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福田のおもしろ数学555〜連立方程式に解が存在するかどうかの検証
単元：
#連立方程式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$a,b,c$は異なる実数であり
連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
ax=b \\
bx=c \\\
cx=a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
が解をもつような$(a,b,c)$は存在するか。
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$a,b,c$は異なる実数であり
連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
ax=b \\
bx=c \\\
cx=a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
が解をもつような$(a,b,c)$は存在するか。
福田の数学〜早稲田大学2025社会科学部第1問〜n^pの1の位
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
自然数$n,p$に対して、$n^p$の$1$の位の数を
$f_p(n)$で表す。次の問いに答えよ。
(1)$f_2(n)$の取りうる値をすべて求めよ。
(2)$f_5(n)-f_1(n)$の値を求めよ。
(3)$f_{100}(n)$の取りうる値をすべて求めよ。
$2025$年早稲田大学社会科学部過去問題
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$\boxed{1}$
自然数$n,p$に対して、$n^p$の$1$の位の数を
$f_p(n)$で表す。次の問いに答えよ。
(1)$f_2(n)$の取りうる値をすべて求めよ。
(2)$f_5(n)-f_1(n)$の値を求めよ。
(3)$f_{100}(n)$の取りうる値をすべて求めよ。
$2025$年早稲田大学社会科学部過去問題
福田のおもしろ数学554〜nのn乗根の最大と最小
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
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問題文全文(内容文)：
$a_1=1,a_n=\sqrt[n]{n} \quad (n\geqq 2)$
で定める数列$\{a_n\}$について
(1)$n\geqq 3$のとき$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1$を示せ。
(2)この数列の最大の項と
最小の項を求めよ。
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$a_1=1,a_n=\sqrt[n]{n} \quad (n\geqq 2)$
で定める数列$\{a_n\}$について
(1)$n\geqq 3$のとき$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1$を示せ。
(2)この数列の最大の項と
最小の項を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第5問〜接線と面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
曲線$C:y=\cos x\left(0\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$上の点
$(\theta,\cos\theta)$における接線を$l$とする。
(1)$\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき、接線$l$と
$x$軸との交点の座標は$\left(\dfrac{\pi+\boxed{二}}{\boxed{ヌ}},0\right)$である。
(2)曲線$C$と接線$l$、および$x$軸によって
囲まれた部分の面積が$1$であるとき、
$\sin\theta=\boxed{ネ}-\sqrt{\boxed{ノ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{5}$
曲線$C:y=\cos x\left(0\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$上の点
$(\theta,\cos\theta)$における接線を$l$とする。
(1)$\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき、接線$l$と
$x$軸との交点の座標は$\left(\dfrac{\pi+\boxed{二}}{\boxed{ヌ}},0\right)$である。
(2)曲線$C$と接線$l$、および$x$軸によって
囲まれた部分の面積が$1$であるとき、
$\sin\theta=\boxed{ネ}-\sqrt{\boxed{ノ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学553〜部分分数分解を工夫してやろう
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 4}+\dfrac{1}{2\cdot 3 \cdot 5}+\dfrac{1}{3\cdot 4 \cdot 6}+\cdots$
の第$n$項までの和を求めて下さい。
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$\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 4}+\dfrac{1}{2\cdot 3 \cdot 5}+\dfrac{1}{3\cdot 4 \cdot 6}+\cdots$
の第$n$項までの和を求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第4問〜3次方程式の解が直角三角形を作る条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数となる。
$z$についての方程式
$z^3-5z^2+kz-5=0$の$3$つの解は
複素数平面上で斜辺$2$の直角三角形の頂点となる。
このとき、$k=\boxed{ト}$であり、
この直角三角形の面積は$\boxed{ナ}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を実数の定数となる。
$z$についての方程式
$z^3-5z^2+kz-5=0$の$3$つの解は
複素数平面上で斜辺$2$の直角三角形の頂点となる。
このとき、$k=\boxed{ト}$であり、
この直角三角形の面積は$\boxed{ナ}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学552〜（−1）のi乗はいくら？
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第3問〜外心と内心の位置ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
