問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　2変数関数の最大最小
$x,y$が$0 \leqq x \leqq 1,0 \leqq y \leqq 1$を
満たして変化するときの2変数関数
$f(x,y)=5xy-2(x+y)+1$
の最大値$M,$最小値$m$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　絶対値(第3回)
次の不等式を解け。
$|x+2|+|2x-1| \lt 4 $

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　相加相乗平均の関係
$a,b,c$を正の数とする。
(1)$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$を示せ。
(2)$ab+bc+ca=k$(定数)のとき、$abc$の最大値とその時の$a,b,c$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　絶対値(第2回)
次の方程式、不等式を解け。
(1)$|x+2|=-2x$　(2)$|x+2| \lt -2x$

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　整式の割り算
整式$P(x)$を$x+2$で割ると$3$余り、
$(x-1)^2$で割ると$-x+4$余る。$P(x)$を
$(x+2)(x-1)^2$で割った時の余りは?

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　絶対値(第1回)
次の方程式、不等式を解け。
(1)$|x+2|=3$　(2)$|x+2| \lt 3$　(3)$|x+2| \gt 3$

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　整式の割り算
$x^{100}+2x^{50}+3x^2+4$　を
$x^2+x+1$　で割った余りは?

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　方程式・不等式
次の方程式、不等式を解け。
(1)$ax=b$　　(2)$ax \gt b$

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　高次方程式
$\left\{\begin{array}{1}
a^3x+a^2y+az=1\\
b^3x+b^2y+bz=1\\
c^3x+c^2y+cz=1\\
\end{array}\right.$
を解け。

ただし、$a,b,c$は異なる数で$0$でない。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　数と式
$a+b=3,　ab=1$のとき、
$a^2+b^2,　a^3+b^3,　a^4+b^4,$
$a^5+b^5,　a^7+b^7$　を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　高次方程式
3次方程式$x^3-7x+n=0$　が
3つの整数解をもつように、
$n$の値を定めよ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　数と式
$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$
を因数分解せよ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$　高次方程式
3次方程式$x^3+ax+b=0$の
3つの解を$\alpha,\beta,\gamma$とし、
$t_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$
のとき、$at_5+bt_4$を$a,b$で表せ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　数と式
$\sqrt{3+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6}$
を簡単にせよ。

問題文全文(内容文)：
３回目の「わかった！」を目指して〜新入生へのメッセージ〜福田の数学・雑談編

問題文全文(内容文)：
なぜ答えを見ても賢くならないのか?

問題文全文(内容文)：
数学は答を見ても賢くなれなれません！
数学を勉強するとき、答を見ることと賢くなることとは一致しないことをお話しします。
なぜなのか？どうしたらいいのか？丁寧に解説します。

問題文全文(内容文)：
東京大学2021年度入試数学傾向と対策説明動画です

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$　座標平面上で、原点$O$を通り、$\overrightarrow{ u }=(\cos\theta,　 \sin\theta)$を方向ベクトルとする直線を
lとおく。ただし、$-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。

(1)$\theta \neq \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。直線lの法線ベクトルで、$y$成分が正であり、大きさが
1のベクトルを$\ \overrightarrow{ n }\ $とおく。点$P(1,1)$に対し、$\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ u }+t\ \overrightarrow{ n }$と表す。$a=\cos\theta,$
$b=\sin\theta$として、$s,t$のそれぞれを$a,b$についての1次式で表すと、$s=\boxed{\ \ テ\ \ },$
$t=\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
点$P(1,1)$から直線lに垂線を下ろし、直線$l$との交点を$Q$とする。ただし、点$P$
が直線$l$上にあるときは、点$Q$は$P$とする。以下では$-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。

(2)線分$PQ$の長さは、$\theta=\boxed{\ \ ナ\ \ }$のとき最大となる。
さらに、点$R(-3,1)$から直線$l$に垂線を下ろし、直線$l$との交点を$S$とする。
ただし、点$R$が直線$l$上にあるときは、点$S$は$R$とする。

(3)線分$QS$を$1:3$に内分する点を$T$とおく。$\theta$が$-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$を満たしながら
動くとき、点$T(x,y)$が描く軌跡の方程式は$\boxed{\ \ ニ\ \ }=0$である。

(4)$PQ^2+RS^2$の最大値は$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}\hspace{240pt}$
(1)$a$は$0 \lt a \leqq \displaystyle \frac{1}{2}$を満たす定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$a\left(x-\displaystyle \frac{x^2}{4}\right) \leqq \log(1+ax)$　が成り立つことを示しなさい。

