数C
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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第２問(1)〜楕円と複素数平面
単元：
#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#2次曲線#複素数平面#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (1)\ 座標平面において、点(-1,\ 0)からの距離と点(1,\ 0)からの距離の和が4\\
である点は方程式\frac{x^2}{\boxed{\ \ ア\ \ }}+\frac{y^2}{\boxed{\ \ イ\ \ }}=1\ で表される曲線C上にある。点(x,\ y)\\
が曲線C上を動くとき、点(x,\ y)と点(-1,\ 0)の距離をdとおけば、dの最小値\\
は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }、最大値は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ となる。複素数zが|z|+|z-4|=8を満たすとき、\\
|z|のとりうる範囲は\ \boxed{\ \ オ\ \ } \leqq |z| \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (1)\ 座標平面において、点(-1,\ 0)からの距離と点(1,\ 0)からの距離の和が4\\
である点は方程式\frac{x^2}{\boxed{\ \ ア\ \ }}+\frac{y^2}{\boxed{\ \ イ\ \ }}=1\ で表される曲線C上にある。点(x,\ y)\\
が曲線C上を動くとき、点(x,\ y)と点(-1,\ 0)の距離をdとおけば、dの最小値\\
は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }、最大値は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ となる。複素数zが|z|+|z-4|=8を満たすとき、\\
|z|のとりうる範囲は\ \boxed{\ \ オ\ \ } \leqq |z| \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第１問〜関数の増減と面積
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 関数f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{2-3x^2}) の定義域は-\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}}{\boxed{\ \ イ\ \ }} \leqq x \leqq \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}であり、\\
f(x)はx=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}のとき、最大値\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}をとる。曲線y=f(x)、\\
\\
直線y=2xおよびy軸で囲まれた図形の面積は\boxed{\ \ ケ\ \ }となる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{\sqrt3}{18}\pi ①\frac{\sqrt3}{36}\pi ②\frac{\sqrt3}{72}\pi ③\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ④\frac{1}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi\\
⑤\frac{5}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ⑥\frac{1}{3}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑦\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑧\frac{1}{8}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑨\frac{7}{24}+\frac{\sqrt3}{18}\pi
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 関数f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{2-3x^2}) の定義域は-\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}}{\boxed{\ \ イ\ \ }} \leqq x \leqq \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}であり、\\
f(x)はx=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}のとき、最大値\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}をとる。曲線y=f(x)、\\
\\
直線y=2xおよびy軸で囲まれた図形の面積は\boxed{\ \ ケ\ \ }となる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{\sqrt3}{18}\pi ①\frac{\sqrt3}{36}\pi ②\frac{\sqrt3}{72}\pi ③\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ④\frac{1}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi\\
⑤\frac{5}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ⑥\frac{1}{3}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑦\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑧\frac{1}{8}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑨\frac{7}{24}+\frac{\sqrt3}{18}\pi
\end{eqnarray}
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第３問〜平面幾何とベクトル
単元：
#数A#図形の性質#平面上のベクトル#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 辺の長さが2である正六角形ABCDEFがあり、点O,P,Qは次の条件を満たす。\\
・点Oは辺AB上にある。\\
・点Pは正六角形ABCDFの内部にある。\\
・点Qは線分CP上にある。\\
・三角形OCPと三角形OQFは共に正三角形である。\\
\\
(1)四角形OQPFに着目すると、\angle OFQ=\angle OPQより、\\
OQPFは円に内接する四角形なので、\angle OPF=\boxed{\ \ アイ\ \ }°とわかる。\\
\\
(2)AB //FCに着目すると、\triangle OCF=\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エ\ \ }}である。OC//FP\\
であることに着目すると、\triangle OCP=\triangle OCFなので、OC^2=\boxed{\ \ オ\ \ }とわかる。\\
