとき、点PとQを通る$xy$平面上の直線の方程式は$y$=$\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }\ x}$－$\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}$ であり、$l$の最小値は$\boxed{\ \ チ\ \ }$+$\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$ である。
福田のおもしろ数学132〜合成関数のグラフ
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
2x (0≦x≦\frac{1}{2})\\
2-2x (\frac{1}{2}≦x≦1)\\
\end{array}\right.$
$y$=$f(f(x))$ のグラフをかけ。
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$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
2x (0≦x≦\frac{1}{2})\\
2-2x (\frac{1}{2}≦x≦1)\\
\end{array}\right.$
$y$=$f(f(x))$ のグラフをかけ。
福田のおもしろ数学130〜合成関数の性質
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)$=$ax$+$b$, $g(x)$=$cx$+$d$ ($a$≠0, $c$≠0)とする。このとき次の条件を満たす関数$h(x)$, $k(x)$を求めよ。
(1)$g(h(x))$=$f(x)$ (2)$k(g(x))$=$f(x)$
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$f(x)$=$ax$+$b$, $g(x)$=$cx$+$d$ ($a$≠0, $c$≠0)とする。このとき次の条件を満たす関数$h(x)$, $k(x)$を求めよ。
(1)$g(h(x))$=$f(x)$ (2)$k(g(x))$=$f(x)$
大学入試問題#803「マジで気合い！」 #大阪市立大学(2000) #定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#大阪市立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{(1+x^2)^4} dx$
出典：2000年大阪市立大学
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{(1+x^2)^4} dx$
出典：2000年大阪市立大学
約束記号 四天王寺
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\langle\langle x \rangle\rangle=2x-1$とする
$\langle\langle \quad \langle\langle 2x \rangle\rangle -1 \rangle\rangle=x^2+10$
$x=?$
四天王寺高等学校
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$\langle\langle x \rangle\rangle=2x-1$とする
$\langle\langle \quad \langle\langle 2x \rangle\rangle -1 \rangle\rangle=x^2+10$
$x=?$
四天王寺高等学校
大学入試問題#800「コメントが難しい」 #兵庫県立大学中期(2012) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#兵庫県立大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
実数$x$に対して
$f(x)=\displaystyle \lim_{ x \to \infty } n\{\sin(\displaystyle \frac{1+n}{n}x)+\sin(\displaystyle \frac{1-n}{n}x)\}$とおく。
次の問いに答えよ。
１．$f(x)$を求めよ。
２．定積分$\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) dx$を求めよ。
出典：2012年兵庫県立大学中期 入試問題
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実数$x$に対して
$f(x)=\displaystyle \lim_{ x \to \infty } n\{\sin(\displaystyle \frac{1+n}{n}x)+\sin(\displaystyle \frac{1-n}{n}x)\}$とおく。
次の問いに答えよ。
１．$f(x)$を求めよ。
２．定積分$\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) dx$を求めよ。
出典：2012年兵庫県立大学中期 入試問題
福田のおもしろ数学120〜n変数の条件付き最大最小問題
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$x_1$,$x_2$,...,$x_n$が$x_1^2$+$x_2^2$+...+$x_n^2$=1 を満たすとき、$x_1^2$+$2x_2^2$+...+$nx_n^2$ の最大値と最小値を求めよ。
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実数$x_1$,$x_2$,...,$x_n$が$x_1^2$+$x_2^2$+...+$x_n^2$=1 を満たすとき、$x_1^2$+$2x_2^2$+...+$nx_n^2$ の最大値と最小値を求めよ。
大学入試問題#799「もう詰んでます！」 #大阪公立大学(2024) #定積分 #King_property
