福田次郎
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福田の一夜漬け数学〜積分・面積と体積〜切ってから回転その２（受験編）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 空間内に3点$P\left(1,\displaystyle \frac{1}{2},0\right),$$Q\left(1,-\displaystyle \frac{1}{2},0\right),$$R\left(\displaystyle \frac{1}{4},0,\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}\right)$を頂点とする
正三角形の板$S$がある。$S$を$z$軸のまわりに1回転させたとき、$S$が
通過する点全体の作る立体の面積を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 空間内に3点$P\left(1,\displaystyle \frac{1}{2},0\right),$$Q\left(1,-\displaystyle \frac{1}{2},0\right),$$R\left(\displaystyle \frac{1}{4},0,\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}\right)$を頂点とする
正三角形の板$S$がある。$S$を$z$軸のまわりに1回転させたとき、$S$が
通過する点全体の作る立体の面積を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜積分・面積と体積〜切ってから回転その１（受験編）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 空間内の2点A(1,0,0),B(0,1,1)を結ぶ線分ABをz軸のまわりに
1回転してできる曲面と2平面z=0,z=1とで囲まれた立体の体積
を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 空間内の2点A(1,0,0),B(0,1,1)を結ぶ線分ABをz軸のまわりに
1回転してできる曲面と2平面z=0,z=1とで囲まれた立体の体積
を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(10)〜最短経路（後編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 図のような道路がある。(※動画参照)地点AからBまで
最短経路を進むとき道順は何通りあるか。
${\Large\boxed{2}}$ 図のような道路がある。(※動画参照)地点AからBまで
最短経路を進むとき道順は何通りあるか。
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${\Large\boxed{1}}$ 図のような道路がある。(※動画参照)地点AからBまで
最短経路を進むとき道順は何通りあるか。
${\Large\boxed{2}}$ 図のような道路がある。(※動画参照)地点AからBまで
最短経路を進むとき道順は何通りあるか。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(9)〜最短経路（前編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 図のような道路がある。(※動画参照)地点AからBまで
最短経路を進むとき道順は何通りあるか。
(1)すべての道順。
(2)地点Qを通る道順。
(3)地点P,Qを両方通る道順。
(4)地点P,Qを両方通らない道順。
(5)曲がる回数が3回の道順。
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${\Large\boxed{1}}$ 図のような道路がある。(※動画参照)地点AからBまで
最短経路を進むとき道順は何通りあるか。
(1)すべての道順。
(2)地点Qを通る道順。
(3)地点P,Qを両方通る道順。
(4)地点P,Qを両方通らない道順。
(5)曲がる回数が3回の道順。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(8)〜整数解の個数
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 次の式を満たす整数の組($x,y,z$)の個数を求めよ。
(1)$x+y+z=9$ ($x,y,z$は$0$以上の整数)
(2)$x+y+z=9$ ($x,y,z$は自然数)
(3)$x+y+z \leqq 9$ ($x,y,z$は$0$以上の整数)
(4)$x+y+z \leqq 9$ ($x \geqq 1,y \geqq 0,z \geqq 0$)
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${\Large\boxed{1}}$ 次の式を満たす整数の組($x,y,z$)の個数を求めよ。
(1)$x+y+z=9$ ($x,y,z$は$0$以上の整数)
(2)$x+y+z=9$ ($x,y,z$は自然数)
(3)$x+y+z \leqq 9$ ($x,y,z$は$0$以上の整数)
(4)$x+y+z \leqq 9$ ($x \geqq 1,y \geqq 0,z \geqq 0$)
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(7)〜組み分け（応用編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 6個の玉を3個の箱に入れる。次の時の分け方は何通りか。
(1)空箱を許し、玉に区別なし、箱に区別なし。
(2)空箱を許さず、玉に区別なし、箱に区別なし。
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${\Large\boxed{1}}$ 6個の玉を3個の箱に入れる。次の時の分け方は何通りか。
(1)空箱を許し、玉に区別なし、箱に区別なし。