(2)$b$を実数の定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$\log\left(1+\displaystyle \frac{1}{2}x\right) \leqq bx$
が成り立つような$b$の最小値は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

(3)$n$と$k$を自然数とし、$I(n,k)=\lim_{t \to +0}\int_0^{\displaystyle \frac{k}{n}}\displaystyle \frac{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}tx\right)}{t(1+x)}dx$
とおく。$I(n,k)$を求めると、$I(n,k)=\boxed{\ \ チ\ \ }$である。また
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI(n,k)=\boxed{\ \ ツ\ \ }$　である。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$　$n$を自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が
$2n+1$回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は
$n=2$の場合の例である。例$\textrm{a}$では、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を
終了した。例$\textrm{b}$では、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。

$\begin{array}{c|ccccc}
& 1回目 & 2回目 & 3回目 & 4回目 & 5回目\\
\hline 例\textrm{a} & ⚃ & ⚅ & ⚀ & ⚁ & ⚀\\
例\textrm{b} & ⚂ & ⚅ & ⚄ \\
\end{array}\hspace{100pt}$

この実験において、$A$を「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数$k$に対し
$B_k$を「5未満の目が出た回数がちょうど$k$である」事象とする。一般に、事象Cの
確率を$P(C),C$が起こったときの事象$D$が起こる条件付き確率を$P_C(D)$と表す。

(1)$n=1$のとき、$P(B_1)=\boxed{\ \ サ\ \ }$である。

(2)$n=2$のとき、$P_{B_{2}}(A)=\boxed{\ \ シ\ \ }$である。
以下、$n \geqq 1$とする。

(3)$P_{B_{k}}(A)=1$となる$k$の値の範囲は$0 \leqq k \leqq K_n$と表すことができる。この$K_n$を
$n$の式で表すと$K_n=\boxed{\ \ ス\ \ }$である。

(4)$p_k=P(A \cap B_k)$とおく。$0 \leqq k \leqq K_n$のとき、$p_k$を求めると$p_k=\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
また、$S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{K_n}kp_k$　とおくと$\lim_{n \to \infty}S_n=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$　(1)複素数$\alpha$は$\alpha^2+3\alpha+3=0$　を満たすとする。このとき、$(\alpha+1)^2(\alpha+2)^5=\boxed{\ \ キ\ \ }$
である。また、$(\alpha+2)^s(\alpha+3)^t=3$となる整数$s,t$の組を全て求めよ。

(2)多項式$(x+1)^3(x+2)^2$を$x^2+3x+3$で割った時の商は$\boxed{\ \ ク\ \ }$、余りは$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。
また、$(x+1)^{2021}$を$x^2+3x+3$で割った時の余りは$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　$t$を実数とし、座標平面上の直線$l:(2t^2-4t+2)x-(t^2+2)y+4t+2=0$
を考える。

(1)直線$l$は$t$の値によらず、定点を通る。その定点の座標は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。

(2)直線$l$の傾きを$f(t)$とする。$f(t)$の値が最小となるのは$t=\boxed{\ \ イ\ \ }$
のときであり、最大となるのは$t=\boxed{\ \ ウ\ \ }$のときである。また、
$a$を実数とするとき、$t$に関する方程式$f(t)=a$がちょうど1個の
実数解をもつような$a$の値を全て求めると、$a=\boxed{\ \ エ\ \ }$である。

(3)$t$が実数全体を動くとき、直線$l$が通過する領域を$S$とする。また$k$を
実数とする。放物線$y=\displaystyle \frac{1}{2}(x-k)^2+\displaystyle \frac{1}{2}(k-1)^2$が領域$S$と共有点
を持つような$k$の値の範囲は$\boxed{\ \ オ\ \ } \leqq k \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
ある大学には、多くの留学生が在籍している。この大学の留学生に対して学習や生活を支援する
留学生センターでは、留学生の日本語の学習状況について関心を寄せている。

(1)この大学では、留学生に対する授業として、いかに示す三つの日本語学習コースがある。
初級コース:1週間に10時間の日本語の授業を行う
中級コース:1週間に8時間の日本語の授業を行う
上級コース:1週間に6時間の日本語の授業を行う
すべての留学生が三つのコースのうち、いずれか一つのコースのみに登録する
ことになっている。留学生全体における各コースに登録した留学生の割合は、
それぞれ　初級コース:20％,　中級コース:35％,　上級コース:$\boxed{\ \ アイ\ \ }％$
であった。ただし、数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。
この留学生の集団において、一人を無作為に抽出したとき、その留学生が1週間に
受講する日本語学習コースの授業の時間数を表す確率変数をXとする。
$X$の平均(期待値)は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{2}$であり、$X$の分散は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{20}$である。