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#大阪公立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-\sqrt{ 3 }}^{\sqrt{ 3 }} \displaystyle \frac{log(1+x^2)}{1+e^x} dx$
出典：2024年大阪公立大学
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$\displaystyle \int_{-\sqrt{ 3 }}^{\sqrt{ 3 }} \displaystyle \frac{log(1+x^2)}{1+e^x} dx$
出典：2024年大阪公立大学
福田の数学〜東北大学2024年理系第6問〜円錐の側面と平面の交わりの曲線
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{6}}$ $xyz$空間内の$xy$平面上にある円C：$x^2$+$y^2$=1および円盤D：$x^2$+$y^2$≦1を考える。Dを底面とし点P(0,0,1)を頂点とする円錐をKとする。A(0,-1,0), B(0,1,0)とする。$xyz$空間内の平面H：$z$=$x$を考える。すなわち、Hは$xz$平面上の直線$z$=$x$と線分ABをともに含む平面である。Kの側面とHの交わりとしてできる曲線をEとする。$-\frac{\pi}{2}$≦$\theta$≦$\frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し、円C上の点Q($\cos\theta$,$\sin\theta$,0)をとり、線分PQとEの共有点をRとする。
(1)線分PRの長さを$r(\theta)$とおく。$r(\theta)$を$\theta$を用いて表せ。
(2)円錐Kの側面のうち、曲線Eの点Aから点Rまでを結ぶ部分、線分PA、および線分PRにより囲まれた部分の面積を$S(\theta)$とおく。$\theta$と実数$h$が条件0≦$\theta$＜$\theta$+$h$≦$\frac{\pi}{2}$ を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{h\left\{r(\theta)\right\}^2}{2\sqrt 2}$≦$S(\theta+h)-S(\theta)$≦$\frac{h\left\{r(\theta+h)\right\}^2}{2\sqrt 2}$
(3)円錐Kの側面のうち、円Cの$x$≧0の部分と曲線Eにより囲まれた部分の面積をTとおく。Tを求めよ。必要であれば$\tan\frac{\theta}{2}$=$uとおく置換積分を用いてもよい。
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$\Large{\boxed{6}}$ $xyz$空間内の$xy$平面上にある円C：$x^2$+$y^2$=1および円盤D：$x^2$+$y^2$≦1を考える。Dを底面とし点P(0,0,1)を頂点とする円錐をKとする。A(0,-1,0), B(0,1,0)とする。$xyz$空間内の平面H：$z$=$x$を考える。すなわち、Hは$xz$平面上の直線$z$=$x$と線分ABをともに含む平面である。Kの側面とHの交わりとしてできる曲線をEとする。$-\frac{\pi}{2}$≦$\theta$≦$\frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し、円C上の点Q($\cos\theta$,$\sin\theta$,0)をとり、線分PQとEの共有点をRとする。
(1)線分PRの長さを$r(\theta)$とおく。$r(\theta)$を$\theta$を用いて表せ。
(2)円錐Kの側面のうち、曲線Eの点Aから点Rまでを結ぶ部分、線分PA、および線分PRにより囲まれた部分の面積を$S(\theta)$とおく。$\theta$と実数$h$が条件0≦$\theta$＜$\theta$+$h$≦$\frac{\pi}{2}$ を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{h\left\{r(\theta)\right\}^2}{2\sqrt 2}$≦$S(\theta+h)-S(\theta)$≦$\frac{h\left\{r(\theta+h)\right\}^2}{2\sqrt 2}$
(3)円錐Kの側面のうち、円Cの$x$≧0の部分と曲線Eにより囲まれた部分の面積をTとおく。Tを求めよ。必要であれば$\tan\frac{\theta}{2}$=$uとおく置換積分を用いてもよい。
大学入試問題#797「たぶん部分積分でもいけそう」 #名古屋工業大学(2014) #定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#名古屋工業大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{log\ 2}^{log\ 3} \displaystyle \frac{xe^x}{(e^x-1)^2} dx$
出典：2014年名古屋工業大学
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$\displaystyle \int_{log\ 2}^{log\ 3} \displaystyle \frac{xe^x}{(e^x-1)^2} dx$
出典：2014年名古屋工業大学
福田の数学〜東北大学2024年理系第5問〜関数の増減と方程式の整数解
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ $x$≧2 を満たす実数$x$に対し、
$f(x)$=$\displaystyle\frac{\log(2x-3)}{x}$
とおく。必要ならば、$\displaystyle\lim_{t \to \infty}\frac{\log t}{t}$=0 であること、および自然対数の底$e$が2＜$e$＜3 を満たすことを証明なしで用いてもよい。
(1)$f'(x)$=$\displaystyle\frac{g(x)}{x^2(2x-3)}$ とおくとき、関数$g(x)$ ($x$≧2)を求めよ。
