問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第1問(2)整数の除法を徹底解説します

問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第1問(1)対数関数を徹底解説します

問題文全文(内容文)：
小学生でも解ける！？

xを求めよ

図は動画内参照

問題文全文(内容文)：
調和級数

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}…$

について解説します

問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅠA第2問(2)データの分析を徹底解説します

問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$を求めよ

問題文全文(内容文)：
2024共通テスト数学ⅠA第3問解説です

箱の中にカ ー ドが 2 枚以上入っており、それぞれのカ ードにはアルファベットが一文字だけ書かれている。この箱の中からカ ー ドを一枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行をり返し行う。
(1)箱の中にA,Bのカードが 1 枚ずつ全部で 2 枚入っている場合を考える。以下では、2 以上の自然数nに対しn回の試行で A. Bがそろっているとは、n回の試行でA,Bのそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
(i)２回の試行でA,Bがそろっている確率は$\dfrac{ア}{イ}$である。
(ii)３回の試行でA,Bがそろっている確率を求める。
　例えば、３回の試行のうちAを１回、Bを２回取り出す取り出し方は３通りあり、それらを全て挙げると次のようになる。※表は動画内参照
このように考えることにより、3 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はウ通りあることがわかる。よって、3 回の試行で A. B がそろっている確率は$\dfrac{ウ}{2^3}$である。
(iii) 4 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はエオ通りある。 よって、4 回の試行でA,B がそろっている確率は$\dfrac{カ}{キ}$である。
(2)箱の中にA,B,Cのカ ー ドが一枚ずつ全で 3 枚入っている場合を考える。
以下では、3 以上の自然数nに対しn回目の試行で初めて A. B. C がそろうとn回の試行で A,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出されかつA,B.Cのうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
(i)3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう取り出し方はク通りある。よって、3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ク}{3^3}$である。
(ii) 4 回目の試行で初めて A.B,C がそろう確率を求める。4 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方は.(1)の(ii)を振り返ることにより、3×ウ通りあることがわかる。よって、4 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ケ}{コ}$である。
(iii)5 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方はサシ通りある。よってを 5 回目の試行で初めてA,B,Cがそろう確率は$\dfrac{サシ}{3^3}$である。
太郎さんと花子さんは. 6 回目の試行で初めて A. B, C, D がそろう確率について考えている。
太郎:例えば. 5 回目までにA,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出され.かっ 6 回目に初めてDが取り出される場合を考えたら計算できそうだね。
花子:それなら初めて A. B. C だけがそろうのが, 3 回目のとき. 4 回目のとき. 5 回目のときで分けて考えてみてはどうかな。
6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろう取り出し方がク通りであることに注意すると「 6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろい、かつ6 回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方はスセ通りあることがわかる。同じように考えると６回の試行のうち 4 回目の試行で初めて A, B, C だけがそろい、かっ 6 回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方はソタ通りあることもわかる。以上のように考えることにより, 6 回目の試行で初めて A. B. C, D がそろう確率は$\dfrac{チツ}{テトナ}$であることがわかる。

問題文全文(内容文)：
4 放物線$y=x^2$ のうち$-1 \leqq x \leqq 1$をみたす部分を C とする。座標平面上の原点Oと点A(１，0)を考える。
( 1 )点 P が C 上を動くとき、$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{ OP}$　をみたす点 Q の軌跡を求めよ。
( 2 )点 P が C 上を動き、点 R が線分 OA 上を動くとき$\overrightarrow{ OS }=\overrightarrow{ 2OP }＋\overrightarrow{ OR }$をみたす点 S が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
a>0とし、f(x)=$x^3-3a^2x$とおく。
( 1 )x$ \geqq 1$でf(x)が単調に増加するための aについての条件を求めよ。
( 2 )次の 2 条件を満たす点(a,b)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件 1 :方程式f(x)=bは相異なる 3 実数解をもつ。
条件 2 :さらに方程式f(x)=bの解を$\alpha<\beta<\gamma$とすると、β ＞ 1 である。