次に、留学生全体を母集団とし、$a$人を無作為に抽出した時、初級コースに登録した人数
を表す確率変数を$Y$とすると、$Y$は二項分布に従う。このとき、$Y$の平均$E(Y)$は

$E(Y)=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$

である。
また、上級コースに登録した人数を表す確率変数を$Z$とすると、$Z$は二項分布に従う。
$Y,Z$の標準偏差をそれぞれ$\delta(Y),\delta(Z)$とすると

$\displaystyle \frac{\delta(Z)}{\delta(Y)}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コサ\ \ }}}{\boxed{\ \ シ\ \ }}$

である。
ここで、$a=100$としたとき、無作為に抽出された留学生のうち、初級コースに
登録した留学生が28人以上となる確率を$p$とする。$a=100$は十分大きいので、
$Y$は近似的に正規分布に従う。このことを用いて$p$の近似値を求めると、
$p=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である。


$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$については。最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪$0.002$　①$0.023$　②$0.228$　③$0.477$　④$0.480$　⑤$0.977$


(2)40人の留学生を無作為に抽出し、ある1週間における留学生の日本語学習コース
以外の日本語の学習時間(分)を調査した。ただし、日本語の学習時間は母平均$m$,
母分散$\delta^2$の分布に従うものとする。
母分散$\delta^2$を$640$と仮定すると、標本平均の標準偏差は$\boxed{\ \ セ\ \ }$となる。
調査の結果、40人の学習時間の平均値は120であった。標本平均が近似的に
正規分布に従うとして、母平均$m$に対する信頼度95％の信頼区間を$C_1 \leqq m \leqq C_2$とすると
$C_1=\boxed{\ \ ソタチ\ \ }.\boxed{\ \ ツテ\ \ },　C_2=\boxed{\ \ トナニ\ \ }.\boxed{\ \ ヌネ\ \ }$
である。


(3)(2)の調査とは別に、日本語の学習時間を再度調査することになった。そこで、
50人の留学生を無作為に抽出し、調査した結果、学習時間の平均値は120であった。
母分散$\delta^2$を640と仮定したとき、母平均$m$に対する信頼度95％の信頼区間を
$D_1 \leqq m \leqq D_2$とすると、$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$が成り立つ。
一方、母分散$\delta^2$を960と仮定したとき、母平均$m$に対する信頼度95％の
信頼区間を$E_1 \leqq m \leqq E_2$とする。このとき、$D_2-D_1=E_2-E_1$と
なるためには、標本の大きさを50の$\boxed{\ \ ハ\ \ }.\boxed{\ \ ヒ\ \ }$倍にする必要がある。

$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群
⓪$D_1 \lt C_1$かつ$D_2 \lt C_2$　　①$D_1 \lt C_1$かつ$D_2 \gt C_2$
②$D_1 \gt C_1$かつ$D_2 \lt C_2$　　③$D_1 \gt C_1$かつ$D_2 \gt C_2$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
$O$を原点とする座標空間に2点$A(-1,2,0),　B(2,p,q)$がある。ただし、$q \gt 0$とする。
線分$AB$の中点$C$から直線$OA$に引いた垂線と直線$OA$の交点$D$は、線分$OA$を9:1に内分
するものとする。また、点$C$から直線$OB$に引いた垂線と直線$OB$の交点Eは、線分$OB$を$3:2$
に内分するものとする。

(1)点Bの座標を求めよう。
$|\overrightarrow{ OA }|^2=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また、$\overrightarrow{ OD }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\overrightarrow{ OA }$であることにより、
$\overrightarrow{ CD }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\overrightarrow{ OA }-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\overrightarrow{ OB }$と表される。$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ CD }$から
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ ケ\ \ }$　$\ldots$①
である。同様に、$\overrightarrow{ CE }$を$\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }$を用いて表すと、$\overrightarrow{ OB } \bot \overrightarrow{ CE }$から
$|\overrightarrow{ OB }|^2=20$　$\ldots$②
を得る。

①と②、および$q \gt 0$から、$B$の座標は$\left(2,　\boxed{\ \ コ\ \ },　\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$である。


