空間ベクトル

大学入試問題#899「初めてのベクトルやってみた」　#北海道大学(2024)

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
三角形

O A B

が

| \vec{O A} | = 3,

| \vec{A B} | = 5,

\vec{O A} . \vec{A B} = 10

を満たしているとする。
三角形

O A B

の内接円の中心を

I

とし、この内接円と辺

O A

の接点を

H

とする。

１．辺

O B

の長さを求めよ。
２．

\vec{O I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
３．

\vec{H I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

出典：2024年北海道大学

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第4問〜正四面体の位置ベクトルと面積体積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

p

,

q

を正の実数とし、Oを原点とする座標空間内に3点A(3,

- \sqrt{3}

,0),B(3,

\sqrt{3}

,0),C(

p

,0,

q

)をとる。ただし、四面体OABCは1辺の長さが

2 \sqrt{3}

の正四面体であるとする。
(1)

p

および

q

の値を求めよ。
以下、点

(\frac{3}{2}, 0, \frac{q}{2})

に関してO,A,B,Cと対称な点を、それぞれD,E,F,Gとする。
(2)直線DGと平面ABCとの交点Hの座標を求めよ。
(3)直線CBと平面DEGとの交点をI、直線CAと平面DFGとの交点をJとする。
四角形CJHIの面積

S

と四角錐G－CJHIの体積

V

を、それぞれ求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年医学部第4問〜空間に浮かぶ四面体の平面による切り口の面積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標空間の4点O(0,0,0),A(-3,-1,1),B(2,-2,2),C(3,3,3)を頂点とする四面体OABCの、平面

z

=

t

による切り口を

S_{t}

とする。
(1)

S_{t}

は1<

t

<2のとき四角形となり、

t

=1および

t

=2のとき三角形となる。
1<

t

1　となるので、点Eはこの六面体の外にある。
(さ),(し),(す)の選択肢：ABC,ABD,ACD,BCD,OAD,OBD,OCD
(4)1<

t

<2に対して、(3)の六面体を平面

z

=

t

で切った切り口の面積を

U (t)

とすると、

U (t)

は

t

=

(た)

(ただし1<

(た)

<2)において最大値

(ち)

をとる。

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福田の数学〜名古屋大学2024年理系第3問〜空間内の平面上の領域と原点との距離の最小

単元： #空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標空間の3点A(3,1,3), B(4,2,2), C(4,0,1)の定める平面を

H

とする。
また、

\vec{A P}

=

s \vec{A B}

+

t \vec{A C}

　(

s

,

t

は非負の実数)
を満たすすべての点Pからなる領域を

K

とする。
(1)内積

\vec{A B} ・ \vec{A B}

,

\vec{A C} ・ \vec{A C}

,

\vec{A B} ・ \vec{A C}

を求めよ。
(2)原点O(0,0,0)から平面

H

に下ろした垂線の足をQとする。

\vec{A Q}

を

\vec{A B}

と

\vec{A C}

で表せ。
(3)領域

K

上の点Pに対して、線分QP上の点で

\vec{A R}

=

r \vec{A C}

　(

r

は非負の実数)を満たす点Rが存在することを示せ。
(4)領域

K

において原点Oからの距離が最小となる点Sの座標を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第3問〜四面体の内部に出来る八面体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点O, A, B, Cを頂点とする四面体OABCを考える。辺OA, OB, OCの中点をそれぞれP, Q, Rとし、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれS, T, Uとする。
(1)辺PS, QT, RUが1点で交わることを示せ。
(2)

O A^{2}

+

B C^{2}

=

O B^{2}

+

C A^{2}

=

O C^{2}

+

A B^{2}

のとき、点P, Q, R, S, T, Uが同一球面上にあることを示せ。
(3)(2)において、辺PSが辺OA, BCと直交するとし、辺OA, BCの長さをそれぞれ

a

,

k

とする。点P, Q, R, S, T, Uを頂点とする八面体の体積

V

を

a

と

k

を用いて表せ。
(4)(3)において、

k

=1のとき八面体の体積

V

の最大値を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第3問〜平面へ下ろした垂線の長さ

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

直方体OABC－DEFGにおける各辺の長さは
OA=CB=DE=GF=1
AB=OC=EF=DG=

\sqrt{2}

OD=AE=BF=CG=

\sqrt{3}

である。点Bから3点O, E, Gを含む平面に下ろした垂線の足をHとする。このとき、

\vec{OH}

=

\frac{ケ}{コ} \vec{OE}

+

\frac{サ}{シ} \vec{OG}

と表すことができ、

| \vec{BH} |^{2}

=

\frac{ス}{セ}

である。

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福田の数学〜東北大学2024年理系第4問〜2つの球面の交わりの円