(2)空箱を許さず、玉に区別なし、箱に区別なし。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(6)〜組み分け（基本編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$
(1)9人を3人ずつA,B,Cの3組に分ける方法は何通りあるか。
(2)9人を3人ずつの3組に分ける方法は何通りあるか。
(3)9人を5人と4人の2組に分ける方法は何通りあるか。
(4)9人を5人,2人,2人の3組に分ける方法は何通りあるか。
${\Large\boxed{2}}$
(1)9人を2つの部屋A,Bに分けて入れる方法は何通りあるか。
ただし空室ができないようにする。
(2)9人を2組に分ける方法は何通りあるか。
(3)9人を3つの部屋A,B,Cに分けて入れる方法は何通りあるか。
ただし、空室ができないようにする。
(4)9人を3組に分ける方法は何通りあるか。
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${\Large\boxed{1}}$
(1)9人を3人ずつA,B,Cの3組に分ける方法は何通りあるか。
(2)9人を3人ずつの3組に分ける方法は何通りあるか。
(3)9人を5人と4人の2組に分ける方法は何通りあるか。
(4)9人を5人,2人,2人の3組に分ける方法は何通りあるか。
${\Large\boxed{2}}$
(1)9人を2つの部屋A,Bに分けて入れる方法は何通りあるか。
ただし空室ができないようにする。
(2)9人を2組に分ける方法は何通りあるか。
(3)9人を3つの部屋A,B,Cに分けて入れる方法は何通りあるか。
ただし、空室ができないようにする。
(4)9人を3組に分ける方法は何通りあるか。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(5)〜円順列（後編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$
(1)赤玉4個,黄玉2個,白玉1個を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)赤玉4個,黄玉2個,白玉1個を紐に通して数珠を作る方法は何通りあるか。
${\Large\boxed{2}}$
(1)赤玉4個,黄玉2個,白玉2個を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)赤玉4個,黄玉2個,白玉2個を紐に通して数珠を作る方法は何通りあるか。
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${\Large\boxed{1}}$
(1)赤玉4個,黄玉2個,白玉1個を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)赤玉4個,黄玉2個,白玉1個を紐に通して数珠を作る方法は何通りあるか。
${\Large\boxed{2}}$
(1)赤玉4個,黄玉2個,白玉2個を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)赤玉4個,黄玉2個,白玉2個を紐に通して数珠を作る方法は何通りあるか。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(4)〜円順列（前編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 8人が円形のテーブルに座るとき
(1)特定の2人が隣り合う並び方は何通りか。
(2)特定の2人が向かい合う並び方は何通りか。
${\Large\boxed{2}}$ 8人が次のようなテーブルに座る方法は何通りか。
(1)正方形のテーブル。各辺に2人ずつ座る。
(2)長方形のテーブル。長辺に3人、短辺に1人座る。
${\Large\boxed{3}}$ 立方体の6面に色を塗る。隣り合う面には違う色を塗る。
(1)6色で塗り分ける方法は何通りあるか。
(2)5色で塗り分ける方法は何通りあるか。
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${\Large\boxed{1}}$ 8人が円形のテーブルに座るとき
(1)特定の2人が隣り合う並び方は何通りか。
(2)特定の2人が向かい合う並び方は何通りか。
${\Large\boxed{2}}$ 8人が次のようなテーブルに座る方法は何通りか。
(1)正方形のテーブル。各辺に2人ずつ座る。
(2)長方形のテーブル。長辺に3人、短辺に1人座る。
${\Large\boxed{3}}$ 立方体の6面に色を塗る。隣り合う面には違う色を塗る。
(1)6色で塗り分ける方法は何通りあるか。
(2)5色で塗り分ける方法は何通りあるか。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(3)〜一列に並べる（後編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 6個の文字A,A,A,B,B,Cがある。
(1)6個全部を一列に並べるとき、並び方は何通りあるか。
(2)6個全部を一列に並べるとき、ABの順で隣り合って
並ぶものが1個だけである並べ方は何通りあるか。
(3)4文字を選んで一列に並べる方法は何通りあるか。
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${\Large\boxed{1}}$ 6個の文字A,A,A,B,B,Cがある。
(1)6個全部を一列に並べるとき、並び方は何通りあるか。
(2)6個全部を一列に並べるとき、ABの順で隣り合って
並ぶものが1個だけである並べ方は何通りあるか。
(3)4文字を選んで一列に並べる方法は何通りあるか。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(2)〜一列に並べる（前編）
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ A,B,C,D,E,F,Gを一列に並べる。
(1)AとBが両端にくるような並び方は何通りあるか。
(2)A,B,Cが隣り合うような並び方は何通りあるか。
(3)A,B,Cが隣り合わないような並び方は何通りあるか。
(4)A,B,Cがこの順に並ぶような並び方は何通りあるか。
(5)この順列を辞書順に並べたとき、CBFDAGEは何番目か。