問題文全文(内容文)：
数列$a_{ 1},a_{ 2 }$,・・・を$a_{ n }=\displaystyle \frac{{}_2n \mathrm{ C }_n}{n!}$(n=1,2,・・・)で定める。
（１）$a_{ 7 }$と１の大小を調べよ。
（２）$n \geqq 2$とする。$\displaystyle \frac{a_{ n }}{a_{ n-1}}<1を満たすｎの範囲を求めよ。$
（３）$a_{ n }$が整数となる$n \geqq 1$を全て求めよ。

問題文全文(内容文)：
座標平面上に放物線 C を$y=x^2-3x+4$で定め、領域Dを$y \geqq x^2-3x+4$で定める。原点を通る 2 直線l, m は C に接する。
( 2 )次の条件を満たす点 P(p,q)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件:領域Dのすべての点は(x,y)に対し、不等式$px+qy\leqq 0$が成り立つ。

問題文全文(内容文)：
座標平面上に放物線 C を$y=x^2-3x+4$ で定め、領域Dを$y \geqq x^2-3x+4$で定める。原点を通る 2 直線l, m は C に接する。
(1) 放物線 C 上を動く点 A と直線l, m の距離をそれぞれL,M とする。$\sqrt{ \mathstrut L } + \sqrt{ \mathstrut M }$が最小値をとるときの点 A の座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
座標空間において原点 O を中心とする半径 1 の円 C がxy平面上にあり、x> 0の領域において点 A ( 0 ,- 1 , 0 )から点 B ( 0 , 1,0 )まで移動する C 上の動点を P とする。
(１) 下記の 2 条件を満たす直角二等辺三角形 PQR を考える。
・点 Q は C 上にあり、直線 PQ はx軸に平行である。
・点 R の z 座標は正であり、直線 PR はz軸に平行である。
点 P が点 A から点 B まで移動するとき、三角形 PQR の周および内部が通過してできる立体Vについて、以下の間いに答えよ。
(a) 点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 PR が通過してできる曲面の展開図は、横軸に弧 AP の長さ、縦軸に線分 PR の長さをとったグラフを考えればよく、アで表される概形となり、その面積はイである。
線分 PQ の中点を M とし、点 M から直線 QR に引いた垂線と線分 QR との交点を H とする。点 H は線分 QR を 1 :ウに内分する点である。点 P の位置に依らず、線分の長さについて$エ×(MH)^2+(OM)^2=1$が成り立つ。点Pが点 A から点 B まで移動するとき、線分 MH が通過する領域の概形はオであり、面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{ カ }}{キ}\pi$である。
※ア、オの解答群は動画内参照
(b) 点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 QR が通過してできる曲面上において、 2 点 A , B を結ぶ最も短い曲線はクが描く曲線である。
クの解答群①点 Q　②点 R　③設間( a )で考えた点 H　④線分 QR とyz平面との交点　⑤線分 QR を 1 :$\sqrt{ 2 }$に内分する点　⑥線分 QR を$\sqrt{ 2 }$: 1 に内分する点　⑦三角形 PQR の重心から線分 QR に引いた垂線と線分 QR との交点
(c) 点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 PQ を直径とするxz平面に平行な円が通過してできる球の体積は$\displaystyle \frac{ケ}{コ}$である。また△ PQR の面積は、線分 PQを直径とする円の面積の$\displaystyle \frac{サ}{\pi}$倍である。よって、立体Vの体積は$\displaystyle \frac{シ}{ス}$である。
( 2 )$z \geqq 0$ の領域において、yz平面上の点 T を頂点とし、 2 点 P , Q を通る放物線Lを考える。ただし、 Q , T は下記の 2 条件を満たす点とする。
・点 Q は C 上にあり、直線 PQ はx軸に平行である。
・三角形 PQT はxz平面に平行であり、点 T の z 座標は線分 PQ の長さに等しい。点 P が(1,0,0)であるとき、放物線Lを表す式はy=0,$z=セソx^2+タ$（ただし$-1 \leqq x \leqq 1$）であり、この放物線と線分 PQ で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{チ}{ツ}$である。
点 P が点 A から点 B まで移動するとき、放物線 L と線分 PQ で囲まれる図形が通過してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{テト}{ナ}$である。
点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 PQ を直径とするxz平面に平行な円が通過してできる球の体積は$\displaystyle \frac{ケ}{コ}\pi$である。また△ PQR の面積は、線分 PQ を直径とする円の面積の$\displaystyle \frac{サ}{\pi}$倍である。よって、立体体積はV の体積は$\displaystyle \frac{シ}{ス}$である。