(1)$\triangle ABC$において$AB=6,AC=4,$
$\cos A=\dfrac{1}{4}$とする。
$\triangle ABC$の外心を$H$とし、直線$AH$が
$\triangle ABC$の外接円と交わる点のうち、
点$A$とは異なる点を$P$とする。
このとき、$\overrightarrow{AP}=\dfrac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}\overrightarrow{AC}$である。
(2)$\triangle ABC$において$AB=5,AC=6,$
$\cos A=\dfrac{1}{5}$とする。
$\triangle ABC$の内心を$K$とし、
直線$AK$が$\triangle ABC$の内接円と
交わる点のうち、点$A$に近いほうの点を
$Q$とする。
このとき、$\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\boxed{チ}-\sqrt{\boxed{ツ}}}{\boxed{テ}}\overrightarrow{AK}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{3}$
(1)$\triangle ABC$において$AB=6,AC=4,$
$\cos A=\dfrac{1}{4}$とする。
$\triangle ABC$の外心を$H$とし、直線$AH$が
$\triangle ABC$の外接円と交わる点のうち、
点$A$とは異なる点を$P$とする。
このとき、$\overrightarrow{AP}=\dfrac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}\overrightarrow{AC}$である。
(2)$\triangle ABC$において$AB=5,AC=6,$
$\cos A=\dfrac{1}{5}$とする。
$\triangle ABC$の内心を$K$とし、
直線$AK$が$\triangle ABC$の内接円と
交わる点のうち、点$A$に近いほうの点を
$Q$とする。
このとき、$\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\boxed{チ}-\sqrt{\boxed{ツ}}}{\boxed{テ}}\overrightarrow{AK}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学551〜指数方程式の解
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$10^{2^{x-10}}=2^{10^{x-2}}$
を満たす実数$x$を求めて下さい。
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$10^{2^{x-10}}=2^{10^{x-2}}$
を満たす実数$x$を求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第2問〜絶対値の付いた関数の最小
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$a\lt b \lt c$を満たす実数の定数に対して、
すべての実数を定義域とする$x$の関数
$f(x)=\vert x-a \vert + \vert x-b \vert + \vert x-c \vert $を定める。
このとき、$5x+4f(x)$の最小値は
$\boxed{ク}a + \boxed{ケ}b + \boxed{コ}c$である。
また、$f(x)$の最小値が$20$で、
$f(c)=28$かつ$f(10)=31$を満たす$a$の値は
$\boxed{サ}$と$\boxed{シ}$である。
ただし、$\boxed{サ} \lt \boxed{シ}$とする。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{2}$
$a\lt b \lt c$を満たす実数の定数に対して、
すべての実数を定義域とする$x$の関数
$f(x)=\vert x-a \vert + \vert x-b \vert + \vert x-c \vert $を定める。
このとき、$5x+4f(x)$の最小値は
$\boxed{ク}a + \boxed{ケ}b + \boxed{コ}c$である。
また、$f(x)$の最小値が$20$で、
$f(c)=28$かつ$f(10)=31$を満たす$a$の値は
$\boxed{サ}$と$\boxed{シ}$である。
ただし、$\boxed{サ} \lt \boxed{シ}$とする。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学550〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$x^6+3x^3+1=y^4$
を満たす整数の組$(x,y)$
をすべて求めて下さい。
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$x^6+3x^3+1=y^4$
を満たす整数の組$(x,y)$
をすべて求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第1問(3)〜球面が平面から切り取る領域の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)座標空間における$2$点
$\left(\dfrac{\sqrt{35}}{2},5,10\right),\left(-\dfrac{\sqrt{35}}{2},10,-4\right)$
を直径の両端とする球面$S$がある。
球面$S$が$xy$平面を切り取る領域の面積は
$\boxed{カ}\pi$である。
また、球面$S$が$z$軸を切り取る線分の長さは
$\sqrt{\boxed{キ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)座標空間における$2$点
$\left(\dfrac{\sqrt{35}}{2},5,10\right),\left(-\dfrac{\sqrt{35}}{2},10,-4\right)$
を直径の両端とする球面$S$がある。
球面$S$が$xy$平面を切り取る領域の面積は
$\boxed{カ}\pi$である。
また、球面$S$が$z$軸を切り取る線分の長さは
$\sqrt{\boxed{キ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学549〜無理関数の不定積分その2
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
不定積分
$I=\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}dx \ (x\gt 1)$を
$x=\sqrt{x^2-1}=t$
と置き換えて求めて下さい。
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不定積分
$I=\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}dx \ (x\gt 1)$を