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${\Large\boxed{1}}$ A,B,C,D,E,F,Gを一列に並べる。
(1)AとBが両端にくるような並び方は何通りあるか。
(2)A,B,Cが隣り合うような並び方は何通りあるか。
(3)A,B,Cが隣り合わないような並び方は何通りあるか。
(4)A,B,Cがこの順に並ぶような並び方は何通りあるか。
(5)この順列を辞書順に並べたとき、CBFDAGEは何番目か。
福田の一夜漬け数学〜順列・組合せ(1)〜4桁の数の個数
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $0,1,2,3,4,5,6$から4個の数を選んで4桁の数を作る。
最高位の数から順に$a_1,a_2,a_3,a_4$とする。
異なる4個の数を選ぶとき
(1)何個の数ができるか。
(2)偶数は何個できるか。
(3)5の倍数は何個できるか。
(4)3の倍数は何個できるか。
(5)6の倍数は何個できるか。
(6)$a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4$となる個数。
同じ数を何回用いてもよいとき
(7)何個の数ができるか。
(8)偶数は何個できるか。
(9)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる個数。
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${\Large\boxed{1}}$ $0,1,2,3,4,5,6$から4個の数を選んで4桁の数を作る。
最高位の数から順に$a_1,a_2,a_3,a_4$とする。
異なる4個の数を選ぶとき
(1)何個の数ができるか。
(2)偶数は何個できるか。
(3)5の倍数は何個できるか。
(4)3の倍数は何個できるか。
(5)6の倍数は何個できるか。
(6)$a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4$となる個数。
同じ数を何回用いてもよいとき
(7)何個の数ができるか。
(8)偶数は何個できるか。
(9)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる個数。
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜京都大学の問題に挑戦
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $w$を$0$でない複素数、$x,y$を$w+\displaystyle \frac{1}{w}=x+yi$を満たす実数とする。
(1)実数$R$は$R \gt 1$を満たす定数とする。$w$が絶対値$R$の複素数
全体を動くとき、$xy$平面上の点$(x,\ y)$の軌跡を求めよ。
(2)実数$\alpha$は$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする。$w$が偏角$\alpha$の複素数
全体を動くとき、$xy$平面上の点$(x,\ y)$の軌跡を求めよ。
京都大学過去問
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${\Large\boxed{1}}$ $w$を$0$でない複素数、$x,y$を$w+\displaystyle \frac{1}{w}=x+yi$を満たす実数とする。
(1)実数$R$は$R \gt 1$を満たす定数とする。$w$が絶対値$R$の複素数
全体を動くとき、$xy$平面上の点$(x,\ y)$の軌跡を求めよ。
(2)実数$\alpha$は$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする。$w$が偏角$\alpha$の複素数
全体を動くとき、$xy$平面上の点$(x,\ y)$の軌跡を求めよ。
京都大学過去問
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜|z|, arg zの範囲
単元：
#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 点$z$が、$|z+3-\sqrt3i|$$=\sqrt2|z$$+2-\sqrt3i|$ を満たしながら動く。
このとき、$|z|$の値の範囲と$z$の偏角$\theta$の範囲を求めよ。
ただし、$0 \leqq \theta \lt 2\pi$ とする。
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${\Large\boxed{1}}$ 点$z$が、$|z+3-\sqrt3i|$$=\sqrt2|z$$+2-\sqrt3i|$ を満たしながら動く。
このとき、$|z|$の値の範囲と$z$の偏角$\theta$の範囲を求めよ。
ただし、$0 \leqq \theta \lt 2\pi$ とする。
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜三角形の形状(3)
単元：
#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 異なる3点$A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$が
$3\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-3\alpha\beta$$+\beta\gamma$$-3\alpha\gamma$$=0$
を満たす。$\triangle ABC$はどのような三角形か。
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${\Large\boxed{1}}$ 異なる3点$A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$が
$3\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-3\alpha\beta$$+\beta\gamma$$-3\alpha\gamma$$=0$
を満たす。$\triangle ABC$はどのような三角形か。
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜三角形の形状(2)
