数学(高校生)

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
10進法で表された数

12^{100}

を2進法で表したときの桁数を求めよ。
ただし,

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。

l o g_{10} 1.4 = 0.416

,

l o g_{10} 1.8 = 0.255

,

l o g_{10} 2.1 = 0.322

とするとき,

l o g_{10} 2

,

l o g_{10} 3

,

l o g_{10} 7

の値を求めよ。
また,

l o g_{10} 63

の値を求めよ。

次の問いに答えよ。
(1)

l o g_{2} 3

が無理数であることを証明せよ。
(2) (1)を用いて

l o g_{2} 6

が無理数であることを証明せよ。
(3) (2)を用いて

l o g_{6} 4

が無理数であることを証明せよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。
(1)

6^{20}

は何桁の整数か。
(2)

6^{20}

の最高位の数字を求めよ。

年利率5%, 1年ごとの複利で10万円を預金した時,
x年後の元利合計は

10 (1.05)^{x}

万円となる。
元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か。
ただし,

l o g_{10} 2 = 0.3010

,

l o g_{10} 3 = 0.4771

,

l o g_{10} 7 = 0.8451

とする。

1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。
99.99%より多くの花粉を一度に除去するには,
このフィルターは最低何枚必要か。ただし,

l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積和の最小値 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の相等 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

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問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】3次関数と接線で囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の最小値 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積から直線を求める ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が

\frac{32}{3}

である。この直線の方程式を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の2等分 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積が一定になることを示す ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
放物線y=x²+4上の点Pにおける放物線の接線と放物線y=x²で囲まれた図形の面積は、点Pの選び方に関係なく一定であることを示せ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分の不等式の証明 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

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問題文全文(内容文)：
不等式

{(\int_{0}^{1} (x - a) (x - b) d x)}^{2} \leq \int_{0}^{1} (x - a)^{2} d x \int_{0}^{1} (x - b)^{2} d x

を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
ただし、

a, b

は定数とする。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数3 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：

0 \leq x \leq 4

のとき、
関数

f (x) = \int_{0}^{x} (t - 1) (t - 3) d t

の最大値、最小値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{- 3}^{x} (t^{2} - 1) d t

のグラフをかけ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{- 1}^{x} (3 t^{2} - 4 t + 1) d t

が極値をとるときの

x

の値を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積13 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：

k > 0

とする。曲線

y = \sin 2 x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

と

x

軸で囲まれた部分の面積を

y = k \sin x

が2等分するように定数

k

の値を定めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積15 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

x

軸に平行な直線と曲線

y = \sin x (0 ≦ x ≦ 3 π)

が4点で交わるとき、この直線と曲線で囲まれた3つの部分の面積の和が最小となるような直線の方程式を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

1 ≦ a ≦ e

とする。曲線

y = e^{x} - a

と

x

軸、

y

軸および直線

x = 1

で囲まれた部分の面積を

S (a)

とする。
(1)

S (a)

を求めよ。
(2)

S (a)

の最小値とそのときの

a

の値を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積12 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

\frac{\sqrt{x}}{a} + \frac{\sqrt{y}}{b} = 1

は、直線

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

と

x

軸、

y

軸で囲まれた三角形を一定の面積の比に分割することを示せ。ただし、

a > 0, b > 0

とする。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積11 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：
曲線

y = a x^{2}

と

y = \log x

はただ1点を共有し、その点におけるそれぞれの接線は一致するものとする。
(1)定数

a

の値と共有点の座標を求めよ。
(2)この2つの曲線と

x

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：

x = \cos^{4} θ, y = \sin^{4} θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

で表される曲線を

C

とし、曲線

C

の接線を

l

とする。曲線

C

と接線

l

、

x

軸で囲まれた部分の面積と、曲線

C

と接線

l

、

y

軸で囲まれた面積の和が

\frac{1}{24}

であるという。このとき、接線

l

の方程式を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数3 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：

f (x) + \int_{0}^{x} g (t) d t = 3 x^{2} + 2 x + 1

,

\frac{d}{d x} f (x) = g (x) + 4 x^{2}

を満たす関数

f (x)

,

g (x)

を求めよ

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数2 ※問題文は概要欄

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

f (0) = 0

,

f (1) = 1

を満たす 2 次関数

f (x)

のうちで、

\int_{0}^{1} (f (x))^{2} d x

を最小にするものを求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

f (a) = \int_{0}^{1} (2 a x^{2} - a^{2} x) d x

を

a

の式で表せ。
また、

f (a)

の最大値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分方程式 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の等式を満たす関数

f (x)

を求めよ。

(1)

f (x)

=

x

+

\int_{0}^{3}

f (t)

d t

(2)

f (x)

=

\int_{1}^{3}

{

2 x - f (t)

}

d t

(3)

f (x)

=

x^{2}

-

\int_{0}^{2}

x

f (t)

d t

+

2

\int_{0}^{1}

f (t)

d t

(4)

f (x)

=

1

+

\int_{0}^{1}

(x - t)

f (t)

d t

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
次の2つの条件を同時に満たす

x

の3次の多項式

P (x)

を求めよ。

[1] 任意の2次以下の多項式

Q (x)

に対して

\int_{- 1}^{1} P (x) Q (x) d x = 0

[2]

P (1) = 1

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：

f (x) = a x^{2} + b x + 1

とする。
任意の1次関数

g (x)

に対して、常に

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x = 0

が成り立つとき、定数

a, b

の値を求めよ。

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】条件からの関数決定2 ※問題文は概要欄

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問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす2次関数

f (x)

を求めよ。

(1)

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 0

,

\int_{0}^{2} f (x) d x = 10

,

\int_{- 1}^{1} x f (x) d x = \frac{4}{3}

(2)

\int_{0}^{2} f (x) d x = 1

,

\int_{0}^{2} x f (x) d x = 1

,

\int_{0}^{2} x^{2} f (x) d x = 2

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】条件からの関数決定1 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

f (x) = a x^{2} + b x + c

において、

f (- 1) = 2

,

f^{'} (0) = 0

,

\int_{0}^{1} f (x) d x = - 2

であるとき、
定数 a, b, c の値を求めよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】対数不等式2 ※問題文は概要欄

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)

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問題文全文(内容文)：
次の関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。
また、そのときの

x

の値を求めよ。
(1)

y = (\log_{3} x)^{2} + 2 \log_{3} x

(2)

y = (\log_{2} \frac{4}{x}) (\log_{2} \frac{x}{2})

(3)

y = (\log_{3} x)^{2} - 4 \log_{3} x + 3 (1 \leq x \leq 27)

関数

y = \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (6 - x)

の最小値を求めよ。

a > 0

,

b > 0

のとき、不等式

\log_{2} (a + \frac{1}{b}) + \log_{2} (b + \frac{1}{a}) \geq 2

を証明せよ。

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【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積和の最小値 ※問題文は概要欄

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【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数1 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積13 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積15 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積12 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積11 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数3 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分を含む関数1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】積分方程式 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式2 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分と恒等式1 ※問題文は概要欄

【数Ⅱ】【微分法と積分法】条件からの関数決定2 ※問題文は概要欄

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