問題文全文(内容文)：
$\fbox{6}$いま、 A 国の部品会社 A 社から B 国のメ ー カ ー B 社が一定量の部品の取引を行うために、その取引価格pを交渉している。 A 社の生産コスト c は事前の投資額xに依存し、$\dfrac{1}{8}x^2-10x+220$が成り立っているものとすると、 A 社の利益はp-c-xと表すことができる。一方、 B 社はこの部品を使用し生産を行うことで308 の売上を得ることができるものとすると、 A 社から部品を輸人する際に 10 %の関税が課せられるため、 B 社の利益は$308- \dfrac{11}{10}p$と表すことができる。ところで、交渉は常に成立するわけではなく決裂することもあるから、 A 社およびB 社は共に決裂した場合のことを考慮しながら互いに交渉しなければならないそこで、交渉が成立したときの A 社 (B 社)の利益から、交渉が決裂したときのA社(B社)の利益(負の場合は損失を意味する)を引いた値を、Ａ社(Ｂ社)の純利益と呼び、 A 社の純利益と B 社の純利益の積を最大化するようにpの値が定まるものとする。またＡ社は以上のことを踏まえて、自らの利益p-c-xを最大化するようなxの大きさの投資を、事前に行っておくものとする。
(1)交渉が決裂した時、A社は生産を行わず生産コストはかからないが、事前の投資額ｘの分だけ損失を被るのでＡ社の利益は-xとなり、Ｂ社はＢ国内の他の部品会社から、価格２２０で同僚の同じ部品を調達できるとすると、(この場合は関税がかからないことから)Ｂ社の利益は308-220=88となる。この場合の投資額ｘは$\fbox{ア}$となり、価格pは$\fbox{イ}$となる。
(2)交渉が決裂した時、Ａ者は国内の他のメーカーに価格２５０で部品を販売できるとするとＢ社の利益は０となる。この場合の投資額ｘは$\fbox{ウ}$となり、価格pは$\fbox{エ}$となる。
最後に、交渉が成立した場合の「(2)の会社の利益」ー「(1)のA社の利益」＝$\fbox{オ}$

問題文全文(内容文)：
xy空間において、O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),F(1,1,1),G(0,1,1)を頂点とする立方体 OABC-DEFG が存在する。いま、原点を通る球 S が、立方体 OABC-DEFG のいくつかの辺と接している。以下のそれぞれの場合について、球 S の半径と中心の座標を求めなさい。
※図は動画内
(１)3 つの辺 BF,EF,FG と接する場合
( 2 ) 6 つの辺 AB , AE, BC, CG, DE, DG と接する場合
( 3 ) 4 つの辺 AB, BC, EF, FG と接する場合
(４)4 つの辺 DE, EF, FG, DG と接する場合

問題文全文(内容文)：
※図は動画内
xy平面上でx座標もリ座標も整数である点を格子点という。この格子点上を次のように点 A と点 B が移動する。
・点 A は、時刻t= 0 において原点 O にあり、時刻tが 1 増えるごとに、x軸正方向に 1 あるいはy軸正方向に 1 のいずれかに等確率$\frac{1}{2}$で移動する。
・点 B は、時刻t= 0 において点( 1 , I) にあり、時刻 t が 1 増えるごとに、x軸正方向に 1 あるいはx軸負方向に 1 あるいはy軸正方向に 1 あるいはy軸負方向に 1のいずれかに等確率$\frac{1}{4}$で移動する。
ここで、時刻 t= k(k= 0 , 1 , 2 , 3 ,・・・)以前に点 A と点 B が一度も接触しない(同じ時刻に同じ座標を取らない)確率を P (k)とする。
(1)k0,1,2のとき、P(0)＝１、P(1)＝$\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$,P(2)=$\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である。
(2)k=3のとき、
(a)点 A が点( I , 0 )と点( 2 , 0 )を経由して点( 3 , 0 )に移動する場合、 t=3 で初めて点 A と点 B が接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{オ}$通り。 t=3 より前に点 A と点 B が少なくとも一度は接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{カ}$通り。
(b) 点 A が点( I , 0 )と点( 2 , 0 )を経由して点( 2 , l) に移動する場合、 t=3 で初めて点 A と点 B が接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{キ}$通り。 3 より前に点 A と点 B が少なくとも一度は接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{ク}$通り。
(c) 点 A が点( 1 , 0 )と点( 1 , 1) を経由して点( 2 , 1 )に移動する場合、 t=3 で初めて点 A と点 B が接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{ケ}$通り。 t=3 より前に点 A と点 B が少なくとも一度は接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{コ}$通り。
(d) 点 A が点( 0 , 1) と点( 1 , 1) を経由して点( 2 , 1) に移動する場合、 t= 3 で初めて点 A と点 B が接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{ケ}$通り。 t=3 より前に点 A と点 B が少なくとも一度は接触するような点 B の移動パタ ー ンは$\fbox{コ}$通り。
であるから、$P(3)=\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$である。