単元：
#複素数平面#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 異なる3点$A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$が
$\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0$
を満たす。$\triangle ABC$はどのような三角形か。
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${\Large\boxed{1}}$ 異なる3点$A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$が
$\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0$
を満たす。$\triangle ABC$はどのような三角形か。
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜三角形の形状(1)
単元：
#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 異なる3点$O(0),A(\alpha),B(\beta)$が
$\alpha^2-2\alpha\beta+4\beta^2=0$を満たすとき、
$\triangle OAB$はどのような三角形か。
${\Large\boxed{2}}$ $\alpha=2i,$ $\beta=-\sqrt3+7i,$ $\gamma=\sqrt3+4i$ を表す点を
それぞれ$A,B,C$とするとき、$\triangle ABC$の形状を述べよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 異なる3点$O(0),A(\alpha),B(\beta)$が
$\alpha^2-2\alpha\beta+4\beta^2=0$を満たすとき、
$\triangle OAB$はどのような三角形か。
${\Large\boxed{2}}$ $\alpha=2i,$ $\beta=-\sqrt3+7i,$ $\gamma=\sqrt3+4i$ を表す点を
それぞれ$A,B,C$とするとき、$\triangle ABC$の形状を述べよ。
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜点の軌跡(2)
単元：
#数Ⅱ#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 点$z$が原点中心、半径1の円周上を動くとき、次の条件を満たす
点$w$はどのような図形を描くか。
(1)$w=2iz+1$
(2)$w=\displaystyle \frac{3z-2i}{z-2}$
${\Large\boxed{2}}$ $\displaystyle \frac{z}{z^2+1}$が実数となるように$z$が動くとき、
点$z$はどのような図形を描くか。
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${\Large\boxed{1}}$ 点$z$が原点中心、半径1の円周上を動くとき、次の条件を満たす
点$w$はどのような図形を描くか。
(1)$w=2iz+1$
(2)$w=\displaystyle \frac{3z-2i}{z-2}$
${\Large\boxed{2}}$ $\displaystyle \frac{z}{z^2+1}$が実数となるように$z$が動くとき、
点$z$はどのような図形を描くか。
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜点の軌跡(1)
単元：
#数Ⅱ#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
点zが次の方程式を満たすとき、点zはどのような図形を描くか。
(1)$|z-1|=|z+i|$
(2)$|2z-1-i|=4$
(3)$|2\bar{z}-1+i|=4$
(4)|$z+2|=2|z-1|$
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点zが次の方程式を満たすとき、点zはどのような図形を描くか。
(1)$|z-1|=|z+i|$
(2)$|2z-1-i|=4$
(3)$|2\bar{z}-1+i|=4$
(4)|$z+2|=2|z-1|$
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜ド・モアブルの定理(4)早稲田大学の問題に挑戦
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#数列#漸化式#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複素数$z_n (n=1,2,3\cdots)$が次の式を満たしている。
$z_1=1,\ z_2=\displaystyle \frac{1}{2},$ 複素数の積$z_nz_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\displaystyle \frac{1+\sqrt3i}{2}\right)^{n-1}$
このとき、$S=z_1+z_2+z_3+\cdots\cdots+z_{2002}$を求めよ。
早稲田大学過去問
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複素数$z_n (n=1,2,3\cdots)$が次の式を満たしている。
$z_1=1,\ z_2=\displaystyle \frac{1}{2},$ 複素数の積$z_nz_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\displaystyle \frac{1+\sqrt3i}{2}\right)^{n-1}$
このとき、$S=z_1+z_2+z_3+\cdots\cdots+z_{2002}$を求めよ。
早稲田大学過去問
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜ド・モアブルの定理(3)