単元： #空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

x y z

空間において、点

P_{1}

(3,-1,1)を中心とした半径

\sqrt{5}

の球面

S_{1}

と、点

P_{2}

(5,0,-1)を中心とし半径が

\sqrt{2}

の球面

S_{2}

を考える。
(1)線分

P_{1} P_{2}

の長さを求めよ。
(2)

S_{1}

と

S_{2}

が交わりをもつことを示せ。この交わりは円となる。この円をCとし、その中心を

P_{3}

とする。Cの半径および中心

P_{3}

の座標を求めよ。
(3)(2)の円Cに対し、Cを含む平面をHとする。

x y

平面とHの両方に平行で、大きさが1のベクトルを全て求めよ。
(4)点Qが(2)の円C上を動くとき、Qと

x y

平面の距離dの最大値を求めよ。
また、dの最大値を与える点Qの座標を求めよ。

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これ知ってる？

単元： #空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
全方向美少女が全方向でない事に関して解説します。

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杏林大学2023医学部第2問訂正動画

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-I, 0 , ー 2 ), B(-2, ー 2 , ー 3 ), C(1, 2 , ー 2 )がある。
(a)ベクトル

\vec{A B} と \vec{A C} の 内 積 は \vec{A B} ・ \vec{A C} = アイ

であり、

∠ A B C の 外 接 円 の 半 径 は \sqrt{ウエ}

である。

∠ A B C

の外接円の中心を点 P とすると、

\vec{A P} = オ \vec{A B} + \frac{カ}{キ} \vec{A C}

が成り立つ。
(b)

∠ A B C

の重心を点 G とすると、

\vec{O G} = \frac{ク}{ケ} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})

であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、

\vec{A Q} = (\frac{コサ}{シ}, \frac{スセ}{ソ}, タ)

となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を

α

と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、

\vec{O S} = t \vec{O A} + u \vec{O B} + v \vec{O C}

(ただし、

t, u, v は t + \frac{チ}{ツ} u + \frac{テ}{ト} v = 1

を満たす実数)
と書けるので、

\vec{O S} = \frac{ナ}{ニ} \vec{O G}

となることがわかる。
平面

α

上において、点Sは三角形AQRの

ヌ

に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の

f r a c ネ ノ

倍である。

2023杏林大学過去問

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福田の数学〜共通テスト対策にもバッチリ〜杏林大学2023年医学部第2問後編〜平面と直線の交点の位置ベクトルと体積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル

\vec{A B} と \vec{A C} の 内 積 は \vec{A B} ・ \vec{A C} = アイ

であり、

∠ A B C の 外 接 円 の 半 径 は \sqrt{ウエ}

である。

∠ A B C

の外接円の中心を点 P とすると、

\vec{A P} = オ \vec{A B} + \frac{カ}{キ} \vec{A C}

が成り立つ。
(b)

∠ A B C

の重心を点 G とすると、

\vec{O G} = \frac{ク}{ケ} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})

であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、

\vec{A Q} = (\frac{コサ}{シ}, \frac{スセ}{ソ}, タ)

となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を

α

と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、

\vec{O S} = t \vec{O A} + u \vec{O B} + v \vec{O C}

(ただし、

t, u, v は t + \frac{チ}{ツ} u + \frac{テ}{ト} v = 1

を満たす実数)
と書けるので、

\vec{O S} = \frac{ナ}{ニ} \vec{O G}

となることがわかる。
平面

α

上において、点Sは三角形AQRの

ヌ

に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の

f r a c ネ ノ

倍である。

2023杏林大学過去問

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福田の数学〜空間における三角形の外心はどうやって求める〜杏林大学2023年医学部第2問前編〜空間ベクトルと三角形の外心

