平面上のベクトルと内積

【数B】ベクトル：2021年高3第1回K塾記述模試

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
四角形OABCは、

O B + 3 B C ＝ 2 A B

を満たしている。また、辺OAを2:1に内分する点を Dとし、

a = O A 、 c = O C

とする。
(1)OBをa,cを用いて表せ。
(2)2直線

O B, C D

の交点をP とする。

O P ｗ ｐ a, c

を用いて表せ。また、

C P : P D

を求めよ。
(3)

O A = 3 、 O B = \sqrt{15}, O C = 4

とする。(i)内積a・cの値を求めよ。(ii)四角形OABCに、CとDが重なるように折り目を付け、再び広げて四角形に戻す。折り目の直線lと直線OCの公転をNとするとき、

O N : N C

を求めよ。また、3直線

O B, O C, l

で囲まれてできる三角形の面積を求めよ。

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【数B】平面ベクトル：ベクトル方程式　ベクトルと軌跡：座標平面において、△ABCはBA・CA＝0を満たしている。この平面上の点Pが条件AP・BP＋BP・CP＋CP・AP＝0を満たす(続きは概要欄で)

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
座標平面において、△ABCはBA・CA＝0を満たしている。この平面上の点Pが条件AP・BP＋BP・CP＋CP・AP＝0を満たすとき、Pはどのような図形上の点であるか。

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【数B】平面ベクトル：ベクトルの終点の存在範囲　その2

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
△OABに対し、OP=sOA+tOBとする。
次のとき、点Pの存在範囲を求めよ。
(1)

s + 2 t = 3

(2)

1 ≦ s + t ≦ 2, s ≧ 0, t ≧ 0

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【数B】平面ベクトル：ベクトルの終点の存在範囲　その1

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
△OABに対し、OP=sOA+tOBとする。
次のとき、点Pの存在範囲を求めよ。
(1)

s + 2 t = 3

(2)

1 ≦ s + t ≦ 2, s ≧ 0, t ≧ 0

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【中学数学・数C】1次関数・平面ベクトル：座標平面上の三角形の面積

単元： #数学(中学生)#中２数学#平面上のベクトル#1次関数#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2x+y-6=0
2x-y+2=0
2x-7y-22=0
によって作られる三角形の面積は？

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【数B】平面ベクトル：2020年高2第2回駿台全国模試第7問解説してみた！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2020年高2第2回駿台全国模試第7問解説してみた！

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【数C】平面ベクトル：2020年高2第2回駿台全国模試第7問解説してみた！

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#駿台模試#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
点Oを中心とする半径1の円に内接する四角形ABCDについて、次の条件(I)(II)を考える。
(I)AO＝-17/2*AB+5AC (II)OA・OC=OA・OD また、θ＝∠AOCとする。次の問いに答えよう。
(1)内積OA・OCをθを用いて表そう。
(2)(I)が成り立つとき、(i)OBをOAとOCを用いて表そう。(ii)cosθの値を求めよう。

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【数B】平面ベクトル：高2K塾共通テスト模試（ベクトル）を解説してみた！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
高2全統共通テスト模試（ベクトル）を解説してみた！

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【数C】平面ベクトル：高2K塾共通テスト模試（ベクトル）を解説してみた！

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
高2全統共通テスト模試のベクトルの解説です。

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共通テスト第２日程2021年数学詳しい解説〜共通テスト第２日程2021年2B第５問〜ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

第 5 問

O

を原点とする座標空間に2点

A (- 1, 2, 0), B (2, p, q)