(2)(1)で求めた関数$g(x)$に対し、$g(\alpha)$=0 を満たす2以上の実数$\alpha$がただ一つ存在することを示せ。
(3)関数$f(x)$ ($x$≧2)の増減と極限$\displaystyle\lim_{t \to \infty}f(x)$ を調べ、$y$=$f(x)$ ($x$≧2)のグラフの概形を$xy$平面上に描け。ただし(2)の$\alpha$を用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
(4)2≦$m$＜$n$ を満たす整数$m$,$n$の組($m$,$n$)に対して、等式
(＊)$(2m-3)^n$=$(2n-3)^m$
が成り立つとする。このような組($m$,$n$)をすべて求めよ。
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$\Large{\boxed{5}}$ $x$≧2 を満たす実数$x$に対し、
$f(x)$=$\displaystyle\frac{\log(2x-3)}{x}$
とおく。必要ならば、$\displaystyle\lim_{t \to \infty}\frac{\log t}{t}$=0 であること、および自然対数の底$e$が2＜$e$＜3 を満たすことを証明なしで用いてもよい。
(1)$f'(x)$=$\displaystyle\frac{g(x)}{x^2(2x-3)}$ とおくとき、関数$g(x)$ ($x$≧2)を求めよ。
(2)(1)で求めた関数$g(x)$に対し、$g(\alpha)$=0 を満たす2以上の実数$\alpha$がただ一つ存在することを示せ。
(3)関数$f(x)$ ($x$≧2)の増減と極限$\displaystyle\lim_{t \to \infty}f(x)$ を調べ、$y$=$f(x)$ ($x$≧2)のグラフの概形を$xy$平面上に描け。ただし(2)の$\alpha$を用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
(4)2≦$m$＜$n$ を満たす整数$m$,$n$の組($m$,$n$)に対して、等式
(＊)$(2m-3)^n$=$(2n-3)^m$
が成り立つとする。このような組($m$,$n$)をすべて求めよ。
大学入試問題#796「解法は、ほぼ1択か」 #横浜国立大学(2024) #定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{log\sqrt{ 3 }} \displaystyle \frac{e^{3x}+4e^{2x}+e^x}{e^{4x}+2e^{2x}+1}dx$
出典：2024年横浜国立大学
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$\displaystyle \int_{0}^{log\sqrt{ 3 }} \displaystyle \frac{e^{3x}+4e^{2x}+e^x}{e^{4x}+2e^{2x}+1}dx$
出典：2024年横浜国立大学
高校数学：数学検定準1級2次：問題7 関数の増減と変曲点
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#微分とその応用#微分法#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) $f(x)$の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) $xy$平面における曲線$y＝f(x)$は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
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$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) $f(x)$の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) $xy$平面における曲線$y＝f(x)$は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
#会津大学(2015) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3x\ dx$
出典：2015年会津大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3x\ dx$
出典：2015年会津大学
#日本工業大学(2021) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{2}^{4} log_2\ x\ dx$
出典：2021年日本工業大学
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$\displaystyle \int_{2}^{4} log_2\ x\ dx$
出典：2021年日本工業大学
福田のおもしろ数学112〜多変数の式の最大最小
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$x$,$y$,$z$が0≦$x$≦1, 0≦$y$≦1, 2≦$z$≦3 を満たして変わるとき、$\displaystyle\frac{z-y}{z-x}$ の最大値、最小値を求めよ。
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実数$x$,$y$,$z$が0≦$x$≦1, 0≦$y$≦1, 2≦$z$≦3 を満たして変わるとき、$\displaystyle\frac{z-y}{z-x}$ の最大値、最小値を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2024年文系第3問〜3次関数のグラフと面積
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ $a$を0でない実数とする。$C$を$y$=$-x^3$+$x^2$ で表される曲線、$l$を$y$=$a$ で表される直線とし、$C$と$l$は共有点をちょうど2つもつとする。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)$C$と$l$の共有点の$x$座標をすべて求めよ。