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル

\vec{A B} と \vec{A C} の 内 積 は \vec{A B} ・ \vec{A C} = アイ

であり、

∠ A B C の 外 接 円 の 半 径 は \sqrt{ウエ}

である。

∠ A B C

の外接円の中心を点 P とすると、

\vec{A P} = オ \vec{A B} + \frac{カ}{キ} \vec{A C}

が成り立つ。

2023杏林大学過去問

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福田の数学〜サッカーボール上のベクトルを求めよう〜慶應義塾大学2023年総合政策学部第５問〜空間の位置ベクトルと三角形の面積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

サッカーボールは12個の正五角形と20個の正六角形からなり、切頂二十面体と呼ばれる構造をしている。以下では、正五角形と正六角形の各辺の長さを1であるとし、右図のように頂点にアルファベットで名前を付ける。なお、正五角形の辺と対角線の長さの比は

1 : \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

である。

(1)

\vec{O A_{1}}

と

\vec{O A_{2}}

の内積は,

\vec{O A_{1}} ・ \vec{O A_{2}} = \frac{ア + イ \sqrt{ウ}}{エ}

である.

2023慶應義塾大学総合政策学部過去問

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福田の数学〜立方体の平面による切断を考えよう〜慶應義塾大学2023年経済学部第5問〜立方体の平面による切断と体積の最大

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xyz空間における 8 点 O ( 0 , 0 , 0 ), A ( 1 , 0 , 0 ), B ( 1 , 1 , 0 ), C( 0 , 1 , 0 ), D ( 0 , 0 , 1 ),E ( 1 , 0 , 1 ), F( 1 , 1 , 1 ), G(0 , 1 , 1 ) を頂点とする立方体 OABC-DEFG を考える。また、pと q はp> 1 ,q> 1 を満たす実数とし、 3 点 P, Q, R を P( p, 0 , 0 ), Q(0 , q , 0 ),R( 0 , 0 ,

\frac{3}{2}

)とする。
(1)a,bを実数とし、べクトル

\vec{n}

=( a , b , 1 )は 2 つのべクトル

\vec{P Q}, \vec{P R}

の両方に垂直であるとする。a,bをp,qを用いて表せ。
以下では 3 点 P, Q, R を通る平面を

α

とし、点 F を通り平面を

α

とし、点Fを通り平面

α

に垂直な直線をlとする。また、xy平面と直線lの交点のx座標が

\frac{2}{3}

であるとし、点 B は線分 PQ 上にあるとする。
(2)pおよびqの値を求めよ。
( 3 )平面と線分 EF の交点 M の座標、および平面と直線 FG の交点 N の座標を求めよ。
( 4 )平面で立方体 OABC - DEFG を 2 つの多面体に切り分けたとき、点 F を含む多面体の体積Vを求めよ。

2023慶應義塾大学商学部過去問

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【FULL】定期テスト直前対策！ベクトル解説動画フルパック流し【数B(新課程数C)】

単元： #平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
ベクトルのまとめ動画です。
ベクトルの基本から球面・平面の方程式まで
見たい内容のシーンをチャプターから選んで下さい！！

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福田の数学〜空間の位置ベクトルの考え方〜明治大学2023年理工学部第1問(4)〜平面と直線の交点の位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)四面体OABCにおいて、辺OAを1：3に内分する点をD、辺ABを1：2に内分する点をE、辺OCを1：2に内分する点をFとすると、

\vec{D E}

=

\frac{ノ}{ハ ヒ} \vec{O A}

+

\frac{フ}{ヘ} \vec{O B}

,　

\vec{D F}

=

- \frac{ホ}{マ} \vec{O A}

+

\frac{ミ}{ム} \vec{O C}

である。さらに、3点D,E,Fを通る平面と辺BCの交点をGとすると、

\vec{D F}

=

\frac{メ}{モ} \vec{D E}

+

\frac{ヤ}{ユ} \vec{D F}

である。したがって、

\vec{B G}

=

\frac{ヨ}{ラ} \vec{B C}

　となる。

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第2問〜立方体の切断と位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立体図形#立体切断#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