がある。ただし、

q > 0

とする。
線分

A B

の中点

C

から直線

O A

に引いた垂線と直線

O A

の交点

D

は、線分

O A

を9:1に内分
するものとする。また、点

C

から直線

O B

に引いた垂線と直線

O B

の交点Eは、線分

O B

を

3 : 2

に内分するものとする。

(1)点Bの座標を求めよう。

| \vec{O A} |^{2} = ア

である。また、

\vec{O D} = \frac{イ}{ウ エ} \vec{O A}

であることにより、

\vec{C D} = \frac{オ}{カ} \vec{O A} - \frac{キ}{ク} \vec{O B}

と表される。

\vec{O A} ⊥ \vec{C D}

から

\vec{O A} ・ \vec{O B} = ケ

\dots

①
である。同様に、

\vec{C E}

を

\vec{O A}, \vec{O B}

を用いて表すと、

\vec{O B} ⊥ \vec{C E}

から

| \vec{O B} |^{2} = 20

\dots

②
を得る。

①と②、および

q > 0

から、

B

の座標は

(2, コ, \sqrt{サ})

である。

(2)3点

O, A, B

の定める平面を

α

とし、点

(4, 4, - \sqrt{7})

を

G

とする。
また、

α

上に点

H

を

\vec{G H} ⊥ \vec{O A}

と

\vec{G H} ⊥ \vec{O B}

が成り立つようにとる。

\vec{O H}

を

\vec{O A}, \vec{O B}

を用いて表そう。

H

が

α

上にあることから、実数

s, t

を用いて

\vec{O H} = s \vec{O A} + t \vec{O B}

と表される。よって

\vec{G H} = シ \vec{O G} + s \vec{O A} + t \vec{O B}

である。これと、

\vec{G H} ⊥ \vec{O A}

および

\vec{G H} ⊥ \vec{O B}

が成り立つことから、

s = \frac{ス}{セ}, t = \frac{ソ}{タ チ}

が得られる。ゆえに

\vec{O H} = \frac{ス}{セ} \vec{O A} + \frac{ソ}{タ チ} \vec{O B}

となる。また、このことから、

H

は

ツ

であることがわかる。

ツ

の解答群
⓪三角形

O A C

の内部の点
①三角形

O B C

の内部の点
②点

O, C

と異なる、線分

O C

上の点
③三角形

O A B

の周上の点
④三角形

O A B

の内部にも周上にもない点

2021共通テスト過去問

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共通テスト2021年数学詳しい解説〜共通テスト2021年2B第５問〜ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

第 5 問

1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1)1辺の長さが1の正五角形

O A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}

を考える。

∠ A_{1} C_{1} B_{1} = ア イ °

、

∠ C_{1} A_{1} A_{2} = ア イ °

となることから、

\vec{A_{1} A_{2}}

と

\vec{B_{1} C_{1}}

は平行である。ゆえに

\vec{A_{1} A_{2}} = ウ \vec{B_{1} C_{1}}

であるから

\vec{B_{1} C_{1}} = \frac{1}{ウ} \vec{A_{1} A_{2}}

= \frac{1}{ウ} (\vec{O A_{2}} - \vec{O A_{1}})

また、

\vec{O A_{1}}

と

\vec{A_{2} B_{1}}

は平行で、さらに、

\vec{O A_{2}}

と

\vec{A_{1} C_{1}}

も平行であることから

\vec{B_{1} C_{1}} = \vec{B_{1} A_{2}} + \vec{A_{2} O} + \vec{O A_{1}} +

\vec{A_{1} C_{1}}

= - ウ \vec{O A_{1}} - \vec{O A_{2}}

+ \vec{O A_{1}} + ウ \vec{O A_{2}}

= (エ - オ)

(\vec{O A_{2}} - \vec{O A_{1}})

