4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）
4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）
次の問いに答えよ。（1）（ア）5以上の素数を小さい方から順に10個あげよ。ほか【数A】【整数の性質｜素因数分解、素数について】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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次の問いに答えよ。
(1) (ア) $5$ 以上の素数を小さい方から順に $10$ 個あげよ。
(イ) (ア)であげた素数から予想できることについて、下の文章の $\square$ に当てはまる自然数のうち、最大のものを求めよ。ただし、$\square$ には同じ自然数が入るものとする。
$5$ 以上の素数は、$\square$ の倍数から $1$ 引いた数か、$\square$ の倍数に $1$ 足した数である。
(2) (1)(イ)の予想が正しいことを証明せよ。
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次の問いに答えよ。
(1) (ア) $5$ 以上の素数を小さい方から順に $10$ 個あげよ。
(イ) (ア)であげた素数から予想できることについて、下の文章の $\square$ に当てはまる自然数のうち、最大のものを求めよ。ただし、$\square$ には同じ自然数が入るものとする。
$5$ 以上の素数は、$\square$ の倍数から $1$ 引いた数か、$\square$ の倍数に $1$ 足した数である。
(2) (1)(イ)の予想が正しいことを証明せよ。
nは自然数とする。n²-14n+40が素数となるようなnをすべて求めよ。【数A】【整数の性質｜素因数分解、素数について】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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$n$ は自然数とする。$n^{2}-14n+40$ が素数となるような $n$ をすべて求めよ。
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$n$ は自然数とする。$n^{2}-14n+40$ が素数となるような $n$ をすべて求めよ。
nは自然数とする。2310/nが素数となるnは何個あるか。【数A】【整数の性質｜素因数分解、素数について】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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$n$ は自然数とする。$\dfrac{2310}{n}$ が素数となる $n$ は何個あるか。
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$n$ は自然数とする。$\dfrac{2310}{n}$ が素数となる $n$ は何個あるか。
次のような自然数の積Nを計算すると,末尾には0が連続して何個並ぶか（1）1から125までの125個の自然数の積N=1・2・3・・・125 ほか【数A】【整数の性質｜素因数分解を利用する問題】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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次のような自然数の積 $N$ を計算すると、末尾には $0$ が連続して何個並ぶか
(1) $1$ から $125$ までの $125$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots125$
(2) $1$ から $300$ までの $300$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots300$
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次のような自然数の積 $N$ を計算すると、末尾には $0$ が連続して何個並ぶか
(1) $1$ から $125$ までの $125$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots125$
(2) $1$ から $300$ までの $300$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots300$
1から240までの240個の自然数の積N=1・2・3・・・240について,Nを素因数分解したとき,素因数3の個数を求めよ。ほか【数A】【整数の性質｜素因数分解を利用する問題】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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(1) $1$ から $240$ までの $240$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots240$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数 $3$ の個数を求めよ。
(2) $1$ から $450$ までの $450$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots450$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数 $7$ の個数を求めよ。
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(1) $1$ から $240$ までの $240$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots240$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数 $3$ の個数を求めよ。
(2) $1$ から $450$ までの $450$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots450$ について、$N$ を素因数分解したとき、素因数 $7$ の個数を求めよ。
次のような自然数の個数を求めよ。（1）108以下の自然数で,108と互いに素である自然数（2）600以下の自然数で,600と互いに素である自然数【数A】【整数の性質｜素因数分解を利用する問題】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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次のような自然数の個数を求めよ。
(1) $108$ 以下の自然数で、$108$ と互いに素である自然数
(2) $600$ 以下の自然数で、$600$ と互いに素である自然数
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次のような自然数の個数を求めよ。
(1) $108$ 以下の自然数で、$108$ と互いに素である自然数
(2) $600$ 以下の自然数で、$600$ と互いに素である自然数
nは自然数で,n/20,n/42がともに自然数となるという。このようなnのうちで最も小さいものを求めよ。 ほか【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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(1) $n$ は自然数で、$\dfrac{n}{20}$、$\dfrac{n}{42}$ がともに自然数となるという。このような $n$ のうちで最も小さいものを求めよ。