(3)$C$と$l$で囲まれた図形の面積を求めよ。
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$\Large{\boxed{3}}$ $a$を0でない実数とする。$C$を$y$=$-x^3$+$x^2$ で表される曲線、$l$を$y$=$a$ で表される直線とし、$C$と$l$は共有点をちょうど2つもつとする。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)$C$と$l$の共有点の$x$座標をすべて求めよ。
(3)$C$と$l$で囲まれた図形の面積を求めよ。
「安定の良問」 by にっし~Diaryさん #極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x\{\sin(\displaystyle \frac{1}{x})-\sin(\sin(\displaystyle \frac{1}{x}))\}}{1-x\ \sin(\displaystyle \frac{1}{x})}$
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$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \frac{x\{\sin(\displaystyle \frac{1}{x})-\sin(\sin(\displaystyle \frac{1}{x}))\}}{1-x\ \sin(\displaystyle \frac{1}{x})}$
福田の数学〜北海道大学2024年理系第5問〜対数関数の増減凹凸と面積
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{5}}$ 関数$f(x)$=$x\log(x+2)$+1 ($x$＞-2)
を考える。$y$=$f(x)$で表される曲線を$C$とする。$C$の接線のうち傾きが正で原点を通るものを$l$とする。ただし$\log t$は$t$の自然対数である。
(1)直線$l$の方程式を求めよ。
(2)曲線$C$は下に凸であることを証明せよ。
(3)$C$と$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
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$\Large{\boxed{5}}$ 関数$f(x)$=$x\log(x+2)$+1 ($x$＞-2)
を考える。$y$=$f(x)$で表される曲線を$C$とする。$C$の接線のうち傾きが正で原点を通るものを$l$とする。ただし$\log t$は$t$の自然対数である。
(1)直線$l$の方程式を求めよ。
(2)曲線$C$は下に凸であることを証明せよ。
(3)$C$と$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
#61数検１級１次「よくできた問題」
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$(x-1)^7-(x^7-1)$を実数係数の範囲で因数分解せよ
出典：数検1級1次
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$(x-1)^7-(x^7-1)$を実数係数の範囲で因数分解せよ
出典：数検1級1次
福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第4問〜接線と面積計算
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 関数$f(x)$を
$f(x)$=$x^2(x-3)$
で定める。以下に答えなさい。
(1)関数$f(x)$は$x$=$\boxed{\ \ ト\ \ }$で極小値$\boxed{\ \ ナ\ \ }$をとる。
(2)曲線$y$=$f(x)$ を$C$とする。点A(0,1)から曲線$C$へは2本の接線が引ける。
そのうち、傾きが正の接線を$l$とし、傾きが負の接線を$m$とするとき、直線$l$の方程式は$y$=$\boxed{\ \ ニ\ \ }$であり、直線$m$の方程式は$y$=$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。
(3)曲線$C$と直線$l$の接点Pの$x$座標は$\boxed{\ \ ネ\ \ }$である。また、曲線$C$と直線$l$は2つの共有点をもつが、点Pとは異なる共有点Qの$x$座標は$\boxed{\ \ ノ\ \ }$である。さらに、曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ ハ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{4}$ 関数$f(x)$を
$f(x)$=$x^2(x-3)$
で定める。以下に答えなさい。
(1)関数$f(x)$は$x$=$\boxed{\ \ ト\ \ }$で極小値$\boxed{\ \ ナ\ \ }$をとる。
(2)曲線$y$=$f(x)$ を$C$とする。点A(0,1)から曲線$C$へは2本の接線が引ける。
そのうち、傾きが正の接線を$l$とし、傾きが負の接線を$m$とするとき、直線$l$の方程式は$y$=$\boxed{\ \ ニ\ \ }$であり、直線$m$の方程式は$y$=$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。
(3)曲線$C$と直線$l$の接点Pの$x$座標は$\boxed{\ \ ネ\ \ }$である。また、曲線$C$と直線$l$は2つの共有点をもつが、点Pとは異なる共有点Qの$x$座標は$\boxed{\ \ ノ\ \ }$である。さらに、曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ ハ\ \ }$である。