となる。したがって

\frac{1}{ウ} = エ - オ

が成り立つ。

a > 0

に注意してこれを解くと、

a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

を得る。

(2)下の図(※動画参照)のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

面

O A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}

に着目する。

\vec{O A_{1}}

と

\vec{A_{2} B_{1}}

が平行であることから

\vec{O B_{1}} = \vec{O A_{2}} + \vec{A_{2} B_{1}}

= \vec{O A_{2}} + ウ \vec{O A_{1}}

である。また

| \vec{O A_{2}} - \vec{O A_{1}} |^{2} = | \vec{A_{1} A_{2}} |^{2}

= \frac{カ + \sqrt{キ}}{ク}

に注意すると

\vec{O A_{1}} ・ \vec{O A_{2}} = \frac{ケ - \sqrt{コ}}{サ}

を得る。

次に、面OA_2B_2C_2A_2に着目すると

\vec{O B_{2}} = \vec{O A_{3}} + ウ \vec{O A_{2}}

である。さらに

\vec{O A_{2}} ・ \vec{O A_{3}} = \vec{O A_{3}} ・ \vec{O A_{1}}

= \frac{ケ - \sqrt{コ}}{サ}

が成り立つことがわかる。ゆえに

\vec{O A_{1}} ・ \vec{O B_{2}} = シ,

\vec{O B_{1}} ・ \vec{O B_{2}} = ス

である。

シ, ス

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪

0

①

1

②

- 1

③

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

④

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

⑤

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

⑥

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

⑦

- \frac{1}{2}

⑧

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}

⑨

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{4}

最後に、面

A_{2} C_{1} D E B_{2}

に着目する。

\vec{B_{2} D} = ウ \vec{A_{2} C_{1}} = \vec{O B_{1}}

であることに注意すると、4点

O, B_{1}, D, B_{2}

は同一平面上にあり、四角形

O B_{1} D B_{2} は セ

ことがわかる。

セ

の解答群
⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②正方形ではないが、ひし形である
③長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
④平行四辺形ではないが、台形である
⑤台形でない

(ただし、少なくとも1組の対辺が平行な四角形を台形という)

2021共通テスト過去問

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【数C】平面ベクトル：A(4,3) B(8,5) C(5,8)のとき△ABCの面積Sを求めよう。

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
A(4,3) B(8,5) C(5,8)のとき△ABCの面積Sを求めよう。

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【数B】平面ベクトル：A(4,3) B(8,5) C(5,8)のとき△ABCの面積Sを求めよう。

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
A(4,3) B(8,5) C(5,8)のとき△ABCの面積Sを求めよう。

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数検準1級1次過去問（3番　ベクトル）

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数C

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

| \vec{a} | = \sqrt{10}

,

| \vec{b} | = \sqrt{5}

,

\vec{a} ・ \vec{b} = - \sqrt{2}

\vec{a} ⊥ (\vec{a} + t \vec{b})

のとき

| \vec{a} + t \vec{b} |

を求めよ。

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18奈良県教員採用試験（数学：1番　ベクトル）

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#その他#数学(高校生)#数C#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

一直線上にないO、A、B

\vec{O D} = 3 \vec{O A}

,

\vec{O E} = 2 \vec{O B}

BDとAEの交点をC
(1)

\vec{O C}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

で表せ
(2)OCとABの交点をF
AF:FBを求めよ。
(3)

| \vec{O A} | = 4

,

| \vec{O B} | = 5

,

| \vec{O C} | = 6

のときDEの長さを求めよ。

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【数C】ベクトル：2020年第2回高2K塾記述模試の第7問を解いてみた！

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

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【数B】ベクトル：2020年第2回高2K塾記述模試の第7問を解いてみた！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

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【数C】平面ベクトル：単位ベクトルって何？？公式がよくわからない！そんな疑問が1分半で解決♪

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
a→＝(3,2)と同じ向きの単位ベクトルを求めなさい。

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【数B】平面ベクトル：平面ベクトル存在範囲 △OABに対し,OP=sOA+tOBとする。点Pが次の条件を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲を求めよ。(2)s+t≦4,s≧0,t≧0

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ O A B

に対して,点

P

が次の条件を満たしながら動くとき,点

P

の存在範囲を求めよ.

(1)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, s + t = 4, s ≧ 0, t ≧ 0

(2)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, s + t = 4, s ≧ 0, t ≧ 0

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もっちゃんと数学　内積

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
内積に関して解説していきます.

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【数B】平面ベクトル：平面ベクトル存在範囲 △OABに対し,OP=sOA+tOBとする。点Pが次の条件を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲を求めよ。(1)s+t=4,s≧0,t≧0

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

教材： #中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ O A B

に対して,点

P

が次の条件を満たしながら動くとき,点

P

の存在範囲を求めよ.