問題文全文(内容文)：
※図は動画内
( 2 )まず、図 2 の 9 つのマスに、縦、横、斜めにならんだ 3 つの数の和がいずれも等しくなるように、相異なる 1 ~ 9 の正の整数を 1 つずっ割り当てる。複数の割り当て方が考えられるが、その 1 つを選び割り当てるものとする。この 9 つの数を、図 3 に示すように 3 つのサイコロの展開図に書き写し、図 4のように 3 つのサイコロを作成する。サイコロは振ると、等しい確率で目(書き写した数)が出るものとする。いま、 2 人のプレ ー ヤ ー が 3 つのサイコロから異なるものを 1 つずつ選び、そのサイコロを振り、出た目が大きい方が勝っとする。あなたの対戦相手が9 を含むサイコロを選んだとき、あなたがこのゲ ー ムに、より高確率に勝っために選ぶべきサイコロは、$\fbox{エ}$を含むサイコロである。

問題文全文(内容文)：
※図は動画内
(1)図 1 の 9 つのマスに、縦、横、斜めにならんだ 3 つの数の積がいずれも等しくなるように、相異なる正の整数を 1 つずっ割り当てる。ただし、 4 と 9 は図 1 のように割り振られており、$\fbox{ア}く\fbox{イ}$となっているものとする。$\fbox{ア},\fbox{イ}\fbox{ウ}$に入る数を求めなさい。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)が
$f(x)=-2x^2\displaystyle \int_{0}^{ 1 } f(t) dt-12x+\dfrac{2}{9}\displaystyle \int_{-1}^{ 0 } f(t) dt

g(x)=\displaystyle \int_{0}^{ 1 } (3x^2+t)g(t)dt-\dfrac{3}{4}$
を満たしている。このとき
$f(x)=\fbox{ア}x^2-12x+\fbox{イ},g(x)=\fbox{ウ}x^2+\fbox{エ}$
である。またxy平面上のy=f(x)とy=g(x)のグラフの共通接戦は$y=\fbox{オ}x+\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$
である。なお、nを０または生の整数としたとき、$x^n$の不定積分は
$\displaystyle \int_{}^{}x^ndx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C(Cは積分定数)である。$

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{ 1 }}$(1)正の整数$\textit{m}$と$\textit{n}$の最大公約数を効率よく求めるには、$\textit{m}$を$\textit{n}$で割った時の余りを$\textit{r}$としたとき、$\textit{m}$と$\textit{n}$の最大公約数と$\textit{n}$と$\textit{r}$の最大公約数が等しいことを用いるとよい。たとえば、455と208の場合、次のように余りを求める計算を3回行うことで最大公約数13を求めることができる。\begin{eqnarray}
455÷208=2・・・39 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 208÷39=5・・・13\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 39÷13=3・・・0\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
このように余りを求める計算をして最大公約数を求める方法をユークリッドの互除法という。\\
\textrm{(a)}20711と15151の最大公約数は{\boxed{\ ア \ }}である。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
\textrm{(b)}100以下の正の整数mとn(ただしm \gt nとする)の最大公約数を\ \ \ \ \ \\\
ユークリッドの互除法を用いて求めるとき、\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
余りを求める計算の回数が最も多く必要になるのは\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
m={\boxed{\ イ \ }},n={\boxed{\ ウ \ }}のときである。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{6}}$まず、1期目の交渉案の分配値が$\textrm{A}$と$\textrm{B}$共に紛争で期待できる価値以上であれば、交渉案を受け入れ紛争を起こさず、期待できる価値未満であれば紛争を起こすものとすると、$\textrm{A}$は自らの分配値が$\displaystyle\frac{\boxed{ア}}{35}$以上であれば交渉案を受け入れ、$\textrm{B}$は$\textrm{A}$の分配値が1以下であれば交渉権を受け入れる。また紛争が起きた場合には、2期目と3期目に$\textrm{A}$と$\textrm{B}$が期待できる価値は1期目に期待できる価値と同一とする。\begin{eqnarray}\end{eqnarray}