(2) $\dfrac{42}{5}$、$\dfrac{21}{10}$、$\dfrac{35}{16}$ のいずれに掛けても積が自然数となる分数のうち、最も小さいものを求めよ。
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(1) $n$ は自然数で、$\dfrac{n}{20}$、$\dfrac{n}{42}$ がともに自然数となるという。このような $n$ のうちで最も小さいものを求めよ。
(2) $\dfrac{42}{5}$、$\dfrac{21}{10}$、$\dfrac{35}{16}$ のいずれに掛けても積が自然数となる分数のうち、最も小さいものを求めよ。
みかんが435個,りんごが268個ある。みかんもりんごも平等に,できるだけ多く配ったところ,みかんは45個,りんごは34個余った。人数を求めよ。【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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みかんが $435$ 個、りんごが $268$ 個ある。何人かの子どもに、みかんもりんごも平等に、できるだけ多く配ったところ、みかんは $45$ 個、りんごは $34$ 個余った。子どもの人数を求めよ。
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みかんが $435$ 個、りんごが $268$ 個ある。何人かの子どもに、みかんもりんごも平等に、できるだけ多く配ったところ、みかんは $45$ 個、りんごは $34$ 個余った。子どもの人数を求めよ。
aは自然数とする。a+2は6の倍数であり,a+6は8の倍数であるとき,a+14は24の倍数であることを証明せよ【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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$a$ は自然数とする。$a+2$ は $6$ の倍数であり、$a+6$ は $8$ の倍数であるとき、$a+14$ は $24$ の倍数であることを証明せよ。
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$a$ は自然数とする。$a+2$ は $6$ の倍数であり、$a+6$ は $8$ の倍数であるとき、$a+14$ は $24$ の倍数であることを証明せよ。
3つの自然数40,56,nの最大公約数が8,最小公倍数が1400であるとき,nをすべて求めよ。【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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3つの自然数 $40$、$56$、$n$ の最大公約数が $8$、最小公倍数が $1400$ であるとき、$n$ をすべて求めよ。
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3つの自然数 $40$、$56$、$n$ の最大公約数が $8$、最小公倍数が $1400$ であるとき、$n$ をすべて求めよ。
nは正の整数とする。次のようなnをすべて求めよ。(1)nと36の最小公倍数が504 (2)nと48の最小公倍数が720【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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$n$ は正の整数とする。次のような $n$ をすべて求めよ。
(1) $n$ と $36$ の最小公倍数が $504$
(2) $n$ と $48$ の最小公倍数が $720$
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$n$ は正の整数とする。次のような $n$ をすべて求めよ。
(1) $n$ と $36$ の最小公倍数が $504$
(2) $n$ と $48$ の最小公倍数が $720$
一辺の長さが５の正八面体について、次のものを求めよ。(1)正八面体の体積V (2)正八面体に内接する球の半径ｒ【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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一辺の長さが $5$ の正八面体について、次のものを求めよ。
(1) 正八面体の体積 $V$
(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$
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一辺の長さが $5$ の正八面体について、次のものを求めよ。
(1) 正八面体の体積 $V$
(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$
立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。（以下略）【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。このとき、次の場合について、正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが $10$
(2) 正八面体の1辺の長さが $6$
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立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。このとき、次の場合について、正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが $10$
(2) 正八面体の1辺の長さが $6$
直方体 ABCD-EFGHにおいて，辺AB，AD，AEの長さをそれぞれa，b，cとする。また，頂点Aから直線FHに下ろした垂線をAK とする。（以下略）【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ において、辺 $AB$、$AD$、$AE$ の長さをそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。また、頂点 $A$ から直線 $FH$ に下ろした垂線を $AK$ とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $EK\perp FH$ であることを証明せよ。
(2) 垂線 $AK$ の長さを求めよ。
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直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ において、辺 $AB$、$AD$、$AE$ の長さをそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。また、頂点 $A$ から直線 $FH$ に下ろした垂線を $AK$ とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $EK\perp FH$ であることを証明せよ。
(2) 垂線 $AK$ の長さを求めよ。
四面体ABCD において，辺AB と辺CDが垂直ならば，頂点Aから平面BCDに下ろした垂線AHと，頂点Bから平面CDAに下ろした垂線BKは交わることを示せ。【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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四面体 $ABCD$ において、辺 $AB$ と辺 $CD$ が垂直ならば、頂点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線 $AH$ と、頂点 $B$ から平面 $CDA$ に下ろした垂線 $BK$ は交わることを示せ。ただし、$H$ と $B$、$K$ と $A$ はそれぞれ一致しないものとする。
