数Ⅲ
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視聴者の僚太さんの積分「編集に5時間・・・・」
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{2\ log\ 2}^{3\ log\ 2} \sqrt{ e^x-4 } \ dx$
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$\displaystyle \int_{2\ log\ 2}^{3\ log\ 2} \sqrt{ e^x-4 } \ dx$
音楽と数学の相関関係～全国入試問題解法 #数学 #勉強 #高校入試 #数検 #点数
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
音楽と数学の相関関係
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \displaystyle \frac{ax-1}{x-a}$
を求めよ。
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音楽と数学の相関関係
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \displaystyle \frac{ax-1}{x-a}$
を求めよ。
福田のおもしろ数学169〜log x/xの極限
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}$=0 を証明せよ。
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$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}$=0 を証明せよ。
福田の数学〜九州大学2024年理系第5問〜定積分で定義された数列の極限
単元：
#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0 が成り立つことを示せ。
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$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0 が成り立つことを示せ。
πをどうやって表しますか？
福田のおもしろ数学164〜階乗とn乗の商の極限
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{3^n}$と$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{n^n}$ を求めなさい。
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$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{3^n}$と$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{n^n}$ を求めなさい。
大学入試問題#847「もうネタ切れ寸前」 #青山学院大学(2006) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数Ⅲ#青山学院大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \{log(4-x^2)+2\} dx$
出典：2006年青山学院大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \{log(4-x^2)+2\} dx$
出典：2006年青山学院大学 入試問題
大学入試問題#846「基本問題」 #岩手大学(2017) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$を利用して
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 }\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^4}\{log(x^2+x^3)-log\ x^2\}$を求めよ
出典：2017年岩手大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$を利用して
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 }\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^4}\{log(x^2+x^3)-log\ x^2\}$を求めよ
出典：2017年岩手大学 入試問題
福田の数学〜神戸大学2024年理系第5問〜定積分で表された関数と不等式
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#積分とその応用#定積分#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 0以上の実数$x$に対して、
$f(x)$=$\displaystyle\frac{1}{2}\int_{-x}^x\frac{1}{1+u^2}du$
と定める。以下の問いに答えよ。
(1)0≦$\alpha$＜$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ を満たす実数$\alpha$に対して、$f(\tan\alpha)$を求めよ。
(2)$xy$平面上で、次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
0≦$x$≦1, 0≦$y$≦1, $f(x)$+$f(y)$≦$f(1)$
またその領域の面積を求めよ。
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$\Large\boxed{5}$ 0以上の実数$x$に対して、
$f(x)$=$\displaystyle\frac{1}{2}\int_{-x}^x\frac{1}{1+u^2}du$
と定める。以下の問いに答えよ。
(1)0≦$\alpha$＜$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ を満たす実数$\alpha$に対して、$f(\tan\alpha)$を求めよ。
(2)$xy$平面上で、次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
0≦$x$≦1, 0≦$y$≦1, $f(x)$+$f(y)$≦$f(1)$
またその領域の面積を求めよ。
#広島市立大学(2013)
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#広島市立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \sin^9x \cos^3x\ dx$
出典：2013年広島市立大学
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$\displaystyle \int \sin^9x \cos^3x\ dx$
出典：2013年広島市立大学
大学入試問題#845「気持ち応用か！？」 #電気通信大学(2020) #区分求積法
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=n+1}^{2n} \displaystyle \frac{n}{k^2+3kn+2n^2}$
出典：2020年電気通信大学