また、OB=\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}-\boxed{\ \ キ\ \ }\ である。\\
\\
(3)OQ^2=OF^2=\boxed{\ \ クケ\ \ }-\boxed{\ \ コ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}であり、\overrightarrow{ OQ }=t\ \overrightarrow{ OP }+(1-t)\ \overrightarrow{ OC }\\
とおくと、tはt^2-t+\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}-\boxed{\ \ ス\ \ }=0を満たす。
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 辺の長さが2である正六角形ABCDEFがあり、点O,P,Qは次の条件を満たす。\\
・点Oは辺AB上にある。\\
・点Pは正六角形ABCDFの内部にある。\\
・点Qは線分CP上にある。\\
・三角形OCPと三角形OQFは共に正三角形である。\\
\\
(1)四角形OQPFに着目すると、\angle OFQ=\angle OPQより、\\
OQPFは円に内接する四角形なので、\angle OPF=\boxed{\ \ アイ\ \ }°とわかる。\\
\\
(2)AB //FCに着目すると、\triangle OCF=\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エ\ \ }}である。OC//FP\\
であることに着目すると、\triangle OCP=\triangle OCFなので、OC^2=\boxed{\ \ オ\ \ }とわかる。\\
また、OB=\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}-\boxed{\ \ キ\ \ }\ である。\\
\\
(3)OQ^2=OF^2=\boxed{\ \ クケ\ \ }-\boxed{\ \ コ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}であり、\overrightarrow{ OQ }=t\ \overrightarrow{ OP }+(1-t)\ \overrightarrow{ OC }\\
とおくと、tはt^2-t+\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}-\boxed{\ \ ス\ \ }=0を満たす。
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第１問(2)〜位置ベクトルと面積比
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 三角形ABC内に点Pがあり、3\ \overrightarrow{ PA }+5\ \overrightarrow{ PB }+7\ \overrightarrow{ PC }=\overrightarrow{ 0 } のとき、\\
\overrightarrow{ AP }=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\overrightarrow{ AB }+\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}\overrightarrow{ AC }\\
となるので、\triangle PAB :\triangle PBC :\triangle PCA=\boxed{\ \ サ\ \ } である。\\
\\
\boxed{\ \ サ\ \ }の解答群\\
⓪1:1:1 ①3:5:7 ②5:7:3 ③7:3:5 ④9:25:49\\
⑤25:49:9 ⑥49:9:25 ⑦\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{7} ⑧\frac{1}{5}:\frac{1}{7}:\frac{1}{3} ⑨\frac{1}{7}:\frac{1}{3}:\frac{1}{5}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 三角形ABC内に点Pがあり、3\ \overrightarrow{ PA }+5\ \overrightarrow{ PB }+7\ \overrightarrow{ PC }=\overrightarrow{ 0 } のとき、\\
\overrightarrow{ AP }=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\overrightarrow{ AB }+\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}\overrightarrow{ AC }\\
となるので、\triangle PAB :\triangle PBC :\triangle PCA=\boxed{\ \ サ\ \ } である。\\
\\
\boxed{\ \ サ\ \ }の解答群\\
⓪1:1:1 ①3:5:7 ②5:7:3 ③7:3:5 ④9:25:49\\
⑤25:49:9 ⑥49:9:25 ⑦\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{7} ⑧\frac{1}{5}:\frac{1}{7}:\frac{1}{3} ⑨\frac{1}{7}:\frac{1}{3}:\frac{1}{5}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
【数B】平面ベクトル：角の二等分線上の位置ベクトル（類神戸大学）
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上に原点Oから出る、相異なる2本の半直線$OX、OY（\angle XOY\lt 180°）$上にそれぞれOと異なる2点A,Bをとる。
(1)$a=OA, b=OB$とする。点Cが$∠XOY$の二等分線上にあるとき、OCを実数$t（t\geqq 0）$とa, bで表せ。
(2)$∠XOY$の二等分線と$∠XAB$の二等分線の交点をPとする。$OA=2, B=3, AB=4$のとき、OPをa, bで表せ。
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平面上に原点Oから出る、相異なる2本の半直線$OX、OY（\angle XOY\lt 180°）$上にそれぞれOと異なる2点A,Bをとる。
(1)$a=OA, b=OB$とする。点Cが$∠XOY$の二等分線上にあるとき、OCを実数$t（t\geqq 0）$とa, bで表せ。
(2)$∠XOY$の二等分線と$∠XAB$の二等分線の交点をPとする。$OA=2, B=3, AB=4$のとき、OPをa, bで表せ。
福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第４問〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 複素数平面上の点zがz+\bar{ z }=2を満たしながら動くとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)点z全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。\\
\\
(2)w=(2+i)z で定まる点w全体が描く図形を調べよう。\\
(\textrm{a})wの実部をu、虚部をvとしてw=u+viと表すとき、u,vが満たす方程式\\
を求めよ。\\
(\textrm{b})点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。\\
\\
(3)w=z^2で定まる点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
