ますただ

大学入試問題#23　東北大学(2020)　三角関数

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

y = \sin x

の2つの接線が直交するとき
その交点の

y

座標の値をすべて求めよ。

出典：2020年東北大学　入試問題

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【問題の詳細は概要欄，誘導あり】大学入試問題#22　千葉大学(2020)　数列

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 3, a_{2} = 2

n ≧ 2

のとき

a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n} - 1

（1）

n ≧ 2

のとき

a_{n + 1} = (a_{1} ・ a_{2} ・ ・ ・ a_{n}) - 1

を示せ

（2）

\sum_{i = 1}^{n} (a_{1})^{2} = a_{1} a_{2} ・ ・ ・ a_{n} + 100

をみたす自然数

n

を求めよ。

出典：2020年千葉大学　入試問題

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大学入試問題#21　千葉大学(2020)　tanの定積分

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
（1）

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{n} θ d θ + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{n + 2} θ d θ

を

n

の式で表せ

（2）

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{7} θ d θ

を求めよ。

出典：2020年千葉大学　入試問題

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大学入試問題#20　群馬大医学部(2020)　対数，領域

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 < x < 1, 0 < y < 1

(l o g_{x} y)^{2} + l o g_{y} \frac{x^{3}}{y^{4}} ≦ 0

の表す領域を

x y

平面上に図示せよ。

出典：2020年群馬大学医学部　入試問題

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大学入試問題#19　京都大学(2020)　定積分

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{\cos^{2} x} d x

を計算せよ。

出典：2020年京都大学　入試問題

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大学入試問題#18　東北大学(2020)　数列

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1, a_{2} = 3

a_{n + 2} a_{n} = 2 a_{n + 1}^{2}

のとき
一般項

a_{n}

を求めよ。

出典：2020年東北大学　入試問題

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大学入試問題#17　埼玉大学(2021)　解と係数の関係

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} - k x + \frac{5}{2} = 0

の実数解

α, β, (α < β)

は

(α - 3)^{2} + (β - 3)^{2} = 8

をみたす。

k, α, β

の値を求めよ。

出典：2020年埼玉大学　入試問題

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大学入試問題#16　埼玉大学(2020)　式変形

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
実数

x, y

が

(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 8

を満たすとき

x + y, x y

のとりうる値の範囲を求めよ。

出典：2020年埼玉大学　入試問題

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大学入試問題#15　慶應義塾大学(2021)　整数問題

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a, b, c, d :

正の整数

a^{3} = b^{2}

c^{3} = d^{2}

c - a = 9

のとき

a, b, c, d

の値を求めよ。

出典：2021年慶應義塾大学　入試問題

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【誘導あり　概要欄】14滋賀県教員採用試験（数学：4番　微分方程式）

単元：
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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f^{'} (x) :

連続

g (x) = \int_{0}^{x} (x - t) f^{'} (t) d t

f^{'} (x) - 1 = g^{'} (x) - g " (x)

f (0) = 1

をみたすとき
（1）

g^{'} (x) = f (x) - 1

を示せ
（2）

f (x), g (x)

を求めよ

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大学入試問題#14　津田塾大学(2021)　微積の応用

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ \frac{π}{x}

f (x) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin | x - t | d t

の最小値、最大値を求めよ。

出典：2021年津田塾大学　入試問題

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大学入試問題#13　自治医科大学(2021)　対数と整数問題

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x, y :

自然数

1 + l o g_{x} (y - 2) = 4 l o g_{x^{2}} 2 + 3 l o g_{x^{3}} (y + 6)

が成り立つとき

| x - y |

の最小値を求めよ。

出典：2021年自治医科大学　入試問題

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大学入試問題#12　獨協大学(2021)　数列

単元： #数列#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

s_{n} = 2 a_{n} - 3 n

一般項

a_{n}

を求めよ。

出典：2021年獨協大学　入試問題

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大学入試問題#11　北里大学（医）　2021　整数問題

単元： #数A#整数の性質#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x, y, z, w :

自然数

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{2 z} + \frac{1}{3 w} = \frac{7}{3}

・・・＊
（1）

x

のとり得る値を求めよ。

（2）

x = y = 1

のとき$$

（3）

x y z w

の値を最大にする組

(x, y, z, w)