#会津大学(2009) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{2} (3x^3-1)log\ x\ dx$
出典：2009年会津大学
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$\displaystyle \int_{1}^{2} (3x^3-1)log\ x\ dx$
出典：2009年会津大学
#59数検1級1次「国立大の入試問題の代表的な題材」
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$n$を正の整数とするとき定積分
$\displaystyle \int_{0}^{1} (log_e\ x)^n\ dx$の値を$n$に関する式で表せ。
出典：数検1級1次
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$n$を正の整数とするとき定積分
$\displaystyle \int_{0}^{1} (log_e\ x)^n\ dx$の値を$n$に関する式で表せ。
出典：数検1級1次
【高校数学】遂に完結!!北海道大学2024年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分104日目~47都道府県制覇への道~【㊼北海道】【最終回】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【北海道大学 2024】
関数
$f(x)=xlog(x+2)+1 (x＞-2)$
を考える。$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする。$C$の接線のうち傾きが正で原点を通るものを$l$とする。ただし、$logt$は$t$の自然対数である。
(1) 直線$l$の方程式を求めよ。
(2) 曲線$C$は下に凸であることを証明せよ。
(3) $C$と$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
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【北海道大学 2024】
関数
$f(x)=xlog(x+2)+1 (x＞-2)$
を考える。$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする。$C$の接線のうち傾きが正で原点を通るものを$l$とする。ただし、$logt$は$t$の自然対数である。
(1) 直線$l$の方程式を求めよ。
(2) 曲線$C$は下に凸であることを証明せよ。
(3) $C$と$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
大学入試問題#783「おもろいタイプ」 岡山県立大学中期(2011) #定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#岡山県立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 1-t^2 }}\ dt(0 \leq x \leq 1)$において
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x)\ dx$を求めよ
出典：2011年青山県立大学中期 入試問題
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$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 1-t^2 }}\ dt(0 \leq x \leq 1)$において
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x)\ dx$を求めよ
出典：2011年青山県立大学中期 入試問題
【高校数学】弘前大学の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分103日目~47都道府県制覇への道~【㊻青森】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#弘前大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【弘前大学 2023】
$\displaystyle \int_\frac{-π}{4}^\frac{π}{3}\frac{x}{cos^2x}dx$
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【弘前大学 2023】
$\displaystyle \int_\frac{-π}{4}^\frac{π}{3}\frac{x}{cos^2x}dx$
大学入試問題#782「もう何回目だろうか」 横浜市立大学(2004) #区分求積法
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#横浜市立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \{\displaystyle \frac{(2n+1)(2n+2)・・・(2n+n)}{(n+1)(n+2)・・・(n+n)}\}^\frac{1}{n}$
出典：2004年横浜市立大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \{\displaystyle \frac{(2n+1)(2n+2)・・・(2n+n)}{(n+1)(n+2)・・・(n+n)}\}^\frac{1}{n}$
出典：2004年横浜市立大学 入試問題
#宮崎大学(2017) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{ 2-x }\ dx$
出典：2017年宮崎大学
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$\displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{ 2-x }\ dx$
出典：2017年宮崎大学