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$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=n+1}^{2n} \displaystyle \frac{n}{k^2+3kn+2n^2}$
出典：2020年電気通信大学
福田の数学〜神戸大学2024年理系第4問〜回転体の体積
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 1辺の長さが$\sqrt 2$の正方形ABCDを底面にもち、高さが1である直方体ABCD－EFGHを、頂点の座標がそれぞれ
A(1,0,0), B(0,1,0), C(-1,0,0), D(0,-1,0),
E(1,0,1), F(0,1,1), G(-1,0,1), H(0,-1,1)
になるように$xyz$空間におく。以下の問いに答えよ。
(1)直方体ABCD－EFGHを直線AEのまわりに1回転してできる回転体を$X_1$とし、また直線ABのまわりに1回転してできる回転体を$X_2$とする。$X_1$の体積$V_1$と$X_2$の体積$V_2$を求めよ。
(2)0≦$t$≦1 とする。平面$x$=$t$と線分EFの共有点の座標を求めよ。
(3)直方体ABCD－EFGHを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体を$X_3$とする。
$X_3$の体積$V_3$を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 1辺の長さが$\sqrt 2$の正方形ABCDを底面にもち、高さが1である直方体ABCD－EFGHを、頂点の座標がそれぞれ
A(1,0,0), B(0,1,0), C(-1,0,0), D(0,-1,0),
E(1,0,1), F(0,1,1), G(-1,0,1), H(0,-1,1)
になるように$xyz$空間におく。以下の問いに答えよ。
(1)直方体ABCD－EFGHを直線AEのまわりに1回転してできる回転体を$X_1$とし、また直線ABのまわりに1回転してできる回転体を$X_2$とする。$X_1$の体積$V_1$と$X_2$の体積$V_2$を求めよ。
(2)0≦$t$≦1 とする。平面$x$=$t$と線分EFの共有点の座標を求めよ。
(3)直方体ABCD－EFGHを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体を$X_3$とする。
$X_3$の体積$V_3$を求めよ。
大学入試問題#844「まあ基本・・・」 #電気通信大学(2015) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)(\sin 2x)(\sin 3x) dx$
出典：2015年電気通信大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)(\sin 2x)(\sin 3x) dx$
出典：2015年電気通信大学 入試問題
#大阪医科大学(2014) #定積分
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#大阪医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-1}^{1} x \sin n \pi \ x\ dx$
$n$：自然数
出典：2014年大阪医科大学
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$\displaystyle \int_{-1}^{1} x \sin n \pi \ x\ dx$
$n$：自然数
出典：2014年大阪医科大学
福田のおもしろ数学158〜無理不等式と同値変形
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#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
不等式$\sqrt{2x+1}$≧$x$－1 ...(＊)を
(1)同値変形することで解け。 (2)グラフを利用して解け。
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不等式$\sqrt{2x+1}$≧$x$－1 ...(＊)を
(1)同値変形することで解け。 (2)グラフを利用して解け。
大学入試問題#843「解き方色々ありそう」 ＃筑波大学(2013) #不定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{\sin x \cos x} dx$
出典：2013年筑波大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{\sin x \cos x} dx$
出典：2013年筑波大学 入試問題
福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項
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#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#神戸大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ $c$を正の実数とする。各項が正である数列$\left\{a_n\right\}$を次のように定める。$a_1$は関数
$y$=$x$+$\sqrt{c-x^2}$ (0≦$x$≦$\sqrt c$)
が最大値をとるときの$x$の値とする。$a_{n+1}$は関数
$y$=$x$+$\sqrt{a_n-x^2}$ (0≦$x$≦$\sqrt{a_n}$)
が最大値をとるときの$x$の値とする。数列$\left\{b_n\right\}$を$b_n$=$\log_2a_n$ で定める。以下の問いに答えよ。
(1)$a_1$を$c$を用いて表せ。
(2)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(3)数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を$n$と$c$を用いて表せ。
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$\Large\boxed{1}$ $c$を正の実数とする。各項が正である数列$\left\{a_n\right\}$を次のように定める。$a_1$は関数
$y$=$x$+$\sqrt{c-x^2}$ (0≦$x$≦$\sqrt c$)
が最大値をとるときの$x$の値とする。$a_{n+1}$は関数
$y$=$x$+$\sqrt{a_n-x^2}$ (0≦$x$≦$\sqrt{a_n}$)
が最大値をとるときの$x$の値とする。数列$\left\{b_n\right\}$を$b_n$=$\log_2a_n$ で定める。以下の問いに答えよ。
(1)$a_1$を$c$を用いて表せ。
(2)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(3)数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を$n$と$c$を用いて表せ。
#宮崎大学(2015) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#宮崎大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} dx$
出典：2015年宮崎大学
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$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} dx$
出典：2015年宮崎大学
#関東学院大学(2014) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{3} \displaystyle \frac{1}{12+4x-x^2} dx$