を求めよ。

出典：2021年北里大学医学部　入試問題

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03愛知県教員採用試験（数学：9番　整数問題）

単元： #数A#整数の性質#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

5 x + 3 y = 521

をみたす自然数

x, y

の組の個数を求めよ。

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01愛知県教員採用試験（数学：14番　複素数）

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

w, z :

複素数

| w | = 1

のとき

w = \bar{(z - 3) i}

をみたす

z

の軌跡を求めよ。

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大学入試問題#10　慶応義塾大学(2021)　解と係数の関係の応用

単元： #数A#整数の性質#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 < m :

整数

x^{3} - 20 x^{2} + m x - 2 (m - 1) = 0

は3つの異なる正の整数解をもつとき、

m

と３つの解を求めよ。

出典：2021年慶應義塾大学　入試問題

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大学入試問題#9　獨協大学(2021)　微分法の応用

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a :

定数

\int_{0}^{x} f (t) d t + \int_{0}^{1} x^{2} f (t) d t = x^{2} + 3 x + a

を満たすとき

f (x)

を求めよ。

出典：2021年獨協大学　入試問題

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11愛知県教員採用試験（数学：３番　整数問題）

単元： #数A#整数の性質#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

l, k :

自然数

p :

素数

l^{2} - k^{2} = 21

p = l + k

を満たす

p, l, k

を求めよ。

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06滋賀県教員採用試験（数学：2番　三角関数）

単元： #数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ π, 0 < a

y = \sin 2 x + a (\sin x + \cos x)

の最大値、最小値を求めよ。

出典：滋賀県教員採用試験

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大学入試問題#8　東京理科大学(2021)　定積分

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
次の定積分を計算せよ。

I_{0} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x - \sqrt{2} \cos x}{\sqrt{2} \sin x + \cos x} d x

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\sqrt{2} \sin x + \cos x} d x

I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos x}{\sqrt{2} \sin x + \cos x} d x

出典：2021年東京理科大学　入試問題

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17滋賀県教員採用試験（数学：4番　実数解の個数）

単元： #数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

k :

定数
方程式

k (x - 1)^{2} = | x |

の異なる実数解の個数を調べよ。

出典：滋賀県教員採用試験

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大学入試問題#7　成城大学(2021)　対数の方程式

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x > y > 0

\begin{array}{r} {\begin{cases} 4^{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} = 32 ・ ・ ・ ① \\ l o g_{3} (x - y) + l o g_{3} (x + y) = 1 ・ ・ ・ ② \end{cases} \end{array}

　を解け。

出典：2021年成城大学　入試問題

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14滋賀県教員採用試験（数学：２番　２変数関数の最大値、最小値）

単元： #数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} = 1

をみたすとき

5 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}

の最大値、最小値を求めよ。

出典：滋賀県教員採用試験

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大学入試問題#6　学習院大学(2021)　対数

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

l o g_{2} (l o g_{2} (x - 2) - l o g_{\frac{1}{2}} (x - 4)) = 2

を解け。

出典：2021年学習院大学　入試問題

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大学入試問題#5　早稲田大学(2021)　三角関数

単元： #数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{2 + \sin α} + \frac{1}{2 + \sin 2 β} = 2

のとき

| α + β - 8 π |

の最小値を求めよ。

出典：2021年早稲田大学　入試問題

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大学入試問題#4　慶應義塾大学(2021)　軌跡

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
放物線

y = x^{2}

上を動く2点

A, B

と原点

O

を線分で結んだ

△ O A B

において

∠ A O B = 90^{\circ}

とする。
このとき、

△ O A B

の重心

G

の軌跡を求めよ。

出典：2021年慶應義塾大学　入試問題

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大学入試問題#3　慶應義塾大学(2021)　不等式を満たす整数の個数

単元： #数A#整数の性質#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} - 5 x + 3 - 2 l o g_{3} x < 0

を満たす自然数

x

の個数を求めよ。

出典：2021年慶應義塾大学　入試問題

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大学入試問題#2 早稲田大学(2021)　図形・三角関数・微分

単元： #数Ⅱ#三角関数#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
半径1の円に外接する

A B = A C

の

△ A B C

において

∠ B A C = 2 θ

とする。
（1）

A C

を

θ

で表せ
（2）

A C

が最小となるときの

\sin θ

の値を求めよ。

出典：2021年早稲田大学　入試問題

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大学入試問題#1 早稲田大学(2021) 微積の応用

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) : x > 0

で定まる連続関数

f (2) = 1

任意の

a > 0, b > 0

に対して

\int_{a_{2}}^{a^{2} b} f (t) d t - \int_{a}^{a^{2}} f (t) d t

の値は

a

によらない。

f (x)