(2)3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とし、点$(4,　4,　-\sqrt7)$を$G$とする。
また、$\alpha$上に点$H$を$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }$が成り立つようにとる。$\overrightarrow{ OH }$を
$\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }$を用いて表そう。
$H$が$\alpha$上にあることから、実数$s,t$を用いて
$\overrightarrow{ OH }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$
と表される。よって
$\overrightarrow{ GH }=\boxed{\ \ シ\ \ }\ \overrightarrow{ OG }+s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$
である。これと、$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }$および$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }$が成り立つことから、
$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }},　t=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}$が得られる。ゆえに
$\overrightarrow{ OH }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}\ \overrightarrow{ OB }$
となる。また、このことから、$H$は$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$であることがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪三角形$OAC$の内部の点
①三角形$OBC$の内部の点
②点$O,C$と異なる、線分$OC$上の点
③三角形$OAB$の周上の点
④三角形$OAB$の内部にも周上にもない点

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
[1]自然数$n$に対して、$S_n=5^n-1$とする。さらに、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から
第$n$項までの和が$S_n$であるとする。このとき、$a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また
$n \geqq 2$のとき
$a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}$
である。この式は$n=1$の時にも成り立つ。
上で求めたことから、すべての自然数$n$に対して
$\sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{1}{a_k}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)$
が成り立つことが分かる。

[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、
数学的に考えることにした。
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする。
$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする。
$n=1$のときは、下の図(※動画参照)のように$r_1=3$である。

また、$n=2ｎ4$ときは、下の図(※動画参照)のように$r_2=11$である。

(1)太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた。
$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする。$n=1$
のときは、$t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
さらに、太郎さんは$T_n$内の配置について、右下隅のタイルに注目して
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$t_n=Ar_n+Bt_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$A=\boxed{\ \ ケ\ \ },　B=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
以上から、$t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }$であることが分かる。
同様に、$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$C=\boxed{\ \ ス\ \ },　D=\boxed{\ \ セ\ \ }$である。

(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は$\boxed{\ \ ソタ\ \ }$である。
また、縦の長さが、横の長さがの長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、
敷き詰め方の総数は$\boxed{\ \ チツテ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
点$Z$を端点とする半直線$ZX$と半直線$ZY$があり、$0° \lt \angle XZY \lt 90°$とする。
また、$0° \lt \angle SZX \lt \angle XZY$かつ$0° \lt \angle SZY \lt \angle XZY$を満たす点$S$をとる。
点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円を作図したい。
円$O$を、次の$(Step\ 1)～(Step\ 5)$の手順で作図する。

手順
$(Step\ 1)　\angle XZY$の二等分線$l$上に点$C$をとり、下図(※動画参照)のように半直線$ZX$
と半直線$ZY$の両方に接する円$C$を作図する。また、円$C$と半直線$ZX$との接点を$D,$
半直線$ZY$との接点を$E$とする。
$(Step\ 2)$　円Cと直線$ZS$との交点の一つを$G$とする。
$(Step\ 3)$　半直線$ZX$上に点$H$を$DG//HS$を満たすようにとる。
$(Step\ 4)$　点$H$を通り、半直線$ZX$に垂直な直線を引き、$l$との交点を$O$とする。
$(Step\ 5)$　点$O$を中心とする半径$OH$の円$O$をかく。

(1)$(Step\ 1)～(Step\ 5)$の手順で作図した円$O$が求める円であることは、次の構想に
基づいて下のように説明できる。

構想:円$O$が点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円であることを
示すには、$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$が成り立つことを示せばよい。

作図の手順より、$\triangle ZDG$と$\triangle ZHS$との関係、および$\triangle ZDC$と$\triangle ZHO$との
関係に着目すると
$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}:\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
$DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}:\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$

であるから、$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$となる。
ここで、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$\angle CDG=\angle \boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$で
あるので、$\triangle CDG$と$\triangle \boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$との関係に着目すると、$CD=CG$より
$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$であることがわかる。
なお、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$DG=\boxed{\ \ キ\ \ }DC$となり、
$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$より$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である
ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$DH$　①$HO$　②$HS$　③$OD$　④$OG$
⑤$OS$　⑥$ZD$　⑦$ZH$　⑧$ZO$　⑨$ZS$

$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$の解答群
⓪$OHD$　①$OHG$　②$OHS$　③$ZDS$
④$ZHG$　⑤$ZHS$　⑥$ZOS$　⑦$ZCG$