もし1期目に交渉が妥結した場合は、2期目に改めて交渉が行われ、$\textrm{A}$の分配値が$\displaystyle\frac{\boxed{イ}}{35}$以上で$\displaystyle\frac{\boxed{ウ}}{35}$以下ならば、$\textrm{A}$と$\textrm{B}$ともに紛争で期待できる価値以上なので$\textrm{A}$と$\textrm{B}$ともに交渉案を受け入れ紛争を起こさず、そうでない場合には紛争を起こし、その場合には3期目に$\textrm{A}$と$\textrm{B}$が期待できる価値は2期目に期待できる価値と同一とする。\begin{eqnarray}\end{eqnarray}

もし2期目に交渉が妥結した場合は、3期目に改めて交渉が行われ、$\textrm{A}$の分配値が$\displaystyle\frac{\boxed{エ}}{35}$以上で$\displaystyle\frac{\boxed{オ}}{35}$以下ならば、$\textrm{A}$と$\textrm{B}$ともに紛争で期待できる価値以上なの$\textrm{A}$と$\textrm{B}$共に交渉案を受け入れ紛争を起こさず、\begin{eqnarray}\end{eqnarray}

以下では、各期において交渉が妥結した場合には、$\textrm{A}$の分配値は$\textrm{A}$と$\textrm{B}$共に受け入れられる$\textrm{A}$の分配値の上限値と下限値の中間に定まるものと仮定しよう。すると、$\textrm{A}$が得られると期待できる価値の3期分の合計は、3期すべてで交渉が妥協した場合$\displaystyle\frac{\boxed{カ}}{35}$となり、1期目に紛争が起きた場合$\displaystyle\frac{\boxed{キ}}{35}$であり、2期目に紛争が起きた場合$\displaystyle\frac{\boxed{ク}}{35}$であり、3期目に紛争が起きた場合$\displaystyle\frac{\boxed{ケ}}{35}$となる。\begin{eqnarray}\end{eqnarray}

また、紛争コストが$\textrm{A}$と$\textrm{B}$共に$\displaystyle\frac{2}{5}$に増加した場合、$\textrm{A}$が得られると期待できる価値の3期分の合計は、3期すべてで交渉が妥結した場合$\displaystyle\frac{\boxed{コ}}{70}$となり、1期目に紛争が起きた場合、$\displaystyle\frac{\boxed{サ}}{70}$であり、2期目に紛争が起きた場合$\displaystyle\frac{\boxed{シ}}{70}$となる。さらに、紛争コストが$\textrm{A}$と$\textrm{B}$共に$\displaystyle\frac{2}{5}$に増加し、問題となっている土地の価値が2期と3期で$\textrm{A}$と$\textrm{A}$共に2に増加したとすると、$\textrm{A}$が得られると期待できる価値の3期分の合計は、3期すべてで交渉が妥結した場合$\displaystyle\frac{\boxed{ス}}{70}$となり、1期目に紛争が起きた場合$\displaystyle\frac{\boxed{セ}}{70}$であり、2期目に紛争が起きた場合$\displaystyle\frac{\boxed{ソ}}{70}$となる。