単元：
#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
①$z^4=-8+8\sqrt3i$ を解け。
②$z=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}i$ のとき、$(1+\sqrt3i)z^n+2i=0$
を満たす最小の自然数$n$を求めよ。
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①$z^4=-8+8\sqrt3i$ を解け。
②$z=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}i$ のとき、$(1+\sqrt3i)z^n+2i=0$
を満たす最小の自然数$n$を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜ド・モアブルの定理(2)
単元：
#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\alpha=\cos\displaystyle \frac{\pi}{10}+i\sin\displaystyle \frac{\pi}{10}$ のとき次の値を求めよ。
(1)$\alpha^{19}+\alpha^{18}+\alpha^{17}+\cdots+\alpha+1$
(2)$\alpha^{19}\alpha^{18}\alpha^{17}\cdots\alpha^2\alpha$
(3)$(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)$$\cdots$$(1-\alpha^{19})$
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$\alpha=\cos\displaystyle \frac{\pi}{10}+i\sin\displaystyle \frac{\pi}{10}$ のとき次の値を求めよ。
(1)$\alpha^{19}+\alpha^{18}+\alpha^{17}+\cdots+\alpha+1$
(2)$\alpha^{19}\alpha^{18}\alpha^{17}\cdots\alpha^2\alpha$
(3)$(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)$$\cdots$$(1-\alpha^{19})$
福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜ド・モアブルの定理(1)
単元：
#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$z+\displaystyle \frac{1}{z}=-1$ のとき $z^{100}+\displaystyle \frac{1}{z^{100}}$ の値を求めよ。
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$z+\displaystyle \frac{1}{z}=-1$ のとき $z^{100}+\displaystyle \frac{1}{z^{100}}$ の値を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜折れ線の最小(4)〜受験編、一橋大学の問題に挑戦！
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 点$O$を中心とする半径$r$の円周上に、2点$A,B$を$\angle AOB \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$となる
ようにとり、$\theta=\angle AOB$とおく。線分$AB$上に点$D$をとる。また、
点$P$は線分$OA$上を、点$Q$は線分$OB$上を動く。
(1)$a=OD$とおく。$DP+PQ+QD$の最小値を$a$と$\theta$で表せ。
(2)さらに点$D$が線分$AB$上を動くときの
$DP+PQ+QD$の最小値を$r$と$\theta$で表せ。
一橋大学過去問
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${\Large\boxed{1}}$ 点$O$を中心とする半径$r$の円周上に、2点$A,B$を$\angle AOB \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$となる
ようにとり、$\theta=\angle AOB$とおく。線分$AB$上に点$D$をとる。また、
点$P$は線分$OA$上を、点$Q$は線分$OB$上を動く。
(1)$a=OD$とおく。$DP+PQ+QD$の最小値を$a$と$\theta$で表せ。
(2)さらに点$D$が線分$AB$上を動くときの
$DP+PQ+QD$の最小値を$r$と$\theta$で表せ。
一橋大学過去問
福田の一夜漬け数学〜折れ線の最小(3)〜受験編、東大の問題に挑戦！
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}} \triangle ABC$は一辺の長さが2の正三角形である。点Aから発射された
光線は$\triangle ABC$の各辺にぶつかるたびに反射する。このとき、入射角
と反射角は等しい。この光線は$\triangle ABC$のどれかの頂点にぶつかると
そこで吸収されてしまう。今、Aから傾き$\displaystyle \frac{\sqrt3}{6}$
で発射された光線は何回か反射した後、どこかの
頂点に吸収された。さて、何回反射し、どの頂点に吸収されたのか。
東京大学過去問
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${\Large\boxed{1}} \triangle ABC$は一辺の長さが2の正三角形である。点Aから発射された
光線は$\triangle ABC$の各辺にぶつかるたびに反射する。このとき、入射角
と反射角は等しい。この光線は$\triangle ABC$のどれかの頂点にぶつかると
そこで吸収されてしまう。今、Aから傾き$\displaystyle \frac{\sqrt3}{6}$