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四面体 $ABCD$ において、辺 $AB$ と辺 $CD$ が垂直ならば、頂点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線 $AH$ と、頂点 $B$ から平面 $CDA$ に下ろした垂線 $BK$ は交わることを示せ。ただし、$H$ と $B$、$K$ と $A$ はそれぞれ一致しないものとする。
右の図の立方体について、次の問いに答えよ。(1) 辺BF と垂直な面をすべて答えよ。(2) 平面 BFHD と平行な辺をすべて答えよ。ほか【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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右の図の立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺 $BF$ と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 $BFHD$ と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に、平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面 $ABGH$ と垂直な面をすべて答えよ。
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右の図の立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺 $BF$ と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 $BFHD$ と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に、平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面 $ABGH$ と垂直な面をすべて答えよ。
右の図は，正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形ABCDEF について，辺AB と平行な辺を答えよ。【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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右の図は、正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形 $ABCDEF$ について、辺 $AB$ と平行な辺を答えよ。
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右の図は、正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形 $ABCDEF$ について、辺 $AB$ と平行な辺を答えよ。
空間内の異なる2つの直線ℓ 、m と異なる2つの平面α,βについて，次の記述は常に正しいか。(1) ℓ⊥α、ｍ⊥αならば、ℓ⊥ｍである。ほか【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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空間内の異なる2つの直線 $\ell$、$m$ と異なる2つの平面 $\alpha$、$\beta$ について、次の記述は常に正しいか。
(1) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell\perp m$ である。
(2) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\alpha /\!/ \beta$ である。
(3) $\ell /\!/ \alpha$、$m /\!/ \alpha$ ならば、$\ell /\!/ m$ である。
(4) $\ell /\!/ \alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell$ と平行で $m$ と垂直な直線がある。
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空間内の異なる2つの直線 $\ell$、$m$ と異なる2つの平面 $\alpha$、$\beta$ について、次の記述は常に正しいか。
(1) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell\perp m$ である。
(2) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\alpha /\!/ \beta$ である。
(3) $\ell /\!/ \alpha$、$m /\!/ \alpha$ ならば、$\ell /\!/ m$ である。
(4) $\ell /\!/ \alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell$ と平行で $m$ と垂直な直線がある。
右の図のように,直線と円Oおよびその中心が与えられている。 直線lに平行な円Oの接線を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
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右の図のように、直線 $l$ と円 $O$ およびその中心が与えられている。直線 $l$ に平行な円 $O$ の接線を作図せよ。
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右の図のように、直線 $l$ と円 $O$ およびその中心が与えられている。直線 $l$ に平行な円 $O$ の接線を作図せよ。
右の図のような円があり,その周上に点Aがある。Aを頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
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右の図のような円があり、その周上に点 $A$ がある。$A$ を頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
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右の図のような円があり、その周上に点 $A$ がある。$A$ を頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
線分ABが与えられたとき, 線分ABを斜辺とし, ∠BAC=60° である直角三角形ABC を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
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線分 $AB$ が与えられたとき、線分 $AB$ を斜辺とし、$\angle BAC=60^{\circ}$ である直角三角形 $ABC$ を作図せよ。
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線分 $AB$ が与えられたとき、線分 $AB$ を斜辺とし、$\angle BAC=60^{\circ}$ である直角三角形 $ABC$ を作図せよ。