\end{eqnarray}
2021青山学院大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 複素数平面上の点zがz+\bar{ z }=2を満たしながら動くとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)点z全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。\\
\\
(2)w=(2+i)z で定まる点w全体が描く図形を調べよう。\\
(\textrm{a})wの実部をu、虚部をvとしてw=u+viと表すとき、u,vが満たす方程式\\
を求めよ。\\
(\textrm{b})点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。\\
\\
(3)w=z^2で定まる点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
\end{eqnarray}
2021青山学院大学理工学部過去問
福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第２問〜平面ベクトルとベクトル方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 平面上に3点O,A,Bがあり、\\
|\overrightarrow{ OA }|=|\sqrt2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }|=|2\sqrt2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }|=1\\
を満たしている。\\
\\
(1)|\overrightarrow{ OB }|=\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}\\
\\
(2)\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ イウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エオ\ \ }}}{\boxed{\ \ カキ\ \ }}\\
\\
(3)実数s,tが\\
s \geqq 0,\ t \geqq 0,\ s+2t \leqq 1\\
を満たしながら変化するとき、\\
\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
で定まる点Pの存在する範囲の面積は\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}
である。
\end{eqnarray}
2021青山学院大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 平面上に3点O,A,Bがあり、\\
|\overrightarrow{ OA }|=|\sqrt2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }|=|2\sqrt2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }|=1\\
を満たしている。\\
\\
(1)|\overrightarrow{ OB }|=\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}\\
\\
(2)\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ イウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エオ\ \ }}}{\boxed{\ \ カキ\ \ }}\\
\\
(3)実数s,tが\\
s \geqq 0,\ t \geqq 0,\ s+2t \leqq 1\\
を満たしながら変化するとき、\\
\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
で定まる点Pの存在する範囲の面積は\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}
である。
\end{eqnarray}
2021青山学院大学理工学部過去問
福田の数学〜上智大学2021年TEAP利用理系第４問〜楕円と弦の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} Oを原点とする座標平面において、楕円D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上に異なる2点P_1,P_2\\
がある。P_1における接線l_1とP_2における接線l_2の交点をQ(a,\ b)とし、線分P_1P_2の\\
中点をRとする。\\
\\
(1)P_1の座標を(x_1,\ y_1)とするとき、l_1の方程式はx_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0\\
と表される。\\
\\
(2)直線P_1P_2の方程式は、a,bを用いてax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0と表される。\\
\\
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }が成り立つ。\\
\\
(4)l_1とl_2のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、l_1とl_2の傾きは\\
tの方程式(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0 の解である。\\
\\
(5)l_1とl_2が直交しながらP_1,P_2が動くとする。\\
(\textrm{i})Qの軌跡の方程式を求めよ。 (\textrm{ii})Rのy座標の最大値を求めよ。\\
(\textrm{iii})Rの軌跡の概形を描け。
\end{eqnarray}
2021上智大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} Oを原点とする座標平面において、楕円D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上に異なる2点P_1,P_2\\
がある。P_1における接線l_1とP_2における接線l_2の交点をQ(a,\ b)とし、線分P_1P_2の\\
中点をRとする。\\
\\
(1)P_1の座標を(x_1,\ y_1)とするとき、l_1の方程式はx_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0\\
と表される。\\
\\
(2)直線P_1P_2の方程式は、a,bを用いてax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0と表される。\\
\\
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }が成り立つ。\\
\\
(4)l_1とl_2のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、l_1とl_2の傾きは\\
tの方程式(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0 の解である。\\
\\
(5)l_1とl_2が直交しながらP_1,P_2が動くとする。\\
(\textrm{i})Qの軌跡の方程式を求めよ。 (\textrm{ii})Rのy座標の最大値を求めよ。\\
(\textrm{iii})Rの軌跡の概形を描け。
\end{eqnarray}
2021上智大学理系過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系070〜接線(2)媒介変数表示の接線