(1)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, s + t = 4, s ≧ 0, t ≧ 0

(2)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, s + t = 4, s ≧ 0, t ≧ 0

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京都府採用試験数学【2016】

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#場合の数と確率#平面上のベクトル#複素数平面#図形と計量#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#整数の性質#場合の数#確率#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#三角関数#指数関数と対数関数#三角関数とグラフ#指数関数#対数関数#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#微分とその応用#積分とその応用#複素数平面#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
1. x+y+z=10の正の整数解の個数を求めよ。

2. 3つのサイコロを投げる。
出る目の最大値と最小値の差が2になる確率を求めよ。

3. 複素数

(\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2})^{2015} + (\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2})^{2015}

4.

l o g_{2} 3

は無理数を示せ

5.

△ O A B = \frac{| a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |}{2}

を示せ
＊図は動画内参照

6. f(x)=e^x sinx
(1)

0 ≦ x ≦ π

y=f(x)の極大値を求めよ。

(2)x軸とy=f(x) (

0 ≦ x ≦ π

)で囲まれた面積を求めよ。

7.

\frac{1}{2015}, \frac{2}{2015}, \dots, \frac{2015}{2015}

のうち既約分数の個数を求めよ。

8.

n \in N

2 (\sqrt{n + 1} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}

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【裏技】ベクトルと面積比、これ知らない奴来い！

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数C

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
ベクトルと面積比の説明動画です

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【数学】ベクトル内積の成分表示ってどうしてこうなるの？

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数C

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
内積の成分表示についての説明動画です

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【数学】ベクトルの面積公式の語呂合わせ・証明を10分でまとめてみた　

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【数学】ベクトルの面積公式の語呂合わせ・証明のまとめ動画です

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【数C】30分でベクトルを総まとめしてみた【1.5倍速推奨 / 教科書レベル】

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【数B】30分でベクトルを総まとめ動画です
-----------------

\vec{a} = (1, - 2)

とのなす角が

45^{\circ}

で、大きさが

\sqrt{10}

のベクトルを求めよ。

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慶應（医）空間　直線＆平面の方程式　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#三角関数#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
慶応義塾大学過去問題
直線

l : 6 - x = \frac{y + 5}{2} = 2 - z

と
平面

α : z + y - z - 1 = 0

(1)lとαの交点の座標
(2)lを含み平面αに垂直な平面πの方程式
(3)lと、平面αとπの交線のなす角をθ(0°

≦

θ

≦

90°)
cosθの値

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福田の一夜漬け数学〜平面ベクトル(2)〜受験編・文理共通

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点Oを中心とし、半径1の円に内接する

△ A B C

が

\vec{O A} + \sqrt{3} \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}

　を満たしている。
(1)内積

\vec{O A} ・ \vec{O B}, \vec{O A} ・ \vec{O C}

を求めよ。
(2)

△ A B C

　の面積を求めよ。
(3)辺

B C

の長さ、および頂点Aから
辺

B C

に引いた垂線の長さを求めよ。

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【高校数学】　数B－２　ベクトルの加法

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
右図で

\vec{O A} + \vec{A B}

=となる。
また、ベクトルの加法では次の法則が成り立つ。

\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}, (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})

◎次のベクトル

\vec{a}

、

\vec{b}

について、

\vec{a} + \vec{b}

を図示しよう。
※図は動画内参照

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【高校数学】　数B－１　有向線分とベクトル

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
右図のように①＿＿＿＿を指定した線分を有向線分といい、Aを②＿＿＿＿、Bを③＿＿＿＿という。
そして、位置を気にしないで、④＿＿＿＿と⑤＿＿＿＿だけで定まる量をベクトルといい、有向線分ABで表されるベクトルを

\vec{A B}

と書き表す。
また、ベクトル

\vec{A B}

の大きさを⑥＿＿＿＿と書き、特に大きさが1であるベクトルを⑦＿＿＿＿ベクトルという。
※図は動画内参照

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 平面上のベクトルと内積

【数B】ベクトル：2021年高3第1回K塾記述模試

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