を求めよ。

出典：2021年早稲田大学　入試問題

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大学入試問題#23 東北大学(2020) 三角関数

【問題の詳細は概要欄，誘導あり】大学入試問題#22 千葉大学(2020) 数列

大学入試問題#21 千葉大学(2020) tanの定積分

大学入試問題#20 群馬大医学部(2020) 対数，領域

大学入試問題#19 京都大学(2020) 定積分

大学入試問題#18 東北大学(2020) 数列

大学入試問題#17 埼玉大学(2021) 解と係数の関係

大学入試問題#16 埼玉大学(2020) 式変形

大学入試問題#15 慶應義塾大学(2021) 整数問題

【誘導あり 概要欄】14滋賀県教員採用試験（数学：4番 微分方程式）

大学入試問題#14 津田塾大学(2021) 微積の応用

大学入試問題#13 自治医科大学(2021) 対数と整数問題

大学入試問題#12 獨協大学(2021) 数列

大学入試問題#11 北里大学（医） 2021 整数問題

03愛知県教員採用試験（数学：9番 整数問題）

01愛知県教員採用試験（数学：14番 複素数）

大学入試問題#10 慶応義塾大学(2021) 解と係数の関係の応用

大学入試問題#9 獨協大学(2021) 微分法の応用

11愛知県教員採用試験（数学：３番 整数問題）

06滋賀県教員採用試験（数学：2番 三角関数）

大学入試問題#8 東京理科大学(2021) 定積分

17滋賀県教員採用試験（数学：4番 実数解の個数）

大学入試問題#7 成城大学(2021) 対数の方程式

14滋賀県教員採用試験（数学：２番 ２変数関数の最大値、最小値）

大学入試問題#6 学習院大学(2021) 対数

大学入試問題#5 早稲田大学(2021) 三角関数

大学入試問題#4 慶應義塾大学(2021) 軌跡

大学入試問題#3 慶應義塾大学(2021) 不等式を満たす整数の個数

大学入試問題#2 早稲田大学(2021) 図形・三角関数・微分

大学入試問題#1 早稲田大学(2021) 微積の応用

大学入試問題#23　東北大学(2020)　三角関数

【問題の詳細は概要欄，誘導あり】大学入試問題#22　千葉大学(2020)　数列

大学入試問題#21　千葉大学(2020)　tanの定積分

大学入試問題#20　群馬大医学部(2020)　対数，領域

大学入試問題#19　京都大学(2020)　定積分

大学入試問題#18　東北大学(2020)　数列

大学入試問題#17　埼玉大学(2021)　解と係数の関係

大学入試問題#16　埼玉大学(2020)　式変形

大学入試問題#15　慶應義塾大学(2021)　整数問題

【誘導あり　概要欄】14滋賀県教員採用試験（数学：4番　微分方程式）

大学入試問題#14　津田塾大学(2021)　微積の応用

大学入試問題#13　自治医科大学(2021)　対数と整数問題

大学入試問題#12　獨協大学(2021)　数列

大学入試問題#11　北里大学（医）　2021　整数問題

03愛知県教員採用試験（数学：9番　整数問題）

01愛知県教員採用試験（数学：14番　複素数）

大学入試問題#10　慶応義塾大学(2021)　解と係数の関係の応用

大学入試問題#9　獨協大学(2021)　微分法の応用

11愛知県教員採用試験（数学：３番　整数問題）

06滋賀県教員採用試験（数学：2番　三角関数）

大学入試問題#8　東京理科大学(2021)　定積分

17滋賀県教員採用試験（数学：4番　実数解の個数）

大学入試問題#7　成城大学(2021)　対数の方程式

14滋賀県教員採用試験（数学：２番　２変数関数の最大値、最小値）

大学入試問題#6　学習院大学(2021)　対数

大学入試問題#5　早稲田大学(2021)　三角関数

大学入試問題#4　慶應義塾大学(2021)　軌跡

大学入試問題#3　慶應義塾大学(2021)　不等式を満たす整数の個数

大学入試問題#2 早稲田大学(2021)　図形・三角関数・微分