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 接線(2) 媒介変数表示の接線\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right. \\
\\
で表される曲線の\theta=\frac{3\pi}{2}のときの点Pにおける接線を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 接線(2) 媒介変数表示の接線\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right. \\
\\
で表される曲線の\theta=\frac{3\pi}{2}のときの点Pにおける接線を求めよ。
\end{eqnarray}
【数C】平面ベクトル：円のベクトル方程式（２点が直径の両端）
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上の△OABと任意の点Pに対し、次のベクトル方程式は円を表す。どのような円か。
OP・(OP-AB)=OA・OB
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平面上の△OABと任意の点Pに対し、次のベクトル方程式は円を表す。どのような円か。
OP・(OP-AB)=OA・OB
【数B】平面ベクトル：円のベクトル方程式（２点が直径の両端）
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上の△OABと任意の点Pに対し、次のベクトル方程式は円を表す。どのような円か。
OP・(OP-AB)=OA・OB
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平面上の△OABと任意の点Pに対し、次のベクトル方程式は円を表す。どのような円か。
OP・(OP-AB)=OA・OB
福田の数学〜上智大学2021年TEAP利用文系第１問(2)〜平面と直線の交点の位置ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 正四面体OABCの辺OAを1:2に内分する点をP、辺OBを3:2に内分する\\
点をQとする。三角形ABCの重心をGとする。3点P,Q,Gを含む平面が辺AC\\
と交わる点をRとする。このとき\\
\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}\ \overrightarrow{ OC }\\
である。
\end{eqnarray}
2021上智大学文系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 正四面体OABCの辺OAを1:2に内分する点をP、辺OBを3:2に内分する\\
点をQとする。三角形ABCの重心をGとする。3点P,Q,Gを含む平面が辺AC\\
と交わる点をRとする。このとき\\
\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}\ \overrightarrow{ OC }\\
である。
\end{eqnarray}
2021上智大学文系過去問
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第４問〜空間ベクトルと曲線の追跡
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 立方体OADB-CFGEを考える。0 \leqq x \leqq 1となる実数xに対し、\overrightarrow{ OP }=x\ \overrightarrow{ OG }と\\
なる点Pを考え、\angle APB=\thetaとおく。\\
\\
(1)x=0のとき、\theta=\boxed{\ \ し\ \ }\ である。また、x=1のとき、\theta=\boxed{\ \ す\ \ }\ である。\\
\\
\boxed{\ \ し\ \ }\ ,\boxed{\ \ す\ \ }\ の選択肢\\
(\textrm{a})0 (\textrm{b})\frac{\pi}{6} (\textrm{c})\frac{\pi}{3} (\textrm{d})\frac{\pi}{2}\\
(\textrm{e})\frac{2}{3}\pi (\textrm{f})\frac{5}{6}\pi (\textrm{g})\pi \\
\\
(2)0 \lt x \lt 1の範囲で\theta=\frac{\pi}{2}となるxの値は、x=\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }} である。\\
\\
(3)y=\cos\thetaとおき、yをxの関数と考える。このとき、yをxで表せ。また、\\
0 \leqq x \leqq 1の範囲で、xy平面上にそのグラフを描け。ただし、増減・凹凸・\\
座標軸との共有点・極値・変曲点などを明らかにせよ。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 立方体OADB-CFGEを考える。0 \leqq x \leqq 1となる実数xに対し、\overrightarrow{ OP }=x\ \overrightarrow{ OG }と\\
なる点Pを考え、\angle APB=\thetaとおく。\\
\\
(1)x=0のとき、\theta=\boxed{\ \ し\ \ }\ である。また、x=1のとき、\theta=\boxed{\ \ す\ \ }\ である。\\
\\
\boxed{\ \ し\ \ }\ ,\boxed{\ \ す\ \ }\ の選択肢\\
(\textrm{a})0 (\textrm{b})\frac{\pi}{6} (\textrm{c})\frac{\pi}{3} (\textrm{d})\frac{\pi}{2}\\
(\textrm{e})\frac{2}{3}\pi (\textrm{f})\frac{5}{6}\pi (\textrm{g})\pi \\
\\
(2)0 \lt x \lt 1の範囲で\theta=\frac{\pi}{2}となるxの値は、x=\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }} である。\\
\\
(3)y=\cos\thetaとおき、yをxの関数と考える。このとき、yをxで表せ。また、\\
0 \leqq x \leqq 1の範囲で、xy平面上にそのグラフを描け。ただし、増減・凹凸・\\
座標軸との共有点・極値・変曲点などを明らかにせよ。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第３問〜複素数平面と図形
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} iを虚数単位とする。複素数zの絶対値を|z|と表す。\\
w=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} とし、\alpha=w+w^4 とする。\\
\\
(1)\alpha^2=\boxed{\ \ お\ \ }\ である。これより、\alpha=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\boxed{\ \ チ\ \ }}である。\\
(2)複素数平面上の2点\frac{i}{2},\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ か\ \ }\ である。\\
(3)複素数平面上の2点w^2,\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ き\ \ }\ である。\\
(4)\frac{w^2+1}{w+1}=r(\cos\theta+i\sin\theta) (ただし、r \gt 0,\ 0 \leqq \theta \lt 2\pi)\\