出典：2014年関東学院大学
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$\displaystyle \int_{1}^{3} \displaystyle \frac{1}{12+4x-x^2} dx$
出典：2014年関東学院大学
#宮崎大学(2016)
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{e} \displaystyle \frac{\sqrt{ 1+log\ x }}{x} dx$
出典：2016年宮崎大学
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$\displaystyle \int_{1}^{e} \displaystyle \frac{\sqrt{ 1+log\ x }}{x} dx$
出典：2016年宮崎大学
#電気通信大学(2014) #定積分 #Shorts
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} x^2(1-x)^9 \ dx$
出典：2014年電気通信大学
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$\displaystyle \int_{0}^{1} x^2(1-x)^9 \ dx$
出典：2014年電気通信大学
#福島大学(2020) #不定積分 #Shorts
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福島大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{2\sqrt{ x+1 }} dx$
出典：2020年福島大学
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以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{2\sqrt{ x+1 }} dx$
出典：2020年福島大学
福田のおもしろ数学151〜面積を2等分する直線が存在する証明
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
左の図形(※動画参照)の面積を2等分する直線が存在することを証明してください。
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左の図形(※動画参照)の面積を2等分する直線が存在することを証明してください。
#筑波大学(1996) #極限 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\sqrt{ x^2+x+1 }-x)$
出典：1996年筑波大学
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$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\sqrt{ x^2+x+1 }-x)$
出典：1996年筑波大学
#福島大学(2021) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#福島大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\ x\ log(\sin\ x) dx$
出典：2021年福島大学
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$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\ x\ log(\sin\ x) dx$
出典：2021年福島大学
福田の数学〜名古屋大学2024年理系第1問〜接線の本数と整数解
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 関数$f(x)$=$\sqrt x$+$\displaystyle\frac{2}{\sqrt x}$ ($x$>0)に対して、$y$=$f(x)$のグラフを$C$とする。
(1)$f(x)$の極値を求めよ。
(2)$x$軸上の点P($t$, 0)から$C$にちょうど2本の接線を引くことができるとする。
そのような実数$t$の値の範囲を求めよ。
(3)(2)において、$C$の2つの接点の$x$座標を$\alpha$, $\beta$($\alpha$<$\beta$)とする。$\alpha$, $\beta$がともに整数であるような組($\alpha$, $\beta$)をすべて求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 関数$f(x)$=$\sqrt x$+$\displaystyle\frac{2}{\sqrt x}$ ($x$>0)に対して、$y$=$f(x)$のグラフを$C$とする。
(1)$f(x)$の極値を求めよ。
(2)$x$軸上の点P($t$, 0)から$C$にちょうど2本の接線を引くことができるとする。
そのような実数$t$の値の範囲を求めよ。
(3)(2)において、$C$の2つの接点の$x$座標を$\alpha$, $\beta$($\alpha$<$\beta$)とする。$\alpha$, $\beta$がともに整数であるような組($\alpha$, $\beta$)をすべて求めよ。
#筑波大学(2016) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2} |log\ x| dx$
出典：2016年筑波大学
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$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2} |log\ x| dx$
出典：2016年筑波大学
大学入試問題#825「まあまあ良問」 #茨城大学(2022) #定積分
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#茨城大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-7}^{1}(2-x) \sqrt[ 3 ]{ 1-x }\ dx$
出典：2022年茨城大学
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$\displaystyle \int_{-7}^{1}(2-x) \sqrt[ 3 ]{ 1-x }\ dx$
出典：2022年茨城大学
#秋田大学(2019) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#秋田大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{e}^{e^2} \displaystyle \frac{1}{x\ log\ x} dx$
出典：2019年秋田大学
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$\displaystyle \int_{e}^{e^2} \displaystyle \frac{1}{x\ log\ x} dx$
出典：2019年秋田大学
#岩手大学(2013) #極限 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\sqrt{ 3x+4 }-2}{\sin3x}$
出典：2013年岩手大学
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\sqrt{ 3x+4 }-2}{\sin3x}$
出典：2013年岩手大学