一辺の長さが2である立方体OADB-CFGEを考える。

\vec{O A}

=

\vec{a}

,

\vec{O B}

=

\vec{b}

,

\vec{O C}

=

\vec{c}

とおく。辺AFの中点をM、辺BDの中点をNとし、3点O,M,Nを通る平面

π

で立方体を切断する。
(1)平面

π

は辺AF,BD以外に辺

あ

とその両端以外で交わる。
(2)平面

π

と辺

あ

との交点をPとすると

\vec{O P}

=

い \vec{a}

+

う \vec{b}

+

え \vec{c}

(3)断面の面積は

\frac{キ}{ク} \sqrt{ケ}

である。
(4)切断されてできる立体のうち、頂点Aを含むものの体積は

\frac{コ}{サ}

である。
(5)平面

π

と線分CDとの交点をQとする。
(i)点Qは線分CDを

お

に内分する。
(ii)

\vec{O Q}

=

か \vec{a}

+

き \vec{b}

+

く \vec{c}

である。

い ～ え

,

か ～ く

の選択肢
(a)0　(b)1　(c)

\frac{1}{2}

　(d)

\frac{1}{3}

　(e)

\frac{2}{3}

　(f)

\frac{1}{4}

　(g)

\frac{3}{4}

　(h)

\frac{1}{5}

　
(i)

\frac{2}{5}

　(j)

\frac{3}{5}

　(k)

\frac{4}{5}

　(l)

\frac{1}{6}

　(m)

\frac{5}{6}

お

の選択肢
(a)1：1　(b)2：1　(c)1：2　(d)3：1　(e)1：3　(f)4：1　(g)3：2　
(h)2：3　(i)1：4　(j)5：1　(k)1：5　

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第2問〜空間ベクトルと正八面体

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

図のような一辺の長さが1の正八面体ABCDEFがある。
2点P,Qはそれぞれ辺AD, BC上にあり

\vec{P Q}

⊥

\vec{A D}

かつ

\vec{P Q}

⊥

\vec{B C}

を満たすとする。
(1)

\vec{A D}

と

\vec{B C}

のなす角は

\frac{ス}{セ} π

である。
(2)|

\vec{A P}

|=

\frac{ソ}{タ}

,　|

\vec{B Q}

|=

\frac{チ}{ツ}

である。
(3)|

\vec{P Q}

|=

\frac{テ}{ト} \sqrt{ナ}

である。
(4)平面EPQと直線BFの交点をRとすると|

\vec{B R}

|=

\frac{ニ}{ヌ}

である。

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福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第1問〜空間ベクトルとと四面体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

座標空間の3点A(0,1,2), B(3,-2,2), C(-1,4,1)が定める平面を

α

とする。
原点Oから平面

α

に垂線を下ろし、

α

との交点をHとする。
(1)

\vec{A B}

・

\vec{A C}

=

ア イ ウ

(2)

△

ABCの面積は

\frac{エ \sqrt{オ}}{カ}

である。
(3)

\vec{A H}

=

\frac{キ}{ク ケ}

\vec{A B}

+

\frac{コ}{サ}

\vec{A C}

,　

\vec{O H}

=

\frac{シ \sqrt{ス}}{セ}

(4)四面体OHBCの体積は

\frac{ソ タ}{チ ツ}

である。

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年理工学部第2問〜空間ベクトルと2直線から等距離にある点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

k

を正の実数とし、空間内に点O(0,0,0), A(4

k

,

- 4 k

,

- 4 \sqrt{2} k

), B(7, 5,

- \sqrt{2}

)をとる。点CはO, A, Bを含む平面上の点であり、OA=4BCで、四角形OACBはOAを底辺とする台形であるとする。
(1)

\cos ∠

AOB=

ア

である。台形OACBの面積を

k

を用いて表すと

イ

となる。
また、線分ACの長さを

k

を用いて表すと

ウ

となる。
(2)台形OACBが円に内接するとき、

k

=

エ

である。
(3)

k

=

エ

であるとし、直線OBと直線ACの交点をDとする。△OBPと△ACPの面積が等しい、という条件を満たす空間内の点P全体は、点Dを通る2つの平面上の点全体から点Dを除いたものとなる。これら2つの平面のうち、線分OAと交わらないものを