とおくとき、r=\boxed{\ \ く\ \ }\ であり、\theta=\frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}\pi\ である。\\
(5)複素数平面上で、-1を中心都市w^2を通る円上をzが動くとする。\\
x=\frac{1}{z}とするとき、xは|1+x|=\boxed{\ \ け\ \ }|x| を満たし、\boxed{\ \ こ\ \ }を\\
中心とする半径\boxed{\ \ さ\ \ }の円を描く。\\
\\
\boxed{\ \ お\ \ }～\ \boxed{\ \ さ\ \ }の選択肢\\
(\textrm{a})1 (\textrm{b})2 (\textrm{c})\alpha (\textrm{d})2\alpha\\
(\textrm{e})\frac{\alpha}{2}+1 (\textrm{f})\frac{\alpha}{2}-1 (\textrm{g})-\frac{\alpha}{2}+1 (\textrm{h})-\frac{\alpha}{2}-1\\
(\textrm{i})\alpha+1 (\textrm{j})\alpha-1 (\textrm{k})-\alpha+1 (\textrm{l})-\alpha-1\\
(\textrm{m})\alpha+\frac{1}{2} (\textrm{n})\alpha-\frac{1}{2} (\textrm{o})-\alpha+\frac{1}{2} (\textrm{p})-\alpha-\frac{1}{2}
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} iを虚数単位とする。複素数zの絶対値を|z|と表す。\\
w=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} とし、\alpha=w+w^4 とする。\\
\\
(1)\alpha^2=\boxed{\ \ お\ \ }\ である。これより、\alpha=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\boxed{\ \ チ\ \ }}である。\\
(2)複素数平面上の2点\frac{i}{2},\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ か\ \ }\ である。\\
(3)複素数平面上の2点w^2,\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ き\ \ }\ である。\\
(4)\frac{w^2+1}{w+1}=r(\cos\theta+i\sin\theta) (ただし、r \gt 0,\ 0 \leqq \theta \lt 2\pi)\\
とおくとき、r=\boxed{\ \ く\ \ }\ であり、\theta=\frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}\pi\ である。\\
(5)複素数平面上で、-1を中心都市w^2を通る円上をzが動くとする。\\
x=\frac{1}{z}とするとき、xは|1+x|=\boxed{\ \ け\ \ }|x| を満たし、\boxed{\ \ こ\ \ }を\\
中心とする半径\boxed{\ \ さ\ \ }の円を描く。\\
\\
\boxed{\ \ お\ \ }～\ \boxed{\ \ さ\ \ }の選択肢\\
(\textrm{a})1 (\textrm{b})2 (\textrm{c})\alpha (\textrm{d})2\alpha\\
(\textrm{e})\frac{\alpha}{2}+1 (\textrm{f})\frac{\alpha}{2}-1 (\textrm{g})-\frac{\alpha}{2}+1 (\textrm{h})-\frac{\alpha}{2}-1\\
(\textrm{i})\alpha+1 (\textrm{j})\alpha-1 (\textrm{k})-\alpha+1 (\textrm{l})-\alpha-1\\
(\textrm{m})\alpha+\frac{1}{2} (\textrm{n})\alpha-\frac{1}{2} (\textrm{o})-\alpha+\frac{1}{2} (\textrm{p})-\alpha-\frac{1}{2}
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第１問〜双曲線の方程式と回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 媒介変数表示\\
x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1\\
で表される図形Cを考える。\\
\\
(1)Cは頂点(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })、焦点(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })、\\
漸近線y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }をもつ双曲線である。\\
(2)双曲線Cと直線x=4は、2点(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})\\
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 媒介変数表示\\
x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1\\
で表される図形Cを考える。\\
\\
(1)Cは頂点(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })、焦点(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })、\\
漸近線y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }をもつ双曲線である。\\
(2)双曲線Cと直線x=4は、2点(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})\\
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
福田の数学〜中央大学2021年経済学部第１問(4)〜2つのベクトルに垂直な単位ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 2つのベクトル\ \overrightarrow{ a }=(4,\ -2,\ 3),\ \overrightarrow{ b }=(-4,\ 5,\ -3)の両方に垂直な\\
単位ベクトルを全て求めよ。
\end{eqnarray}
2021中央大経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 2つのベクトル\ \overrightarrow{ a }=(4,\ -2,\ 3),\ \overrightarrow{ b }=(-4,\ 5,\ -3)の両方に垂直な\\
単位ベクトルを全て求めよ。
\end{eqnarray}
2021中央大経済学部過去問
【数C】高2生必見!! 2019年度8月 第2回 K塾高2模試 大問7_ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、三 角形ABCの重心をGとする。
(1)AD, AE, AGをそれぞれAB, ACを用いて表せ。
(2)GF=tAB(tは実数)と表される点Fがある。
(i)AFをt,AB,ACを用いて表せ。
(ii)さらに、FがDF=uDE(uは実数)を満たすとき、t,uの値を求めよ。
(3)AB=√3,AB・AC=-1,AC=√7とし、Gから直線ABに下した垂線と直線ABとの交点をH とする。 (i)AH=kAB(kは実数)とおくとき、kの値を求めよ。