で発射された光線は何回か反射した後、どこかの
頂点に吸収された。さて、何回反射し、どの頂点に吸収されたのか。
東京大学過去問
福田の一夜漬け数学〜折れ線の最小(2)〜受験編
単元：
#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 点$A(1,2,4)$を通り、ベクトル$\ \overrightarrow{ n }=(-3,1,2)$に垂直な平面を$\alpha$とする。
平面$\alpha$に関して同じ側に2点$\ P(-2,1,7),Q(1,3,7)$がある。
平面$\alpha$上の点で、$PS+QS$を最小にする点$S$の座標と最小値を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 点$A(1,2,4)$を通り、ベクトル$\ \overrightarrow{ n }=(-3,1,2)$に垂直な平面を$\alpha$とする。
平面$\alpha$に関して同じ側に2点$\ P(-2,1,7),Q(1,3,7)$がある。
平面$\alpha$上の点で、$PS+QS$を最小にする点$S$の座標と最小値を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜折れ線の最小(1)〜受験編
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 平面上に2点$A(-2,2),B(2,6)$がある。直線$l:y=2x$上の動点$P$で
$AP+PB$が最小となるような点$P$の座標とその最小値を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 平面上に2点$A(7,2),B(2,8)$がある。$x$軸上の動点$P$、$y$軸上の
動点$Q$で、$AP+PQ+QB$が最小となる点$P$、$Q$の座標とそのときの
最小値を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 平面上に2点$A(-2,2),B(2,6)$がある。直線$l:y=2x$上の動点$P$で
$AP+PB$が最小となるような点$P$の座標とその最小値を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 平面上に2点$A(7,2),B(2,8)$がある。$x$軸上の動点$P$、$y$軸上の
動点$Q$で、$AP+PQ+QB$が最小となる点$P$、$Q$の座標とそのときの
最小値を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜２次関数・異なる実数解の個数〜高校1年生
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}} k$は定数。方程式$|x^2-x-2|=k$ の異なる実数解の
個数を調べよ。
${\Large\boxed{2}} k$は定数。方程式$|x^2-x-2|=2x+k$ の異なる実数解の
個数を調べよ。
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${\Large\boxed{1}} k$は定数。方程式$|x^2-x-2|=k$ の異なる実数解の
個数を調べよ。
${\Large\boxed{2}} k$は定数。方程式$|x^2-x-2|=2x+k$ の異なる実数解の
個数を調べよ。
福田の一夜漬け数学〜２次関数・解の存在範囲(3)少なくとも１つ〜高校1年生
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}} x^2+(2-m)x+4$$-2m$$=0$ が$-1 \lt x \lt 1$の範囲に少なくとも
1つ解をもつようなmの値の範囲を求めよ。
${\Large\boxed{2}} x^2+(2-m)x+4$$-2m$$=0$ が$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲に少なくとも
1つ解をもつような$m$の値の範囲を求めよ。
(数学$\textrm{II}$の内容)
${\Large\boxed{3}}$ 実数$m$が$1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき
直線$y=2mx+m^2$ の通過する範囲を図示せよ。
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${\Large\boxed{1}} x^2+(2-m)x+4$$-2m$$=0$ が$-1 \lt x \lt 1$の範囲に少なくとも
1つ解をもつようなmの値の範囲を求めよ。
${\Large\boxed{2}} x^2+(2-m)x+4$$-2m$$=0$ が$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲に少なくとも
1つ解をもつような$m$の値の範囲を求めよ。
(数学$\textrm{II}$の内容)
${\Large\boxed{3}}$ 実数$m$が$1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき
直線$y=2mx+m^2$ の通過する範囲を図示せよ。
福田の一夜漬け数学〜２次関数・解の存在範囲(2)〜高校1年生
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}} x^2+2mx-2m+3=0$ が次のような解をもつとき、定数
$m$の値の範囲を求めよ。
(1)2つの解がともに2より大
(2)2つの解がともに2と4の間
${\Large\boxed{2}} x^2+(m-1)x-$$m^2$$+2$$=0$ の1つの解が-2と0の間、
他の解が0と1の間にあるときのmの値の範囲は?
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${\Large\boxed{1}} x^2+2mx-2m+3=0$ が次のような解をもつとき、定数
$m$の値の範囲を求めよ。
(1)2つの解がともに2より大
(2)2つの解がともに2と4の間
${\Large\boxed{2}} x^2+(m-1)x-$$m^2$$+2$$=0$ の1つの解が-2と0の間、
他の解が0と1の間にあるときのmの値の範囲は?