α

とする。点Oから平面

α

に下ろした垂線の長さは

オ

である。

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福田の数学〜早稲田大学2023年人間科学部第7問〜空間ベクトルと回転体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

7

座標空間に点C(0,1,1)を中心とする半径1の球面Sがある。点P(0,0,3)からSに引いた接線と

x y

平面との交点をQとする。

\vec{P C} ・ \vec{P Q}

=

t | \vec{P Q} |

と表すとき、

t

=

テ

である。点Qは楕円状にあり、この楕円を

\frac{(x + b)^{2}}{a}

+

\frac{(y + d)^{2}}{c}

=1
とするとき、

a

=

ト

,　

b

=

ナ

,　

c

=

ニ

,　

d

=

ヌ

　である。
また、点Pに光源があるとき、球面Sで光が当たる部分を点Rが動く。ただし、
球面Sは光を通さない。このとき線分PRが通過してできる図形の体積は
2

π

・

\frac{ネ + ノ \sqrt{ハ}}{ヒ}

である。

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福田の数学〜早稲田大学2023年人間科学部第3問〜対称点とベクトルの絶対値の最小値

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

空間座標における2点A(2,-3,-1)とB(3,0,1)を通る直線を

l_{1}

とし、直線

l_{1}

に関して点C(1,5,-2)と対称な点をDとすると、Dの座標は(

ク

,

ケ

,

コ

)である。また、点Dを通り

l_{1}

と平行な直線を

l_{2}

とし、点Pが直線

l_{2}

上を、点Qが

x y

平面上の直線

y

=

- x

+4 上をそれぞれ自由に動くとき、

| \vec{P Q} |^{2}

の最小値は

サ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年経済学部第1問(5)〜共面条件

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(5)

t

を実数とする。座標空間において、3点O(0,0,0), A(1,0,2), B(2,-1,0)の定める平面OAB上に点C(

t

+1,

t

,1-

t

)があるとき、

t

=

オ

である。

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第2問〜ベクトルの共面条件と共線条件

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

0<

k

1とする。座標空間内の四面体OABCについて、線分ACの中点をD、線分BCの中点をE、線分DEを1：2に内分する点をPとする。また、
線分OPを

k

：1-

k

に内分する点をQとし、Rを

\vec{C R}

=

l \vec{C Q}

を満たす点とする。

\vec{a}

=

\vec{O A}

,　

\vec{b}

=

\vec{O B}

,　

\vec{c}

=

\vec{O C}

とおいたとき、次の問いに答えよ。
(1)

\vec{O D}

,　

\vec{O E}

,　

\vec{O P}

を

\vec{a}

,　

\vec{b}

,　

\vec{c}

を用いて表せ。
(2)

\vec{O R}

を

\vec{a}

,　

\vec{b}

,　

\vec{c}

,　

k

,　

l

を用いて表せ。
(3)Rが平面OAB上にあるとき、

l

を

k

を用いて表せ。
(4)線分OAの中点をF、線分OBの中点をGとする。Rが線分FG上にあるときの

k

の値を求めよ。

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福田の数学〜筑波大学2023年理系第3問〜球面に内接する四面体

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)#筑波大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

座標空間内の原点Oを中心とする半径

r

の球面S上に4つの頂点がある四面体ABCDが

\vec{O A}

+

\vec{O B}

+

\vec{O C}

+

\vec{O D}

=

\vec{0}

を満たしているとする。また三角形ABCの重心をGとする。
(1)

\vec{O G}

を

\vec{O D}

を用いて表せ。
(2)

\vec{O A}

・

\vec{O B}

+

\vec{O B}

・

\vec{O C}

+

\vec{O C}

・

\vec{O A}

を

r

を用いて表せ。
(3)点Pが球面S上を動くとき、

\vec{P A}

・

\vec{P B}

+

\vec{P B}

・

\vec{P C}

+

\vec{P C}

・

\vec{P A}

の最大値を

r

を用いて表せ。さらに、最大値をとるときの点Pに対して、|

\vec{P G}

|を

r

を用いて表せ。

2023筑波大学理系過去問

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福田の数学〜神戸大学2023年理系第4問〜平面に下ろした垂線ベクトルと四面体の体積