(ii)Fが(2)(ii)の点であるとき、4点D,F,G,Hを頂点とする四角形の面積を求めよ。
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三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、三 角形ABCの重心をGとする。
(1)AD, AE, AGをそれぞれAB, ACを用いて表せ。
(2)GF=tAB(tは実数)と表される点Fがある。
(i)AFをt,AB,ACを用いて表せ。
(ii)さらに、FがDF=uDE(uは実数)を満たすとき、t,uの値を求めよ。
(3)AB=√3,AB・AC=-1,AC=√7とし、Gから直線ABに下した垂線と直線ABとの交点をH とする。 (i)AH=kAB(kは実数)とおくとき、kの値を求めよ。
(ii)Fが(2)(ii)の点であるとき、4点D,F,G,Hを頂点とする四角形の面積を求めよ。
【数B】ベクトル：正射影ベクトルの仕組みと使い方
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
正射影ベクトルについて解説します！
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正射影ベクトルについて解説します！
【数C】ベクトル：正射影ベクトルの仕組みと使い方
福田の数学〜慶應義塾大学2021年看護医療学部第４問〜空間ベクトルと三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} P(0,0,-1),\ Q(0,1,-2),\ R(1,0,-2)を頂点とする三角形の面積は\boxed{\ \ ヘ\ \ }である。\\
aを実数とし、\overrightarrow{ v }=(a,a,3)とする。点P',Q',R'を\\
\overrightarrow{ OP' }=\overrightarrow{ OP }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OQ' }=\overrightarrow{ OQ }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OR' }=\overrightarrow{ OR }+\overrightarrow{ v }\\
によって定め、さらに線分PP',QQ',RR'がxy平面と交わる点をP'',Q'',R''とする。\\
このとき、P''の座標は\boxed{\ \ ホ\ \ }、Q''の座標は\boxed{\ \ マ\ \ }、R''の座標は\boxed{\ \ ミ\ \ }である。\\
\triangle P''Q''R''が正三角形になるのはa=\boxed{\ \ ム\ \ }のときである。\\
3点P'',Q'',R''が同一直線上にあるのはa=\boxed{\ \ メ\ \ }のときである。a \gt \boxed{\ \ メ\ \ }のとき、\\
\triangle P''Q''R''の面積をaで表すと\boxed{\ \ モ\ \ }となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学看護医療学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} P(0,0,-1),\ Q(0,1,-2),\ R(1,0,-2)を頂点とする三角形の面積は\boxed{\ \ ヘ\ \ }である。\\
aを実数とし、\overrightarrow{ v }=(a,a,3)とする。点P',Q',R'を\\
\overrightarrow{ OP' }=\overrightarrow{ OP }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OQ' }=\overrightarrow{ OQ }+\overrightarrow{ v },\ \overrightarrow{ OR' }=\overrightarrow{ OR }+\overrightarrow{ v }\\
によって定め、さらに線分PP',QQ',RR'がxy平面と交わる点をP'',Q'',R''とする。\\
このとき、P''の座標は\boxed{\ \ ホ\ \ }、Q''の座標は\boxed{\ \ マ\ \ }、R''の座標は\boxed{\ \ ミ\ \ }である。\\
\triangle P''Q''R''が正三角形になるのはa=\boxed{\ \ ム\ \ }のときである。\\
3点P'',Q'',R''が同一直線上にあるのはa=\boxed{\ \ メ\ \ }のときである。a \gt \boxed{\ \ メ\ \ }のとき、\\
\triangle P''Q''R''の面積をaで表すと\boxed{\ \ モ\ \ }となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学看護医療学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系058〜微分(3)媒介変数表示の微分
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#色々な関数の導関数#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数列\textrm{III} 微分(3) 媒介変数表示\\
x=a(\theta-\sin\theta), y=a(1-\cos\theta)のとき、\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}を\thetaで表せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数列\textrm{III} 微分(3) 媒介変数表示\\
x=a(\theta-\sin\theta), y=a(1-\cos\theta)のとき、\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}を\thetaで表せ。
\end{eqnarray}
【数Ⅲ】式と曲線：楕円の基礎
福田のわかった数学〜高校２年生042〜軌跡(9)媒介変数表示の軌跡(2)
単元：
#数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(9) 媒介変数表示(2)\\
tが実数値をとって変化するとき、\\
x=\frac{t^2-1}{t^2+1} y=\frac{2t}{t^2+1}\\
はどんな曲線を表すか。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(9) 媒介変数表示(2)\\
tが実数値をとって変化するとき、\\
x=\frac{t^2-1}{t^2+1} y=\frac{2t}{t^2+1}\\
はどんな曲線を表すか。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生041〜軌跡(8)媒介変数表示の軌跡(1)
単元：
#数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(8) 媒介変数表示(1)\\
\left\{\begin{array}{1}
x=2\cos\theta+\sin\theta\\
y=\cos\theta-2\sin\theta
\end{array}\right.
(0 \leqq \theta \leqq \pi)\\
を満たす(x,y)の軌跡を図示せよ。\\
また、0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\piのときはどうか。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(8) 媒介変数表示(1)\\
\left\{\begin{array}{1}
x=2\cos\theta+\sin\theta\\
y=\cos\theta-2\sin\theta
\end{array}\right.