図のように，半径3の外接する2円A, Bが、半径8の円Oに内接している。2円A, Bに外接し，円Oに内接する円Cの半径を求めよ。【数A】【図形の性質｜円の位置関係】
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図のように、半径3の外接する2円 $A$、$B$ が、半径8の円 $O$ に内接している。2円 $A$、$B$ に外接し、円 $O$ に内接する円 $C$ の半径を求めよ。
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図のように、半径3の外接する2円 $A$、$B$ が、半径8の円 $O$ に内接している。2円 $A$、$B$ に外接し、円 $O$ に内接する円 $C$ の半径を求めよ。
数直線上の原点を中心とする半径3の円Oと、この数直線上を動く点Pを中心とする半径2の円Pがある。（中略）次の件を満たすとの値,またはtの値の範囲を求めよ。（以下略）【数A】【図形の性質｜円の位置関係】
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図のように、数直線上の原点を中心とする半径3の円 $O$ と、この数直線上を動く点 $P$ を中心とする半径2の円 $P$ がある。$P$ の座標を $t$ とするとき、次の条件を満たす $t$ の値、または $t$ の値の範囲を求めよ。
(1) 2円 $O$、$P$ の共通接線が4本引ける。
(2) 2円 $O$、$P$ の共有点が1個である。
(3) 2円 $O$、$P$ の共通接線が、座標が6である数直線上の点 $A$ を通る。
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図のように、数直線上の原点を中心とする半径3の円 $O$ と、この数直線上を動く点 $P$ を中心とする半径2の円 $P$ がある。$P$ の座標を $t$ とするとき、次の条件を満たす $t$ の値、または $t$ の値の範囲を求めよ。
(1) 2円 $O$、$P$ の共通接線が4本引ける。
(2) 2円 $O$、$P$ の共有点が1個である。
(3) 2円 $O$、$P$ の共通接線が、座標が6である数直線上の点 $A$ を通る。
下の図において、角θを求めよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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下の図において、角 $\theta$ を求めよ。
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下の図において、角 $\theta$ を求めよ。
鋭角三角形ABCの垂心をHとし、AHがBCと交わる点をD、△ABCの外接円と交わる点をEとする。このとき、Dは線分HEの中点であることを証明せよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ が $BC$ と交わる点を $D$、$\triangle ABC$ の外接円と交わる点を $E$ とする。このとき、$D$ は線分 $HE$ の中点であることを証明せよ。
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鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ が $BC$ と交わる点を $D$、$\triangle ABC$ の外接円と交わる点を $E$ とする。このとき、$D$ は線分 $HE$ の中点であることを証明せよ。
円oにおいて、平行な2つの弦をAA´、BB´とし、AB´とA´Bが円の内部の点Pで交わっている。このとき、∠APB＝∠AOBであることを証明せよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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円 $O$ において、平行な2つの弦を $AA'$、$BB'$ とし、$AB'$ と $A'B$ が円の内部の点 $P$ で交わっている。このとき、$\angle APB=\angle AOB$ であることを証明せよ。
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円 $O$ において、平行な2つの弦を $AA'$、$BB'$ とし、$AB'$ と $A'B$ が円の内部の点 $P$ で交わっている。このとき、$\angle APB=\angle AOB$ であることを証明せよ。
上の図において、点Pが線分CD上を動くとき、線分の和AP＋PBの最小値とそのときの点Pの位置を求めよ。【数A】【図形の性質｜三角形の関係証明】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
上の図において、点 $P$ が線分 $CD$ 上を動くとき、線分の和 $AP+PB$ の最小値とそのときの点 $P$ の位置を求めよ。
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上の図において、点 $P$ が線分 $CD$ 上を動くとき、線分の和 $AP+PB$ の最小値とそのときの点 $P$ の位置を求めよ。
△ABCの内部の1点をPとするとき、AP＋BP＋CP＞1/2（AB＋BC＋CA）を証明せよ。【数A】【図形の性質｜三角形の関係証明】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$ の内部の1点を $P$ とするとき、$AP+BP+CP>\dfrac{1}{2}(AB+BC+CA)$ を証明せよ。
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$\triangle ABC$ の内部の1点を $P$ とするとき、$AP+BP+CP>\dfrac{1}{2}(AB+BC+CA)$ を証明せよ。
次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するようなXの値の範囲を求めよ。(1)X、２、６ (2)３X、X＋４、X＋２【数A】【図形の性質｜三角形の辺と角】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $x$、$2$、$6$
(2) $3x$、$x+4$、$x+2$
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次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $x$、$2$、$6$
(2) $3x$、$x+4$、$x+2$
△ABCにおいて、AB＞ACとする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとする時、次の①～④のうちで常に成り立つものを全て選べ。①BP＝PC ②AB＞AP ほか【数A】【図形の性質｜三角形の辺と角】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$ において、$AB>AC$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $P$ とするとき、次の①～④のうちで常に成り立つものをすべて選べ。
$①\ BP=PC$
$②\ AB>AP$
$③\ AC>AP$
$④\ AC>CP$
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$\triangle ABC$ において、$AB>AC$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $P$ とするとき、次の①～④のうちで常に成り立つものをすべて選べ。
$①\ BP=PC$
$②\ AB>AP$
$③\ AC>AP$
$④\ AC>CP$