(2)点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円は二つ作図できる。
特に、点$S$が$\angle XZY$の二等分線$l$上にある場合を考える。半径が大きい方の
円の中心を$O_1$とし、半径が小さい方の円の中心を$O_2$とする。また、円$O_2$と
半直線$ZY$が接する点を$I$とする。円$O_1$と半直線$ZY$が接する点を$J$とし、円$O_1$と
半直線$ZX$が接する点を$K$とする。
作図をした結果、円$O_1$の半径は$5$,　円$O_2$の半径は3であったとする。このとき、
$IJ=\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$である。さらに、円$O_1$と円$O_2$の接点$S$に
おける共通接線と半直線$ZY$との交点を$L$とし、
直線$LK$と円$O_1$との交点で点$K$とは異なる点を$M$とすると

$LM・LK=\boxed{\ \ サシ\ \ }$

である。
また、$ZI=\boxed{\ \ ス\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ セソ\ \ }}$であるので、直線$LK$と直線$l$との交点を$N$とすると

$\displaystyle \frac{LN}{NK}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }},　SN=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}$

である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,　a \geqq b \geqq c \geqq d \geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{\ \ ア\ \ },　\boxed{\ \ イ\ \ },　\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ })$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{\ \ オ\ \ }$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{\ \ カ\ \ }$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{\ \ キ\ \ }$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{\ \ クケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ },　\boxed{\ \ サ\ \ },　\boxed{\ \ シ\ \ })$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{\ \ オ\ \ }$個であるものの個数は$\boxed{\ \ ス\ \ }$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{\ \ セソタ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
二つの袋$A,B$と一つの箱がある。$A$の袋には赤球2個と白球1個が入っており、
$B$の袋には赤球3個と白球1個が入っている。また、箱には何も入っていない。

(1)$A,B$の袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。
$(\textrm{i})$箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}$である。

$(\textrm{ii})$箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すとき、取り出した球が赤球
である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$であり、取り出した球が赤球であったときに、
それが$B$の袋に入っていたものである条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサ\ \ }}$である。

(2)$A,B$の袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。
$(\textrm{i})$箱の中の4個の球のうち、ちょうど2個が赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である。
また、箱の中の4個の球のうち、ちょうど3個が赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$である。

$(\textrm{ii})$箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り出すとき、どちらの球も
赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ タチ\ \ }}{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}$である。また、取り出した2個の球がどちらも
赤球であったときに、それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたものである
条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ トナ\ \ }}{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}$である。

問題文全文(内容文)：
${\large第2問}$
[1]　$a$を実数とし、$f(x)=(x-a)(x-2)$とおく。また、$F(x)=\int_0^xf(t)dt$とする。

(1)$a=1$のとき、$F(x)はx=\boxed{\ \ ア\ \ }$で極小になる。

(2)$a=\boxed{\ \ イ\ \ }$のとき、$F(x)$は常に増加する。また、$F(0)=\boxed{\ \ ウ\ \ }$
であるから、$a=\boxed{\ \ イ\ \ }$のとき、$F(2)$の値は$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$の解答群
⓪0　①正　②負

(3)$a \gt \boxed{\ \ イ\ \ }$とする。
bを実数とし、$G(x)=\int_b^xf(t)dt$とおく。

関数$y=G(x)$のグラフは、$y=F(x)$のグラフを$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$方向に
$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$だけ平行移動したものと一致する。また、$G(x)はx=\boxed{\ \ キ\ \ }$
で極大になり、$x=\boxed{\ \ ク\ \ }$で極小になる。
$G(b)=\boxed{\ \ ケ\ \ }$であるから、$b=\boxed{\ \ キ\ \ }$のとき、曲線$y=G(x)$と
$x$軸との共有点の個数は$\boxed{\ \ コ\ \ }$個である。


$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪$x$軸　①$y$軸

$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$の解答群
⓪$b$　①$-b$　②$F(b)$
③$-F(b)$　④$F(-b)$　⑤$-F(-b)$


[2]　$g(x)=|x|(x+1)$とおく。

点$P(-1,0)$を通り、傾きが$c$の直線を$l$とする。$g'(-1)=\boxed{\ \ サ\ \ }$
であるから、$0 \lt c \lt \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき、曲線$y=g(x)$と直線$l$は3点
で交わる。そのうちの1点は$P$であり、残りの2点を点$P$に近い方から順に
$Q,R$とすると、点$Q$の$x$座標は$\boxed{\ \ シス\ \ }$であり、点$R$の$x$座標は
$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。

また、$0 \lt c \lt \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき、線分$PQ$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の
面積を$S$とし、線分$QR$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とすると
$S=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }c^3+\boxed{\ \ タ\ \ }c^2-\boxed{\ \ チ\ \ }c+1}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$

$T=c^{\boxed{テ}}$
である。

2021共通テスト過去問