(0 \leqq \theta \leqq \pi)\\
を満たす(x,y)の軌跡を図示せよ。\\
また、0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\piのときはどうか。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年薬学部第１問(1)〜ド･モアブルの定理
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ (1+i)^{10}を展開して得られる複素数は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。ただし、iは虚数単位とする。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学薬学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ (1+i)^{10}を展開して得られる複素数は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。ただし、iは虚数単位とする。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学薬学部過去問
【数C】ベクトル：2021年高3第1回駿台全国模試 (文系)
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#駿台模試#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=1、OB=2、∠AOB=θ(0＜θ＜π)であるとする。
∠AOBの二等分線と 辺ABの交点をCとするとき、直線OC上の点Pは (a・p)²-2(b・p)+4=0 を満たすと する。
ただし、a=OA、b=OB、p=OPとする。次の問に答えよ。
(1)OCをa,bで表せ。
(2)pをa,b,θで表せ。
(3)b・pの値を求めよ。
(4)Pから直線OAに下ろした垂線と直 線OAとの交点をHとするとき、OH・p=b・pであることを示せ。
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三角形OABがあり、OA=1、OB=2、∠AOB=θ(0＜θ＜π)であるとする。
∠AOBの二等分線と 辺ABの交点をCとするとき、直線OC上の点Pは (a・p)²-2(b・p)+4=0 を満たすと する。
ただし、a=OA、b=OB、p=OPとする。次の問に答えよ。
(1)OCをa,bで表せ。
(2)pをa,b,θで表せ。
(3)b・pの値を求めよ。
(4)Pから直線OAに下ろした垂線と直 線OAとの交点をHとするとき、OH・p=b・pであることを示せ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年商学部第３問〜平面ベクトルと三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 点Oを原点とする座標平面上の点P,Q,Rを、ベクトル\overrightarrow{ a }=(2,1),\overrightarrow{ b }=(1,2)を用い、\\
位置ベクトル\overrightarrow{ OP }=f(t)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OQ }=f(t+2)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OR }=g(t)\overrightarrow{ b }で定める。\\
ここで、f(t),g(t)は、実数tを用いて、\\
f(t)=9t^2+1, g(t)=\frac{1}{8}(t^2-6t+9)で表される。\\
(1)\overrightarrow{ a }と\overrightarrow{ b }のなす角を\thetaとする。ただし、0 \leqq \theta \leqq \piとする。このとき、\\
\sin\theta=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }} である。\\
\\
(2)t=-\boxed{\ \ ウ\ \ }のとき、点Pと点Qが一致する。それ以外のとき、点P,Q,Rは\\
異なる3点となり、t=\boxed{\ \ エ\ \ }のときその3点が一直線上に並ぶ。\\
\\
(3)-\frac{4}{3} \leqq t \leqq 4の範囲において、上記(2)以外のとき、\triangle PQRの面積は\\
t=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}で最大値\boxed{\ \ キク\ \ }をとる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学商学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 点Oを原点とする座標平面上の点P,Q,Rを、ベクトル\overrightarrow{ a }=(2,1),\overrightarrow{ b }=(1,2)を用い、\\
位置ベクトル\overrightarrow{ OP }=f(t)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OQ }=f(t+2)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OR }=g(t)\overrightarrow{ b }で定める。\\
ここで、f(t),g(t)は、実数tを用いて、\\
f(t)=9t^2+1, g(t)=\frac{1}{8}(t^2-6t+9)で表される。\\
(1)\overrightarrow{ a }と\overrightarrow{ b }のなす角を\thetaとする。ただし、0 \leqq \theta \leqq \piとする。このとき、\\
\sin\theta=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }} である。\\
\\
(2)t=-\boxed{\ \ ウ\ \ }のとき、点Pと点Qが一致する。それ以外のとき、点P,Q,Rは\\
異なる3点となり、t=\boxed{\ \ エ\ \ }のときその3点が一直線上に並ぶ。\\
\\
(3)-\frac{4}{3} \leqq t \leqq 4の範囲において、上記(2)以外のとき、\triangle PQRの面積は\\
t=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}で最大値\boxed{\ \ キク\ \ }をとる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学商学部過去問
【数B】ベクトル：2021年高3第1回数台全国模試 (文系)
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、$OA=1、OB=2、\angle AOB=\theta(0\lt\theta\lt\pi)$であるとする。
$\angle AOB$の二等分線と 辺ABの交点をCとするとき、直線OC上の点Pは$ (a・p)^2-2(b・p)+4=0$ を満たすと する。
ただし、$a=OA、b=OB、p=OP$とする。次の問に答えよ。
(1)OCをa,bで表せ。
(2)pをa,b,$\theta$で表せ。
(3)b・pの値を求めよ。
(4)Pから直線OAに下ろした垂線と直 線OAとの交点をHとするとき、$OH・p=b・p$であることを示せ。
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三角形OABがあり、$OA=1、OB=2、\angle AOB=\theta(0\lt\theta\lt\pi)$であるとする。
$\angle AOB$の二等分線と 辺ABの交点をCとするとき、直線OC上の点Pは$ (a・p)^2-2(b・p)+4=0$ を満たすと する。
ただし、$a=OA、b=OB、p=OP$とする。次の問に答えよ。
(1)OCをa,bで表せ。
(2)pをa,b,$\theta$で表せ。
(3)b・pの値を求めよ。
(4)Pから直線OAに下ろした垂線と直 線OAとの交点をHとするとき、$OH・p=b・p$であることを示せ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第５問〜ベクトルの空間図形への応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} 空間の2点OとAは|\overrightarrow{ OA }|=2を満たすとし、点Aを通り\overrightarrow{ OA }に直交する平面をHとする。\\
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し\\
|\overrightarrow{ AB }|=2a, |\overrightarrow{ AC }|=3a, \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2\\