問題文全文(内容文)：
※図は動画内
平面上でx座標もy座標も整数である点を格子点という。 m とnを正の整数とするとき、xy平面上に点 $P_{ij}$(i = 1 , 2 ,・・・,j=1,2,・・・,n)を格子点(i,j)に置く。次にこれらの点を囲むようにA ( 0.5 , 0.5 ), B ( m + 0.5 , 0.5 ), C ( m + 0.5 ,n+ 0.5 ),D ( 0.5 ,n+ 0.5 )を頂点とする長方形を描く。
長方形ABCD の内側に以下のように「軌道」を作図する。
l. $P_{ij}$の外周の点(i= 1 またはi= m またはj= 1 またはj=nの点)を選び、その点から 0.5 の距離だけはなれた長方形 ABCD 上の点を軌道の起点とし、基点の置かれた辺と 45°の角度をなす直線の軌道を長方形 ABCD 内に描く。
2. 軌道が長方形 ABCD の別の辺にぶつかった場合、軌道を直角に曲げる。この操作を繰り返すと、軌道はいずれ起点に戻るので、そこで描くのを停止すると、一筆書きで閉じた 1 つの軌道が得られる。
3.ステップ 1 と 2 で描いた軌道の内側にすべての点 $P_{i,j}$が含まれているようなら、作図を終了する。軌道の外にある点が残っている場合、まだ軌道の外にある外周の点 $P_{i,j}$ を選び、ステップ 1 以降の操作を繰り返す。すべての点 $P_{i,j}$を軌道内に納めるために必要な最小の軌道の数を T(m,n)と書くことにする。右の図は T(4,2)= 2 であることを示している。(異なる軌道を破線と点線で描き分けた)
(l) T ( 4 , 4 )は$\fbox{ア}$である。
( 2 ) T ( 15 , 5 )は$\fbox{イ}$である。
( 3 ) T ( 2023 , 1015 )は$\fbox{ウ}$である。
( 4 )下の 12 個の T ( m ,n)の値の最大値は$\fbox{エ}$であり、最大値を取るものが$\fbox{オ}$個ある。T(2,1), T(3, 2 ), T(8, 5 ), T(6, 3 ), T(9, 6 ), T ( 24 , 15 ), T ( 63 , 39 ), T ( 165 ,102 ),T ( 699 , 267 ), T ( 2961 ,1131), T ( 7752 , 4791) , T ( 32838 , 12543 )

問題文全文(内容文)：
※図は動画内
あるすごろくのゲ ー ムでは、 1 枚のコインを投げてその表裏でコマを前に進め、10 マス目のゴ ー ルを目指すものとする。
コマは、最初、 1 マス目のスタ ー トの位置にあり、コインを投げて表であれば 2マスだけコマを前に進め、裏であれば 1 マスだけコマを前に進める。ただし、 9マス目で表が出たために 10 マス目を超えて前に進めなくてはならなくなった場合には、ゴ ー ルできずにそこでゲ ー ムは終了するものとする。また、コインの表と裏は等しい確率で出るものとする。このとき、ある 1 回のゲ ー ムの中でnマス目(n= 1 , 2 ,・・・,10)にコマが止まる確率を$p_n$とすると,
$p_1=1,p_2=\frac{1}{2},p_3=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},p_4=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
である。
$p_n=\dfrac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}(\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}})^n$
である。またコマがコールしたとき、スタートからゴールするまでにコインを投げた回数は平均$\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$回である

問題文全文(内容文)：
実数$t \geq 0$に対して、関数 G(t) を次のように定義する。
$G(t)=\displaystyle \int_{t}^{ t+1 } |3x^2-8x-3|dx$
このとき、
(1)$0 \leqq t \lt \fbox{ア}$のときG(t)=$\fbox{イ}t^2+\fbox{ウ}t+\fbox{エ}$
(2)$\fbox{ア} \leqq t \lt \fbox{オ}$のとき$G(t)=\fbox{カ}t^3+\fbox{キ}t^2+\fbox{ク}t+\fbox{ケ}$
(3)$\fbox{オ} \leqq t$のとき$G(t)=\fbox{コ}t^2+\fbox{サ}t+\fbox{シ}$
である。また、G(t)が最小となるのは、$\dfrac{\fbox{ス}+\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$のときである。

問題文全文(内容文)：
整数nの正の約数の個数をd(n)と書くことにする。たとえば、 10 の正の約数は1 , 2 , 5 , 10 であるから d(10)= 4 である。
( 1 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=5となる数は$\fbox{ア}$個ある。
( 2 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=15となる数は$\fbox{イ}$個ある。
( 3 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n) が最大となるのは$n=\fbox{ウ}$のときである。