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#神戸大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

四面体OABCがあり、辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ

\sqrt{13}

, 5, 5である。

\vec{O A}

・

\vec{O B}

=

\vec{O A}

・

\vec{O C}

=1,　

\vec{O B}

・

\vec{O C}

=-11 とする。頂点Oから

△

ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする。以下の問いに答えよ。
(1)線分ABの長さを求めよ。
(2)実数

s

,

t

を

\vec{O H}

=

\vec{O A}

+

s \vec{A B}

+

t \vec{A C}

を満たすように定めるとき、

s

と

t

の値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

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福田の数学〜東北大学2023年理系第５問〜空間ベクトルと内積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

四面体OABCにおいて、

\vec{a}

=

\vec{O A}

,

\vec{b}

=

\vec{O B}

,

\vec{c}

=

\vec{O C}

とおき、次が成り立つとする。

∠

AOB=60°, |

\vec{a}

|=2, |

\vec{b}

|=3, |

\vec{c}

|=

\sqrt{6}

,

\vec{b}

・

\vec{c}

=3
ただし、

\vec{b}

・

\vec{c}

は、2つのベクトル

\vec{b}

と

\vec{c}

の内積を表す。さらに、線分OCと線分ABは垂直であるとする。点Cから3点O, A, Bを含む平面に下ろした垂線をCHとし、点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線をOKとする。
(1)

\vec{a}

・

\vec{b}

と

\vec{c}

・

\vec{a}

を求めよ。
(2)ベクトル

\vec{O H}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。
(3)ベクトル

\vec{c}

とベクトル

\vec{H K}

は平行であることを示せ。

2023東北大学理系過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年薬学部第１問(4)〜球面上の3点が作る三角形

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#図形と方程式#円と方程式#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)座標空間に球面S：

(x - 3)^{2}

+

(y + 2)^{2}

+

(z - 1)^{2}

=36 がある。球面Sが平面y=2　と交わってできる円をCとおく。
(i)円Cの中心の座標は

ク

であり、半径は

ケ

である。
(ii)円Cと平面x=3の交点をA,Bとし、AとB以外の球面S上の任意の点をPとする。三角形PABにおいて、辺PBを4:3に内分する点をD、線分ADを5:3に内分する点をMとし、直線PMと辺ABとの交点をEとする。このとき、AEの長さは

コ

である。ただし、Bのz座標はAのz座標よりも大きいとする。

2023慶應義塾大学薬学部過去問

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福田の数学〜北海道大学2023年理系第２問〜球面と平面の交わりと切り取られる弦の長さ

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

Oを原点とする座標空間において、3点A(4,2,1), B(1,-4,1), C(2,2,-1)を通る平面を

α

とおく。また、球面Sは半径が9で、Sと

α

の交わりはAを中心としBを通る円であるとする。ただし、Sの中心Pのz座標は正とする。
(1)線分APの長さを求めよ。
(2)Pの座標を求めよ。
(3)Sと直線OCは2点で交わる。その2点間の距離を求めよ。

2023北海道大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第４問〜空間ベクトルと軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a,b を

a^{2} + b^{2} > 1

かつ b≠0 をみたす実数の定数とする。
座標空間のA (a,0,b) と点 P(x, y, 0) をとる。
点O(0, 0, 0) を通り直線APと垂直な平面をαとし、平面と直線AP との交点をQとする。

(\vec{A P} ・ \vec{A O})^{2} = | \vec{A P} |^{2} | \vec{A Q} |^{2}

が成り立つことを示せ。

| \vec{O Q} |^{2} = 1

をみたすように点P(x,y,0) が xy平面上を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。

2023大阪大学理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 空間ベクトル

大学入試問題#899「初めてのベクトルやってみた」 #北海道大学(2024)

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年医学部第4問〜空間に浮かぶ四面体の平面による切り口の面積

福田の数学〜名古屋大学2024年理系第3問〜空間内の平面上の領域と原点との距離の最小

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第3問〜四面体の内部に出来る八面体の体積

福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第3問〜平面へ下ろした垂線の長さ

福田の数学〜東北大学2024年理系第4問〜2つの球面の交わりの円

これ知ってる？

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