を満たすとする。ただし、\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }はベクトル\overrightarrow{ u }と\overrightarrow{ v }の内積を表す。\\
(1)\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }の値を求めよ。\\
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を\\
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。\\
(2)ベクトル\overrightarrow{ OP }を、実数\alpha,\beta,\gammaを用いて\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }と表すとき、\\
\alpha,\beta,\gammaの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)空間の点Qは2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }を満たすとする。直線PQが、\\
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、|\overrightarrow{ AP }|の値およびaの値を求めよ。\\
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、\\
\triangle APRの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} 空間の2点OとAは|\overrightarrow{ OA }|=2を満たすとし、点Aを通り\overrightarrow{ OA }に直交する平面をHとする。\\
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し\\
|\overrightarrow{ AB }|=2a, |\overrightarrow{ AC }|=3a, \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2\\
を満たすとする。ただし、\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }はベクトル\overrightarrow{ u }と\overrightarrow{ v }の内積を表す。\\
(1)\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }の値を求めよ。\\
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を\\
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。\\
(2)ベクトル\overrightarrow{ OP }を、実数\alpha,\beta,\gammaを用いて\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }と表すとき、\\
\alpha,\beta,\gammaの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)空間の点Qは2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }を満たすとする。直線PQが、\\
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、|\overrightarrow{ AP }|の値およびaの値を求めよ。\\
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、\\
\triangle APRの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第３問〜見上げる角が等しい点の軌跡と２次曲線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 水平な平面上の異なる2点A(0,1),Q(x,y)にそれぞれ高さh \gt 0,g \gt 0の塔が\\
平面に垂直に立っている。この平面上にあってA,Qとは異なる点Pから2つの\\
塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える。ただし、h ≠ gとする。\\
\\
(1)点Qの座標が(T,1) (ただしT \gt 0)のとき、2つの塔を見上げる角度が等しく\\
なるような点Pは、中心の座標が(\boxed{\ \ (あ)\ \ },\boxed{\ \ (い)\ \ })、半径が\boxed{\ \ (う)\ \ }の円周上にある。\\
\\
(2)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、y軸上にあるものが\\
ただ1つあるとする。このときhとgの間には不等式\boxed{\ \ (え)\ \ }が成り立ち、\\
点Q(x,y)は2直線y=\boxed{\ \ (お)\ \ }, y=\boxed{\ \ (か)\ \ }のいずれかの上にある。\\
\\
(3)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、x軸上にあるものが\\
ただ1つであるとする。このとき点Q(x,y)は方程式\\
\boxed{\ \ (き)\ \ }x^2+\boxed{\ \ (く)\ \ }x+\boxed{\ \ (け)\ \ }y^2+\boxed{\ \ (こ)\ \ }y=1\\
で表される2次曲線上Cの上にある。Cが楕円であるのはhとgの間に不等式\boxed{\ \ (さ)\ \ }\\
が成り立つときであり、そのときCの2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (し)\ \ },\boxed{\ \ (す)\ \ }),\\
(\boxed{\ \ (せ)\ \ },\boxed{\ \ (そ)\ \ })である。\boxed{\ \ (さ)\ \ }が成り立たないときCは双曲線となり、\\
その2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (た)\ \ },\boxed{\ \ (ち)\ \ }),(\boxed{\ \ (つ)\ \ },\boxed{\ \ (て)\ \ })である。\\
さらに\frac{h}{g}=\boxed{\ \ (と)\ \ }のときCは直角双曲線となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 水平な平面上の異なる2点A(0,1),Q(x,y)にそれぞれ高さh \gt 0,g \gt 0の塔が\\
平面に垂直に立っている。この平面上にあってA,Qとは異なる点Pから2つの\\
塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える。ただし、h ≠ gとする。\\
\\
(1)点Qの座標が(T,1) (ただしT \gt 0)のとき、2つの塔を見上げる角度が等しく\\
なるような点Pは、中心の座標が(\boxed{\ \ (あ)\ \ },\boxed{\ \ (い)\ \ })、半径が\boxed{\ \ (う)\ \ }の円周上にある。\\
\\
(2)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、y軸上にあるものが\\
ただ1つあるとする。このときhとgの間には不等式\boxed{\ \ (え)\ \ }が成り立ち、\\
点Q(x,y)は2直線y=\boxed{\ \ (お)\ \ }, y=\boxed{\ \ (か)\ \ }のいずれかの上にある。\\
\\
(3)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、x軸上にあるものが\\
ただ1つであるとする。このとき点Q(x,y)は方程式\\
\boxed{\ \ (き)\ \ }x^2+\boxed{\ \ (く)\ \ }x+\boxed{\ \ (け)\ \ }y^2+\boxed{\ \ (こ)\ \ }y=1\\
で表される2次曲線上Cの上にある。Cが楕円であるのはhとgの間に不等式\boxed{\ \ (さ)\ \ }\\
が成り立つときであり、そのときCの2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (し)\ \ },\boxed{\ \ (す)\ \ }),\\
(\boxed{\ \ (せ)\ \ },\boxed{\ \ (そ)\ \ })である。\boxed{\ \ (さ)\ \ }が成り立たないときCは双曲線となり、\\
その2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (た)\ \ },\boxed{\ \ (ち)\ \ }),(\boxed{\ \ (つ)\ \ },\boxed{\ \ (て)\ \ })である。\\
さらに\frac{h}{g}=\boxed{\ \ (と)\ \ }のときCは直角双曲線となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問