$x=\sqrt{x^2-1}=t$
と置き換えて求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第1問(2)〜ルートの2個ある無理方程式の解法
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)方程式
$\sqrt{x+510}+\sqrt{x+822}=52$
の解は$x=\boxed{オ}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)方程式
$\sqrt{x+510}+\sqrt{x+822}=52$
の解は$x=\boxed{オ}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学548〜無理関数の不定積分
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
不定積分$I=\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}dx \ (x\gt 1)$を
$x=\dfrac{1}{\cos\theta}$と
置き換えて求めて下さい。
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不定積分$I=\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}dx \ (x\gt 1)$を
$x=\dfrac{1}{\cos\theta}$と
置き換えて求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第1問(1)〜4次式の因数分解と未定係数法
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)整式$x^4-13x^2+18x-5$を整数係数の
範囲で因数分解すると
$(x^2+\boxed{ア} x+\boxed{イ})(x^2+\boxed{ウ}x+\boxed{エ})$
となる。
ただし、$\boxed{ア}\lt \boxed{ウ}$とする。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)整式$x^4-13x^2+18x-5$を整数係数の
範囲で因数分解すると
$(x^2+\boxed{ア} x+\boxed{イ})(x^2+\boxed{ウ}x+\boxed{エ})$
となる。
ただし、$\boxed{ア}\lt \boxed{ウ}$とする。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学547〜複素数の偏角
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#複素数#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
複素数
$(1-\cos 20°-i \sin 20°)^{10}$
の偏角を$0°～360°$の範囲で求めよ。
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複素数
$(1-\cos 20°-i \sin 20°)^{10}$
の偏角を$0°～360°$の範囲で求めよ。
福田の数学〜九州大学2025文系第2問〜円周上の2点との距離の2乗の和の最大値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#三角関数#三角関数とグラフ#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
半径$1$の円周$C$上の$2$点$A,B$は
$AB=\sqrt3$をみたすとする。
点$P$が円周$C$上を動くとき、
$AP^2+BP^2$の最大値を求めよ。
$2025$年九州大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
半径$1$の円周$C$上の$2$点$A,B$は
$AB=\sqrt3$をみたすとする。
点$P$が円周$C$上を動くとき、
$AP^2+BP^2$の最大値を求めよ。
$2025$年九州大学文系過去問題
福田のおもしろ数学546〜1分チャレンジ！数値計算の計算
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
次の計算をして下さい。
$\dfrac{1}{1+1^2+1^4}+\dfrac{2}{1+2^2+2^4}+\dfrac{3}{1+3^2+3^4}+\cdots + \dfrac{50}{1+50^2+50^4}$
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次の計算をして下さい。
$\dfrac{1}{1+1^2+1^4}+\dfrac{2}{1+2^2+2^4}+\dfrac{3}{1+3^2+3^4}+\cdots + \dfrac{50}{1+50^2+50^4}$
福田の数学〜九州大学2025文系第1問〜共通接線
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$2$つの曲線
$y=x^3+x^2-x-1,y=x^2$
の両方に接するすべての直線の
方程式を求めよ。
$2025$年九州大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
$2$つの曲線
$y=x^3+x^2-x-1,y=x^2$
の両方に接するすべての直線の
方程式を求めよ。
$2025$年九州大学文系過去問題
福田のおもしろ数学545〜最大公約数と最小公倍数の商で定まる数列
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
自然数の列$\{a_n\}$が次の性質を満たしている。
$a_n=\dfrac{Icm(a_{n-1},a_{n-2})}{gcd(a_{n-1},a_{n-2})} \quad (n\geqq 2)$
$a_{560}=560,a_{1600}=1600$のとき
$a_{2025}$を求めて下さい。
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自然数の列$\{a_n\}$が次の性質を満たしている。
$a_n=\dfrac{Icm(a_{n-1},a_{n-2})}{gcd(a_{n-1},a_{n-2})} \quad (n\geqq 2)$
$a_{560}=560,a_{1600}=1600$のとき
$a_{2025}$を求めて下さい。
福田の数学〜九州大学2025理系第5問〜3次方程式の解と確率
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#複素数と方程式#場合の数#複素数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$1$個のさいころを$3$回続けて投げ、
出る目を順に$a,b,c$とする。
整式$f(x)=(x^2-ax+b)(x-c)$
について、以下の問いに答えよ。
(1)$f(x)=0$をみたす実数$x$の個数が
$1$個である確率を求めよ。
(2)$f(x)=0$をみたす自然数$x$の個数が