問題文全文(内容文)：
整数nの正の約数の個数をd(n)と書くことにする。たとえば、 10 の正の約数は1 , 2 , 5 , 10 であるから d(10)= 4 である。
( 1 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=5となる数は$\fbox{ア}$個ある。
( 2 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=15となる数は$\fbox{イ}$個ある。
( 3 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n) が最大となるのは$n=\fbox{ウ}$のときである。

問題文全文(内容文)：
太郎は 15 個の球を、花子は幻個の球を持っている。による球のやり取りを 2 人の間で繰り返す。こから始めて、次の手順による球のやり取りを 2 人の間で繰り返す。
【１】 2 個のさいころを同時に投げる。
【 2 】① 2 個とも奇数の目が出たら、太郎が花子に 1 個の球を渡す。
　　　② 2 個とも偶数の目が出たら、太郎が花子に 2 個の球を渡す。
　　　③奇数の目と偶数の目 1 個ずつ出たら、花子が太郎に 3 個の球を渡す。
この手順【１】,【 2 】によるやり取りを、 7 回繰り返す。その結果、太郎と花子の持つ球の個数について、以下の間いに答えなさい。
( 1 )太郎と花子が同数の球を持っている確率は$\dfrac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エオカキ}}$である。
( 2 )持っている球の数が、太郎と花子の 2 人とも最初と変わらない確率は$\dfrac{\fbox{クケコ}}{\fbox{サシスセ}}$である。
( 3 )太郎の持っている球の数が、花子の持っている球の数の半分である確率は$\dfrac{\fbox{ソタチ}}{\fbox{ツテトナ}}$である。

問題文全文(内容文)：
平面上に３点O,P_{1},P_{2}が、$|\overrightarrow{OP_{1}}|=\sqrt{6}$,$|\overrightarrow{OP_{2}}|=\dfrac{\sqrt{30}}{5}$,$\overrightarrow{OP_{1}}\bot\overrightarrow{OP_{2}}$となるように与えられている。また、点Oから直線$P_{1}P_{2}$との交点をHとする。さらに平面上に点$P_{3},P_{4},P_{5}$,・・・を、n=1,2,3,・・・に対し、点$P_{n+2}$が点$P_{n}$tと$点P_{n+1}$を結ぶ線分$P_{n}P_{n+1}$を4:1に内分するように定める。
(1)$\overrightarrow{OP_{1}}$と$\overrightarrow{OP_{2}}$を使って、$\overrightarrow{OH}$を表すと$\overrightarrow{OH}=\fbox{(ア)}$である。
(2)$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$を使って、$\overrightarrow{HP_{n}}$をnを用いた式で表すと$\overrightarrow{HP_{n}}=\fbox{(イ)}$である。
(3)ベクトルを使わずに、$\overrightarrow{|OP_{n}|^2}$をnを用いた式で表すと$\overrightarrow{|OP_{n}|^2}$である。

問題文全文(内容文)：
$a \gt 0,b \lt 0$とする。放物線C:$y=\dfrac{3}{2}x^2$上の点A(a,$\dfrac{3}{2}a^2$)と点B(b,$\dfrac{3}{2}b^2$)について、点Aと点Bにおける放物線の接線をそれぞれlとmで表し、その好転をPとする。
(1)lとmが直交するとき、交点Pのy座標は$-\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$である。
(2)a=2で、$\angle APB=\dfrac{\pi}{4}$とする。このとき、bの値は$-\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}$である。
(3)b=-aで、$\angle APB=\dfrac{\pi}{3}$とする。この時、aの値は$\dfrac{\sqrt{\fbox{カ}}}{\fbox{キ}}$である。また、PAを半径、$\angle APB$を中心角として扇形PABが定まる。この扇形は放物線Cによって２つの図形に分割され、大きい図形の面積と小さい図形の面積の差は$\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi-\dfrac{\fbox{コ}\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である。

問題文全文(内容文)：
( 3 ) I 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD において、辺 BD の中点を M 、辺 CD の中点を N とする。また、辺 AD 上に点 L を定め、 DL =xとする。このとき、$\triangle LMN$の面積が$\triangle ABC$の面積の$dfrac{1}{3}$になるのは$x=\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}+\dfrac{\sqrt{\fbox{サシ}}}{ス}$のときである。