$3$個である確率を求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$1$個のさいころを$3$回続けて投げ、
出る目を順に$a,b,c$とする。
整式$f(x)=(x^2-ax+b)(x-c)$
について、以下の問いに答えよ。
(1)$f(x)=0$をみたす実数$x$の個数が
$1$個である確率を求めよ。
(2)$f(x)=0$をみたす自然数$x$の個数が
$3$個である確率を求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
福田のおもしろ数学544〜1分チャレンジ！微分の計算
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$y=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2+1}}$
に対して、
導関数$y'$を$y$で表して下さい。
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$y=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2+1}}$
に対して、
導関数$y'$を$y$で表して下さい。
福田の数学〜九州大学2025理系第4問〜平面幾何の証明
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
半径$1$の円周上に反時計回りに
点$A,B,C,D$を順にとり、
線分$AD$は直径で、$AC=CD$、
$AB=BC$が成り立つとする。
(1)$\angle ACB$を求めよ。
(2)$BC$を求めよ。
(3)線分$AC$と線分$BD$の交点を$E$とするとき、
三角形$BCE$の面積を求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
半径$1$の円周上に反時計回りに
点$A,B,C,D$を順にとり、
線分$AD$は直径で、$AC=CD$、
$AB=BC$が成り立つとする。
(1)$\angle ACB$を求めよ。
(2)$BC$を求めよ。
(3)線分$AC$と線分$BD$の交点を$E$とするとき、
三角形$BCE$の面積を求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
福田のおもしろ数学543〜2つの球面に引いた接線の長さの等しい点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$2$つの球面に引いた接線の長さの
等しい点の軌跡はどんな図形だろう？
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$2$つの球面に引いた接線の長さの
等しい点の軌跡はどんな図形だろう？
福田の数学〜九州大学2025理系第3問〜剰余類と不定方程式の整数解
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)$n$を整数とするとき、$n^2$を$8$で割った
余りは$0,1,4$のいずれかであることを示せ。
(2)$2^m=n^2+3$をみたす$0$以上の整数の組
$(m,n)$をすべて求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)$n$を整数とするとき、$n^2$を$8$で割った
余りは$0,1,4$のいずれかであることを示せ。
(2)$2^m=n^2+3$をみたす$0$以上の整数の組
$(m,n)$をすべて求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
福田のおもしろ数学542〜定積分の値の評価
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{3}\lt \displaystyle \int_{0}^{1}x^{(\sin x+\cos x)^2}dx \lt \dfrac{1}{2}$
を証明して下さい。
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$\dfrac{1}{3}\lt \displaystyle \int_{0}^{1}x^{(\sin x+\cos x)^2}dx \lt \dfrac{1}{2}$
を証明して下さい。
福田の数学〜九州大学2025理系第2問〜定積分の計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
以下の問いに答えよ。
(1)$y=\tan x$とするとき、
$\dfrac{dy}{dx}$を$y$の整式で表せ。
(2)次の定積分を求めよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan^4x-\tan^2 x-2}{\tan^2x-4}dx$
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
以下の問いに答えよ。
(1)$y=\tan x$とするとき、
$\dfrac{dy}{dx}$を$y$の整式で表せ。
(2)次の定積分を求めよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan^4x-\tan^2 x-2}{\tan^2x-4}dx$
$2025$年九州大学理系過去問題
福田のおもしろ数学541〜条件付き不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$x,y,z$は
$x+y+z \geqq xyz$
を満たす非負実数とするとき
$x^2+y^2+z^2 \geqq xyz$
を証明して下さい。
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$x,y,z$は
$x+y+z \geqq xyz$
を満たす非負実数とするとき
$x^2+y^2+z^2 \geqq xyz$
を証明して下さい。
福田の数学〜九州大学2025理系第1問〜平面に垂直なベクトルの絶対値の最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
座標空間内の$3$点$A(1,1,-5),B(-1,-1,7),C(1,-1,3)$を
通る平面を$\alpha$とする。
点$P(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と
$xy$平面との交点を$Q$とする。
(1)点$Q$の座標を求めよ。
(2)$t$がすべての実数値をとって変化するときの
$OQ$の最小値が$1$以下となるような
$a,b$の条件を求めよ。
ただし、$O$は原点である。
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
座標空間内の$3$点$A(1,1,-5),B(-1,-1,7),C(1,-1,3)$を
通る平面を$\alpha$とする。
点$P(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と
$xy$平面との交点を$Q$とする。
(1)点$Q$の座標を求めよ。
(2)$t$がすべての実数値をとって変化するときの
$OQ$の最小値が$1$以下となるような
$a,b$の条件を求めよ。
ただし、$O$は原点である。
$2025$年九州大学理系過去問題